Bethe subalgebras of the group algebra of the symmetric group
E. Mukhin, V. Tarasov, A. Varchenko
引入了对称群的群代数的极大交换子代数族，称为Bethe子代数。Bethe子代数是Gelfand-Zetlin子代数的变形。我们描述了Bethe子代数的各种性质。
We introduce families of maximal commutative subalgebras, called Bethe subalgebras, of the group algebra of the symmetric group. Bethe subalgebras are deformations of the Gelfand-Zetlin subalgebra. We describe various properties of Bethe subalgebras.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bethe subalgebras in Hecke algebra and Gaudin models
构造了Hecke代数的Bethe子代数的元素的生成函数作为Hecke链的Sklyanin转移矩阵算子。证明了在一个特殊的经典极限q -> 1下，Gaudin模型的哈密顿量可以由Hecke链的转移矩阵算子导出.对于Hecke代数，我们构造了Gaudin Hamilton算子的一个非局部模拟.
On classical limits of Bethe subalgebras in Yangians
单李代数$\mathfrak{g}$的杨式$Y(\mathfrak{g})$可以看作是两个不同的Hopf代数的变形：泛包络代数$U(\mathfrak{g}[t])$和第一同余子群$\mathcal{O}(G_1[[t^{-1}]])$的坐标环。这两个代数都是通过在杨代数上取关于适当滤子的相关分次而从杨代数得到的。Bethe子代数形成依赖于伴随群$G$的群元素$C$的交换子代数的自然族。这些代数在基本表示的张量积中的图像给出了量子XXX海森堡磁链的所有积分。对于所有半单$C\in G$，我们将Bethe子代数的伴随分次描述为$U(\mathfrak{g}[t])$和$\mathcal{O}(G_1[[t^{-1}]])$中的子代数.证明了赋给$G$的单位元的Bethe子代数在$U(\mathfrak{g}[t])$中的伴随分次是$U(\mathfrak{g}[t])$的泛Gaudin子代数，它是从相应的仿射Kac-Moody代数的中心在临界水平上得到的.这将Talalaev的通用Gaudin子代数的生成元公式推广到任何类型的$\mathfrak{g}$。特别是，这表明高丁磁链的高哈密顿量可以在不涉及Feigin-Frenkel中心的情况下量子化。利用Bethe子代数的伴随分次的一般结果，计算了当$C$到非正则半单群元$C_0$时，对应于正则半单群元$C\in G$的Bethe子代数…
Simplicity of spectra for Bethe subalgebras in $Y(\mathfrak{gl}_2)$
考虑具有$C$正则$2\times 2$矩阵的Yangian $Y(\mathfrak{gl}_2)$中的Bethe子代数B（C）.研究了$Y(\mathfrak{gl}_2)$的Bethe子代数在$Y(\mathfrak{gl}_2)$的有限维表示上的作用.我们证明了具有实对角$C$的$B(C)$在对应于实弦的不交并的任何不可约$Y(\mathfrak{gl}_2)$ -模上具有简单谱。我们把这个结果推广到Bethe代数的极限上。我们的主要工具是计算$B(C)$的幂零退化的Shapovalov型行列式。
Degeneration of Bethe subalgebras in the Yangian of $\mathfrak{gl}_n$
研究了Yangian $Y(\mathfrak{gl}_n)$中Bethe子代数$B(C)$的退化，其中$C$是正则对角矩阵.我们证明了Bethe子代数族的参数空间的闭包是稳定有理曲线$\overline{M_{0,n+2}}$的Deligne-Mumford模空间，它参数化了所有可能的退化.所有对应于$\overline{M_{0,n+2}}$的点的子代数都是自由的和极大交换的。我们明确地描述了“最简单”的退化，并表明，每一个退化是最简单的组合。Deligne-Mumford空间$\overline{M_{0,n+2}}$推广到其他根系作为一些德Concini-Procesi解决方案的一些环面品种。我们提出一个猜想，将我们的结果推广到任意单李代数的Yangian中的Bethe子代数。
Bethe subalgebras in Braided Yangians and Gaudin-type models
在\cite{GS1}中，引入了反射方程类型的辫子杨吉安的概念。这些代数中的每一个都与对合或赫克对称$R$相关联。此外，还提出了某些对称多项式（初等对称多项式、幂和）的量子类似物。在本文中，我们证明了这些量子对称多项式相互交换，从而产生一个交换Bethe子代数。作为应用，我们得到了Gaudin型模型和相应的Bethe子代数。
Spectra of Bethe subalgebras of $Y(\mathfrak{gl}_n)$ in tame representations
本文研究Yangian $Y(\mathfrak{gl}_n)$的Bethe子代数在Tame表示中的特征值问题，即在允许Gelfand-Tsetlin基的有限维表示中的特征值问题.也就是说，我们证明了，对于任何张量积的斜模$V=\otimes_{i=1}^k V_{λ_i \setminus μ_i}(z_i)$上的Yangian $Y(\mathfrak{gl}_n)$与一般$z_i$的，家庭的Bethe子代数$B(X)$与$GL_n$（或更一般地说，与$X \in \overline{M_{0,n+2}}$）的最大环面的正则元素$X$的$B(X)$与$V$上的循环向量的作用。此外，对于$X$的实形式的$\overline{M_{0,n+2}}$，这是封闭的正规酉对角矩阵，我们表明，家庭的子代数$B(X)$作用与简单的频谱上$\otimes_{i=1}^k V_{λ_i \setminus μ_i}(z_i)$的一般$z_i$的，其中所有$V_{λ_i \setminus μ_i}(z_i)$是Kirillov-Reshetikhin模块。在随后的论文中，我们将使用它来定义一个KR-晶体结构的频谱上的贝特子代数$V$。
