Elliptic Polylogarithms and Basic Hypergeometric Functions
Giampiero Passarino
多重椭圆多项式可以写成基本超几何函数乘积的（多重）积分。后者是可计算的，任意精度，使用q-差分方程和q-连续关系。
Multiple elliptic polylogarithms can be written as (multiple) integrals of products of basic hypergeometric functions. The latter are computable, to arbitrary precision, using a q-difference equation and q-contiguous relations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
When epsilon-expansion of hypergeometric functions is expressible in terms of multiple polylogarithms: the two-variables examples
本文讨论了二元Horn型超几何函数在参数有理值附近的高阶展开式的解析系数的构造算法。
Expansion of hypergeometric functions in terms of polylogarithms with nontrivial variable change
本文利用微分方程方法和规范基约化，解决了指标依赖于小参数的超几何函数的Laurent展开问题，特别处理了涉及非平凡变量代换的有理指标情形，并提供了Mathematica包Diogenes实现算法。
Towards all-order Laurent expansion of generalized hypergeometric functions around rational values of parameters
证明了如下定理：1）Gauss超几何函数2F_1的Laurent展开式（I_1 + a * b，I_2 + b * c; I_3 + p/q + c * c; z），2F1（I_1 + p/q + a * b; I_2 + p/q + b * c; z），2F1（I_1 + p/q + a~*，I_2 + b~*，I_3 + p/q + c~*，I_3 + p/q + c~*）; z），其中I_1，I_2，I_3，p，q为任意整数，a，b，c为任意数，λ为无穷小参数，可表示为系数为多项式比的q-单位根的多重多项式; 2）高斯超几何函数2F1的Laurent展开（I_1 + p/q + a * k，I_2 + b * k; I_3 + c * k; z）可表示为系数为多项式之比的q-单位根乘对数幂的多重多项式; (2))和多个有理数和（见Eq. (3))可表示在多个多项式; 4）广义超几何函数（见方程。(4))可以用多个多项式来表示，其系数是多项式的比率。
$\texttt{MultiHypExp}$: A Mathematica Package For Expanding Multivariate Hypergeometric Functions In Terms Of Multiple Polylogarithms
本文提出 Mathematica 程序包 MultiHypExp，通过微分算子与 Pfaffian 系统方法将多元超几何函数在维数正规化参数中展开为多重多对数，以处理多圈多尺度 Feynman 积分。
Elliptic symbol calculus: from elliptic polylogarithms to iterated integrals of Eisenstein series
我们提出了一个推广的符号演算，从普通的多重多项式椭圆对应。我们的形式主义是基于一个特殊的情况下，一个大类的期间，特别是适用于椭圆多项式和迭代积分的模块化形式的共同作用。我们说明了如何使用我们的形式主义，推导出椭圆多项式之间的关系，在完全类似的非椭圆的情况下。然后，我们分析了椭圆多项式在有理点上的符号表，我们观察到它是由Eisenstein级数对某一同余子群给出的。我们应用我们的形式主义超几何函数，可以表示在椭圆多项式，并表明它们可以同样地写在爱森斯坦系列的迭代积分。最后，我们给出了等质量日出积分的符号。该符号表包含了六阶三权的爱森斯坦级数，我们可以很容易地用爱森斯坦级数的迭代积分来积分该符号。
The kite integral to all orders in terms of elliptic polylogarithms
我们证明了在$D=4-2\varepsilon$时空维中的双圈kite积分的Laurent级数可以表示为级数展开的每一阶（多重）多项式的椭圆推广.使用微分方程，我们提出了一种迭代方法来计算任何所需的阶数。作为一个例子，我们明确地给出了前三个命令。
Aspects of elliptic hypergeometric functions
一般椭圆超几何函数由椭圆超几何积分定义。它们包括椭圆β积分，椭圆类似物的欧拉-高斯超几何函数和Selberg积分，以及椭圆扩展的许多其他平原超几何和$q$ -超几何建设。特别是，贝利链技术，用于证明罗杰斯-拉马努金型身份证，已被推广到积分。在椭圆的水平上，它产生一个解决方案的杨-巴克斯特方程作为一个积分算子与椭圆超几何内核。我们简要介绍了这一领域的发展情况。
