Integral of exponent of a polynomial is a generalized hypergeometric function of the coefficients of the polynomial
Alexander Stoyanovsky
我们证明了积分\int e^{S（x_1，.，x_n）}dx_1. dx_n，对任意多项式S，满足I意义下的广义超几何微分方程组。M. Gelfand等人
We show that the integral \int e^{S(x_1,...,x_n)}dx_1...dx_n, for an arbitrary polynomial S, satisfies a generalized hypergeometric system of differential equations in the sense of I. M. Gelfand et al.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Fuchsian systems for Dotsenko-Fateev multipoint correlation functions and similar integrals of hypergeometric type
Dotsenko-Fateev积分是二维共形域论的4点相关器中表示振幅的一个复变数的解析函数。Dotsenko-Fateev发现常微分方程的第三阶Fuchsian奇点满足他们的积分。本文将这一工作推广到广义Dotsenko-Fateev积分，特别是与任意多点积分相关的广义Dotsenko-Fateev积分，并为它们构造了Fuchsian型偏微分方程的Pfaff系统. Fuchsian系统的普遍性在于它们允许在系统的奇点邻域中获得解的局部展开。
Integrals containing confluent hypergeometric functions with applications to perturbed singular potentials
我们证明了许多包含合流超几何函数乘积的积分直接从一个单一的积分得出，该积分在Appell的二重级数F_2下有一个非常简单的公式。我们提出了一些技术来计算这样的系列。给出了奇异势和扰动Kratzer势的矩阵元的应用。
GKZ Hypergeometric Series for the Hesse Pencil, Chain Integrals and Orbifold Singularities
椭圆曲线的Hesse束的GKZ系统比周期积分有更多的解。在这项工作中，我们给出了不同的实现和解释的额外的解决方案，在振荡积分，Eichler积分，链积分的椭圆曲线，一个特定的紧凑的Calabi-Yau三重几何的周期极限等，我们还强调了所起的作用的轨道奇异性的模空间及其与GKZ系统的关系。
Duality for Knizhnik-Zamolodchikov and Dynamical Equations, and Hypergeometric Integrals
我们审查的Knizhnik-Zamolodchikov（KZ）和动力学方程的结果，微分和差分，在$(gl_k,gl_n)$对偶的背景下，及其对超几何积分的影响。KZ方程和动力学方程在对偶性下自然交换，给出了方程超几何解的两类积分公式。这一事实产生不同维数的超几何积分的恒等式，首次积分的维数是第二次积分的参数，反之亦然。不同维数的Mellin-Barnes型超几何积分与q-超几何积分之间存在相似的恒等式。这些恒等式是高斯超几何函数的两个整表示相等的多维模拟。
Ordinary limits of the hyperbolic hypergeometric integral identities
本文从超对称红外对偶性导出的双曲超几何积分恒等式出发，通过约化得到新的普通超几何恒等式。
Selberg Integrals, Super hypergeometric functions and Applications to $β$-Ensembles of Random Matrices
