Local Eigenvalue Density for General MANOVA Matrices
我们考虑随机n个\times n矩阵的形式为（XX*+YY*）^{-1/2}YY*（XX*+YY*）^{-1/2}，其中X和Y具有均值为零且方差为1的独立元素.这些矩阵是高斯情况的自然推广，被称为MANOVA矩阵，并且具有由第三个经典系综Jacobi系综给出的联合特征值密度。我们发现，远离光谱边缘，特征值密度收敛到极限密度的Jacobi合奏，即使在尽可能短的尺度为1/n（高达\log n个因素）。这个结果是一般MANOVA矩阵的局部Wigner循环律和局部Marchenko-Pastur律的类似结果。
2013-06-28 math.PR
Limit Theorems for Beta-Jacobi Ensembles
对于由参数a_1，a_2和n确定的β-Jacobi系综，在这三个参数趋于无穷大且n和a_1是a_2的小阶数的限制下，我们得到了体尺度极限和边尺度极限。特别地，我们得到了最大和最小特征值的渐近分布，特征值的中心极限定理，以及特征值经验分布的极限分布.
2009-11-11 math-ph math.MP math.PR
Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy--Widom limits and rates of convergence
设$A$和$B$是$p$变量中独立的中心Wishart矩阵，具有共同协方差，分别具有$m$和$n$自由度。$(A+B)^{-1}B$最大特征值的分布在多元统计中有着广泛的应用，但很难精确计算。假设$m$和$n$与$p$成比例增长。我们表明，中心和缩放后，分布近似为二阶，$O(p^{-2/3})$，由特雷西-Widom法律。利用随机矩阵理论的方法研究了Jacobi酉系综和正交系综的最大特征值，得到了复数据和实数据的结果。最大零点附近的雅可比多项式的渐近逼近起着核心作用。
2009-01-21 math.PR math.ST stat.TH
On the limit of extreme eigenvalues of large dimensional random quaternion matrices
自从E.P.Wigner（1958）建立了著名的循环律以来，随机矩阵最大特征值的渐近性质一直受到物理学家、概率学家和统计学家的关注。Bai和Yin（1988）得到了Wigner矩阵的极值特征值强收敛的充要条件。本文考虑四元数自对偶埃尔米特矩阵的情形。证明了四元数自对偶埃尔米特矩阵对应于Wigner情形的特征值强收敛的充要条件。
2014-02-12 math.PR
Computable structural formulas for the distribution of the $β$-Jacobi edge eigenvalues
Jacobi系综是随机矩阵理论的经典系综之一。在应用中突出的是谱边缘处的特征值的性质，特别是最大（例如，多变量统计中的Roy最大根检验）和最小（例如，线性系统的条件数）特征值。我们确定了三个范围的参数值的间隙概率确定这些分布是一个有限的总和相对于特定的基地，而且利用一定的微分差分系统的基本理论的Selberg积分提供一个递归的计划来计算相应的系数。
2020-06-03 math-ph math.MP math.PR
Extreme eigenvalue statistics of $m$-dependent heavy-tailed matrices
我们分析了m-依赖重尾Wigner矩阵的最大特征值统计量以及相关的样本协方差阵，其具有带有参数$0<α<4$的按项规则变化的尾分布。我们的分析扩展了相应的随机矩阵的对角线上的独立条目在以前的文献中的结果，允许一个给定的矩阵的条目之间的m-依赖。证明了极值特征值的极限点过程是Poisson簇过程。
2021-02-01 math.PR
On the extremal eigenvalues of Jacobi ensembles at zero temperature
本文研究了零温度下Jacobi族极值本征值的极限，通过Bessel函数推导了冻结情况下的协方差极限，对应于硬边分析和有限β的结果。
2025-08-20 math-ph math.CA math.MP
Nonstandard limit theorems and large deviations for the Jacobi beta ensemble
在本文中，我们证明了弱收敛的经验特征值分布和加权谱测度的Jacobi系综，当一个或两个参数的增长速度比尺寸$n$。在这些情况下，极限测度分别由马琴科-帕斯图尔定律和牛顿定律给出。对于加权谱测度，我们也证明了这种标度下的大偏差原理，这里的速率函数是其他经典系综的速率函数。
