Optimal detection of planted stars via a random energy model
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文通过随机能量模型研究了在随机图中检测嵌入星体的最优方法，并揭示了临界检测的标度窗口及相变特性。
2026-02-17 cs.IT math.IT math.PR
Spectral statistics of Erdős-Rényi graphs I: Local semicircle law
我们考虑Erdens-Rényi随机图的邻接矩阵的集合，即$N$顶点上的图，其中每个边都是独立选择的，并且具有概率$p\equiv p(N)$。我们重新调整矩阵，使其体特征值为一阶。我们证明了，只要$pN\to\infty$（在$N$中的速度至少为对数），对于长度大于$N^{-1}$（直到对数修正）的谱窗，Erdens-Rényi系综的本征值密度由Wigner谱律给出.因此，所有的特征向量被证明是完全离域的意义下，$\ell^{\infty}$-规范的$\ell^2$规范化的特征向量是最多的顺序$N^{-1/2}$具有很高的概率。本文中的估计将用于姊妹篇[Erdens-Rényi graphs的谱统计II：特征值间距和极端特征值（2011）预印本]，以证明在进一步的限制下，$pN\gg N^{2/3}$的特征值分布的普遍性，无论是在散装和在谱边缘。
2013-07-11 math-ph math.MP math.PR
The large deviation principle for interacting dynamical systems on random graphs
利用大偏差的弱收敛方法，给出并证明了割范数拓扑下W-随机图的大偏差原理。这推广了Chatterjee和Varadhan关于Erdens-R {\' e}nyi随机图的LDP.此外，我们将随机图的LDP转化为此类图上的一类相互作用的动力系统。为此，我们证明了动力学模型的解决方案连续依赖于基本图形的切割规范和应用收缩原理。
2021-08-15 math.DS math.PR
The Rank of the Sandpile Group of Random Directed Bipartite Graphs
本文证明了不太不平衡的随机有向二部图的沙堆群的$p$ -秩的渐近分布。我们发现这与Erd{<$}s-R{é}nyi随机有向图模型完全匹配，表明该模型的Sylow $p$ -子群也可能是Cohen-Lenstra分布的。Koplewitz研究了不平衡随机二部图的$p$ -秩分布，并证明了对于充分不平衡的图，$p$ -秩的分布不同于Cohen-Lenstra分布. Koplewitz \cite{K}证明了对于随机平衡二部图，对于任意$p$，$p$ -秩的期望值为$O(1)$.本文证明了他的猜想，并给出了有向图子类的精确分布。
2023-02-17 math.CO math.PR
Mixing time for an epidemic model on graphs with external sources of infection
University of Nottingham（诺丁汉大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
研究图上带有外部感染源的SIS模型的混合时间，证明其在顶点数n的顺序为Θ(n log n)，并分析随机图家族上的模型特性。
2026-05-13 math-ph math.MP math.PR
Extreme gaps between eigenvalues of Wigner matrices
本文证明了广义Wigner矩阵的特征值之间的最小和最大间隙分布的普适性，在一定的光滑性假设下.证明依赖于Erd{ \H o}s-Schlein-Yau动态方法。我们展示了一个新的观察，满足随机平流方程，并减少了局部松弛的戴森布朗运动的最大值原理。这个可观察性也提供了一个简单而统一的证据，证明了在体积和边缘的普遍性，这是定量的。为了说明这一点，我们给出了第一个显式的收敛速率的Tracy-Widom分布的广义Wigner矩阵。
2020-07-02 math-ph math.MP math.PR
Typical large graphs with given edge and triangle densities
本文利用Erdoes-Renyi图的大偏差，将边密度和三角形密度具有极值的单图的分析推广到具有固定中间密度的典型图的统计结构.我们证明了典型的图具有尖锐的奇异性的约束密度之间的不同曲线的极值，我们确定的精确性质的奇异性。扩展到具有固定密度的边和k-圈的图（奇数k>3）是简单的，我们注意到证明中的简单变化。
2022-03-30 math-ph math.CO math.MP
Metastability of Glauber dynamics with inhomogeneous coupling disorder
该研究引入含随机耦合的类平均场自旋系统，通过势论方法与集中不等式证明其Glauber动力学的亚稳态可由耦合取平均后的对应系统推导，拓展了Erdős–Rényi随机图上Ising模型的相关结果。
2024-07-09 math.PR
Spectral radii of sparse random matrices
本文给出了一类稀疏随机矩阵的谱半径的界，其中包括非齐次Erdens-Rényi图的邻接矩阵.我们的误差界是尖锐的一大类稀疏随机矩阵。特别地，对于Erdens-Rényi图$G(n,d/n)$，我们的结果意味着邻接矩阵的最小和次大特征值收敛于渐近特征值分布的支撑的边，条件是$d \gg \log n$ .连同配套文件[3]，其中我们分析了补充制度$d \ll \log n$的极端特征值，这建立了一个交叉的极端特征值的行为周围$d \sim \log n$。我们的结果也适用于非埃尔米特稀疏随机矩阵，对应于有向图的邻接矩阵。证明结合了（i）一个新的不等式之间的谱半径和它的非回溯版本的谱半径与（ii）一个新的应用程序的矩量法的非回溯矩阵。
2021-01-22 math.PR
Extreme singular values of inhomogeneous sparse random rectangular matrices