研究了一类新的含$n+m$待定项的Selberg型积分，它与变形的Calogero-Sutherland系统有关.我们证明了该积分满足$n+m$非对称线性偏微分方程的完整系统。我们还证明了一个特殊的超几何函数定义的超级杰克多项式是唯一的解决方案的系统。建立了对偶关系、积分公式、Pfaff-Euler变换和Kummer变换等性质。作为一个直接的应用，我们评估的经典随机矩阵理论的$β$ -合奏的特征多项式的比率的期望值。
Identities between q-hypergeometric and hypergeometric integrals of different dimensions
给定复数$m_1,l_1$和非负整数$m_2,l_2$，使得$m_1+m_2=l_1+l_2$，对于任何$a,b=0, ... ,\min(m_2,l_2)$，我们定义一个$l_2$维Barnes型q-超几何积分$I_{a,b}(z,μ;m_1,m_2,l_1,l_2)$和一个$l_2$维超几何积分$J_{a,b}(z,μ;m_1,m_2,l_1,l_2)$ .积分取决于复参数$z$和$μ$。我们证明了$I_{a,b}(z,μ;m_1,m_2,l_1,l_2)$在显式因子下等于$J_{a,b}(e^μ,z;l_1,l_2,m_1,m_2)$，从而建立了$l_2$维q超几何积分和$m_2$维超几何积分的等式。该恒等式基于qKZ和动力学差分方程的$(gl_k,gl_n)$对偶性。
A remark on the q-hypergeometric integral Bailey pair and the solution to the star-triangle equation
我们重写最近构造的q-超几何积分贝利对的一般形式。然后利用Bailey对和$q$ -β超几何和积分构造了星三角关系。
Feynman Integral Relations from GKZ Hypergeometric Systems
本文在GKZ超几何系统的框架下研究了Feynman积分。后者定义了一类函数，其中费曼积分出现的特殊情况下，任何数量的循环和运动尺度。利用GKZ系统及其与$D$ -模理论的关系，我们提出了一种获得主积分微分方程的新方法。本注释基于较长的手稿arXiv：2204.12983。
Aspects of elliptic hypergeometric functions
一般椭圆超几何函数由椭圆超几何积分定义。它们包括椭圆β积分，椭圆类似物的欧拉-高斯超几何函数和Selberg积分，以及椭圆扩展的许多其他平原超几何和$q$ -超几何建设。特别是，贝利链技术，用于证明罗杰斯-拉马努金型身份证，已被推广到积分。在椭圆的水平上，它产生一个解决方案的杨-巴克斯特方程作为一个积分算子与椭圆超几何内核。我们简要介绍了这一领域的发展情况。
Computer Algebra and Hypergeometric Structures for Feynman Integrals
我们提出了最近的计算机代数方法，支持计算（多元）系列解决方案（某些耦合系统的偏）线性微分方程。级数解的被加数可以由超几何积建立，更一般地，可以由定义在这些积上的不定套和建立。特殊情况是超几何结构，如Appell函数或它们的推广，在处理参数费曼积分时经常出现。
$ε$-Expansion of Multivariable Hypergeometric Functions Appearing in Feynman Integral Calculus
本文提出了一种新的方法，适合于在计算机上实现，执行的$ε$ -展开的超几何函数与线性$ε$依赖Pochhammer参数在任何数量的变量。我们的方法允许一个多变量超几何函数进行泰勒以及洛朗级数展开。级数展开式中的$ε$的每个系数被表示为具有与原始超几何函数相同的收敛域的多变量超几何函数的线性组合。我们提出了说明性的例子超几何函数的一个，两个和三个变量，这是典型的费曼积分。
A Hypergeometric Integral with Applications to the Fundamental Solution of Laplace's Equation on Hyperspheres
考虑了$n$维球面上Poisson方程的非齐次项积分为零的情形。使用一些经典和现代的超几何身份，我们整合这个方程产生的形式的基本解决方案的任何数量的维度方面的广义超几何函数，不同的封闭形式的偶数和奇数维的情况下。
On hypergeometric series reductions from integral representations, the Kampe de Feriet function, and elsewhere
