Integrals containing confluent hypergeometric functions with applications to perturbed singular potentials
我们证明了许多包含合流超几何函数乘积的积分直接从一个单一的积分得出，该积分在Appell的二重级数F_2下有一个非常简单的公式。我们提出了一些技术来计算这样的系列。给出了奇异势和扰动Kratzer势的矩阵元的应用。
2003-06-16 math-ph math.MP
Electric potentials and field lines for uniformly-charged tube and cylinder expressed by Appell's hypergeometric function and integration of $Z(u|m) \mathrm{sc}(u|m)$
Research and Education Center for Natural Sciences, Keio University（庆应义塾大学自然科学与教育中心）
本文利用椭圆积分和 Appell 超几何函数推导了均匀带电管和圆柱的电势与场线闭式表达式，引入场线势概念并定义了拓扑荷，同时填补了经典公式表中关于 $Z(u|m)\operatorname{sc}(u|m)$ 积分的空白。
2025-10-11 hep-th math-ph math.MP
HYPERDIRE: HYPERgeometric functions DIfferential REduction: MATHEMATICA based packages for differential reduction of generalized hypergeometric functions: $F_D$ and $F_S$ Horn-type hypergeometric functions of three variables
HYPERDIRE是一个致力于创建一套基于Mathematica的程序的项目，用于超几何函数的微分约简。目前的版本包括两个部分：第一个，FdFunction，用于操作与Appell超几何函数$F_D$的$r$变量;和第二个，FsFunction，用于操作与劳里塞拉-萨兰超几何函数$F_S$的三个变量。这两个函数都与单圈费曼图有关。第五章给出了Horn型超几何函数ε-展开式系数结构的两个定理。作为例子，前三个系数的ε展开的Appell超几何函数FD的r-变量显式评估。
2014-10-24 cs.SC hep-ph hep-th
A massive Feynman integral and some reduction relations for Appell functions
导出了具有任意外动量和质量的一维单圈两点Feynman积分的新的显式表达式$m_1^2$和$m_2^2$.结果以Appell函数的形式给出，该函数明显关于质量$m_i^2$对称。等同于我们的表达式与以前已知的结果，在高斯超几何函数产生减少所涉及的Appell函数，显然是新的数学结果的关系。
2007-11-17 hep-th math-ph math.CA
Linear transformations of Srivastava's $H_C$ triple hypergeometric function
我们探讨了Srivastava的$H_C$三重超几何函数的线性变换的大集。这个函数最近被联系到大规模的单圈共形标量3点费曼积分。在这里，我们专注于类的线性变换的$H_C$，可以得到从线性变换的高斯$_2F_1$超几何函数，并作为$H_C$也是一个三变量推广的Appell $F_1$双超几何函数，从特定的线性变换的$F_1$称为卡尔森的身份和它的一些推广。这些变换应用于$H_C$的3重Mellin-Barnes表示的水平。这使我们能够使用强大的圆锥壳方法的物理。127（2021）no.15，151601用于评估变换的Mellin-Barnes积分，这导致了期望的结果。后者然后可以检查数值对费曼参数化的共形3点积分。我们还展示了如何使用这种方法来推导出许多已知的（和鲜为人知的）结果涉及Appell双超几何函数。
2022-05-12 hep-th math-ph math.MP
Some decomposition formulas of generalized hypergeometric functions and formulas of an analytic continuation of the Clausen function
本文利用Burchnall和Chaundy的相似符号方法构造了广义超几何函数的展开式。利用所得到的展开式，定义了克劳森超几何函数的解析延拓公式。所得到的解析延拓公式表示已知的超几何Appell函数$ F_2 ({a;b_1, b_2 ;c_1, c_2 ;x,y}) $，其理论已得到很好的研究。
2008-10-15 math-ph math.CA math.MP
Epsilon expansion of Appell and Kampé de Fériet functions
分解部分分数的商的Pochhammer符号大大改善了一种方法，建议在一个先例文件，它允许一个获得的$\varepsilon$-扩展功能的超几何类。该程序被应用到几个Appell和坎普德Fériet函数在文献中考虑。显式表达式和有趣的性质的衍生物的Pochhammer和倒数Pochhammer符号，这是必不可少的元素，在程序中，在附录中给出。
2014-03-28 hep-ph hep-th math-ph
Computer Algebra and Hypergeometric Structures for Feynman Integrals
我们提出了最近的计算机代数方法，支持计算（多元）系列解决方案（某些耦合系统的偏）线性微分方程。级数解的被加数可以由超几何积建立，更一般地，可以由定义在这些积上的不定套和建立。特殊情况是超几何结构，如Appell函数或它们的推广，在处理参数费曼积分时经常出现。