2013-08-14 math.PR
Large deviations for near-extreme eigenvalues in the beta-ensembles
对于具有凸多项式势的β系综，我们证明了从最右边粒子观察到的经验谱分布的大偏差原理。这种改进的谱分布由Perret和Schehr（J. Stat. Phys.2014）来研究在GUE的情况下最大特征值附近的拥挤。我们还证明了波动的收敛性。
2016-06-01 math.PR
Fluctuations of the extreme eigenvalues of finite rank deformations of random matrices
考虑确定性自伴随矩阵X_n的谱测度收敛到紧支撑的概率测度，最大和最小特征值收敛到极限测度的边.我们扰动这个矩阵，通过添加一个随机的有限秩矩阵的离域特征向量和研究的极端特征值的变形模型。我们给出了确定性矩阵X_n的必要条件，使得在体元外收敛的本征值呈现高斯涨落，而在边缘处的本征值与非微扰模型的本征值非常接近，并在同一尺度上涨落.我们把这些结果推广到X_n是随机的情况，并对一些经典的模型如具有较一般元素的Wigner矩阵或Wishart矩阵或所谓的矩阵模型进行形变，得到类似的结果。
2011-09-02 math.PR
Transition from Tracy-Widom to Gaussian fluctuations of extremal eigenvalues of sparse Erdős-Rényi graphs
我们考虑稀疏随机矩阵的极端特征值的统计，这类随机矩阵包括Erdens-Rényi图$G(N,p)$的归一化邻接矩阵。文献[17，46]证明了$p\gg N^{-2/3}$的极值特征值的Tracy-Widom涨落。我们证明了在$p\sim N^{-2/3}$的极端特征值的行为中存在交叉。在$N^{-7/9}\ll p\ll N^{-2/3}$的情形下，我们证明了其极值特征值具有渐近高斯涨落.在均值为零的条件下，当满足$p=CN^{-2/3}$时，我们发现极值特征值的波动是由高斯分布和Tracy-Widom分布的组合给出的。这些结果表明，稀疏Erdens-Rényi图的谱边特征值比平均度相同的随机$d$ -正则图的谱边特征值刚性小.
2017-12-11 math.PR
Large deviations of the extreme eigenvalues of random deformations of matrices
考虑一个实对角确定性矩阵$X_n$，其大小为$n$，其谱测度收敛到一个紧支持的概率测度。我们通过添加一个随机的有限秩矩阵扰动这个矩阵，与离域特征向量。我们证明了扰动模型的极值特征值的联合律在尺度$n$上满足大偏差原理，并给出了一个变分公式给出的好的速率函数。我们解决这两种情况下，当极端的特征值的$X_n$收敛到边缘的支持的限制措施，当我们允许一些特征值的$X_n$，我们称之为离群值，收敛出的批量。我们也可以推广我们的结果的情况下，当$X_n$是随机的，与法律成正比的$e^{- n Trace V(X)}\ud X,$的$V$增长足够快，在无穷大和任何扰动的有限秩。
2011-06-19 math.PR
Smallest eigenvalue distributions for two classes of $β$-Jacobi ensembles
University of Washington（华盛顿大学）
计算了两类 $\beta$-Jacobi 集成的最小特征值精确分布和极限分布，这些分布由多元超几何 ${}_2F_{1}^{2/\beta}$ 函数给出，并分析了 $\beta\in 2\mathbb{N}_{+}$ 和 $\beta=1$ 时的渐近行为。
2011-08-12 cs.DC cs.NA math-ph
Beta Jacobi processes
我们定义并研究了一个多维过程，一方面推广矩阵Jacobi过程的特征值，另一方面其平稳分布由Beta Jacobi系综给出。
2009-07-13 math.PR math.ST stat.TH
Laguerre and Jacobi analogues of the Warren process
我们定义拉盖尔和Jacobi类似的沃伦过程。也就是说，我们在一个三角形的粒子阵列上构造局部动力学，使得对每一级的投影恢复了König-O 'Connell和Doumerc的Laguerre和Jacobi特征值过程，并且固定时间分布恢复了多级Laguerre和Jacobi随机矩阵集合中特征值的联合分布。我们的技术扩展和推广的交织扩散Pal-Shkolnikov开发的框架。结果之一是构建具有局部相互作用的粒子系统，其固定的时间分布恢复了随机矩阵理论的硬边缘。Andrey Sarantsev的附录建立了这些过程满足的SDER的解的强存在性和唯一性。