单变量超几何函数pFq与薛定谔方程的幂级数解或量子力学中微扰展开的求和有关。对于这些应用，它是感兴趣的，以获得解析表达式，我们提出了一些情况下的pFp和p+1F_p，主要是p=2和p=3的减少。这些和相关的系列在量子和统计物理学和化学中有额外的应用。
Asymptotic analysis of a Selberg-type integral via hypergeometrics
我们展示了如何确定某个Selberg型积分的渐近（广义）超几何级数理论中可用的工具。这提供了Carré、Deneufchâtel、Luque和Vivo [arXiv：1003.5996]结果的另一种推导。
Introduction to the theory of elliptic hypergeometric integrals
我们简要介绍了椭圆超几何积分的关键性质-一个相对最近发现的超几何型超越特殊函数的顶级类。特别地，我们描述了Euler和Selberg的β积分的椭圆推广，Euler-Gauss超几何函数的椭圆模拟和根系上的一些多元椭圆超几何函数。椭圆傅立叶变换和相应的积分Bailey引理技术概述连同连接到一个置换群的星形三角关系和Coxeter关系。我们还回顾了椭圆超几何积分作为四维超对称量子场论的超共形指数的解释及其在Seiberg型对偶中的应用。
Bailey pairs for the q-hypergeometric integral pentagon identity
本文利用q-超几何函数构造了一个新的积分五边形恒等式的Bailey对。这里所考虑的五边形恒等式表示了某个三维超对称对偶理论的配分函数的相等性。它也可以解释为Ising型可积格模型的星三角关系。
Tables of the Appell Hypergeometric Functions $F_2$
广义超几何函数$_qF_p$是一个幂级数，其中连续项之比是和指数的有理函数。高斯超几何函数$_2F_1$和$_3F_2$是广义超几何函数$_qF_p$最常见的特例。Appell超几何函数$F_q$、$q=1,2,3,4$是出现在数学物理的许多领域中的两个超几何函数$_2F_1$的乘积。在这里，我们感兴趣的Appell超几何函数$F_2$，这是已知的具有双重积分表示。如Opps、Saad和Srivastava（J. Math. Anal. 302（2005）180-195），$F_2$的二重积分表示可以简化为单个积分，该单个积分可以根据$_2F_1$和$_3F_2$容易地针对参数的某些值进行评估。利用$_2F_1$和$_3F_2$的许多归约公式以及$F_2$用单个积分表示的方法，我们开始为$F_2$列出新的归约公式。
Integral and hypergeometric representations for multiple orthogonal polynomials
本文为任意权函数数量的经典多重正交多项式，建立了I型Hahn多项式的显式超几何表达式，并利用留数定理和Mellin变换推导了Laguerre、Jacobi-Piñeiro和Hahn族的围道积分表示，进而得到显式超几何表示。
Solutions modulo $p$ of Gauss-Manin differential equations for multidimensional hypergeometric integrals and associated Bethe ansatz
本文考虑一类超几何积分的Gauss-Manin微分方程，它与一类自运动超平面的加权排列有关。我们减少这些方程模素数$p$和构造新的微分方程的多项式解作为$p$ -模拟的初始超几何积分。在某些情况下，我们将超几何积分的$p$ -类似物解释为定义在有限域$F_p$上的超曲面的点上的和。这一解释与Yu.I.的解释相似。Manin在[Ma]中将椭圆曲线上依赖于参数的点的个数作为经典超几何微分方程的解.我们讨论相关的贝特安奈。
Hypergeometric Feynman Integrals
