A note on q-Bernoulli numbers and q-Bernstein polynomials
T. Kim, C. S. Ryoo, H. Yi
本文考虑T.金和我们调查了一些财产。
In this paper we consider the extended q-Bernstein polynomials which are constructed by T. Kim and we investigate some properties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Identities involving values of Bernstein, q-Bernoulli and q-Euler polynomials
本文给出了q-Bernoulli多项式、q-Euler多项式和伯恩斯坦多项式的值之间的关系。利用这些关系，我们得到了q-Bernoulli多项式、q-Euler多项式和伯恩斯坦多项式的一些有趣的恒等式.
q-Bernstein polynomials associated with q-stirling numbers and Carlitz's q-Bernoulli numbers
最近，Kim提出了C[0，1]上的伯恩斯坦多项式和正线性算子的有趣的q-扩张，它们与Phillips的q-伯恩斯坦多项式不同.从Kim的q-伯恩斯坦多项式出发，研究了与q-Stirling数和Carlitz的q-Bernoulli数有关的q-伯恩斯坦多项式的一些有趣的性质
q-Bernstein polynomials, q-Stirling numbers and q-Bernoulli polynomials
本文给出了涉及Phillips q-伯恩斯坦多项式的新恒等式，并得到了与q-Stirling数和q-伯努利多项式有关的q-Bernstein多项式的一些有趣的性质.
Some identities of Bernoulli numbers and polynomials associated with Bernstein polynomials
研究了Zp上玻色子p-adic积分的伯恩斯坦多项式的一些有趣性质.
Some identities on the q-Bernstein polynomials, q-Stirling number and q-Bernoulli numbers
最近，Kim-Jang-Yi等人引进了q-伯恩斯坦多项式。从这些q-Berstein多项式出发，我们得到了与q-Stirling数和q-Bernoulli数有关的一些性质。
Degenerate Bernstein Polynomials
本文考虑退化的伯恩斯坦多项式作为伯恩斯坦多项式的退化形式，这是由Simsek最近的工作“多维伯恩斯坦多项式的统一生成函数及其应用”（[15，16]）和Carlitz的退化伯努利多项式所激发的.得到了它们的生成函数、对称恒等式、递推关系以及它们与广义落阶乘多项式、高阶退化伯努利多项式和第二类退化Stirling数的关系.
The Legendre polynomials associated with Bernoulli, Euler, Hermite and Bernstein polynomials
本文主要利用勒让德多项式的正交性讨论其算术性质。证明了勒让德多项式与Bernoulli、Euler、Hermite和伯恩斯坦多项式成比例。
On p-adic analogue of q-Bernstein polynomials and related integrals
本文给出了Kim的q-伯恩斯坦多项式的p-adic q-整表示，并给出了与Carlitz的q-Bernoulli数有关的一些有趣的公式.
On The Properties Of $q$-Bernstein-Type Polynomials
本文的目的是给出多元函数的修正的$q$ -伯恩斯坦多项式的一种新方法。利用这些多项式，导出了与第二类Stirling数和广义伯努利多项式有关的递推公式和一些新的有趣的恒等式。给出了这类多元多项式的母函数、插值函数以及它们的导数和母函数。最后，分别将$\mathbb {Z}_p$上的$p$ -adic $q$ -整表示和$\mathbb {Z}_p$上的$p$ -adic费米子$q$-不变积分应用于$q$ -伯恩斯坦多项式的逆，得到了修正的$q$ -Bernoulli数和$q$ - Euler数的新的有趣恒等式.
A note on q-Bernstein polynomials
本文构造了伯恩斯坦多项式的新的q-扩张。在这些q-Bernstein多项式的基础上，我们给出了一些有趣的性质，并讨论了与q-伯恩斯坦多项式有关的一些应用。
Note on the Modified q-Bernstein Polynomials
本文提出了n次修正的q-伯恩斯坦多项式，它不同于Phillips的q-伯恩斯坦多项式（见[4]）.从这些n次修正的q-伯恩斯坦多项式出发，我们得到了修正的q-伯恩斯坦多项式的一些有趣的递推公式.
