Free convolution with a semi-circular distribution and eigenvalues of spiked deformations of Wigner matrices
研究了维数趋于无穷大时Wigner矩阵尖峰扰动特征值的渐近行为。埃尔米特维格纳矩阵的元素具有对称的分布，并且满足庞加莱不等式。扰动矩阵是一个确定性的Hermite矩阵，其谱测度收敛于具有紧支集的某个概率测度。我们假设，这个扰动矩阵有一个固定数量的固定特征值（尖峰）的支持外，其限制谱测度，而其他特征值之间的距离，这个支持一致地走向零的尺寸走向无穷大。我们建立，只有一个特定的子集的尖峰将产生一些变形模型的特征值，将收敛到一些限制点的支持外的限制谱测度。这一现象可以用自由概率来描述，其中包含与扰动矩阵的极限谱测度的加性自由卷积相关的隶属函数，该自由概率为半圆分布。注意，到目前为止，只考虑了有限秩扰动（即使在变形GUE的情况下）。
2011-09-16 math.PR
Large deviations for near-extreme eigenvalues in the beta-ensembles
对于具有凸多项式势的β系综，我们证明了从最右边粒子观察到的经验谱分布的大偏差原理。这种改进的谱分布由Perret和Schehr（J. Stat. Phys.2014）来研究在GUE的情况下最大特征值附近的拥挤。我们还证明了波动的收敛性。
2016-06-01 math.PR
Large deviations for extreme eigenvalues of deformed Wigner random matrices
给出了加性变形Wigner矩阵最大特征值的N速大偏差原理。特别是，这包括具有满秩一般变形的高斯系综。对于非高斯系综，变形应该是对角的，我们假设项的定律具有尖锐的亚高斯拉普拉斯变换，并满足一定的浓度性质。对于后者的系综，我们建立了一个有限范围内的大偏差原理$(-\infty, x_c)$，其中$x_c$只取决于变形，可以是无限的。
2019-12-11 math.PR
The largest eigenvalues of finite rank deformation of large Wigner matrices: convergence and nonuniversality of the fluctuations
本文研究了由$M_N=W_N/\sqrt{N}+A_N$定义的复或实变形Wigner矩阵$(M_N)_N$的渐近谱，其中$W_N$是一个$N\times N$ Hermitian矩阵（分别为对称）维格纳矩阵，其元素具有满足庞加莱不等式的对称律。矩阵$A_N$是厄米特矩阵（分别为，对称的）和确定性的，除了1000个特征值之外，所有特征值都等于零。我们首先表明，只要$A_N$的第一个最大或最后一个最小的特征值是足够远离零，相应的特征值$M_N$几乎肯定退出有限的紧支撑的大小$N$变大。相应的极限是通用的，因为它们只涉及$W_N$的项的方差。另一方面，当$A_N$是对角的，且唯一的简单非零特征值足够大时，我们证明了最大特征值的涨落不是普适的，而是随着$W_N$的元素的特定分布而变化。
2011-02-23 math.PR
Transition from Tracy-Widom to Gaussian fluctuations of extremal eigenvalues of sparse Erdős-Rényi graphs
我们考虑稀疏随机矩阵的极端特征值的统计，这类随机矩阵包括Erdens-Rényi图$G(N,p)$的归一化邻接矩阵。文献[17，46]证明了$p\gg N^{-2/3}$的极值特征值的Tracy-Widom涨落。我们证明了在$p\sim N^{-2/3}$的极端特征值的行为中存在交叉。在$N^{-7/9}\ll p\ll N^{-2/3}$的情形下，我们证明了其极值特征值具有渐近高斯涨落.在均值为零的条件下，当满足$p=CN^{-2/3}$时，我们发现极值特征值的波动是由高斯分布和Tracy-Widom分布的组合给出的。这些结果表明，稀疏Erdens-Rényi图的谱边特征值比平均度相同的随机$d$ -正则图的谱边特征值刚性小.