Iterated Elliptic and Hypergeometric Integrals for Feynman Diagrams
我们计算了重夸克的三圈主积分和对$ρ$参数的三圈QCD修正。它们服从具有三个以上奇点的二阶非因式分解微分方程，这些方程在Mellin- $N$空间中也不能因式分解。齐次方程组的解可以用收敛的闭整数幂级数表示为有理宗量的$_2F_1$ Gauss超几何函数。在某些情况下，这种类型的积分可以映射到有理宗量的完全椭圆积分。这类函数似乎是下一个出现在计算更复杂的费曼积分谐波多项式，广义多项式，分圆谐波多项式，平方根值迭代积分，及其组合，出现在简单的情况下。相应微分方程的非齐次解可以用迭代积分给出，其中新的最内层字母本身不是迭代积分。引入一类新的迭代积分，其中包含（多重）定积分作为因子出现的字母。对于椭圆的情况下，我们也得到的解决方案中的积分模块功能，也模块化的形式，使用$q$产品和系列表示隐含的Jacobi的$\vartheta_i$功能和戴德金的$η$功能。相应的表示可以追溯到Lambert-Eisenstein级数的多项式，也有表示为椭圆多项式，$q$ -阶乘$1/η^k(τ)$，$q$的多项式和多项式及其$q$ -积分。由于物理变量$x(q)$在不同过程中的特殊形式，通常会出现不同的表示。数值结果也被提出。
Introduction to the theory of elliptic hypergeometric integrals
我们简要介绍了椭圆超几何积分的关键性质-一个相对最近发现的超几何型超越特殊函数的顶级类。特别地，我们描述了Euler和Selberg的β积分的椭圆推广，Euler-Gauss超几何函数的椭圆模拟和根系上的一些多元椭圆超几何函数。椭圆傅立叶变换和相应的积分Bailey引理技术概述连同连接到一个置换群的星形三角关系和Coxeter关系。我们还回顾了椭圆超几何积分作为四维超对称量子场论的超共形指数的解释及其在Seiberg型对偶中的应用。
Elliptic Multiple Polylogarithms with Arbitrary Arguments in \textsc{GiNaC}
本文提出了一种在 GiNaC 中实现高精度任意参数椭圆多重 polylogarithms 数值评估的算法，通过 q-级数表示和现有库高效计算。
A construction of single-valued elliptic polylogarithms
本文提出了一种在一次 punctured 椭圆曲线上构造单值椭圆多项式对数的一般方法，扩展了 Brown 对 genus-zero 单值多项式对数的构造，通过椭圆关联子和两个字母表的表示来表达 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard 方程解的平凡单值条件，并通过椭圆 Bloch-Wigner 双对数等例子展示了该构造。
Elliptic hypergeometric function and $6j$-symbols for the SL(2,$\mathbb{C}$) group
证明了描述$SL(2,\mathbb{C})$群的$6j$ -符号的复超几何函数是$V$ -函数的一种特殊退化--它是Euler-Gauss $_2F_1$超几何函数的一个椭圆模拟.对于这个函数，我们得到了混合差分递归关系作为椭圆超几何方程的极限形式和一些对称变换。在计算的中间步骤，出现了一个函数描述的$6j$ -符号的Faddeev模倍和相应的差分方程和对称变换。
Essays on the theory of elliptic hypergeometric functions
本文对数学物理中一类新的特殊函数--椭圆超几何函数理论的主要结果作了简要的回顾。证明了推广欧拉β积分的最一般的一元精确积分公式，称为椭圆β积分。本文构造了高斯超几何函数的一个椭圆模拟及其椭圆超几何方程，并描述了该函数及其特殊子情形的双正交关系。我们列出已知的椭圆β积分的根系，并考虑对称变换为相应的椭圆超几何函数的高阶。
Elliptic hypergeometric functions
这是作者的Happiness Thesis（Dr. Sci.论文）于2004年9月初提交。它是用俄语写的，由于不断有人要求提供手稿，所以才贴在网上。内容：1.第二章介绍。具有离散时间的非线性链及其自相似解，3。一般理论的θ超几何级数，4。Theta超几何积分，5。双正交函数，6. |q| =1，7的椭圆超几何函数。结论，8.参考资料。它包含了一个大纲的一般启发式计划建设单变量特殊函数通过自相似减少频谱变换链，允许建设的微分差分q-Painleve方程，以及最普遍的已知一套椭圆双正交函数，包括所有经典的正交多项式和双正交有理函数。本文的主要结果之一是发现了由椭圆超几何积分决定的真超越椭圆超几何函数。这种积分的整个理论可以建立从单变量椭圆β积分-最复杂的已知定积分与精确的评价，它推广了普通二项式定理及其q-扩展，欧拉的β积分，措施阿斯基威尔逊多项式，和许多其他先前建立的结果对普通和q-超几何函数。
Classical elliptic hypergeometric functions and their applications
概述了椭圆超几何级数和椭圆积分的一般理论。主要注意力是服从“经典”特殊函数的性质的例子。特别地，描述了高斯超几何函数的椭圆模拟及其一些性质。目前的审查是基于作者的historical论文[Spi7]包含更详细的说明的主题。
Elliptic Hypergeometric Functions