A new approach to modified q-Bernstein polynomials for functions of two variables with their generating and interpolation functions
本文的目的是给出二元函数的修正q-伯恩斯坦多项式的一种新方法。利用这类多项式，我们得到了与第二类Stirling数和广义伯努利多项式有关的递推公式和一些新的有趣的恒等式.此外，还给出了这类修正的二元q-伯恩斯坦多项式的母函数和插值函数，以及它们的导数和母函数。
A note on q-Bernoulli numbers and polynomials
利用p-adic q-积分，研究了q-Bernoulli数和高阶多项式。
A new family of q-Bernstein polynomials: Probabilistic viewpoint
本文提出概率q-伯恩斯坦多项式及其生成函数，利用矩条件建立与斯特林数、伯努利数等的关系，并给出递推、微分性质及p-adic积分表示。
A note on degenerate poly-Bernoulli numbers and polynomials
本文考虑退化多伯努利多项式，给出了利用退化伯努利多项式和第二类Stirling数计算退化多伯努利多项式的新的显式公式.
A note on degenerate Euler and Bernoulli polynomials of complex variable
本文从复变量的退化欧拉多项式和复变数的退化伯努利多项式出发，研究了新型欧拉多项式的退化形式，即退化余弦-欧拉多项式和退化sime-欧拉多项式，以及相应的伯努利多项式的退化余弦伯努利多项式和退化正弦-伯努利多项式.
A note on the generalized q-Bernoulli measures with weight a
本文考虑了带权α的广义q-Bernoulli测度。从这些措施，我们得到了一些有趣的性质的广义q-Bernoulli数的重量阿尔法附加到chi。
A note on poly-Bernoulli numbers and polynomials of the second kind
本文研究了第二类多伯努利数和多项式，给出了计算第二类多伯努利数和第二类Stirling数的新的显式公式.
A Note on Degenerate Multi-poly-Bernoulli numbers and polynomials
本文考虑了退化的多重多Bernoulli数和多项式，它们是由多重多Bernoulli数和多项式的多重多项式和退化形式定义的.我们研究了这些数和多项式的一些性质。此外，我们还给出了退化多重多Bernoulli数和多项式的一些恒等式和关系式。
A note on the Frobenius-Euler numbers and polynomials associated with Bernstein polynomials
本文讨论了伯恩斯坦多项式和Frobenius-欧拉数及多项式。我们应用Zp上的生成函数和费米子p-adic整表示的方法，导出了更多的伯恩斯坦多项式和Frobenius-欧拉数及多项式.更精确地说，我们将所得结果概括如下，得到了Frobenius-欧拉数与多项式之间的一些组合关系。进一步，我们得到了Zp上n次伯恩斯坦多项式的整表示.同时，我们还导出了不同次数n1，n2，.的乘积伯恩斯坦多项式的费米子p-adic整表示.并表明它可以用Frobenius-欧拉数来写，从而更深入地了解这种类型的推广的有效性。我们的应用程序具有一些有趣的属性，我们在本文中的状态。
A note on new type degenerate Bernoulli numbers
研究各种特殊多项式的退化形式已成为一个活跃的研究领域，并产生了许多有趣的算术和组合结果。在这里，我们介绍了一个退化版本的多对数函数，称为退化多对数函数。然后利用退化多对数函数构造了一类新的退化多伯努利多项式和退化多伯努利多项式数，并得到了退化多Bernoulli数的若干性质
A note on the values of the weighted q-Bernstein polynomials and modified q-Genocchi numbers with weight alpha and beta via the p-adic q-integral on Zp
q-演算的迅速发展导致了涉及q-整数的伯恩斯坦多项式和Genocchi多项式的新的推广。本文研究了带权的q-伯恩斯坦多项式和带权的q-Genocchi数。利用Zp上的生成函数和p-adic q-整表示的方法，导出了进一步的伯恩斯坦多项式和q-Genocchi数和多项式.更精确地说，我们总结我们的结果如下，我们得到了一些组合的q-Genocchi数和多项式的重量α和β之间的关系。进一步，我们得到了Zp上n次加权q-伯恩斯坦多项式的整表示.同时，我们还导出了不同次数n1，n2，.的乘积加权q-伯恩斯坦多项式的一个费米子p-adic q-整表示。的Zp，并表明它可以写与q-Genocchi数的权重α和β，从而产生更深入的了解这种类型的推广的有效性。我们的新生成函数具有一些有趣的性质，我们在本文中的状态。
A Note On Multi Poly-Euler Numbers And Bernoulli Polynomials
本文介绍了多重欧拉多项式的推广，并讨论了多重欧拉多项式之间的一些关系。因此，获得推广多Poly-欧拉数的闭公式似乎是一个自然而重要的问题。
An integral representation and properties of Bernoulli numbers of the second kind
建立了第二类Bernoulli数的整表示和性质，揭示了第二类Bernoulli数的母函数是$(0,\infty)$上的Bernstein函数.