本研究基于非回溯算子与Ihara-Bass公式，提出统一方法界定非齐次稀疏随机矩形矩阵的极端奇异值，给出概率界并将Bai-Yin定理推广至稀疏情形。
2024-12-12 math.CO math.PR math.ST
Universality for the extreme eigenvalues of Laplacian random matrices
Lafayette College（拉斐特学院）；University of Colorado（科罗拉多大学）
本研究证明Laplacian随机矩阵的极端特征值具有普适性，最大特征值经标准化后收敛于Gumbel分布，并应用于Erdős–Rényi图的代数连通度波动分析。
2026-10-08 math.CO math.PR
Distinct Extreme Scores in Random Round-Robin Tournaments
University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩县分校）
研究等强选手随机循环锦标赛中，当极端得分数量增长时，最大不同得分集合的存在性条件，证明了在特定增长率下最大k(n)个得分几乎必然互异。
2026-06-29 math.PR
A Mathematical Framework for Misinformation Propagation in Complex Networks: Topology-Dependent Distortion and Control
The Institute of Mathematical Sciences, HBNI（马哈拉施特拉邦数学科学研究所，HBNI）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；University of Birmingham（伯明翰大学）；M. S. Ramaiah University of Applied Sciences（M.S.拉梅亚应用科学大学）
本文提出了一种数学框架，用于分析复杂网络中虚假信息传播的拓扑依赖失真机制，并通过不同网络结构的比较揭示了抑制虚假信息的最优策略。
2026-03-02 math.PR physics.soc-ph
A logical limit law for the sequential model of preferential attachment graphs
本研究针对可表示为Pólya瓮模型的偏好依附图证明逻辑极限定律，分别讨论均匀依附图与序列Barabási-Albert模型两种极端情形，补充了随机图逻辑极限定律领域的相关结论。
2024-08-14 math.CO math.LO math.PR
The Exact Rank of Sparse Random Graphs
组合随机矩阵理论中的两个里程碑式的结果，由于Komlós和Costello-Tao-Vu，表明离散随机矩阵和对称离散随机矩阵通常是非奇异的。特别地，在图论的语言中，当$p$是固定常数时，随机Erdens-Rényi二部图$\mathbb{G}(n,n,p)$的双邻接矩阵和Erdens-Rényi随机图$\mathbb{G}(n,p)$的邻接矩阵都以高概率非奇异。然而，非常稀疏的随机图（即，其中允许$p$随着$n$快速衰减）通常是奇异的，这是由于存在“局部”依赖性，例如孤立的顶点和具有相同邻居的1度顶点对。在本文中，我们给出了一个组合描述的秩的稀疏随机图$\mathbb{G}(n,n,c/n)$或$\mathbb{G}(n,c/n)$在这样的局部依赖关系，所有常数$c\ne e$（我们提出了一些证据，情况是非常不同的$c=e$）。这基本上完整地回答了Vu在2014年国际数学家大会上提出的一个问题。作为主要定理及其证明的应用，我们还确定了稀疏随机图的2-核的渐近奇异概率，证明了稀疏随机图的秩可以用它的匹配数很好地逼近，并导出了$\mathbb{G}(n,c/n)$的秩的中心极限定理.
2023-03-09 math.CO math.PR
Counting subgraphs in bounded-size Achlioptas processes
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文通过静态方法分析Achlioptas过程中的子图计数，推导出临界点附近最大非巨组件大小的精确界及波动分布。
2026-05-10 math.CO math.PR
Cycle lengths in sparse random graphs
本文研究了${\cal L}(G)$上的随机$d$ -正则$G$图中的所有圈的长度的集合${\cal L}(G)$，其中$d\geq 3$是固定的，$n$顶点上的随机$d$-正则$G$也是固定平均度$c>1$的.这些模型中循环数分布的基本结果是在20世纪80年代和90年代初建立的，重点是极端长度：固定长度的循环和$n$中长度线性的循环。在这里，我们推导出，对于一个随机$d$ -正则图，${\cal L}(G)$同时包含$\ell\geq 3$的整个范围$\{\ell,\ldots,n\}$的极限概率，作为一个显式表达式$θ_\ell=θ_\ell(d)\in(0,1)$，它去$1$作为$\ell\to\infty$。对于具有$p=c/n$的随机图${\cal G}(n,p)$，其中$c\geq C_0$对于某个绝对常数$C_0$，我们给出了对于范围$\{\ell,\ldots,(1-o(1))L_{\max}(G)\}$的类似结果，其中$L_{\max}$是$G$中最长圈的长度.当$c$是整数$d-1$时，${\cal G}(n,p)$的极限概率与$θ_\ell$一致。此外，对于有向随机图${\cal D}(n,p)$，我们表现出类似于那些在${\cal G}(n,p)$的结果，并为这两种模式，我们发现一个区间的$c ε^2 n$连续周期长度的略超临界制度$p=\frac{1+ε}…
2020-08-31 math.CO math.PR
Singularity of the k-core of a random graph
本文证明了对于常数 $k\ge 3$ 和 $λ>0$，极稀疏 Erdős--Rényi 随机图 $G(n,λ/n)$ 的 $k$-核通常是非奇异的，解决了 Vu 在2014年提出的猜想，其核心技术是提取高度顶点以提升秩。
2024-03-26 math.CO math.PR
