Exhausting domains of the symmetrized bidisc
Peter Pflug, Wlodzimierz Zwonek
我们证明了对称双圆盘可以被强线性凸区域耗尽。它特别表明，存在一个强线性凸区域，不能用尽的域双全纯凸的。
We show that the symmetrized bidisc may be exhausted by strongly linearly convex domains. It shows in particular the existence of a strongly linearly convex domain that cannot be exhausted by domains biholomorphic to convex ones.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Description of all complex geodesics in the symmetrized bidisc
本文给出了对称双圆盘中复测地线的有效公式。
On automorphisms of the symmetrized bidisc
我们刻画了对称双圆盘$\mathbb G_2:=\{(λ_1+λ_2,λ_1λ_2):|λ_1|,|λ_2|<1\}\sub set\mathbb C^2$的群$\operatorname{Aut}(\mathbb G_2)$.
The Schwarz Lemma at the Boundary of the Symmetrized Bidisc
对称双圆盘${\textbf{G}}_{2}$由$${\textbf{G}}_{2}:=\{(z_1+z_2,z_1z_2)\in\mathbb{C}^2: |z_1|<1,|z_2|<1,\; z_1,z_2\in\mathbb{C}\}.$$定义。它是一个没有$\mathcal{C}^1$边界的有界非齐次拟凸域，特别是对称双圆盘上没有强拟凸边界点，Carathéodory度量和Kobayashi度量在对称双圆盘上的边界表现很难精确描述。本文研究了对称双圆盘${\textbf{G}}_2$上全纯自映射的边界Schwarz引理，所得的边界Schwarz引理与以前的相关结果有很大的不同.
Realization of functions on the symmetrized bidisc
证明了对称双圆盘\[ G\stackrel{\rm def}{=} \{(z+w,zw): |z|<1, \, |w| < 1\}. \]上模以$1$为界的解析函数的一个实现公式和一个模型公式。作为应用，我们证明了一个Pick型定理，给出了满足有限集插值条件的函数存在的一个判据。
A Geometric Characterization of the Symmetrized Bidisc
对称化双圆盘\[ G \stackrel{\rm{def}}{=}\{(z+w,zw):|z|<1,\ |w|<1\} \]具有有趣的几何性质。虽然它有大量的复测地线和自同构，但在$G$中有一个唯一的复测地线$\mathcal{R}$，它在$G$的所有自同构下都是不变的。此外，$G$是由那些复测地线，满足$\mathcal{R}$在一个点，并有非平凡的稳定剂。我们证明了这些性质，以及关于$G$的自同构群作用的两个进一步的几何假设，刻画了复流形类中的对称双圆盘。
Carathéodory extremal functions on the symmetrized bidisc
我们展示了如何实现理论可以用来找到解决方案的Carathéodory极值问题的对称bidisc \[ G \stackrel{\rm{def}}{=} \{(z+w,zw):|z|<1, \, |w|<1\}. \]我们表明，一般来说，解决方案是唯一的组合与自同构的光盘。我们还获得公式的大类极值函数的Carathéodory问题的切线的非一般类型。
Bergman metric on the symmetrized bidisc and its consequences
在具有Bergman度量的对称双圆盘G2上，全纯截面曲率是负箍缩的，而全纯双截面曲率不是。不变度量的后果。
Isometries in the symmetrized bidisc, II
该研究证明了保持Kobayashi距离的从单位圆盘D到对称双圆盘G₂的映射f必为全纯或反全纯，完善了对称双圆盘上等距映射的相关理论。
Nevanlinna-Pick problem and uniqueness of left inverses in convex domains, symmetrized bidisc and tetrablock
本文讨论了有界凸区域、强线性凸区域、对称双圆盘和四块区域中两点Nevanlinna-Pick问题的左逆解的唯一性问题。
Spectral Nevanlinna-Pick problem and weak extremals in the symmetrized bidisc
本文的主要目的是研究对称双圆盘上的$m$ -极值映射，证明它们是有理的，并且是$\GG_2$ -内的，特别是回答了\cite{Agl-Lyk-You 2013}中提出的一个问题.