2017-12-11 math.PR
Extreme eigenvalues of Laplacian random matrices with Gaussian entries
研究高斯元素拉普拉斯随机矩阵最大特征值的极限分布，发现其极端特征值呈泊松统计，最大特征值经平移缩放后收敛于冈贝尔分布，且其中心化项与最大对角元素不同。
2024-08-19 math.PR
Largest eigenvalues of sparse inhomogeneous Erdős-Rényi graphs
我们考虑非齐次Erdens-Rényi图。我们假设最大平均度$d$满足$d \ll \log n$。我们刻画了邻接矩阵及其中心形式的$n^{1 - o(1)}$最大特征值的渐近行为。我们证明，这些极端的特征值是由最大的程度，并在第一顺序的邻接矩阵，由非零特征值的期望矩阵。我们的研究结果表明，极端特征值表现出一种新的行为，特别是排除他们的收敛到一个非退化的点过程。连同配套文件[3]，其中我们分析了补充制度$d \gg \log n$中的极端特征值，这建立了$d \sim \log n$周围极端特征值行为的交叉。我们的证明依赖于一个新的尾部估计的泊松近似的非齐次和独立的伯努利随机变量，以及估计上的修剪图由于乐，Levina和Vershynin的运营商规范。
2017-04-10 math.PR
Extreme eigenvalues of sparse, heavy tailed random matrices
研究了当$p \times n$矩阵$M_{p,n}$的元素稀疏且具有尾分布$t^{-α}$，$α>0$时，$p \times p$样本协方差矩阵$Σ_{p,n} = M_{p,n}M_{p,n}^{*}$的最大特征值的统计特性.平均而言，$M_{p,n}$的非零条目的数量的顺序为$n^{μ+1}$，$0 \leq μ\leq 1$。我们证明了在大的$n$极限下，当$α<2(1+μ^{-1})$时，最大特征值是泊松的，当$α>2(1+μ^{-1})$时，最大特征值收敛到一个常数.我们还推广了Benaych-Georges和Peche [7]在Hermitian情形下的结果，去掉了对矩阵非零元素个数的限制。
2015-06-19 math.PR
Useful bounds on the extreme eigenvalues and vectors of matrices for Harper's operators
在分析海森堡群上的一个简单随机游动时，我们遇到了一个$M=C+D$形式的$n\times n$矩阵的极值特征值的边界问题，其中$C$是一个循环矩阵，$D$是一个对角矩阵。离散薛定谔算子是一个有趣的特例。Weyl和Horn边界在这里没有用。本文提出了三种不同的方法来获得良好的界限。第一个使用的几何特征空间的$C$和$D$，应用离散版本的不确定性原理。第二个结果表明，在一个有用的极限下，矩阵$M$趋向于$L^2(\mathbb{R})$上的谐振子，并且已知的本征结构可以转移回来。第三种方法是纯概率的，将$M$扩展为吸收马尔可夫链，并使用首中时参数来约束Dirichlet特征值。这些方法允许泛化到其他组上的其他遍历。
2015-11-07 math.PR
The Edge Universality of Correlated Matrices
我们考虑一个高斯随机矩阵的相关项目，有一个幂律衰减的顺序$d>2$和极端特征值的普遍性证明。局部法律证明使用自洽方程结合矩阵的分解。这种局部的规律以及边缘周围特征值的集中，使我们能够得到极端特征值的界。利用Dyson-布朗运动的一个新结果，证明了极值特征值的普适性.
2018-01-22 math.PR
Asymptotic Joint Distribution of Extreme Eigenvalues of the Sample Covariance Matrix in the Spiked Population Model
在本文中，我们考虑一个数据矩阵$X\in\mathbb{C}^{N\times M}$，其中所有的列是i.i.d.样本是平均值为零和协方差为$Σ\in\mathbb{C}^{N\times N}$的$N$维复高斯。这里的总体矩阵$Σ$是单位矩阵的有限秩扰动。这是Johnstone在\cite{21}中首次提出的“峰值种群模型”。作为$M, N\to\infty$而不是$M/N = γ\in(1, \infty)$，本文首先建立了样本协方差阵$S:= XX^*/M$的最小特征值的渐近分布。它还表现出\cite{1}提出的相变现象--局域涨落将是本文定义的广义Tracy-Widom或广义Gauss。证明了最大和最小特征值作为$M, N\to\infty$是渐近独立的。
2012-07-18 math.PR
Extreme eigenvalues of random matrices from Jacobi ensembles
本文研究 Jacobi β-Ensembles 大矩阵的极端特征值分布，在 β 任意、α₁ 为整数时给出最小特征值的两项渐近公式，并推广至最大特征值及特殊情形。
2024-01-23 math.PR
Extreme eigenvalues of principal minors of random matrix with moment conditions
受高维统计模型选择理论启发，研究带矩条件的随机矩阵主子式极端特征值的渐近行为，推导高斯情形下的极值结果，并推广至一般分布及实Wigner矩阵情形。
2023-06-14 math.PR
Asymptotic Joint Distribution of Extreme Sample Eigenvalues and Eigenvectors in the Spiked Population Model
