Stationary Point Sets: Convex Quadratic Optimization is Universal in Nonlinear Optimization
研究了参数最优化问题中的局部拓扑结构、驻点集等。我们的主要结果表明，分层同构，任何这样的结构已经存在于小子类的参数化问题的凸二次目标函数和仿射线性约束。换句话说，凸二次问题产生了驻点集的局部拓扑结构的标准形。因此，我们看到，只要不涉及等式约束，驻点集的闭包构成一个有边界的带边流形。边界恰好是Mangasarian Fromovitz约束规格的违反集。一个副结果指出，不动点集和违反集的Mangasarian Fromovitz约束规格进行相同的一组可能的局部结构的分层空间。
2013-11-04 math.OC
Convexity of sets and quadratic functions on the hyperbolic space
本文研究了双曲空间上凸分析的一些概念。我们首先研究了固有距离的性质，例如给出了它的Hessian的谱分解。接下来，我们研究了凸集的概念和在这些集合上的内禀投影。我们还研究了凸函数的概念，给出了这些函数的一阶和二阶特征，以及与之相关的一些优化概念。对双曲凸二次函数也作了广泛的研究。
2022-07-12 math.OC
A characterization of maximal inhomogeneous-quadratic-free sets
Universidad de Chile（智利大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；COPT GmbH（COPT有限公司）
针对非齐次二次不等式定义的集合S，利用非扩张函数刻画了最大S-自由集的结构，与齐次情形共同完成了所有最大二次自由集的完整刻画。
2026-05-28 math.OC
On the spherical convexity of quadratic functions
本文研究了球凸集上二次函数的球凸性。特别地，给出了与正正交点和洛伦兹锥相关的球面凸集上的二次函数的球面凸性的条件。
2018-09-23 math.OC
Sub-optimality of the Separation Principle for Quadratic Control from Bilinear Observations
Cornell（康奈尔大学）；MIT（麻省理工学院）；U Washington（华盛顿大学）
研究双线性观测下线性系统二次控制问题，证明分离原理不成立、最优控制器非线性且不唯一，提出输入依赖可观测性概念并给出滤波协方差有界条件，通过数值实验验证理论。
2025-10-21 cs.LG cs.SY eess.SY
Extremality, Stationarity and Generalized Separation of Collections of Sets
暴露，分析和完善的核心参数用于各种证明的极值原理及其扩展，以及在原始和对偶特征的近似平稳性和横向的集合，导致一个统一的理论，包括所有现有的方法来获得“极值”的声明。为此，我们研究和澄清各自的定义和声明中所涉及的参数之间的定量关系。得到了极值性质的一些新的刻画。
2018-12-29 math.OC
Separation of Regular Co-Radiant Sets via Inner Approximating Sequences, Radial Profile Functions and Applications to Optimization
University of Alicante（阿利坎特大学）
研究基于新正则性概念分析共辐射集，引入内逼近序列和径向轮廓函数两个工具，扩展分离理论，给出范数基存在新特征及标量化结果，通过建立误差界对分离残差变分解释，为平衡问题等提供条件和原理。
2026-07-14 math.OC
Convex quadratic sets and the complexity of mixed integer convex quadratic programming
本文扩展了多面体全维约简方法至凸二次集，利用整数自反广义逆保持混合整数向量，并证明混合整数凸二次规划以整数变量数为参数的固定参数可处理性。
2024-02-02 cs.DM math.OC
On the supporting quasi-hyperplane and separation theorem of geodesic convex sets with applications on Riemannian manifolds
针对 Riemannian 流形上的局部测地凸集，研究证明点—集分离定理与边界支撑拟超平面的存在性，并据此导出带约束优化问题的最优性条件。
2024-01-24 math.OC
Nonlinear Separation Theorems for Co-Radiant Sets and Optimality Conditions for Approximate and Proper Approximate Solutions in Vector Optimization
University de Alicante（阿利坎特大学）
本文通过标量化方法，建立了非辐射集的非线性分离定理，并在不假设非辐射集或集合凸性的情况下，获得了向量优化中ε-有效和ε-恰当有效点的必要和充分条件。
2025-09-09 math.OC
Blaschke and Separation Theorems for Orthogonally Convex Sets
Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology (VAST)（越南科学院数学研究所）；Vietnam National University Ho Chi Minh City（越南国立大学胡志明市分校）
本文研究正交凸集的分析与几何性质，建立平面中连通正交凸集的Blaschke型定理，并利用合适网格实现集的分离，证明闭合正交凸集可由平面中的阶梯半平面交集表示，同时给出高维空间中正交凸集的拓扑性质。
2022-12-28 cs.CG math.OC