Models of holomorphic functions on the symmetrized skew bidisc
本文研究对称化斜双曲盘上模不超过1的全纯函数理论，提出函数的实现公式和模型公式。
Nonuniqueness of Carathéodory extremal functions on the symmetrized bidisc
本文综述了对称双圆盘$$ G = \{(z+w,zw):|z|<1, \, |w|<1\} = \{(s,p)\in \mathbb{C}^2: |s-\bar s p| < 1-|p|^2\}. $$上的Carathéodory极值问题$\mathrm{Car} δ$，并给出了一些新的结果.我们特别感兴趣的情况下，这个问题的解决方案是不是唯一的。已知对于任何具有$v\neq 0$的$δ=(λ,v)\in TG$，存在至少一个$ω\in\mathbb{T}$，使得$Φ_ω$求解$\mathrm{Car} δ$，其中$Φ_ω(s,p) = \frac{2ωp-s}{2-ωs}$。此外，存在$\mathrm{Car} δ$的本质唯一解当且仅当$δ$对于某个$ω\in\mathbb{T}$恰好有一个形式为$Φ_ω$的Carathéodory极值函数。我们给出了一个描述的Carathéodory极值$δ\in TG$与多个Carathéodory极值函数$Φ_ω$的某些值的$ω\in\mathbb{T}$。该证明利用了$G$的舒尔类的模型公式，该公式是圆盘上舒尔类函数的著名网络实现公式的模拟。
Geodesics, retracts, and the norm-preserving extension property in the symmetrized bidisc
在$\mathbb{C}^n$中的定义域$U$中的集合$V$具有{ \em保模扩张性质}，如果$V$上的每个有界全纯函数都具有$U$的具有相同上确界范数的全纯扩张。我们证明了{ \em对称双圆盘} \[ G := \{(z+w,zw):|z|<1, |w| < 1 \} \]的代数子集具有保范扩张性质当且仅当它是一个单点，$G$本身，$G$的复测地线，或集合$\{(2z,z^2): |z|<1\}$和$G$中次数$1$的复测地线的并集.我们还证明了$G$中的复测地线与$G$中的非平凡全纯收缩相一致。因此，与球或双圆盘的情况相反，在$G$中存在具有保范扩张性质但不是$G$的全纯收缩的集合。在证明过程中，我们得到了$G$的$G$模自同构中复测地线的详细分类。我们给冯诺依曼型不等式的$Γ$ -压缩（即交换对运营商的封闭的$G$是一个谱集）和对称函数的交换对压缩运营商的应用。我们发现其他三个域，包含集的范数保持扩展属性，这是不收回：他们是谱球的$2\times 2$矩阵，tetrablock和pentablock。我们还确定了子集的bidisc具有保范扩展属性的对称函数。
On the geometry of the symmetrized bidisc
本文研究对称双圆盘自同构群作用及其几何，证明它双全纯于 Isaev 分类中的 $\mathcal D_1$，并给出二者新刻画及相关域到双圆盘乘积的显式双全纯映射。
On weak Wolff--Denjoy theorem for certain non-convex domains
本文研究了某些非凸域上holomorphic自映射的固定点或紧致发散序列性质，揭示了对称双复盘、对称三复盘、四块和五块等属于此类域，并描述了这些域上holomorphic自映射的固定点集及目标集。
Intrinsic Directions, Orthogonality and Distinguished Geodesics in the Symmetrized Bidisc
在Carathéodory度量下的对称化双圆盘\[ G \stackrel{\rm{def}}{=}\{(z+w,zw):|z|<1,\ |w|<1\}, \]是一个复Finsler空间，它具有上齐性$1$，其中的测地线，无论是实测地线还是复测地线，都具有丰富的几何性质。作为Finsler流形，$G$不承认一个自然的角度概念，但我们仍然表明，有{\em是}一个正交的概念。复切丛$TG$自然分裂成两个线丛的直和，我们称之为{\em sharp}丛和{\em flat}丛，它们是几何定义的，因此在$G$的自同构下是协变的。通过$G$的每一点，在平坦方向上存在唯一的$G$复测地线，对于某些$β\in\mathbb{D}$具有\[ F^β\stackrel{\rm{def}}{=}\{(β+\barβz,z)\ : z\in\mathbb{D}\} \]的形式，并且称为{\em平坦测地线}。我们说复测地线\emph{$D$ is orthogonal}为平坦测地线$F$，如果$D$在点$λ$处与$F$相交，并且在$λ$处的复切空间$T_λD$在$λ$处的尖锐方向上。我们证明了测地线$D$相对于平坦测地线$F$具有最近点性质当且仅当$D$在上述意义下正交于$F$.此外，$G$由$G$中与固定平坦测地线$F$正交的测地线划分。
A family of Lempert domains
本文证明 Ghosh 与 Zwonek 引入的域族 $\bL_n$（第四类 Cartan 域的 2-proper 全纯像）全部是 Lempert 域，推广了对称化双盘与四面块的已知结果。