2017-07-24 math-ph math.MP math.PR
Fast sampling from $β$-ensembles
我们研究的采样算法的$β$ -系综的时间复杂度小于立方的基数的合奏。根据Dumitriu和Edelman（2002），我们将系综视为随机三对角矩阵的特征值，即随机Jacobi矩阵。首先，我们提供了一个统一的和基本的治疗三对角模型相关联的三个经典的厄米，拉盖尔和雅可比合奏。为了这个目的，我们使用简单的变量之间的连续reparametrizations的系数定义的三对角矩阵。其次，我们推导出一个近似采样器的模拟$β$ -合奏，并说明如何快速可以多项式电位。该方法结合了Jacobi矩阵的Gibbs采样器和这些矩阵的对角化。在实践中，即使对于大的系综，只有几个吉布斯通过足够的边缘分布的特征值，以适应预期的理论分布。当吉布斯采样器中的条件可以被精确地模拟时，对于最大特征值的波动，观察到相同的快速经验收敛。我们的实验结果支持Krishnapur等人（2016）的猜想，即大小为$N$的Jacobi矩阵上的Gibbs链在$\mathcal{O}(\log(N))$中混合。
2020-03-04 math.PR stat.CO
Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices Arising in Deep Neural Networks: Orthogonal Case
B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering（B.维尔金低温物理与工程研究所）
研究了深度未训练神经网络在无限宽极限下输入输出雅可比矩阵奇异值的分布。雅可比矩阵是随机矩阵的乘积，其中独立的矩形权重矩阵与对角矩阵交替，对角矩阵的条目取决于最近邻权重矩阵的对应列。在\cite{Pe-Co:18}中考虑了高斯权重和偏差以及Haar分布正交矩阵和高斯偏差的权重的问题。基于一个自由概率的论点，有人声称，在这些情况下，在无限宽（矩阵大小）的极限雅可比矩阵的奇异值分布与雅可比矩阵的类似物与特殊随机但权重独立的对角矩阵相一致，这种情况在随机矩阵理论中是众所周知的。在\cite{Pa-Sl:21}中，对于具有独立同分布的相当一般的权重和偏差类，严格证明了这一主张。（包括高斯）条目通过使用随机矩阵理论的技术版本。在本文中，我们使用另一个版本的技术来证明索赔的随机哈尔分布的权重矩阵和高斯偏差。
2022-05-22 cs.LG math.PR stat.ML
Asymptotic Independence of the Extreme Eigenvalues of GUE
我们给出了一个简短的，运营商理论证明的渐近独立性（包括第一个校正项）的最小和最大特征值的n \times n高斯酉Entrance在大矩阵限制n \to \infty。这是通过将极端特征值的联合概率分布表示为渐近变为对角的算子矩阵的弗雷德霍姆行列式来实现的。作为推论，我们得到了极值特征值的相关性渐近地表现为n^{-2/3}/4σ^2，其中σ^2表示Tracy-Widom分布的方差。虽然我们推测Wigner随机埃尔米特矩阵系综的极值特征值是渐近独立的，但相关性的渐近行为中的实际常数是特定的，因此可以用来在统计上区分高斯酉系综与其他Wigner系综。
2009-02-27 math-ph math.MP math.PR
Product of random projections, Jacobi ensembles and universality problems arising from free probability
我们考虑两个独立的随机旋转投影仪的产品。它的径向部分的平方原来是作为一个雅可比系综分布。在与自由概率论相关的大尺度下，我们研究了它的整体和局部性质。我们建立了一点和两点相关函数的渐近性，以及最大和最小特征值的性质。
2004-06-28 math-ph math.MP math.PR
Extreme eigenvalues of Log-concave Ensemble
本文研究了随机矩阵的对数凹系综，即一类具有迷向对数凹$X$列的协方差型矩阵$XX^*$.一个主要例子是各向同性凸体上一致测度的协方差估计。文献中已经得到了极值特征值的非渐近估计和一阶渐近极限。本文利用对数凹测度\cite{chen, KL22}的最新进展，进一步以接近最优的精度定位特征值，即导出了该系综的谱刚性.基于谱刚性和附加的"无条件”假设，我们进一步导出了$XX^*$的极值特征值的Tracy-Widom律和强尖峰情况下的极值特征值的Gauss律.