在本文中，我们考虑一个数据矩阵$X_N\in\mathbb{R}^{N\times p}$，其中所有的行是i.i. d。$\mathbb{R}^p$中的样本的均值零和协方差矩阵$Σ\in\mathbb{R}^{p\times p}$。这里的总体矩阵$Σ$是单位矩阵的有限秩扰动。这就是约翰斯通首先提出的“尖峰种群模型”。作为$N, p\to\infty$而不是$N/p \to γ\in(1, \infty)$，对于样本协方差阵$S_N := X_NX_N^T/N$，我们建立了最大和最小少数特征值包的联合分布。在每个包内，它们的行为将与从相应大小的高斯矩阵中提取的特征值相同。在不同的包中，我们还计算高斯矩阵项之间的协方差。作为推论，如果数据矩阵的所有行都是高斯的，那么这些包将是渐进独立的。同时，得到了样本特征向量的渐近性质。它们的局部波动也是高斯的，协方差是明确计算的。
2013-05-03 math.PR
Additive/multiplicative free subordination property and limiting eigenvectors of spiked additive deformations of Wigner matrices and spiked sample covariance matrices
当一个尖峰乘法的某些特征值。一个埃尔米特Wigner矩阵的加性变形模型，一个样本协方差阵，我们研究了相应的特征向量如何投影到那些扰动。本文指出，相对于自由可加性的从属函数的逆，乘性卷积在渐近行为中起着重要作用。
2012-02-23 math.PR
Extreme Eigenvalues of Large Dimensional Quaternion Sample Covariance Matrix
本文研究了四元数样本协方差阵的最大和最小特征值的几乎必然极限。假设$\mathbf X_n$是一个$p\times n$矩阵，其元素是均值为零、方差为1且四阶矩一致有界的独立四元数变量。表示为$\mathbf S_n=\frac{1}{n}\mathbf X_n\mathbf X_n^*$。在本文中，我们将证明$s_{\max}\left(\mathbf S_n\right)=s_{p}\left(\mathbf S_n\right)\to\left(1+\sqrt y\right)^2, a.s.$和$s_{\min}\left(\mathbf S_n\right)\to\left(1-\sqrt y\right)^2,a.s.$作为$n\to\infty$，其中$y=\lim p/n$，$s_1\left(\mathbf S_n\right)\le\cdots\le s_{p}\left(\mathbf S_n\right)$是$\mathbf{S}_n$的特征值，当$p>n$时是$s_{\min}\left(\mathbf S_n\right)=s_{p-n+1}\left(\mathbf S_n\right)$，当$p\le n$时是$s_{\min}\left(\mathbf S_n\right)=s_1\left(\mathbf S_n\right)$。证明了当$\ma…
2013-12-17 math.PR
Asymptotic Independence of the Extreme Eigenvalues of GUE
我们给出了一个简短的，运营商理论证明的渐近独立性（包括第一个校正项）的最小和最大特征值的n \times n高斯酉Entrance在大矩阵限制n \to \infty。这是通过将极端特征值的联合概率分布表示为渐近变为对角的算子矩阵的弗雷德霍姆行列式来实现的。作为推论，我们得到了极值特征值的相关性渐近地表现为n^{-2/3}/4σ^2，其中σ^2表示Tracy-Widom分布的方差。虽然我们推测Wigner随机埃尔米特矩阵系综的极值特征值是渐近独立的，但相关性的渐近行为中的实际常数是特定的，因此可以用来在统计上区分高斯酉系综与其他Wigner系综。
2009-02-27 math-ph math.MP math.PR
Central limit theorems for eigenvalues in a spiked population model
在加标总体模型中，总体协方差阵的所有特征值都等于单位，只有少数固定特征值（加标）除外。该模型是由Johnstone提出的，用于处理各种数据集的实证结果。问题是量化尖峰特征值引起的扰动的影响。Baik和Silverstein最近的工作建立了当总体和样本量变大时与尖峰特征值相关的极端样本特征值的几乎必然极限。本文建立了这些极值样本特征值的极限分布。作为本文的另一个重要结果，我们给出了随机半双线性型的一个中心极限定理。
2008-06-16 math.PR
Conformal Deformation from Normal to Hermitian Random Matrix Ensembles
研究了正态随机矩阵系综在阶N趋于无穷大时的特征值统计。在该模型中，特征值在由简单的解析多项式曲线确定的区域内具有均匀的密度。研究了正常随机系综到Hermite随机系综的共形变形，给出了Hermite随机系综是Wigner系综的充分条件。
2009-09-04 math-ph math.MP math.PR
Extreme eigenvalues of Log-concave Ensemble
本文研究了随机矩阵的对数凹系综，即一类具有迷向对数凹$X$列的协方差型矩阵$XX^*$.一个主要例子是各向同性凸体上一致测度的协方差估计。文献中已经得到了极值特征值的非渐近估计和一阶渐近极限。本文利用对数凹测度\cite{chen, KL22}的最新进展，进一步以接近最优的精度定位特征值，即导出了该系综的谱刚性.基于谱刚性和附加的"无条件”假设，我们进一步导出了$XX^*$的极值特征值的Tracy-Widom律和强尖峰情况下的极值特征值的Gauss律.