Generalized Separation of Collections of Sets
Can Tho University（芹苴大学）；Ton Duc Thang University（德天大学）
本文研究集合族广义分离理论，提出采用任意乘积范数的统一分离命题以涵盖传统极值原理及其推广，并将其用于推导近似平稳性与横截性性质的对偶条件。
2025-10-04 math.FA math.OC
Exploiting symmetries in active set enumeration for constrained linear-quadratic optimal control
本文研究对称约束线性二次型最优控制问题及其参数解。这种问题的参数解是一个分段仿射反馈律，它可以等价地表示为一组活动集。我们证明了最优控制问题的对称性包含了活动集的对称性，这可以用来大大简化寻找活动集的过程。具体来说，我们改进了最近提出的方法，基于动态规划的枚举的所有活动集。实现减少的计算工作量示出了一个例子。
2023-03-21 math.OC
Stable MPC with maximal terminal sets and quadratic terminal costs
本文提出一种计算线性模型预测控制器二次终端成本的技术，使其在最大控制不变集内对所有状态有效，从而最大化递归可行状态集，确保渐近稳定性并便于控制器调参。
2024-06-04 cs.SY eess.SY math.OC
Relaxing nonconvex quadratic functions by multiple adaptive diagonal perturbations
当前全局求解混合整数（非凸）二次约束问题（MIQCP）的瓶颈仍然是构造强而计算量小的凸松弛，特别是当存在稠密二次函数时.本文提出了一种基于多重对角扰动的割面方法，得到了具有可分离约束的非凸二次问题的强凸二次松弛解。与许多其他基于提升的松弛相比，我们得到的松弛并没有使用比原始问题更多的变量。相应的分离问题是一个高度结构化的半定规划（SDP）的凸，但非光滑的目标。我们建议用一个专门的原始障碍坐标最小化算法来解决这个分离问题。计算结果表明，我们的方法是非常有前途的。首先，我们的分离算法是至少一个数量级的速度比内点方法的SDPs的问题高达几百个变量。其次，在非凸二次整数问题上，我们的切割表面过程提供了与（Buchheim和Wiegele，2013）在其分支定界代码Q-MIST中使用的对角SDP边界几乎相同强度的下界，而我们的过程在维度大于70的问题上至少快了数量级。最后，结合（Saxena，Bonami和Lee，2011）提出的（线性）投影RLT切割平面，我们的程序提供了比投影SDP+RLT切割表面程序略弱的边界，但在几个数量级更短的时间。最后，我们讨论了各种途径来扩展我们的工作，设计更有效的分支定界算法MIQCP。
2014-03-20 math.OC
A characterization of maximal homogeneous-quadratic-free sets
本文研究齐次二次不等式可行域下的极大无 S 集合，证明由 Γ 表示的无二次集合满维且极大当且仅当 Γ 非扩张并满足技术条件。
2023-09-26 math.OC
Chebyshev centers and radii for sets induced by quadratic matrix inequalities
Bernoulli Institute for Mathematics, Computer Science and Artificial Intelligence, University of Groningen（格罗宁根大学伯努利数学、计算机与人工智能研究所）
针对二次矩阵不等式诱导的矩阵集合，本文在任意酉不变范数下给出 Chebyshev 中心、半径、直径及内含最大球半径的闭式解，并说明其在数据驱动建模与控制中的应用。
2025-10-20 math.OC
Control problem for quadratic parabolic differential equations with sparse sensor sets of finite volume or anisotropically decaying density
本文证明了二次抛物型微分方程在稀疏传感器集下的可观测性与零可控性，依据生成元奇异空间的不同情况调整传感器集条件，并利用耗散估计与不确定性关系进行证明。
2023-10-04 math.AP math.OC
Explicit convex hull description of bivariate quadratic sets with indicator variables
我们考虑了非凸集$\mathcal S_n = \{(x,X,z): X = x x^T, \; x (1-z) =0,\; x \geq 0,\; z \in \{0,1\}^n\}$，它与最佳子集选择和约束投资组合优化等几个困难的非凸最优化问题的可行域密切相关。利用凸分析和选言规划的思想，得到了$\mathcal S_2$的凸包在原变量空间中的闭包的显式描述.为了生成有效的不等式对应的支撑超平面的凸包的$\mathcal S_2$，我们提出了一个简单的分离算法，可以纳入分支和切割为基础的求解器，以提高现有的松弛的质量。
2023-02-24 math.OC
Some properties of the value function and its level sets for affine control systems with quadratic cost
让$T>0$固定。我们考虑解析仿射系统的最优控制问题：$\ds{\dot{x}=f\_0(x)+\sum\_{i=1}^m u\_if\_i(x)}$，其代价形式为：$\ds{C(u)=\int\_0^T \sum\_{i=1}^m u\_i^2(t)dt}$ .对于这类系统，我们证明了如果不存在极小化异常极值，则值函数$S$是次解析的。其次，证明了若存在corank为1的异常极小元，则极小元在成本固定时的端点集与给定超平面相切。我们说明这种情况下，在次黎曼几何。
2006-07-18 math.OC