在这些课堂讲稿中，我将对椭圆超几何函数进行初步的介绍。我专注于激发主要思想和结构，而不是给出一个全面的调查。讲座包括在可解晶格模型的背景下椭圆超几何函数的历史起源的简要解释。特别地，我给出了一个新的证明的事实，即融合玻尔兹曼重量的椭圆固体上固体模型可以表示为椭圆超几何和。
Gustafson-Rakha-Type Elliptic Hypergeometric Series
本文证明了由Spiridonov证明的Jackson求和公式的一个多元椭圆推广。这个结果的三角极限情况是由于古斯塔夫森和Rakha。作为应用，我们得到了两个进一步的多变量椭圆Jackson求和和两个多变量椭圆Bailey变换。后四个结果即使在三角函数的情况下都是新的。
From positive geometries to a coaction on hypergeometric functions
众所周知，维数正则化中的Feynman积分往往计算超几何型函数。受最近一个关于维正则化中单圈Feynman积分的共同作用的建议的启发，我们使用交叉数和扭曲的同调理论来定义某些超几何函数的共同作用。我们考虑的功能承认一个积分表示，其中被积函数和积分的轮廓都与正几何。在维数正则化的费曼积分，端点奇点正则化的指数控制的一个小参数$ε$。我们表明，这类积分定义的共同作用是一致的，在$ε$扩展后，与众所周知的共同作用多个polygonms。我们说明了我们的建设的有效性，明确确定各种类型的超几何${}_{p+1}F_p$和Appell函数的相互作用。
Elliptic Quantum Group U_{q,p}(\hat{sl}_2), Hopf Algebroid Structure and Elliptic Hypergeometric Series
在椭圆代数U_{q,p}（\hat{sl}_2）的基础上，提出了具有H-Hopf代数体结构的椭圆量子群的一种新实现.利用量子仿射代数U_q（\hat{sl}_2）和Heisenberg代数的Drinfeld生成元，给出了代数U_{q,p}（\hat{sl}_2）的构造性定义.这产生了有限维和无限维动力学表示及其与U_q（\hat{sl}_2）的并行结构的系统构造。特别是，我们给出了一个分类定理的有限维不可约伪最高权表示方面的椭圆模拟的德林费尔德多项式。我们还研究了两个评价表示的张量积的结构，并推导出Clebsch-Gordan系数的椭圆模拟。证明了它可用平衡椭圆超几何级数12 V11表示。
Modular Graph Functions
在早期的工作中，我们研究了与Feynman图相关的非全纯模函数的特征，该Feynman图用于在所有顶点处具有零外动量的二维环面上的共形标量场理论。这样的函数，我们称之为模图函数，例如，在genus-one Type II超弦振幅的低能展开中出现。本文引入了一类单值椭圆多重多项式，定义为与费曼图相关的椭圆函数，费曼图的外动量除两个顶点外均为零。这些函数依赖于椭圆曲线上的坐标$ζ$，并且当$ζ$被设置为等于$1$时，这些函数简化为模块图函数。我们证明，这些单值椭圆多重多项式是多个多项式的线性组合，和模块图函数的单值椭圆多重多项式的总和评估的身份的椭圆曲线，在这两种情况下，合理的系数。这一见解表明，模图函数之间的许多相互关系（其中一些是在早期的论文中建立的）可以作为涉及多个多项式的恒等式的结果获得，并解释了早期的观察，即洛朗多项式在尖点的系数由有理数乘以单值多个zeta值给出。
On the all-order epsilon-expansion of generalized hypergeometric functions with integer values of parameters
我们继续研究超几何函数的ε-展开式的解析系数的构造及其与费曼图的联系。本文应用求超几何函数微分方程迭代解的方法，证明了如下结果（定理1）：参数为整数值的广义超几何函数的ε展开式可用系数为多项式比的广义多项式表示。本文的证明方法为计算Laurent展开式的高阶系数提供了一种有效的算法。
Intertwining operators for Sklyanin algebra and elliptic hypergeometric series
利用椭圆L-算子的交织向量技术，构造了自旋为l和-l-1的Sklyanin代数的无限维表示的交织算子.它们表示为带算子变元的椭圆超几何级数。得到的交织算子（W-算子）作为构建块的椭圆R-矩阵交织的张量积的两个L-算子在无限维表示的Sklyanin代数与任意自旋。这个R-矩阵的杨-巴克斯特方程可以从W-算子的星-三角型的简单方程得到。一个自然的图形表示的对象和方程中涉及的建设。
Elliptic hypergeometric sum/integral transformations and supersymmetric lens index
我们证明了一对转换公式的多元椭圆超几何和/积分相关的$A_n$和$BC_n$根系，推广以前得到的公式雨。和/积分表示在透镜椭圆伽玛函数，椭圆伽玛函数的推广，取决于一个额外的整数变量，以及一个复杂的变量和两个椭圆诺姆。作为我们结果的应用，我们证明了一对四维$\mathcal{N}=1$超对称规范理论的$S^1\times S^3/\mathbb{Z}_r$超对称指数之间的一个等式，其中规范群为$SU(n+1)$和$Sp(2n)$ .这提供了迄今为止已知的对塞贝格对偶性的最精细的检验之一。作为$A_n$积分的另一个应用，我们证明了第二作者以前给出的统计力学二维可积格点模型的一个星-星关系.