2022-12-22 math.FA math.MG math.PR
Asymptotic Analysis for Extreme Eigenvalues of Principal Minors of Random Matrices
考虑具有参数$n$和$p$的标准白色Wishart矩阵。出于在高维统计和信号处理中的应用，我们进行渐近分析的最大值和最小值的特征值的所有$m \times m$主子式，下的渐近制度，$n,p,m$去无穷大。得到了实Wigner矩阵的主子式的极值特征值的渐近结果。此外，我们讨论了应用的理论结果的压缩感知矩阵的建设，这提供了深刻的见解压缩感知信号处理和高维线性回归的统计。
2019-05-21 math.PR math.ST stat.TH
Fluctuations of extreme eigenvalues of sparse Erdős-Rényi graphs
考虑一类稀疏随机矩阵，它包含Erdens-Rényi图$\mathcal{G}(N,p)$的邻接矩阵.我们证明，如果$N^{\varepsilon} \leq Np \leq N^{1/3-\varepsilon}$，那么所有非平凡的特征值远离0有渐近高斯波动。这些波动是由一个单一的随机变量，它具有解释的全次数的图形。这将[19]关于极值特征值波动的结果从$Np \geq N^{2/9 + \varepsilon}$向下扩展到最佳尺度$Np \geq N^{\varepsilon}$。我们证明的主要技术成就是对极值特征值的精确度$N^{-1/2-\varepsilon} \, (Np)^{-1/2}$的刚性界，它避免了文献[9，19，24]中的$(Np)^{-1}$ -展开式.我们的结果是最后一个缺失的部分，添加到[8，12，19，24]中，完整描述了$Np \geq N^{\varepsilon}$的稀疏随机矩阵的特征值波动。
2021-04-06 math-ph math.MP math.PR
The eigenvalues and eigenvectors of finite, low rank perturbations of large random matrices
本文研究随机矩阵有限低秩扰动的特征值和特征向量。具体来说，我们证明了几乎必然收敛的极端特征值和适当的投影相应的特征向量的扰动矩阵的加法和乘法扰动模型。的限制非随机值显式依赖于未扰动的随机矩阵和假设的扰动模型通过积分变换，对应于非常知名的对象，在自由概率论，线性化非交换的自由加法和乘法卷积的限制特征值分布。此外，我们发现了一个相变现象，即大矩阵极限的扰动矩阵的极端特征值不同于原始矩阵的当且仅当扰动矩阵的特征值是在一定的临界阈值以上。边缘处的本征值密度的平方根衰减足以确保该阈值是有限的。这个临界阈值与上述相同的积分变换密切相关，我们的证明技术将这种连接和相变的起源带入焦点。因此，我们的研究结果扩展了一类“尖峰”随机矩阵模型，这种预测（称为BBP相变）可以远远超出维格纳，Wishart和雅可比随机合奏在文献中发现。我们研究了本征值相变对相关本征向量的影响，并观察到类似的本征向量相变。各种扩展我们的结果的非极端特征值的问题进行了讨论。
2010-12-27 math.PR
On variation of eigenvalues of birth and death matrices and random walk matrices
本文的目的是双重的：首先改进生灭矩阵和随机游动矩阵的极值特征值变化的已知结果;其次解决了一个关于这些矩阵的特征值变化的30年前的公开问题。关键词：生灭矩阵，随机游动矩阵，特征值，单调性
2019-06-19 math.PR
Universality for the extreme eigenvalues of Laplacian random matrices
Lafayette College（拉斐特学院）；University of Colorado（科罗拉多大学）
本研究证明Laplacian随机矩阵的极端特征值具有普适性，最大特征值经标准化后收敛于Gumbel分布，并应用于Erdős–Rényi图的代数连通度波动分析。
2026-10-08 math.CO math.PR
Extreme eigenvalues and eigenvectors for finite rank additive deformations of non-hermitian sparse random matrices
CNRS, LIGM (UMR 8049), Université Gustave Eiffel, ESIEE Paris（法国国家科学研究中心，信息学与机器学习实验室（联合研究单位8049），古斯塔夫·埃菲尔大学，巴黎ESIEE工程学院）；Yale University（耶鲁大学）