2022-12-22 math.FA math.MG math.PR
Asymptotic Analysis for Extreme Eigenvalues of Principal Minors of Random Matrices
考虑具有参数$n$和$p$的标准白色Wishart矩阵。出于在高维统计和信号处理中的应用，我们进行渐近分析的最大值和最小值的特征值的所有$m \times m$主子式，下的渐近制度，$n,p,m$去无穷大。得到了实Wigner矩阵的主子式的极值特征值的渐近结果。此外，我们讨论了应用的理论结果的压缩感知矩阵的建设，这提供了深刻的见解压缩感知信号处理和高维线性回归的统计。
2019-05-21 math.PR math.ST stat.TH
Computation of marginal eigenvalue distributions in the Laguerre and Jacobi $β$ ensembles
本文针对 Laguerre 和 Jacobi β 系综，提出递归程序精确计算边缘特征值分布，并揭示其在量子输运中 Landauer 电导分布等问题的应用价值。
2024-02-25 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
Fluctuations of extreme eigenvalues of sparse Erdős-Rényi graphs
考虑一类稀疏随机矩阵，它包含Erdens-Rényi图$\mathcal{G}(N,p)$的邻接矩阵.我们证明，如果$N^{\varepsilon} \leq Np \leq N^{1/3-\varepsilon}$，那么所有非平凡的特征值远离0有渐近高斯波动。这些波动是由一个单一的随机变量，它具有解释的全次数的图形。这将[19]关于极值特征值波动的结果从$Np \geq N^{2/9 + \varepsilon}$向下扩展到最佳尺度$Np \geq N^{\varepsilon}$。我们证明的主要技术成就是对极值特征值的精确度$N^{-1/2-\varepsilon} \, (Np)^{-1/2}$的刚性界，它避免了文献[9，19，24]中的$(Np)^{-1}$ -展开式.我们的结果是最后一个缺失的部分，添加到[8，12，19，24]中，完整描述了$Np \geq N^{\varepsilon}$的稀疏随机矩阵的特征值波动。
2021-04-06 math-ph math.MP math.PR
Stability of higher order eigenvalues in dimension one
研究了满足一定自然条件的一维可逆扩散过程的生成元特征值的稳定性。证明是基于Stein的方法。特别地，这些结果被应用到正态分布（通过Ornstein-Uhlenbeck过程），Γ分布（通过Laguerre过程）和β分布（通过Jacobi过程）。
2022-05-31 math.CA math.FA math.PR
Limit theorems for Jacobi ensembles with large parameters
考虑Jacobi随机矩阵系综，其特征值分布为$$c_{k_1,k_2,k_3}\prod_{1\leq i< j \leq N}\left(x_j-x_i\right)^{k_3}\prod_{i=1}^N \left(1-x_i\right)^{\frac{k_1+k_2}{2}-\frac{1}{2}}\left(1+x_i\right)^{\frac{k_2}{2}-\frac{1}{2}} dx$$在凹室$$A:=\{x\in\mathbb R^N| \> -1\leq x_1\le ...\le x_N\leq 1\}.$$上.对于固定$a,b>0$的$(k_1,k_2,k_3)=κ\cdot (a,b,1)$，我们得到了$κ\to\infty$的上述分布的中心极限定理.极限协方差矩阵的漂移和逆矩阵用经典雅可比多项式的零点表示。我们还将CLT改写成三角形式，并确定了极限协方差阵的特征值和特征向量。这些结果与Dumitriu和Edelman以及Voit的$β\to\infty$的$β$ -Hermite和$β$ -Laguerre系综的相应限值相关。
2020-10-15 math-ph math.MP math.PR
Spectral Statistics of Erd{\H o}s-Rényi Graphs II: Eigenvalue Spacing and the Extreme Eigenvalues
本文考虑Erd{ \H o}s-Rényi随机图的邻接矩阵系综，即$N$顶点上的图，其中每个边都是独立选择的，并且概率为$p \equiv p(N)$。我们重新调整矩阵，使其体特征值为一阶。在$p N \gg N^{2/3}$假设下，我们证明了本征值分布在体谱和谱边缘的普适性。更精确地说，我们证明了：（1）Erd{ \H o}s-Rényi图在谱块中的特征值间距与高斯正交系综的特征值间距具有相同的分布;（2）Erd{ \H o}s-Rényi图的第二大特征值与高斯正交系综的最大特征值具有相同的分布.作为该方法的一个应用，在矩阵元素至少具有$4 + ε$矩的假设下，证明了广义Wigner矩阵的体普适性.
2012-07-25 math-ph math.MP math.PR
Sparse Recovery from Extreme Eigenvalues Deviation Inequalities
本文提供了一个新的工具箱，用于从随机矩阵理论中获得的极值奇异值或极值特征值的小偏差导出稀疏恢复保证。这项工作是基于限制等距常数（RIC），这是压缩感知和高维统计中的一个关键概念，因为这些常数精细地评估了一个线性算子如何在稀疏向量集上进行调节，从而评估了它在SRSR中的表现。虽然用合适的RIC构造确定性矩阵是一个开放的问题，但可以使用随机矩阵模型证明这样的矩阵存在。在本文中，我们显示上界的RIC的高斯和Rademacher矩阵使用最先进的小偏差估计其极端特征值。这使我们能够推导出获得SRSR的概率的下界。本文的一个好处是一个直接和明确的推导上界的RIC和下界SRSR的极小偏差的极端特征值的随机矩阵理论。
2018-11-14 cs.IT math.IT math.PR