A note on regularized Bernoulli distributions and p-adic Dirichlet expansions
我们考虑伯努利分布及其正则化，这是$p$ -进整数$\mathbb{Z}_p$的措施。众所周知，它们的梅林变换可用于定义$p$ -adic $L$ -函数。我们发现，$p>2$的正则化的伯努利分布之一是特别简单，等于$\mathbb{Z}_p$上的措施，采取的值$\pm \frac{1}{2}$对clopen球。我们将其应用到$p$ -adic $L$ -函数中，得到了$p$ -电力导体的Dirichlet特征标，并得到了类似于复情形的狄利克雷级数展开式. D. Delbourgo，这方面的贡献提供了一种方法，通过$p$ -adic措施。
A New Generating Function of (q-) Bernstein Type Polynomials and their Interpolation Function
本文的主要目的是构造（q-）Bernstein型多项式的一个新的母函数。我们建立了这个函数的基本性质。利用这个母函数，我们得到了（q-）Bernstein型多项式的递推关系和导数.给出了（q-）Bernstein型多项式、Hermite多项式、高阶伯努利多项式与第二类Stirling数之间的关系。利用Mellin变换，我们定义了（q-）Bernstein型多项式的插值.此外，本文还讨论了（q-）Bernstein型多项式的逼近、某些分布的矩在统计学中的一些应用和问题。
Probabilistic degenerate Bernstein polynomials
本文研究与原点邻域矩生成函数存在的随机变量Y相关的概率退化Bernstein多项式，推导其显式表达式与恒等式，并讨论三类常见随机变量的特殊情形。
On hypergeometric Bernoulli numbers and polynomials
本文给出了超几何Bernoulli数和多项式的若干性质，包括乘积和恒等式、微分方程和递推公式。
On the generating function of p-Bernoulli numbers: an alternative approach
本文给出了$p$ -Bernoulli数的生成函数的另一种证明.我们的论证是基于欧拉的整表示。
A note on multiple Dirichlet's q-L--function
最近，引入并研究了二元$q$ - $L$ -函数，它插值于与$χ$相关的广义$q$ -伯努利多项式，参见. [2]的文件。本文构造了多重Dirichlet $q$ - $L$ -函数，该函数插值于负整数处附加于$χ$的广义多重$q$ -Bernoulli数.
Identities of symmetry for higher-order q-Bernoulli polynomials
最近，Kim将高阶Carlitz的q-伯努利多项式表示为Zp上的q-Volkenborn积分.文[13]中提出了一个问题，即寻找与Carlitz q-伯努利多项式有关的伯努利多项式对称性的推广公式。本文给出了由Zp上的多元q-Volkenborn积分导出的高阶Carlitz q-伯努利多项式的几个新的对称恒等式。我们注意到，它们只是对这个问题的部分回答。.