研究非对称稀疏随机矩阵在有限秩加性变形下的极值特征值和特征向量行为，证明其与变形矩阵的特征值渐近一致，并揭示了秩一变形下的投影行为与厄密情况相同。
2026-02-24 math.PR math.ST stat.TH
Spectral Statistics of Erd{\H o}s-Rényi Graphs II: Eigenvalue Spacing and the Extreme Eigenvalues
本文考虑Erd{ \H o}s-Rényi随机图的邻接矩阵系综，即$N$顶点上的图，其中每个边都是独立选择的，并且概率为$p \equiv p(N)$。我们重新调整矩阵，使其体特征值为一阶。在$p N \gg N^{2/3}$假设下，我们证明了本征值分布在体谱和谱边缘的普适性。更精确地说，我们证明了：（1）Erd{ \H o}s-Rényi图在谱块中的特征值间距与高斯正交系综的特征值间距具有相同的分布;（2）Erd{ \H o}s-Rényi图的第二大特征值与高斯正交系综的最大特征值具有相同的分布.作为该方法的一个应用，在矩阵元素至少具有$4 + ε$矩的假设下，证明了广义Wigner矩阵的体普适性.
2012-07-25 math-ph math.MP math.PR
Extreme gaps between eigenvalues of random matrices
本文研究了随机矩阵特征值之间的极端间隙。本文给出了Haar分布的酉矩阵和高斯酉系综矩阵的最小间隙的联合限制律。特别地，由因子$n^{-4/3}$归一化的第k个最小间隙具有与$x^{3k-1}e^{-x^3}$成比例的极限密度。关于通过$n/\sqrt{\log n}$标准化的最大间隙，它们在${\mathrm{L}}^p$中收敛为所有$p>0$的常数。这些结果进行了比较的极端间隙之间的黎曼ζ函数。
2013-07-24 math-ph math.MP math.PR
From Extreme Values of I.I.D. Random Fields to Extreme Eigenvalues of Finite-volume Anderson Hamiltonian
本文的目的是研究独立同分布的极值顺序统计量的几乎必然或/和概率的渐近几何性质。由多维格子立方体的位置索引的随机场（势），其体积无限地增加。本文讨论了下列问题：（1）高水平的有序统计量，特别是有序统计量的聚类，（2）间距的衰减率与极端顺序统计量的增长率的比较，（3）连续顺序统计量的间距的最小值，（4）有序统计量的最小值，（5）有序统计量的最小值，（6）有序统计量的最小值，（7）有序统计量的最小值，（8）有序统计量的最小值，（9）有序统计量的最小值，（10）有序统计量的最小值，（10）有序统计量的最小值，（11）有序统计量的最小值，（11）有序统计量的最小值，（12）有序统计量的最小值，（11）有序统计量的最小值，（12）有序统计量的最小值，（13）有序统计量的最小值，（11）有序统计量的（IV）极值点附近的渐近性等，用正则变差（RV）的形式给出了结果的条件累积风险函数和它的逆函数RV类之间的关系，本文件以及它们的链接到著名的RV类（包括域的吸引力的最大稳定分布）进行了讨论。泛函的渐近性态（I）-（IV）决定了具有独立同分布的大体积离散Schr odinger算子的顶特征值和相应特征函数的渐近结构.（Anderson Hamiltonian）因此，本文的另一个目的是回顾和评述随机Schr”odinger算子特征值极值理论的最新进展，并对i.i.d.的顶特征值与极值之间的关系提供一个清晰…
2016-12-02 math-ph math.MP math.PR
Sparse Recovery from Extreme Eigenvalues Deviation Inequalities
本文提供了一个新的工具箱，用于从随机矩阵理论中获得的极值奇异值或极值特征值的小偏差导出稀疏恢复保证。这项工作是基于限制等距常数（RIC），这是压缩感知和高维统计中的一个关键概念，因为这些常数精细地评估了一个线性算子如何在稀疏向量集上进行调节，从而评估了它在SRSR中的表现。虽然用合适的RIC构造确定性矩阵是一个开放的问题，但可以使用随机矩阵模型证明这样的矩阵存在。在本文中，我们显示上界的RIC的高斯和Rademacher矩阵使用最先进的小偏差估计其极端特征值。这使我们能够推导出获得SRSR的概率的下界。本文的一个好处是一个直接和明确的推导上界的RIC和下界SRSR的极小偏差的极端特征值的随机矩阵理论。
2018-11-14 cs.IT math.IT math.PR