2022-07-18 cs.SC hep-ph math-ph
Finding new relationships between hypergeometric functions by evaluating Feynman integrals
通过对不同方法计算的Feynman积分结果的比较，发现了超几何函数之间的几种新的关系。本文仅用一个Appell超几何函数F_1导出了具有任意质量和任意传播子幂的单圈传播子型积分的一个新表达式。通过与已知的一个表达式的比较，找到了Appell函数F_1和F_4之间的一个新的关系，并通过与已知的另一个结果的比较，导出了一个将具有特殊自变量的F_1函数化为超几何函数_3F_2的新公式。通过对一个特殊的单圈顶点积分用不同方法得到的结果进行比较，建立了一个新的F_1函数与自变量二次变换之间的关系。本文通过分析割面上双圈自能积分的虚部，找到了F_1函数的另一个约化公式。给出了F_1函数与以六次多项式之比为自变量的高斯超几何函数_2F_1之间的显式关系。
2011-08-30 hep-ph hep-th math-ph
Derivatives of Horn-type hypergeometric functions with respect to their parameters
本文研究了任意变数的Horn超几何函数关于其参数的导数。函数在$n$变量中的导数被表示为$n+1$无限求和的Horn超几何级数，其取决于相同的变量并且具有与原始Horn函数相同的收敛区域。给出了Appell函数、广义超几何函数、合流和非合流Lauricella级数以及广义Lauricella级数的导数。讨论了在费曼图计算中的应用，特别是在维数正则化中的$ε$级数展开。与其他类的特殊功能的连接进行了讨论。
2017-12-18 hep-th math-ph math.MP
Modularity of Feynman Integrals and Factorization of Appell F2 Systems
Maxwell Institute for Mathematical Sciences（麦克斯韦数学科学研究所）；Heriot-Watt University（赫瑞瓦特大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文通过构造高斯超几何系统证明了二维共形轨积分的模性，揭示了费曼积分与Calabi-Yau manifold周期之间的关系。
2026-05-08 hep-th math-ph math.AG
The Generalized Hypergeometric Structure of the Ward Identities of CFT's in Momentum Space in $d > 2$
本文回顾了在$d > 2$维共形场论中，从共形沃德恒等式（CWI）中（$F_4$ Appell函数的）超几何结构的出现。我们举例说明标量3点和4点函数的情况。3-点函数与具有4个独立解的超几何系统相关联。对于对称双曲子，它们可以用一个单一的3 K积分--动量的平方比的函数--来表示，这是三个修正的贝塞尔$K$函数的参数积分。在标量四点函数的情况下，通过要求相关器在坐标空间中以及在某些对偶变量中是共形不变的（即对偶共形不变），其显式表达式也由3 K积分给出，或者作为Appell函数的线性组合，现在是四次动量比。类似的表达式已经在过去的计算中的一个无限类的平面梯形（费曼）图在微扰理论，其中，然而，不共享相同的（对偶共形/共形）对称性，我们的解决方案。然后我们讨论了一些三元超几何函数，它们定义了CWI的8个特解，并对应于Lauricella函数。它们也可以结合在4K积分方面，并出现在标量4点函数的渐近描述中，在特殊的运动学极限中。
2020-04-29 hep-ph hep-th math-ph
Generalized Hypergeometric Functions and the Evaluation of Scalar One-loop Integrals in Feynman Diagrams
目前和未来的高精度测试的标准模型和超越的基本成分和相互作用的性质是需要复杂的微扰计算，涉及多腿和多圈费曼图。目前，大量的努力致力于寻找闭环积分的封闭表达式，尽可能用已知的超几何型函数来写。本文利用二元广义超几何函数重新计算了纯量三点函数。最后，使用的是这样的Appell函数和difficulms来自以前的调查之间的连接，恢复众所周知的结果。
1998-11-23 hep-ph math-ph math.MP
From positive geometries to a coaction on hypergeometric functions
众所周知，维数正则化中的Feynman积分往往计算超几何型函数。受最近一个关于维正则化中单圈Feynman积分的共同作用的建议的启发，我们使用交叉数和扭曲的同调理论来定义某些超几何函数的共同作用。我们考虑的功能承认一个积分表示，其中被积函数和积分的轮廓都与正几何。在维数正则化的费曼积分，端点奇点正则化的指数控制的一个小参数$ε$。我们表明，这类积分定义的共同作用是一致的，在$ε$扩展后，与众所周知的共同作用多个polygonms。我们说明了我们的建设的有效性，明确确定各种类型的超几何${}_{p+1}F_p$和Appell函数的相互作用。
2019-10-18 hep-th math-ph math.MP
Differential Reduction Algorithms for the All-Order Epsilon Expansion of Hypergeometric Functions
超几何函数提供了费曼图的一个有用的表示出现在精密唯象学。在维数正则化中，需要这些函数关于d=4的ε展开。我们讨论了差分约简算法的现状。作为一个例子，我们考虑了Appell超几何函数关于参数的整数值的全阶ε-展开的构造，并给出了前几项的显式估计.