A note on type 2 Changhee and Daehee polynomials
近年来，许多作者结合许多特殊的数和多项式研究了Changhee多项式和Dae- hee多项式.本文研究了2型Changhee数和Daehee数以及2型多项式，给出了2型Changhee数和Daehee数以及2型多项式与2型Euler数和2型Bernoulli数以及2型多项式的一些恒等式.此外，我们还用负整数阶的2型Bernoulli数、2型Changhee数和2型Daehee数来表示第二类中心阶乘数。
Distribution modulo one and denominators of the Bernoulli polynomials
令$\{\cdot\}$表示小数部分，并且$n \geq 1$是固定整数。在这篇短文中，我们证明了对于任何素数$p$，一对一的对应关系$$\sum_{ν\geq 1} \left\{\frac{n}{p^ν}\right\} > 1 \quad \iff \quad p \mid \mathrm{denom}( B_n(x) - B_n ),$$，其中$B_n(x) - B_n$是$n$次伯努利多项式，没有常数项，$\mathrm{denom}(\cdot)$是它的分母，它是无平方的。
A shortened recurrence relation for the Bernoulli numbers
本文从Kuo的一个鲜为人知的结果出发，导出了Bernoulli数$B_{2 n}$的一个递推关系，其中$n$为任意正整数.与其它已知公式相比，这种新的递归似乎是有利的，因为它允许仅从$B_0, B_2,..., B_{2n}$计算$B_{4 n}$和$B_{4 n +2}$。
A study of degenerate Bernoulli and Euler numbers via operators
本文引入新型算子类，推导退化欧拉数与2型退化欧拉数的显式表达式，建立退化伯努利数与退化欧拉数的关系，为特殊数研究提供新方法。
Bernoulli Numbers, Wolstenholme's Theorem, and p^5 Variations of Lucas' Theorem
本文将改进D.F.贝利[卢卡斯定理的两个p^3变体，JNT 35（1990），pp. [208-215]通过研究（p，p-3）形式的不规则对与Wolstenholme定理的改进版本之间的关系，将其推广到高阶素幂模。
On type 2 degenerate Bernoulli and Euler polynomials of complex variable
最近Masjed-Jamei-Beyki-Koepf在没有利用复变数的欧拉多项式的情况下，研究了所谓的新型欧拉多项式。本文研究了这些新型欧拉多项式的退化形式和2型形式，即2型退化余弦欧拉多项式和2型退化正弦欧拉多项式，以及相应的伯努利多项式，即2型退化余弦伯努利和2型退化正弦，本文通过对复变数的退化欧拉多项式和退化伯努利多项式的研究，并将其实部和虚部分开处理，得到了一个新的伯努利多项式。我们得到了这些新多项式的显式表达式和与之相关的恒等式。在这里，我们注意到，分离实部和虚部的想法分别给出了一个肯定的回答问题所提出的Belbachir。
Explicit, recurrent, determinantal expressions of the $k$th power of formal power series and applications to the generalized Bernoulli numbers
本文给出形式幂级数第k次幂的闭式与递推行列式表达式，应用于广义伯努利数，推导新公式与递推关系，并推广欧拉恒等式，揭示与第二类斯特林数的联系。
A note on the sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了Barnes Bernoulli数和二次多项式的q-模拟，回答了Schlosser问题的一部分.最后，我们处理的q-模拟的权力和连续积分。
Two closed forms for the Apostol-Bernoulli polynomials
本文给出了Apostol-伯努利多项式的两种封闭形式。
Note on the sums of powers of consecutive $q$-integers
本文对正偶数构造了Barnes的Bernoulli数和二次多项式的$q$ -模拟，这是对Schlosser问题的一部分的回答.对于正的奇数，Schlosser的问题仍然是开放的。最后，我们将处理的$q$ -模拟的权力和连续整数。
An explicit formula for Bernoulli numbers in terms of Stirling numbers of the second kind
该研究发现了一个以第二类Stirling数表示Bernoulli数的显式计算公式，为数论相关计算提供了新的显式表达工具。
New Generalization of Eulerian polynomials and their applications
本文引入了带a、b参数的欧拉多项式，并给出了它们的定义。利用多项式母函数的定义，得到了解析数论中的一些新恒等式。给出了带a、b参数的欧拉多项式、伯恩斯坦多项式、多对数函数、Bernoulli数和欧拉数之间的关系。此外，我们看到，我们的多项式在a =-1相关的欧拉-泽塔函数在负整数。最后，我们得到了本文所表达的欧拉多项式的新推广的Witt公式。
A Note on Some Recent Results for the Bernoulli Numbers of the Second Kind