在这篇论文中，我们将从A-超几何函数的角度来研究Feynman积分，A-超几何函数是Gelfand，Kapranov，Zelevinsky（GKZ）及其合作者对超几何函数的推广。这一观点是最近由著作[74]和[150]提出的。除其他外，我们想在这里提供一个简明扼要的数学基础的A-超几何理论，以充实这一观点。这个概述将涉及多面体几何，多元判别以及完整的D-模方面。正如我们随后将证明的那样，每个标量费曼积分都是A-超几何函数。此外，在维数正则化和解析正则化中出现的洛朗展开式的所有系数也可以用A-超几何函数表示。此外，我们可以推导出一个显式公式的系列表示的每个费曼积分，这是特别适合的算法方法。此外，A-超几何理论使我们能够通过主A-行列式和A-判别式给出Feynman积分（也称为Landau簇）的解析结构的数学严格描述。奇异轨迹的这种描述也将包括各种第二类奇点。此外，我们将发现贡献的奇异轨迹发生在更高的循环图，这似乎被忽视了在以前的方法。通过Horn-Kapranov参数化，我们还提供了一个非常有效的方法来确定Landau簇的参数化。此外，我们提出了一种新的方法来研究多值费曼积分的片结构的coamoebas使用。
Hypergeometric First Integrals of the Duffing and van der Pol Oscillators
自主Duffing振子，和它的van der Pol修改，是已知的承认时间相关的第一次积分的参数的特定值。这对应于达布多项式的存在，事实上可以证明：存在Liouvillian第一积分，不依赖于时间。它们可以用高斯和库默尔超几何函数来表示，并且既不是解析的，也不是代数的，也不是亚纯的。一个标准，这发生在一个一般的动力系统，以及制定。
GKZ hypergeometric systems of the three-loop vacuum Feynman integrals
本文基于Mellin-Barnes表示和Miller变换，为任意质量三圈真空图费曼积分构造GKZ超几何系统，并利用其级数解在参数空间子集上构建基本解系，从而得到真空积分的解析表达式。
Integral representation and sharp asymptotic results for some Heckman-Opdam hypergeometric functions of type BC
BC型Heckman-Opdam超几何函数是经典Jacobi函数的单变量推广，它包含了实数、复数或四元数上的非紧Grassmann流形的球函数.对于这样的超几何函数，存在各种已知的极限转变。本文利用Harish-Chandra积分表示的一种显式形式和一种内插变量，得到了三类连续的BC型超几何函数的极限结果，它们分别具有显式的、尖锐的和一致误差界.第一个极限实现了固定秩的无限维格拉斯曼函数的球面函数的近似;这里A型的超几何函数作为极限出现。第二个极限是对Dunkl型Bessel函数的压缩极限。
Essays on the theory of elliptic hypergeometric functions
本文对数学物理中一类新的特殊函数--椭圆超几何函数理论的主要结果作了简要的回顾。证明了推广欧拉β积分的最一般的一元精确积分公式，称为椭圆β积分。本文构造了高斯超几何函数的一个椭圆模拟及其椭圆超几何方程，并描述了该函数及其特殊子情形的双正交关系。我们列出已知的椭圆β积分的根系，并考虑对称变换为相应的椭圆超几何函数的高阶。
Finding new relationships between hypergeometric functions by evaluating Feynman integrals
通过对不同方法计算的Feynman积分结果的比较，发现了超几何函数之间的几种新的关系。本文仅用一个Appell超几何函数F_1导出了具有任意质量和任意传播子幂的单圈传播子型积分的一个新表达式。通过与已知的一个表达式的比较，找到了Appell函数F_1和F_4之间的一个新的关系，并通过与已知的另一个结果的比较，导出了一个将具有特殊自变量的F_1函数化为超几何函数_3F_2的新公式。通过对一个特殊的单圈顶点积分用不同方法得到的结果进行比较，建立了一个新的F_1函数与自变量二次变换之间的关系。本文通过分析割面上双圈自能积分的虚部，找到了F_1函数的另一个约化公式。给出了F_1函数与以六次多项式之比为自变量的高斯超几何函数_2F_1之间的显式关系。
Comments on the multi-spin solution to the Yang-Baxter equation and basic hypergeometric sum/integral identity