Differential transcendence criteria for second-order linear difference equations and elliptic hypergeometric functions
我们开发的一般标准，确保任何非零的解决方案，一个给定的二阶差分方程是微分超越，适用于统一的特殊情况下的利益，如移位差分方程，q-膨胀差分方程，马勒差分方程，椭圆差分方程。这些准则作为微分伽罗瓦论在差分方程中的应用而得到。我们应用我们的准则证明了一个新的结果，即大多数椭圆超几何函数是微分超越的。
Elliptic hypergeometric functions associated with root systems
本文综述了与根系相关的椭圆超几何函数，主要包括三个部分。前两个形式在本质上是一个注释表的主要评价和转换公式椭圆超几何积分和系列的根系。第三部分也是最后一部分介绍了雷恩斯的椭圆Macdonald-Koornwinder理论（部分也是由Coskun和Gustafson发展的）。
Hypergeometric Functions and Feynman Diagrams
讨论了费曼图与超几何函数的关系。特别注意的是致力于现有的技术，用于建设的$ε$ -扩展。作为一个例子，我们提出了一个详细的讨论的建设的epsilon展开的Appell函数$F_3$周围的合理值的参数通过迭代解微分方程。作为一个副产品，我们已经发现，在$d=3-2ε$维的单圈无质量五边形图是不能用多重多面体来表示的。另一个有趣的例子是涉及由三个变量的超几何函数生成的微分算子的Puienix型解。简要讨论了$F_N$超几何函数的完整性。
Multiple (inverse) binomial sums of arbitrary weight and depth and the all-order epsilon-expansion of generalized hypergeometric functions with one half-integer value of parameter
我们继续研究超几何函数的ε-展开式的解析系数的构造及其与费曼图的联系。在本文中，我们证明了以下结果：定理A：多个（逆）二项式和的任意重量和深度（见方程。（1.1））可以用Remiddi-Vermaseren函数表示。定理B：具有一个半整数参数值的超几何函数的展开式（见等式2）。（1.2））可以用Remiddi和Vermaseren的调和多项式来表示，其系数是多项式的比率。一些额外的材料可以通过http://theor.jinr.ru/~kalmykov/hypergeom/hyper.html获得。
A walk on sunset boulevard
在日落大道上散步可以教我们与费曼图相关的超越函数。在这个导游中，我们将看到多个多面体，微分方程和椭圆曲线。参观的一个亮点将是概括的多边形的椭圆形设置和所有的顺序解决方案的日落积分在质量相等的情况下。
Complex hypergeometric functions and integrable many-body problems
本文将椭圆超几何方程一般化为复超几何函数。导出的方程推广到新的有理可积$N$体系统的哈密顿本征值问题出现从特定退化的椭圆Ruijsenaars和van Diejen模型。
Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients
考虑区域${\bf R}_3^ + \equiv {{({x,y,z}): x > 0, y > 0, z > 0}}$中的方程$$ L_{α,β,γ} (u) \equiv u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} + \displaystyle \frac{2α}{x}u_x + \displaystyle \frac{2β}{y}u_y + \displaystyle \frac{2γ}{z}u_z = 0 $$.这里$α,β,γ$是常数，而$0 < 2α, 2β, 2γ< 1$是常数。本文的主要结果是以显式形式构造了上述方程的八个基本解。它们用劳里切拉的三元超几何函数表示。利用Gauss超几何函数的乘积展开Lauricella超几何函数，证明了所得到的解在$r \to 0$处具有$1/r$阶奇异性.