The Isotropic Semicircle Law and Deformation of Wigner Matrices
我们分析了$N \times N$ Wigner矩阵$H$的加性有限秩形变的谱。当变形的本征值$d_i$穿过临界值$\pm 1$时，变形矩阵的谱经历与异常值的产生或湮灭相关联的转变。这种转变发生在$|d_i| - 1 \sim N^{-1/3}$量表上。在条件$|\abs{d_i} - 1| \geq (\log N)^{C \log \log N} N^{-1/3}$下，我们允许变形的特征值$d_i$依赖于$N$。我们对变形的本征向量不作任何假设。在极限$N \to \infty$下，我们确定了异常值的规律，证明了靠近谱边缘的非异常值具有与高斯矩阵系综的极值特征值一致的普适分布。在我们的证明中的一个关键成分是\emph{isotropic local semicircle law}，它建立了数量$< v,[(H - z)^{-1} - m(z) 1] w >$的最佳高概率界限，其中$m(z)$是维格纳循环定律的斯蒂尔捷斯变换和$v, w$是任意确定性向量。
2012-05-22 math-ph math.MP math.PR
Edgeworth expansions of extreme eigenvalue distributions for random unitary ensembles
The University of Hong Kong（香港大学）；Fudan University（复旦大学）
本文建立随机酉系综极端特征值分布的Edgeworth展开，揭示修正项的普适结构，并给出最大和最小特征值分布的完全展开。
2026-10-01 math-ph math.MP math.PR
Extreme gaps between eigenvalues of Wigner matrices
本文证明了广义Wigner矩阵的特征值之间的最小和最大间隙分布的普适性，在一定的光滑性假设下.证明依赖于Erd{ \H o}s-Schlein-Yau动态方法。我们展示了一个新的观察，满足随机平流方程，并减少了局部松弛的戴森布朗运动的最大值原理。这个可观察性也提供了一个简单而统一的证据，证明了在体积和边缘的普遍性，这是定量的。为了说明这一点，我们给出了第一个显式的收敛速率的Tracy-Widom分布的广义Wigner矩阵。
2020-07-02 math-ph math.MP math.PR
PDEs satisfied by extreme eigenvalues distributions of GUE and LUE
本文研究了$\textsf{Prob}(n,a,b),$有限$n$酉系综的所有特征值位于区间$(a,b)$内的概率。这与最大特征值小于$b$且最小特征值大于$a$的概率相同。本文证明了与$\textsf{Prob}(n,a,b)$有关的一个量，即高斯幺正包络（GUE）中的$$ H_n(a,b):=\left[\frac{\partial}{\partial a}+\frac{\partial}{\partial b}\right]\ln\textsf{Prob}(n,a,b),$$和拉盖尔幺正包络（LUE）中的$$ H_n(a,b):=\left[a\frac{\partial}{\partial a}+b\frac{\partial}{\partial b}\right]\ln \textsf{Prob}(n,a,b),$$，对于固定的$n$满足一定的非线性偏微分方程，将$H_n(a,b)$解释为$a$和$b$的函数.这些偏微分方程可以分别看作是Painlevé IV和Painlevé V系统的两个变量的推广。作为我们的结果的应用，我们给出了一个分析证明，GUE和LUE的极端特征值，适当的中心和缩放，是渐近独立的。
2011-02-02 math-ph math.MP math.PR
Extreme Eigenvalues of Nonlinear Correlation Matrices with Applications to Additive Models
一对随机变量的函数的最大相关性是随机相关性的一个重要度量。已知该最大非线性相关与一对高斯随机变量或一对iid随机变量的有限和的皮尔逊相关的绝对值相同。本文将这些结果推广到两两高斯向量和过程、iid随机变量的套和以及iid随机变量子群的置换对称函数。它还讨论了添加剂回归模型的应用。
2020-08-09 math.PR math.ST stat.TH
Large deviations of extreme eigenvalues of generalized sample covariance matrices