2008-10-06 hep-ph hep-th math-ph
Analytic continuations and numerical evaluation of the Appell $F_1$, $F_3$, Lauricella $F_D^{(3)}$ and Lauricella-Saran $F_S^{(3)}$ and their Application to Feynman Integrals
本文系统推导了 Appell $F_1$、$F_3$ 及其三变量推广 Lauricella $F_D^{(3)}$、$F_S^{(3)}$ 的解析延拓，并开发了四个 Mathematica 程序包以支持费曼积分数值计算。
2025-01-01 cs.MS hep-ph hep-th
$n$-point functions in Conformal Quantum Mechanics: A Momentum Space Odyssey
该研究探索共形量子力学中动量空间共形不变性对关联函数的影响，推导了n点函数的超几何函数闭合形式，验证了结果并扩展至超对称理论。
2024-02-26 hep-th math-ph math.MP
Hypergeometric Functions and Feynman Diagrams
讨论了费曼图与超几何函数的关系。特别注意的是致力于现有的技术，用于建设的$ε$ -扩展。作为一个例子，我们提出了一个详细的讨论的建设的epsilon展开的Appell函数$F_3$周围的合理值的参数通过迭代解微分方程。作为一个副产品，我们已经发现，在$d=3-2ε$维的单圈无质量五边形图是不能用多重多面体来表示的。另一个有趣的例子是涉及由三个变量的超几何函数生成的微分算子的Puienix型解。简要讨论了$F_N$超几何函数的完整性。
2021-01-22 hep-ph hep-th math-ph
Expansion of hypergeometric functions in terms of polylogarithms with nontrivial variable change
本文利用微分方程方法和规范基约化，解决了指标依赖于小参数的超几何函数的Laurent展开问题，特别处理了涉及非平凡变量代换的有理指标情形，并提供了Mathematica包Diogenes实现算法。
2024-07-23 hep-ph hep-th math-ph
Hypergeometric Structures in Feynman Integrals
单尺度和多尺度费曼积分中的超几何结构出现在广泛的拓扑结构中。使用分部积分关系，必须计算相关的主积分或标量积分。为此目的，它似乎是有用的，设计一种自动化的方法，该方法识别相应的（偏）微分方程相关的相应的更高的超越函数。我们解决这些方程通过相关的多值形式泰勒级数的展开系数的递归。展开系数可以在线性差分方程的情况下使用软件包{ \tt Sigma}来确定，或者在部分线性差分方程的情况下通过应用启发式方法来确定。在本上下文中出现了一种新的类型的总和，赫维茨调和和，以及它们的广义版本。本文介绍了用{ \tt HypSeries}将一类微分方程变换为解析级数展开式的程序。还考虑了具有Pochhammer符号的有理解和有理函数解的偏差分方程，并设计了相应的程序{ \tt solvePartialLDE}.考虑了广义超几何函数Appell-、~ KampédeFériet-、Horn-、Lauricella-Saran-、Srivasta-和Exton-型函数。我们通过例子说明了算法。
2021-11-30 cs.SC hep-ph hep-th
Study of $q$-Garnier system by Padé method
我们给出了$q$ -Garnier系统的简单形式的演化方程和标量拉克斯对。讨论了$q$ -潘勒韦方程的一些约化以及自治情形作为广义QRT系统的情形。利用微分网格和$q$ -网格上的两类Padé问题，利用$q$ -Appell Lauricella函数和广义$q$ -超几何函数，得到了$q$ -Garnier方程组的一些特解.
