Takagi-van der Waerden函数的局部水平集
Local level sets of the Takagi-van der Waerden function
- Hangzhou Institute for Advanced Study, UCAS（杭州高等研究院）
- Zhejiang University（浙江大学）
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AI总结：
本文研究Takagi-van der Waerden函数$T_r$的局部水平集，推广了Lagarias和Maddock的结果，证明了均匀随机高度下局部水平集期望数量为$(r+1)/r$（偶数$r$）或$(r+1)/(r-1)$（奇数$r$）。
AI中文摘要：
本文研究了Takagi-van der Waerden函数 $$ T_r(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\phi(r^n x)}{r^n},\quad x\in [0,1], \quad r \geq 2, $$ 其中 $\phi(x)={\rm dist}(x,\mathbb{Z})$ 表示 $x$ 到最近整数的距离。Lagarias和Maddock[13]引入了经典Takagi函数 $T_2$ 的局部水平集概念。他们证明了若 $y$ 在 $T_2$ 的值域上均匀分布，则高度为 $y$ 的水平集所包含的局部水平集的期望数量等于 $3/2$。我们对每个整数 $r\geq2$ 定义了相应的局部水平集，并证明了若 $y$ 在 $T_r$ 的值域上均匀分布，则高度为 $y$ 的水平集所包含的局部水平集的期望数量在 $r$ 为偶数时等于 $(r+1)/r$，在 $r$ 为奇数时等于 $(r+1)/(r-1)$。
英文摘要：
In this paper, we investigate the Takagi-van der Waerden function, $$ T_r(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ϕ(r^n x)}{r^n} ,\quad x\in [0,1], \quad r \geq 2, $$ where $ϕ(x)={\rm dist}(x,\mathbb{Z})$ represents the distance from $x$ to the nearest integer. Lagarias and Maddock[13] introduced the notion of local level sets for the classical Takagi function $T_2$. They proved that if $y$ is uniformly distributed over the range of $T_2$, then the expected number of local level sets contained in the level set at height $y$ equals $3/2$. We define the corresponding local level sets for every integer $r\geq2$ and prove that, if $y$ is uniformly distributed over the range of $T_r$, then the expected number of local level sets contained in the level set at height $y$ equals $(r+1)/r$ if $r$ is even, and $(r+1)/(r-1)$ if $r$ is odd.