本文提出了一种计算随机矩阵的最大特征值为无穷大的罕见事件概率的分析方法。其大偏差的右尾）。结果也转移到了左尾最小特征值的大偏差上。该技术改进了过去的方法，不需要明确的法律的特征值，我们将其应用到一个大类的随机矩阵，以前遥不可及。特别是，我们解决了一个开放的问题，与性能的主成分分析高度相关的数据，并打开了道路，分析复杂的推理模型的高维景观。我们使用重要性抽样方法来探测我们的结果，有效地模拟概率小至$10^{-100}$的事件。
2021-02-08 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math.PR
Comparison theorems for the extreme eigenvalues of a random symmetric matrix
Caltech（加州理工学院）
本文建立了一种随机对称矩阵和的极大规模特征值比较定理，强化了此前结果，并应用于谱图理论、量子信息理论等领域，首次完整证明了稀疏随机降维映射的单射性质。
2026-09-10 cs.NA math.NA math.PR
Tracy-Widom law for the extreme eigenvalues of sample correlation matrices
设样本相关矩阵为$W=YY^T$，其中$Y=(y_{ij})_{p,n}$与$y_{ij}=x_{ij}/\sqrt{\sum_{j=1}^nx_{ij}^2}$。我们假设$\{x_{ij}: 1\leq i\leq p, 1\leq j\leq n\}$是一个具有次指数尾的独立对称分布随机变量的集合。此外，对于任何$i$，我们假设$x_{ij}, 1\leq j\leq n$是同分布的。我们假设$0<p<n$和$p/n\rightarrow y$与一些$y\in(0,1)$为$p,n\rightarrow\infty$。在本文中，我们提供的Tracy-Widom法律（$TW_1$）的最大和最小的特征值的$W$。如果$x_{ij}$是i.i.d.标准正态，我们可以推导出矩阵$\mathcal{R}=RR^T$的最大和最小特征值的$TW_1$，其中$R=(r_{ij})_{p,n}$与$r_{ij}=(x_{ij}-\bar x_i)/\sqrt{\sum_{j=1}^n(x_{ij}-\bar x_i)^2}$，$\bar x_i=n^{-1}\sum_{j=1}^nx_{ij}$。
2011-10-31 math.PR math.ST stat.TH
The extreme statistics of some noncolliding Brownian processes
Durham University（杜伦大学）
研究非碰撞粒子系统极限理论，揭示布朗运动最大特征值的极限行为、Airy过程极限及非碰撞布朗桥最大路径的Fredholm行列式公式。
2026-04-12 math-ph math.MP math.PR
Limit theorems for sample eigenvalues in a generalized spiked population model
在Johnstone（2001）提出的加样总体模型中，总体协方差阵除了少数固定特征值（加样值）外，其余特征值都等于单位。问题是量化尖峰特征值引起的扰动的影响。Baik和Silverstein（2006）建立了当总体和样本量变大时与尖峰特征值相关的极端样本特征值的几乎必然极限。在最近的工作（白和姚，2008年），我们已经提供了这些极端样本特征值的极限分布。在本文中，我们将这一理论推广到一个{ \em广义}的加标人口模型，其中的基础人口协方差阵是任意的，而不是在Johnstone的情况下的单位矩阵。引入新的数学工具来建立由尖峰产生的样本特征值的几乎必然收敛。
2008-06-06 math.PR math.ST stat.TH
Near-extreme eigenvalues and the first gap of Hermitian random matrices
研究了随机矩阵理论中高斯酉包络（GUE）下随机$N \times N$矩阵的最大特征值$λ_{\max}$附近的“拥挤”现象。我们专注于两个不同的量：（i）$λ_{\max}$附近的态密度（DOS），$ρ_{\rm DOS}(r,N)$，这是位于距离$λ_{\max}$ $r$的本征值的平均密度和（ii）前两个最大本征值之间的间隙的概率密度函数，$p_{\rm GAP}(r,N)$。在边缘缩放限制，其中$r = {\cal O}(N^{-1/6})$，这是由一个非常规的正交多项式系统的双标度极限，我们表明，$ρ_{\rm DOS}(r,N)$和$p_{\rm GAP}(r,N)$的特点是由缩放功能，可以表示在一个拉克斯对的解决方案相关联的Painlevé XXXIV方程。这为间隙分布提供了一种替代的、更简单的表达式，Witte、Bornemann和Forrester最近在Nonlinearity 26，1799（2013）中对此进行了研究。我们的表达式可以获得精确的渐近行为，这些尺度函数的小参数和大参数。
