Generalized Hausdorff dimension distortion in Euclidean spaces under Sobolev mappings
研究了定义在$\mathbb{R}^n$开子集上的Orlicz-Sobolev映射的导数的可积性对豪斯多夫维数小于$n$的集的象的大小的影响.我们测量的图像集的大小在广义Hausdorff措施。
2010-07-13 math.CA
A comparison of Euclidean and Heisenberg Hausdorff measures
本文证明了第一类Heisenberg群中Heisenberg豪斯多夫维数相对于其欧氏维数为最小或最大的集合的几何性质，并且相应的Hausdorff测度是正的和有限的.在第一种情况下，我们表明，这些集必须在某种意义上水平，在第二种情况下垂直。我们展示了我们的结果与一些例子的清晰度。
2017-05-11 math.CA
Łojasiewicz Inequalities and Generic Smoothness of Nodal Sets of Solutions to Elliptic PDE
在这篇文章中，我们证明了一个广泛的二阶椭圆偏微分方程，包括拉普拉斯算子，零集的狄利克雷问题的解决方案是光滑的“通用”$L^2$数据。当解的零点集（例如调和函数）包含奇点时，这意味着我们可以找到边界数据的任意小扰动，使得扰动解的零点集在前一个奇点的指定邻域内是光滑的。此外，我们可以把微扰取为“平均零”，这就有了额外的技术困难，以确保我们在消除原始奇点的过程中不会引入新的奇点。独立的兴趣，为了证明的主要定理，我们建立了一个有效的版本的梯度不等式的一致常数在类的解有界频率。
2021-10-06 math.AP math.CA
Local Wiener's Theorem and Coherent Sets of Frequencies
利用Wiener-Levi定理的局部模拟，研究了具有离散支撑和谱的欧几里得空间上的测度类.另外，我们还得到了欧几里得空间中离散集是相干频率集的一个新的充分条件。
2019-10-29 math.CA
Cube packings in Euclidean spaces
本文研究了一些立方体填充问题。特别是，我们感兴趣的是紧凑的子集$\mathbb{R}^n,n\geq 2$，其中包含边界的立方体与所有边长在$(0,1)$。我们在这里表明，这样的集合必须有较低的盒维数至少$n-0.5$，我们也将提供尖锐的例子。我们还表明，在这里，这样的集合必须是大的一般在一个精确的意义上，这也是本文介绍的。
2018-01-06 math.CA
Interpolation theory for Sobolev functions with partially vanishing trace on irregular open sets
建立了光滑性介于0和1之间且迹在开集的部分边界上为零的Sobolev函数的完全插值理论。几何假设大多是测度论性质的，并且超出了Lipschitz正则域。以前的结果仅限于正则几何构型或希尔伯特索伯列夫空间。光滑空间上具有多孔边界的集合及其特征乘子在论证中起着重要作用。
2021-02-22 math.AP math.CA
Boxes, extended boxes, and sets of positive upper density in the Euclidean space
我们证明了在足够大的维度上具有正的上Banach密度的集合包含三个特定的高维模式的所有足够大的扩张的全等副本。这些模式是：固定的$n$维矩形框的$2^n$顶点，相同的顶点用完成三项等差数列的$n$点扩展，并且相同的顶点用完成三点角的$n$点扩展。我们的结果提供了共同的推广几个欧几里德密度定理从文献中。
2020-08-27 math.CA math.CO
Packing sets in Euclidean space by affine transformations
本文研究欧氏空间中 Borel 集在刚体运动、膨胀平移及相似变换下的并集的测度与 Hausdorff 维数，给出了精确的维数阈值，推广了针对光滑对象的已有结果。
2024-05-06 math.CA
Dimensions of sums with self-similar sets
对于d维欧几里得空间中的自相似集K，利用E的下Minkowski维数，得到了K+E的下Minkowski维数的某些下界.