A Quadratically Convergent Alternating Projection Method for Nonconvex Sets
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Institute of Applied Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；University of Chicago（芝加哥大学）
本文提出了一种针对非凸集的二次收敛交替投影方法，通过交替牛顿步和投影操作，在非退化条件下实现局部二次收敛性，并通过实验验证了方法的高效性。
2025-11-28 math.OC
A Non-Convex Separation Through an Alternative Proof for the Supporting Hyperplane Theorem
本研究给出支撑超平面定理的简洁新证明，借此将该定理拓展至一类非凸集合的超平面分离，揭示了局部视角凸性与全局可分性的关联，兼具理论推广潜力与教学意义。
2023-10-08 math.OC
On the structure of the set of active sets in constrained linear quadratic regulation
约束线性二次调节问题通过一组状态空间多面体上的连续分段仿射函数求解。一个明显的问题是，这个解决方案是否可以通过增加视野来迭代地建立，即，通过将无约束情况下的经典向后动态规划解扩展到约束情况。然而，不幸的是，水平线N的分段仿射解一般不包含在水平线N + 1的分段仿射定律中。我们表明，一个向后的动态规划，相反，导致一个有用的结构，定义的解决方案的活动集。本质上，如果约束是逐阶段排序的，则具有水平N + 1的问题的每个有效集都是扩展水平N的有效集的结果。因此，可以通过仅考虑附加阶段的约束来找到水平线N + 1的集合。此外，很容易检测出哪些多面体和仿射片对增加视界是不变的，因此在极限N到无穷大时持续存在。如果活动集由比特元组表示，则活动集的集合的结构的若干其他方面变得明显。例如，存在生成正不变量和持久（即，水平不变）围绕原点设置。识别这些特殊的活动集非常简单，不需要求解最优控制或辅助最优化问题就能找到正不变和持续区域。本文简要讨论了这些结果在模型预测控制中的应用。还简要总结了计算方法中使用的一些机会。
2019-04-12 math.OC
A dynamic programming approach to solving constrained linear-quadratic optimal control problems
约束线性二次型调节器问题的解由其最优有效集的集合决定。我们提出了一个算法，构造这一组的活动集为所需的地平线N从地平线N-1。虽然如何将时域N-1的最优反馈律本身扩展到时域N并不明显，但存在两个连续时域长度的最优活动集之间的简单关系。具体地，如果约束是逐阶段排序的，则水平N的每个最优活动集是水平N-1的最优活动集的超集。的stagewise处理结果在一个有利的计算工作。此外，如果存在有限时域，该算法很容易检测出当前时域的解等于无限时域的解。
2019-10-24 math.OC
Quadratic Surface Support Vector Machine with L1 Norm Regularization
Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota（明尼苏达大学数学及其应用研究所）；College of Information Science and Engineering, Northeastern University（东北大学信息科学与工程学院）；Precima, a NielsenIQ Company（普雷西玛（尼耳森艾克集团旗下公司））
我们提出$\ell_1$范数正则化二次曲面支持向量机模型用于监督学习中的二进制分类。我们建立了所需的理论性质，包括最优解的存在性和唯一性，减少到标准支持向量机（几乎）线性可分数据集，和检测真正的稀疏模式（几乎）二次可分数据集，如果惩罚参数的$\ell_1$范数是足够大的。我们还通过在合成和公开可用的基准数据集上进行各种数值实验，证明了它们有前途的实际效率。
2021-01-30 cs.LG math.OC stat.ML
Set intersection problems: Supporting hyperplanes and quadratic programming
我们研究了如何由投影过程产生的支撑超平面可以补充交替投影方法及其变种的凸集相交问题。对于求闭凸集交的最近点问题，我们提出了一个类似Dykstra算法的算法，该算法在希尔伯特空间中强收敛.当闭凸集是满足对齐条件的$\mathbb{R}^{n}$中的锥时，该算法在多次迭代中收敛。其次，我们提出了交替投影算法的修改，并证明其收敛性。在一定条件下，该算法在$\mathbb{R}^{n}$中具有超线性收敛性.在锥条件下，收敛性可以是有限的。最后，我们讨论了集合的交为空的情况。
2012-12-31 math.OC
Solution Sets for Inverse Infinite-Horizon Linear-Quadratic Descriptor Differential Games
Indian Institute of Technology-Madras（印度马德拉斯理工学院）
本文研究了具有描述动态的无限时间线性二次微分博弈的逆问题，通过给定观察到的反馈策略集，识别所有能使其成为反馈纳什均衡的成本函数，展示了解集的矩形和凸性，并提供了计算可接受实现的算法，同时指出描述动态可能影响解集的几何结构和可识别性。
2026-06-07 cs.SY eess.SY math.OC
Nonlinear Cone Separation Theorems in Real Topological Linear Spaces
本文基于增广对偶锥和Bishop-Phelps型分离函数，在实拓扑线性空间中推导出针对两个非凸锥的非线性锥分离新定理，其证明以凸集经典分离定理为关键工具。
2023-08-02 math.FA math.OC