本文给出了Yang-Baxter方程的多自旋解。该解对应于具有正玻尔兹曼权的统计力学的可积晶格自旋模型，并以基本超几何函数参数化。我们得到这个解决方案从一个非平凡的基本超几何和积分的身份，起源于某些三维N=2 Seiberg对偶理论的超对称指数的平等。
Hypergeometric Integrals Modulo $p$ and Hasse--Witt Matrices
本文考虑了$\mathbb C$上KZ型微分方程的超几何解为一维积分的情形。我们还考虑了有限域$\mathbb F_p$上的相同的微分方程。我们研究这些微分方程的多项式解的空间在$\mathbb F_p$，在以前的工作中由V. Schechtman和第二作者构造。使用Hasse-Witt矩阵，我们确定这些多项式的解决方案的空间在$\mathbb F_p$与空间的对偶的某个子空间的正则微分的相关曲线。我们还将这些多项式解与$\mathbb C$上的超几何解联系起来。
Calogero-Sutherland-type quantum systems, generalized hypergeometric functions and superintegrability for integral chains
重新研究CS型模型与广义超几何函数，构造对应广义CS算子及基于球面退化双仿射Hecke代数的算子族，建立广义对应关系、给出函数表示约束，还分析了β-形变积分及两类积分链的超可积性。
From positive geometries to a coaction on hypergeometric functions
众所周知，维数正则化中的Feynman积分往往计算超几何型函数。受最近一个关于维正则化中单圈Feynman积分的共同作用的建议的启发，我们使用交叉数和扭曲的同调理论来定义某些超几何函数的共同作用。我们考虑的功能承认一个积分表示，其中被积函数和积分的轮廓都与正几何。在维数正则化的费曼积分，端点奇点正则化的指数控制的一个小参数$ε$。我们表明，这类积分定义的共同作用是一致的，在$ε$扩展后，与众所周知的共同作用多个polygonms。我们说明了我们的建设的有效性，明确确定各种类型的超几何${}_{p+1}F_p$和Appell函数的相互作用。
Classical discrete multiple orthogonal polynomials: hypergeometric and integral representations
本文研究任意权重的经典离散多重正交多项式，推导了Hahn多项式递归系数的显式表达式，利用多重Askey方案为各后裔族提供了I型多项式及递归系数的超几何与积分表示，并补充了相应的极限以完善该方案。
Generalized Hypergeometric Functions and the Evaluation of Scalar One-loop Integrals in Feynman Diagrams
目前和未来的高精度测试的标准模型和超越的基本成分和相互作用的性质是需要复杂的微扰计算，涉及多腿和多圈费曼图。目前，大量的努力致力于寻找闭环积分的封闭表达式，尽可能用已知的超几何型函数来写。本文利用二元广义超几何函数重新计算了纯量三点函数。最后，使用的是这样的Appell函数和difficulms来自以前的调查之间的连接，恢复众所周知的结果。
Rational hypergeometric identities
考虑了Faddeev模量子双对数（双曲Γ函数）及其相应的双曲积分的一个特殊奇异极限$ω_1/ω_2\to 1$.它带来了一类新的超几何恒等式与双边和的Mellin-Barnes型积分的特定Pochhammer符号的产品。
On integral representations and asymptotics of some hypergeometric functions in two variables
当两个自变量的绝对值变得非常大时，发现了两个自变量的Humbert函数$Φ_2$，$Φ_3$，$Ξ_2$的领先渐近性态.给出了这些函数的新的积分表示。这些被重新表示为逆拉普拉斯变换和渐近，然后发现从Tauberian定理。对Humbert函数的一些积分也作了分析。
On Powers of a Hypergeometric Function
总结了不完全β函数的一种特殊情况下超几何函数的一种新的整幂展开式，并给出了两种新的双伽玛（psi）函数和的结果.