2015-06-23 math.CA
Smoothness of solutions of a convolution equation of restricted-type on the sphere
设$\mathbb{S}^{d-1}$表示欧氏空间中的单位球面$\mathbb{R}^d$，$d\geq 2$，配有曲面测度$σ_{d-1}$ .我们的主要结果的一个例子涉及的卷积方程\[ a\cdot(fσ_{d-1})^{\ast {(q-1)}}\big\vert_{\mathbb{S}^{d-1}}=f,\text{ a.e. on }\mathbb{S}^{d-1}, \]其中$a\in C^\infty(\mathbb{S}^{d-1})$，$q\geq 2(d+1)/(d-1)$是一个整数，和唯一的先验假设是$f\in L^2(\mathbb{S}^{d-1})$的解决方案的正则性。我们证明了任何这样的解决方案属于类$C^\infty(\mathbb{S}^{d-1})$。特别地，我们证明了$\mathbb{S}^{d-1}$上相应的伴随Fourier限制不等式的尖锐形式所对应的所有临界点都是$C^\infty$ -光滑的.这将Christ和Shao之前的工作扩展到了任意维度和一般甚至指数，并在配套论文中发挥了关键作用。
2020-12-17 math.AP math.CA
The distribution of dilating sets: a journey from Euclidean to hyperbolic geometry
本文综述并推广常截面曲率流形上渐进膨胀集经覆盖映射投影后的分布结果，并将欧氏情形推广到紧双曲曲面的单位切丛，建立齐次曲线膨胀平移平均的精确渐近展开。
2024-09-06 math.CA math.DG math.DS
On the asymptotic magnitude of subsets of Euclidean space
幅是有限度量空间的一个标准不变量，它起源于范畴论;它类似于有限集合的基数。本文通过用有限子集逼近欧几里得空间的某些紧子集，定义并计算了线段、圆和康托集的大小。据观察，这些渐近满足容斥原理，将它们与多凸集的内在体积。
2012-08-06 math.CA math.CT math.MG
A remark on two notions of flatness for sets in the Euclidean space
在本说明中，我们比较了两种方法来测量的$n$ -维“平坦性”的一组$S\subset \mathbb{R}^d$，其中$n\in \mathbb{N}$和$d>n$。第一个是考虑经典的Reifenberg平坦数$α(x,r)$（$x \in S$，$r>0$），它度量了$\mathbb{R}^d$的$S$维仿射子空间和$n$维仿射子空间之间的最小尺度不变Hausdorff距离.第二个是一个“内在”的方法，我们认为同一套$S$作为一个度量空间（赋予诱导欧氏距离）。然后我们考虑数${\sf a}(x,r)$，它们是以$x$为中心的半径为$r$的球与$S$中的相同半径的$n$维欧几里德球之间的标度不变的Gromov-Hausdorff距离。作为我们分析的主要结果，我们提出了一个严格的现象，首先由大卫和托罗，其中数${\sf a}(x,r)$的行为作为数$α(x,r)$的平方。此外，我们发现这个结果的应用程序中扩展的Cheeger-Colding内在的Reifenberg定理biLipschitz的情况。作为我们论证的一个副产品，我们还推导出琼斯数$β$的类似结果（即$α$数的单侧版本）。
2021-02-25 math.CA math.MG
A geometric second-order-rectifiable stratification for closed subsets of Euclidean space
定义$n$维欧几里得空间的闭子集的第$m$层由那些点组成，在这些点处，它可以被球从至少$n-m$线性无关的方向触及，我们建立了$m$层是维度$m$和博雷尔集的二阶可求长的。这是已知的凸集，但即使是新的集的积极的影响。其结果是基于一个新的标准二阶整流。
2017-04-09 math.CA math.DG
Banach's Indicatrix Reloaded
本文用积分连续模度量函数光滑性，通过连续统关联问题量化上水平集结构，从而细化巴拿赫指标线定理并回答Garsia–Sawyer问题。
2025-06-03 math.AP math.CA math.FA
Reviewing the Helmholtz Equation on Euclidean Plane and Interbasis Expansions
本文重新审视欧几里得平面上的Helmholtz方程，评注了归一化常数与波函数集的完备性，并重新考量了基间展开的系数。
2025-03-24 math-ph math.CA math.MP
Discrepancy and integration in function spaces with dominating mixed smoothness
本文研究了具有主导混合光滑性的函数空间中偏差的最优下界及积分误差，通过分析点集并引入Chen和Skriganov的构造，推导了任意维度下的最优上界及Triebel-Lizorkin和Sobolev空间中的结果。
2013-11-14 cs.NA math.CA math.NA
A uniform rate of convergence for the entropic potentials in the quadratic Euclidean setting
Université Paris Cité & Sorbonne Université, CNRS, Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL)（巴黎西岱大学与索邦大学，法国国家科学研究中心，雅克-路易·利翁斯实验室）
本文研究了二次欧几里得空间中熵势及其梯度向Brenier势和其梯度的统一收敛速率，适用于满足凸性假设的绝对连续测度。
2026-02-20 math.AP math.CA math.OC