2016-08-23 math-ph math.CA math.MP
Expansions of the solutions of the general Heun equation in terms of the incomplete Beta functions
应用基于导数方程的方法，我们构造了一般Heun方程解的几种不完全Beta函数展开式.给出了第一类二元Appell广义超几何函数的几种展开式。所构造的展开式适用于所涉及的参数的任意集合。展开式的系数服从四项、五项或六项递推关系。然而，存在几组参数，其递归关系涉及较少的项，不一定是连续的。讨论了通过级数的终止获得有限和解的条件。
2017-03-23 math-ph math.MP
Hyperspherical Functions and Linear Representations of the Lorentz Group
真正交洛仑兹群的双重覆盖被理解为二阶特殊幺模群的复化（三维旋转群的双重覆盖）。借助于这种解释，我们用超球函数研究了洛伦兹群有限维表示的矩阵元。考虑了与其他特殊函数（超几何级数、广义球函数、Jacobi函数、Appell函数）相关的超球函数的不同形式。结果表明，超球函数和物理场之间有着密切的关系，定义在$(j,0)\oplus(0,j)$表示空间。给出了超球函数之间的递推关系。
2002-05-09 hep-th math-ph math.MP
HyperPrecision: A Mathematica package for High-Precision Numerical Evaluation of Multivariate Hypergeometric Functions
SLAC National Accelerator Laboratory, Stanford University（斯坦福大学斯坦福直线加速器中心）；Asia Pacific Center for Theoretical Physics（亚太理论物理中心）
提出 HyperPrecision Mathematica 包，通过自动构造 Pfaffian 系统并沿一维等高线求解常微分方程，实现 Horn 型多元超几何函数及其 Laurent 展开的高精度数值计算。
2026-08-14 hep-ph hep-th math-ph
Quadratic and quartic integrals using the method of brackets
我们使用括号法来计算二次和四次型积分。我们回顾了该方法的操作规则，并举例说明其工作。然后用这种方法计算Gradshteyn和Ryzhik积分表中第3.251.1，3，4项中的二次型积分，并得到了用超几何函数表示的封闭形式.该方法还用于计算四次积分，表中的条目2.161.5和6。我们也给出了这两种类型的积分的超几何函数的封闭形式表示的推广。
2019-09-03 hep-ph math-ph math.MP
Elliptic hypergeometric functions associated with root systems
本文综述了与根系相关的椭圆超几何函数，主要包括三个部分。前两个形式在本质上是一个注释表的主要评价和转换公式椭圆超几何积分和系列的根系。第三部分也是最后一部分介绍了雷恩斯的椭圆Macdonald-Koornwinder理论（部分也是由Coskun和Gustafson发展的）。
2019-02-14 math-ph math.CA math.CO
Diagrammatic construction of GKZ systems for polygonal functions
I.E. Tamm Department of Theoretical Physics, P.N. Lebedev Physical Institute（P.N. 列别杰夫物理研究所 I.E. 塔姆理论物理系）；Institute for Theoretical and Mathematical Physics, Lomonosov Moscow State University（莫斯科罗蒙诺索夫国立大学理论与数学物理研究所）
本文为多边形超几何函数构造GKZ超几何系统，利用图解算法和转移矩阵确定有限环面方程子系统，并给出实例验证。
2026-09-30 hep-th math-ph math.AG
Yangian Bootstrap for Conformal Feynman Integrals
我们探讨的想法，引导费曼积分的可积性。特别是，我们把最近发现的共形费曼积分的扬扬对称性的工作。作为一个典型的例子，我们证明了D-维盒积分与一般的传播功率是完全固定的对称性是一个特殊的线性组合Appell超几何函数。在这种情况下，布洛赫-维格纳函数作为一个特殊的4D杨格不变量出现。盒积分的引导过程自然地以算法形式构造。然后，我们讨论了六点双盒积分以及相关的六边形的杨的约束。对于后者，我们认为，解决了一组广义Lauricella函数的约束，我们评论并发症在确定这些的积分作为一个特定的线性组合。最后，我们阐述了与梅林-巴恩斯技术的密切关系，并认为它产生的Yangian不变量作为剩余的总和。
2021-01-19 hep-ph hep-th math-ph
Yangian Ward Identities for Fishnet Four-Point Integrals
本文导出并研究了无穷大类四点阶梯积分的Yangian沃德恒等式及其Basso-Dixon推广。这些对称性方程是从将各自的费曼积分解释为双标量渔网理论中的关联函数得出的。或者，所提出的恒等式可以理解为动量空间共形对称的反常方程。沃德恒等式采用定义Appell超几何函数的偏微分方程的非齐次扩展的形式。我们采用一个明显的共形张量减少，以表达这些不均匀性的紧凑形式，这是由线性组合的Basso-Dixon积分与移动的尺寸和传播功率。沃德恒等式自然地推广到一个单参数族的D-维积分代表的广义渔网理论的Kazakov和Olivucci的分解。当指定为两个时空维时，杨格沃德恒等式解耦。使用分离变量，我们显式引导的解决方案的共形二维盒积分。其结果是勒让德函数的杨氏不变乘积的线性组合，其减少到椭圆K积分的各向同性选择的传播功率。我们评论在二维和四维的超越性模式的差异及其关系的不连续性。
2022-04-21 hep-th math-ph math.MP