Elliptic hypergeometric functions
这是作者的Happiness Thesis（Dr. Sci.论文）于2004年9月初提交。它是用俄语写的，由于不断有人要求提供手稿，所以才贴在网上。内容：1.第二章介绍。具有离散时间的非线性链及其自相似解，3。一般理论的θ超几何级数，4。Theta超几何积分，5。双正交函数，6. |q| =1，7的椭圆超几何函数。结论，8.参考资料。它包含了一个大纲的一般启发式计划建设单变量特殊函数通过自相似减少频谱变换链，允许建设的微分差分q-Painleve方程，以及最普遍的已知一套椭圆双正交函数，包括所有经典的正交多项式和双正交有理函数。本文的主要结果之一是发现了由椭圆超几何积分决定的真超越椭圆超几何函数。这种积分的整个理论可以建立从单变量椭圆β积分-最复杂的已知定积分与精确的评价，它推广了普通二项式定理及其q-扩展，欧拉的β积分，措施阿斯基威尔逊多项式，和许多其他先前建立的结果对普通和q-超几何函数。
The integral formalism and the generating function of grand confluent hypergeometric function
双合流Heun（BCH）函数是Heun函数的合流形式，是大合流超几何（GCH）函数的特例：它在x=0处有一个正则奇点，在无穷远处有一个秩为2的不规则奇点。本文应用三项递推公式（3TRF）[arXiv：1303.0806]，给出了包含A_n的所有高阶项的GCH函数的积分形式和使B_n项终止的GCH多项式的母函数。给出了如何将GCH方程封闭形式的幂级数展开解析地转化为积分表示。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章的第10篇。请参阅第6节中的所有论文系列。本文的前一篇文章描述了GCH方程的闭形式幂级数展开及其渐近性态。【arXiv：1303.0813】
Identities for hypergeometric integrals of different dimensions
给定复数$m_1,l_1$和正整数$m_2,l_2$，使得$m_1+m_2=l_1+l_2$，我们定义$l_2$维超几何积分$I_{a,b}(z;m_1,m_2,l_1,l_2)$，$a,b=0,...,\min(m_2,l_2)$，取决于一个复参数$z$ .我们证明了$I_{a,b}(z;m_1,m_2,l_1,l_2)=I_{a,b}(z;l_1,l_2,m_1,m_2)$，从而建立了$l_2$和$m_2$维积分的等式。这个恒等式允许我们在一些例子中研究积分关于其维数的渐近性。该恒等式基于KZ和动力学微分方程的$(gl_k,gl_n)$对偶性。
Polytope symmetries of Feynman integrals
本文利用 A-超几何系统与 Newton 多胞体对称性，系统计算并分析 Lee-Pomeransky 表示中多种费曼积分的对称性。
The star-triangle relation, lens partition function, and hypergeometric sum/integrals
本文的目的是考虑椭圆超几何和/积分恒等式的双曲极限，以及第二作者以前得到的统计力学的相关格模型。从这个极限得到的双曲和/积分恒等式，在所谓的规范/YBE对应中有两个重要的物理应用。对于统计力学，这个恒等式等价于杨-巴克斯特方程的星-三角关系形式的新解，它直接将Faddeev-Volkov模型推广到离散和连续自旋变量的情况。在规范理论方面，这个恒等式代表了某些三维$\mathcal N = 2$超对称规范理论的透镜配分函数的对偶性。
Feynman integrals as A-hypergeometric functions
我们证明了Feynman积分的Lee-Pomeransky参数表示可以理解为一个GKZ系统的解。为了定义这样的GKZ系统，我们考虑由Symanzik多项式$g=\mathcal{U}+\mathcal{F}$得到的多项式具有不定系数。非紧积分圈可以从与$g$相关的代数簇的coamoeba（变元映射）中确定。在一般情况下，我们添加一个变形$g$，以定义积分的一般图的线性组合，其标准系列。我们使用正则级数算法计算了传播子中具有任意非整数幂的几个费曼积分。
Hypergeometric integrals, hook formulas and Whittaker vectors
本文确定了两类与Young图相关的多维超几何积分之间的比例系数，即加权钩子乘积的倒数，并由此给出gl_n泛包络代数中心在Whittaker向量空间上作用的显式同时特征向量基。
Conformal integrals in all dimensions as GKZ hypergeometric functions and Clifford groups
本文将任意维度的欧几里得共形积分通过Clifford代数与环面GKZ系统关联，利用环面方法求得GKZ超几何函数的显式级数解，并通过厄米形式实现点排列对称性，验证了解的一致性。
FeynGKZ: a Mathematica package for solving Feynman integrals using GKZ hypergeometric systems
在Lee-Pomeransky表示中，Feynman积分可以被识别为Euler-Mellin积分的子集，已知Euler-Mellin积分满足Gel'fand-Kapranov-Zelevinsky（GKZ）偏微分方程组。在这里，我们提出了一个自动化的软件包，以获得相关的GKZ系统为一个给定的费曼图，并解决它的超几何函数使用两个等价的算法，即三角法和Gröbner变形方法。我们以Mathematica包FeynGKZ.wl的形式呈现我们的代码，该包需要软件polymake、Macaulay 2和TOPCOM以及包AMBRE和Olsson.wl作为依赖项。作为该程序包的应用，我们找到了几个单圈和双圈费曼积分的GKZ系统的级数解。这些都包含在Examples.nb文件中，可以从https://github.com/anant-group/FeynGKZ下载。
Elliptic Polylogarithms and Basic Hypergeometric Functions
多重椭圆多项式可以写成基本超几何函数乘积的（多重）积分。后者是可计算的，任意精度，使用q-差分方程和q-连续关系。
On integral of exponent of a homogeneous polynomial
引入G-超几何函数的概念，其中G是复李群.在G是复环面的情况下，这个概念相当于Gelfand的A-超几何函数的概念。我们证明了积分$\int e^{P(x_1,...,x_n)}dx_1...dx_n$（其中P是一个齐次多项式）是多项式的代数SL（n）-不变量的GL（n）-超几何函数.