2013-12-10 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Statistics of extremes in eigenvalue-counting staircases
我们考虑随机酉矩阵的特征值$e^{i θ_j}$的个数${\cal N}_{θ_A}(θ)$，它来自于CUE $_β(N)$，在区间$θ_j \in [θ_A,θ]$中.与其平均值${\cal N}_{θ_A}(θ) - \mathbb{E}({\cal N}_{θ_A}(θ))$的偏差形成作为$θ$的函数的随机过程。我们研究这个过程的最大值，利用映射到统计力学的对数相关的随机景观。通过对Toeplitz行列式的Fisher-Hartwig猜想的推广，并补充对对数相关域的冻结对偶猜想，我们得到了任意$β>0$的极大值分布的累积量.它具有费米子在区间内的标准计数统计（$β=2$为自由，$β\ne 2$为Sutherland型相互作用）和分数布朗运动的极值统计（Hurst指数为$H=0$）的综合特征. $β=2$的结果可望应用于Riemann Zeta函数零点的统计
2020-06-01 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech math-ph
Eigenvalue order statistics for random Schrödinger operators with doubly-exponential tails
我们考虑$Δ+ξ$形式的随机薛定谔算子，其中$Δ$是$\mathbb Z^d$上的格拉普拉斯算子，而$ξ$是一个独立同分布。随机场，并研究了该算子限制在$\mathbb Z^d$的有限大子集上的特征值的极值顺序统计量.我们表明，$ξ$与双指数型的上尾，上极端顺序统计量的特征值属于Gumbel最大阶类。相应的本征函数是指数本地化的区域，其中$ξ$采取大，并妥善安排，值。一个新的和自包含的参数，从而提供了安德森本地化的光谱边缘，允许一个相当明确的描述的形状的潜力和本征函数。我们的研究作为一个输入到相关的抛物型安德森问题的分析。
2013-11-02 math-ph math.MP math.PR
Edge Universality of Sparse Random Matrices
该研究针对稀疏随机矩阵极端特征值统计问题，在pN>N^ε的参数区间下，证明了所有特征值相对于显式随机测度的最优刚性，以及极端特征值经随机平移后涨落服从Tracy-Widom分布。
2023-05-04 math-ph math.CO math.MP
Density of eigenvalues and its perturbation invariance in unitary ensembles of random matrices
一般由正交多项式的正则变条件下的递推系数来研究随机矩阵酉系综的特征值密度。首先我们直接计算密度的矩。然后，通过研究矩的某些变形，得到了密度满足的一类一阶微分方程（见定理1.2），并通过求解这些微分方程给出了密度。进一步，我们证明了密度在权函数的多项式扰动后是不变的（见定理1.5）。
2008-10-30 math-ph math.MP math.PR
Extreme value analysis for the sample autocovariance matrices of heavy-tailed multivariate time series
本文给出了p维时间序列的样本协方差阵的最大特征值的渐近理论，其中当样本量n增加时，维数p = p_n收敛到无穷大.我们给出了一个简短的概述，在轻尾和重尾的情况下，数据有有限（无限）的四阶矩，分别在这一主题的文献。我们主要关注的是重尾的情况。在这种情况下，人们有一个理论，在iid的情况下，但也当数据的行和列是线性相关的样本协方差阵的归一化特征值的点过程。我们提供了这些点过程的泊松或集群泊松过程的弱收敛的极限结果。基于这种收敛性，我们还可以推导出有序特征值的各种函数的极限定律，例如有限个最大顺序统计量的联合收敛性、最大特征值与迹的联合极限定律、有序特征值连续比的极限定律等。我们还发展了样本自协方差矩阵及其平方和的奇异值的极限理论。该理论的模拟数据和标准普尔500指数的组成部分说明。
2016-04-26 math.PR math.ST stat.TH