Gauss hypergeometric function: reduction, epsilon-expansion for integer/half-integer parameters and Feynman diagrams
将参数为任意值的高斯超几何函数2F 1约化为两个参数为固定值的函数，这两个函数与原函数相差整数。证明了在参数为整数和/或半整数值的情况下，只有三种代数独立的高斯超几何函数。这种类型（在我们的分类中为F型）的函数的ε展开要求引入与椭圆函数的推广相关的新函数。对于其他五种类型的功能的高阶ε展开的功能的权重4的构建。展开的结果只能用Nielsen多项式表示。考虑了单重线q无质量线q圈离壳传播子图和双重线q-1无质量线q圈泡的约化和ε展开。该代码（Mathematica/FORM）可通过网址http://theor.jinr.ru/~kalmykov/hypergeom/hyper.html获得
Lens Generalisation of $τ$-functions for the Elliptic Discrete Painlevé Equation
我们提出了一个新的双线性Hirota方程的$τ$ -功能与$E_8$根晶格，提供了一个“镜头”概括的$τ$ -功能的椭圆离散潘勒韦方程。我们的方程的特点是一个正整数$r$除了通常的椭圆参数，并涉及一个混合物的连续变量与额外的离散变量，后者采取值的$E_8$根格。我们构造了这个双线性Hirota方程的显式$W(E_7)$不变超几何解，这些解以椭圆超几何和/积分的形式给出.
Elliptic umbilic representations connected with the caustic
本文研究了椭圆脐正则积分的初始分布移到焦散点的级数展开。得到了椭圆脐点的一个绝对收敛的整表示。利用它，我们找到了2F ~ 2超几何函数的椭圆脐特值。我们还得到了积分的高斯和两个艾里函数的乘积的分数阶贝塞尔函数。本文还讨论了3F 2超几何函数的特殊值和Airy多项式关系等其它推论。
GKZ Hypergeometric Series for the Hesse Pencil, Chain Integrals and Orbifold Singularities
椭圆曲线的Hesse束的GKZ系统比周期积分有更多的解。在这项工作中，我们给出了不同的实现和解释的额外的解决方案，在振荡积分，Eichler积分，链积分的椭圆曲线，一个特定的紧凑的Calabi-Yau三重几何的周期极限等，我们还强调了所起的作用的轨道奇异性的模空间及其与GKZ系统的关系。
All order epsilon-expansion of Gauss hypergeometric functions with integer and half/integer values of parameters
证明了下列高斯超几何函数2F 1的Laurent展开式（I1+a* p，I2+b*ep; I3+c* p;z），2F1（I1+a* b，I2+b* c;I3+1/2+c* c;z），2F1（I1+1/2+a* b，I2+b* c; I3+c* c;z），2F1（I1+1/2+a* b; I2+b* c; I3+1/2+c* c;z），2F1（I1+1/2+a*，I2+1/2+b*; I3+1/2+c*; z），其中I1、I2、I3为任意非负数整数，a、b、c为任意数，且λ为任意小参数，的调和多项式的Remiddi和Vermaseren的多项式系数。构造了一种计算Laurent展开式高阶系数的有效算法。本文还讨论了高斯超几何函数的一些特殊情况。
The Hyperbolic Asymptotics of Elliptic Hypergeometric Integrals Arising in Supersymmetric Gauge Theory
本文的目的是证明：i）椭圆超几何积分（EHI）的框架可以通过超对称规范理论的输入来扩展，ii）在扩展框架中分析EHI的双曲极限会导致包含超对称量子场论感兴趣的尖锐数学问题的丰富结构。上述两项都已经在理论物理学文献中讨论过了。第i项由Dolan和Osborn在2008年演示。第二项在作者的博士论文中讨论过。论文在2016年，其中的关键元素是从2006年的工作借用雨对某些类的EHI的双曲极限。这篇文章包含了这些发展的简要回顾，以及微小的改进和澄清的意见，主要是为对EHI感兴趣的数学家写的。特别是，我们使用超对称规范理论的表示论定义，这样，没有任何规范理论背景的读者--但熟悉半单李代数的表示论--就可以理解我们的讨论。
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