A note on generalized hypergeometric functions, KZ solutions, and gluon amplitudes
本文综述了Grassmannian空间$Gr(k+1,n+1)$上Aomoto广义超几何函数的若干方面.特别地，以对应于高斯超几何函数的$Gr(2,4)$情形为例，阐明了它们的扭同调和上同调积分表示. $Gr(2, n+1)$的情形通常导致Knizhnik-Zamolodchikov（KZ）方程的$(n+1)$ -点解。我们进一步分析了与$Gr(k+1, n+1)$情形有关的KZ解的Schechtman-Varchenko积分表示。我们表明，所谓的KZ连接的holonomy运营商可以被解释为超几何型积分。这一结果导致最近提出的完整形式主义胶子振幅的改进描述。我们还提出了一个（上）同调解释的散射振幅的${\cal N} = 4$超杨米尔斯理论的格拉斯曼公式。
Residues of q-Hypergeometric Integrals and Characters of Affine Lie Algebras
研究了sl_2有理qKZ方程在零层解的子空间.每个子空间由在某个因子处的剩余的消失来指定，该因子源于二维可积域论中的模型。我们确定了由变量个数和解的sl_2权参数化的子空间的性质。所有具有固定权的特征标的和在\hat{sl_2}的一级可积最高权表示中产生sl_2的不可约表示的分支函数。它是以费米子形式写成的。
Massive One-loop Conformal Feynman Integrals and Quadratic Transformations of Multiple Hypergeometric Series
计算技术的$N$ -倍梅林-巴恩斯（MB）积分，在同伴的论文中提出的相同的作者，是用来获得一套系列表示的大规模单圈共形3点费曼积分在各种配置。这表明了极大的简单性和效率的方法在非共振的情况下（通用传播功率），以及它的一些微妙的共振的（单位传播功率）。我们确认某些结果在物理和数学文献中，并提供了许多新的结果，其中一些处理更一般的大规模单圈共形$n$点的情况下。特别是，我们证明了两个最近的apturtures，使大量的单圈共形$n$ -点积分（通用传播功率）在多个超几何级数。我们展示了如何从杨氏自助分析中推导出这些结构，是由超几何函数理论中的一个新的二次变换塔相关。最后，我们还使用我们的MB方法来识别在Yangian方法中可能出现的虚假贡献。
Hypergeometric Structures in Feynman Integrals
单尺度和多尺度费曼积分中的超几何结构出现在广泛的拓扑结构中。使用分部积分关系，必须计算相关的主积分或标量积分。为此目的，它似乎是有用的，设计一种自动化的方法，该方法识别相应的（偏）微分方程相关的相应的更高的超越函数。我们解决这些方程通过相关的多值形式泰勒级数的展开系数的递归。展开系数可以在线性差分方程的情况下使用软件包{ \tt Sigma}来确定，或者在部分线性差分方程的情况下通过应用启发式方法来确定。在本上下文中出现了一种新的类型的总和，赫维茨调和和，以及它们的广义版本。本文介绍了用{ \tt HypSeries}将一类微分方程变换为解析级数展开式的程序。还考虑了具有Pochhammer符号的有理解和有理函数解的偏差分方程，并设计了相应的程序{ \tt solvePartialLDE}.考虑了广义超几何函数Appell-、~ KampédeFériet-、Horn-、Lauricella-Saran-、Srivasta-和Exton-型函数。我们通过例子说明了算法。