在最近一期的《韩国数学学会公报》上，齐和张发现了第二类伯努利数（也称为格雷戈里系数、第一类柯西数和对数倒数）的一个有趣的整表示。同样的表述也出现在许多其他来源中，要么没有提到作者，要么提到各种现代研究人员。在这个简短的说明中，我们表明，这种表示是一个旧的结果在十九世纪获得的恩斯特施罗德的重新发现。我们还证明，同样的整表示可以很容易地通过复杂的集成。此外，我们发现这些数的渐近性也是几次重新发现的主题，包括最近的一些。特别是，一阶渐近性，这是通常（和错误地）归功于约翰F。Steffensen，实际上可以追溯到十九世纪中叶，可能更早就被人所知。
A characterization of Wilson-Lerch primes
本文用伯努利数给出了一个数同时是Wilson素数和Lerch素数的准则。
A note on degenerate Bell numbers and polynomials
近年来，一些作者研究了退化的Bernoulli多项式和欧拉多项式，并给出了它们的一些有趣的恒等式。本文研究了退化Bell数和多项式，并结合一些特殊的数和多项式，给出了这些数和多项式的一些新的恒等式。此外，我们还研究了利用复合性概念导出的退化Bell多项式的一些性质。通过我们的研究，给出了退化Bell多项式与特殊多项式之间的一些新的关系。
Unified Bernoulli-Euler polynomials of Apostol type
本文的目的是介绍和研究由$\left\{\mathfrak{V_{n}}(x;λ;μ)\right\}_{n \geq 0}$注记的统一Apostol-Bernoulli和Apostol-欧拉多项式的性质。研究了$\left\{\mathfrak{V_{n}}(x;λ;μ)\right\}_{n \geq 0}$与Apostol-欧拉多项式和Apostol-伯努利多项式之间的关系.同时，我们给出了$\left\{\mathfrak{V_{n}}(x;λ;μ)\right\}_{n \geq 0}$的导子和积分表示。最后，我们使用影演算的方法来推导对称恒等式。
Explicit expressions for the related numbers of higher order Appell polynomials
本文利用Hasse-Teichmüller导数，得到了高阶Appell多项式的相关数的两个显式表达式.其中一个给出了高阶Appell多项式的有关数的行列式表达式，它涉及到高阶广义超几何Bernoulli数和Cauchy数等几个特殊数的行列式表达式，从而恢复了Glaucine在1875年的一篇文章中关于Bernoulli数和Cauchy数的经典行列式表达式。
A note on the coefficients of power sums of arithmetic progressions
本文提出了一个仅含二项式系数和二项式幂的双重求和公式，用于计算任意等差数列幂和相关多项式的系数，并给出了涉及第一类和第二类 Stirling 数的 Bernoulli 多项式的显式公式。
Combinatorial identities associated with new families of the numbers and polynomials and their approximation values
最近，数$Y_{n}(λ)$和多项式$Y_{n}(x,λ)$已经由第二作者引入[22]。本文的目的是构造这些数和多项式的高阶及其生成函数。利用这些生成函数及其函数方程和导数方程，我们导出了各种恒等式和关系式，包括两个递推关系式，Vandermonde型卷积公式，组合和，Bernstein基函数，以及一些著名的特殊数族及其插值函数，如Apostol-Bernoulli数，Apostol-欧拉数，第一类Stirling数，和zeta型函数。最后，利用Stirling因子逼近，研究了数$Y_{n}\left( λ\right) $的特殊情形的逼近值.
A note on some constants related to the zeta-function and their relationship with the Gregory coefficients
本文得到了第一、第二Stieltjes常数（也称为广义欧拉常数）以及一些密切相关的常数的新级数。这些级数只包含有理数项，并涉及所谓的格雷戈里系数，也被称为（倒数）对数，第一类柯西数和第二类伯努利数。此外，还给出了Euler常数和常数ln（2*pi）的两个有理项的有趣级数，并提出了Euler常数的另一种推广，得到了计算这些常数的各种公式。最后，在本文中，我们提到，几乎所有的常数在这项工作中考虑承认通过拉马努金求和简单的表示。
An analogue of Ramanujan's identity for Bernoulli-Carlitz numbers
本文证明了在函数域设定下的拉马努金恒等式类比，涉及伯努利-卡尔利茨数。
A note on the Voronoi congruences and the residue of the Fermat quotient
给定一个奇素数p，我们证明了在基a中Fermat商q_p（a）的p-剩余上的一个同余，其中0<a<p，它是Voronoi同余的推广，也是除伯努利数的和与加权和的一些同余的推广.作为基2情形的一个应用，我们得到了（p-1）/2阶第一广义调和数的一个同余，这是Z-H的一个推广.太阳的一个经典的同余已知长期以来为调和数的顺序（p-1）/2作为一个特殊情况下的Lerch公式。我们发现Voronoi同余有一个与W.约翰逊和哪一个计算效率更高。我们证明了一个额外的相关同余，该同余专门用于以2为基，可以检索最初归因于E的几个同余。莱默
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