Characterizations of some domains via Carathéodory extremals
在本文中，我们刻画了单位圆盘，双圆盘和对称双圆盘\[ G =\{(z+w,zw):|z|<1,\ |w|<1\} \]在拥有的小类解析映射到单位圆盘，足以解决所有Carathéodory极值问题的域。
Uniform algebras and distinguished varieties
本文揭示了特殊簇与双圆盘上一致代数的联系，证明了真多项式映射像域上Samuelsson-Wold结果的类似结论，并描述了相应多项式凸包。
Operators associated with the pentablock and their relations with biball and symmetrized bidisc
本文研究了pentablock上算子的性质，探讨了P-contraction、P-unitary和P-isometry的特征，以及它们在不同领域间的相互作用。
A new characterization for the distinguished boundaries of a few domains related to $μ$-synthesis
本文针对对称双圆盘、tetrablock 与 pentablock，提出用自同构群下两个元素轨道之并来刻画其显著边界的新方法。
An example of a bounded $\Bbb C$-convex domain which is not biholomoprhic to a convex domain
我们证明了对称双圆盘是$\Bbb C$ -凸区域。这提供了一个有界$\Bbb C$ -凸区域的例子，它不能被双全纯到凸区域的区域耗尽。
$2$-proper holomorphic images of classical Cartan domains
本文提出研究有界对称域$2$-固有全纯像的一般方法，定义了新区域族$\mathbb L_n$，统一刻画其函数几何性质，证明其非凸穷尽性、非齐性及非Lu Qi-Keng域特征。
A Schwarz lemma for the symmetrized polydisc via estimates on another family of domains
我们做了一些尖锐的估计，以获得一个施瓦茨引理的\textit{symmetrized polydisc} $\mathbb G_n$，一个家庭的域自然与频谱插值，定义的\[ \mathbb G_n :=\left\{ \left(\sum_{1\leq i\leq n} z_i,\sum_{1\leq i<j\leq n}z_iz_j \dots, \prod_{i=1}^n z_i \right): \,|z_i|<1, i=1,\dots,n \right \}. \]我们首先做一些估计的\textit{the extended symmetrized polydisc} $\widetilde{\mathbb G}_n$，一个家庭的域中引入的\cite{pal-roy 4}和定义如下：\begin{align*} \widetilde{\mathbb G}_n := \Bigg\{ (y_1,\dots,y_{n-1}, q)\in \C^n :\; q \in \mathbb D, \; y_j = \be_j + \bar \be_{n-j} q, \; β_j \in \mathbb C &\text{ and }\\ |β_j|+ |β_{n-j}| < {n \choose j} &\text{ for } j=1,\dots, n-1 \Bigg\}. \end{…
Rigidity of Proper Holomorphic Self-mappings of the Pentablock
五块是对称双圆盘上的Hartogs域。该域是一个有界非齐次拟凸域，并且没有$\mathcal{C}^{1}$边界。最近，Agler-Lykova-Young构造了五块的全纯自同构群的一个特殊子群，而Kosibroski完全刻画了五块的全纯自同构群.证明了五块图的任意真全纯自映射必是自同构。
A Toeplitz corona theorem for the pentablock and applications
本文陈述并证明了五角块上的 Toeplitz corona 定理，并通过两个应用得到了双圆盘和对称双圆盘 Toeplitz corona 定理的新刻画。
Lempert Theorem for stronly linearly convex domains with smooth boundaries
本文的目的是对具有C^2光滑边界的非平面强线性凸区域的Lempert定理的证明给出一个详细的和稍加修改的版本。原来的伦珀特的证明是提出只有在诉讼程序的会议与一个非常有限的访问和在某些地方是相当粗略。我们受到一些同事的鼓励，准备了一个扩展版本的证明，其中所有的疑问都可以消除，证明的一些细节可以简化。我们希望在下面做到这一点。当然，证明的想法完全属于Lempert。提出证明的另一个动机是最近证明的事实，即所谓的对称双圆盘可以被强线性凸区域耗尽。另一方面，它不能被双全纯的凸域穷尽。因此，强线性凸区域的Lempert函数和Carathéodory距离的相等性并不直接从凸的情况得出。
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