Hypergeometric summation representations of the Stieltjes constants
Stieltjes常数$γ_k$出现在Riemman和Hurwitz zeta函数的Laurent展开式的常规部分。我们证明，这些系数可以写为某些数学常数和专门的超几何函数$_pF_{p+1}$的总和。这一系列的结果推广了欧拉常数的表示在三角积分Si或Ci的值的总和。级数表示法适用于加速度。作为副产品，我们评估某些正弦对数积分，并提出了领先的渐近形式的特定$_pF_{p+1}$功能。
Elliptic hypergeometric sum/integral transformations and supersymmetric lens index
我们证明了一对转换公式的多元椭圆超几何和/积分相关的$A_n$和$BC_n$根系，推广以前得到的公式雨。和/积分表示在透镜椭圆伽玛函数，椭圆伽玛函数的推广，取决于一个额外的整数变量，以及一个复杂的变量和两个椭圆诺姆。作为我们结果的应用，我们证明了一对四维$\mathcal{N}=1$超对称规范理论的$S^1\times S^3/\mathbb{Z}_r$超对称指数之间的一个等式，其中规范群为$SU(n+1)$和$Sp(2n)$ .这提供了迄今为止已知的对塞贝格对偶性的最精细的检验之一。作为$A_n$积分的另一个应用，我们证明了第二作者以前给出的统计力学二维可积格点模型的一个星-星关系.
From hyperbolic to complex Euler integrals
研究双曲超几何积分退化为复超几何函数的过程，通过积分核一致有界性证明单变量双曲beta积分和锥函数退化为复平面上的二维积分。
Linear transformations of Srivastava's $H_C$ triple hypergeometric function
我们探讨了Srivastava的$H_C$三重超几何函数的线性变换的大集。这个函数最近被联系到大规模的单圈共形标量3点费曼积分。在这里，我们专注于类的线性变换的$H_C$，可以得到从线性变换的高斯$_2F_1$超几何函数，并作为$H_C$也是一个三变量推广的Appell $F_1$双超几何函数，从特定的线性变换的$F_1$称为卡尔森的身份和它的一些推广。这些变换应用于$H_C$的3重Mellin-Barnes表示的水平。这使我们能够使用强大的圆锥壳方法的物理。127（2021）no.15，151601用于评估变换的Mellin-Barnes积分，这导致了期望的结果。后者然后可以检查数值对费曼参数化的共形3点积分。我们还展示了如何使用这种方法来推导出许多已知的（和鲜为人知的）结果涉及Appell双超几何函数。
On the number of $p$-hypergeometric solutions of KZ equations
已知KZ方程的解可以写成多维超几何积分的形式。2017年，在作者与V. Schechtman的联合论文中，修改了超几何解的构造，并构造了KZ方程模素数$p$的解。这些解模$p$，称为$p$ -超几何解，是具有整数系数的多项式。一个普遍的问题是确定独立的$p$ -超几何解的个数并理解这个个数的意义。在本文中，我们考虑的KZ方程与空间的奇异向量的重量$n-2r$在张量功率$W^{\otimes n}$的向量表示$\frak{sl}_2$。在这种情况下，KZ方程的超几何解由$r$维超几何积分给出。我们考虑相应的$p$ -超几何解的模，确定其秩，并证明其秩等于合适的平方可积微分$r$ -形式空间的维数.
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