Bethe subalgebras in Yangians and the wonderful compactification
本文研究 Yangian 中由伴随李群参数化的 Bethe 子代数族，刻画其经典极限与正则参数下的自由多项式结构，并将该族延拓至 De Concini–Procesi 美妙紧化，证明各层一般点对应 Levi 子代数 Yangian 中的 Bethe 子代数。
KZ equations and Bethe subalgebras in generalized Yangians related to compatible R-matrices
相容编织的概念是由Isaev、Ogievetsky和Pyatov提出的。在此基础上定义了某些量子矩阵代数，推广了RTT代数和反射方程代数。他们还在这些代数中定义了一些对称多项式的类似物，并证明了这些多项式生成交换子代数，称为Bethe。通过使用类似的方法，我们引入了某些新的代数称为广义杨格代数，并定义了一些类似的对称多项式在这些代数。我们声称，他们相互交换，从而产生一个交换Bethe子代数在每个广义Yangian。此外，我们还定义了Knizhnik-Zamolodchikov方程的一些类似物（也来自于相容的辫子对）--经典的和量子的。
Bethe Subalgebras in Twisted Yangians
我们研究了李代数$gl_N$的Yangian对于其他经典李代数$so_N$和$sp_N$的类似.我们称他们为扭曲的杨吉亚人。它们是$gl_N$的Yangian $Y(gl_N)$中的余理想子代数，并分别允许同态到泛包络代数$U(so_N)$和$U(sp_N)$上.在每一个扭曲的杨代数中，我们构造了一族由相应的经典李代数的正则半单元素参数化的极大交换子代数。这些子代数在$U(so_N)$和$U(sp_N)$中的象也是极大交换的。
An identity in the Bethe subalgebra of $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_n]$
本文给出对称群群代数中的一个恒等式，无需使用 Bethe ansatz 即可直接建立多项式逆 Wronskian 与 Gaudin 哈密顿量特征空间的对应关系。
Bethe subalgebras in Yangians and Kirillov-Reshetikhin crystals
本文在A型Yangian的Bethe子代数谱上构造仿射晶体，通过退化到万有非齐次Gaudin子代数并联系Feigin-Frenkel中心，证明其与Kirillov-Reshetikhin晶体一致，进而证明相关单值性猜想。
Bethe subalgebras in antidominantly shifted Yangians
本文研究了反主导移位杨代数中的贝泰子代数，通过定义和计算经典版本的子代数，揭示了其在量子化中的作用。
Yangian deformations of $\mathcal{S}$-commutative quantum vertex algebras and Bethe subalgebras
本文构造了基于标准化Yang R矩阵的新类量子顶点代数，探讨其表示论及交换性与Bethe子代数的关系。
Gelfand-Tsetlin degeneration of shift of argument subalgebras in type D
任何半单李代数$\mathfrak{g}$的泛包络代数包含一族极大交换子代数，称为辐角移位子代数，由$\mathfrak{g}$的正则Cartan元参数化。对于$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n$，$U(\mathfrak{g})$中的Gelfand-Tsetlin交换子代数作为来自这个族的子代数的某种极限而产生。在我们以前的工作（arXiv：1807.11126）中，我们研究了李代数$\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{2n}$和$\mathfrak{g}=\mathfrak{o}_{2n+1}$的辐角子代数的相似移位极限.我们分别用扭曲Yangians $Y^-(2)$和$Y^+(2)$的Bethe子代数来描述极限子代数，并用C型和B型Gelfand-Tsetlin模式来参数化这些极限子代数在有限维不可约最高权表示中的特征基.本文对经典李代数的最后一种情形$\mathfrak{g}=\mathfrak{o}_{2n}$给出并证明了类似的结果。利用扭曲Yangian $Y^+(2)$中的Bethe子代数描述了辐角子代数的极限移位，并利用D型Gelfand-Tsetlin模式给出了任意有限维不可约最高权$\mathfrak{g}$ -模中辐角子代数的本征基的自然指标.
Finite type modules and Bethe Ansatz for quantum toroidal gl(1)
研究了量子环面gl（1）代数的Borel子代数在有限维权空间上的最高权表示.特别是，我们发展了q-字符理论，这样的模块。引入并研究了“有限型”模的子范畴.根据定义，Borel子代数上的模是有限型的，如果类Cartan流ε ^+（z）有有限个特征值，即使模本身可以是无限维的。我们使用我们的结果对角化的传输矩阵T_{V,W}（u;p）类似的六顶点模型。在我们的设定中，T_{V,W}（u;p）作用在Fock空间的张量积W上，V是有限维权空间的量子环面gl（1）的Borel子代数上的最高权模.也就是说，我们表明，对于一个特殊的选择的有限型模块$V$相应的转移矩阵，Q（u;p）和T（u;p），是多项式在u和满足两项TQ关系。我们利用这个关系证明了Q（u;p）特征值零点的Bethe Answer方程。然后我们证明了T_{V,W}（u;p）的特征值是通过将Q（u;p）的特征值适当地代入V的q-特征标而得到的。
The gl_2 Bethe algebra associated with a nilpotent element
对于任意2 × 2-矩阵K，我们赋予一个交换子代数B^{K} \subset U（gl_2[t]），称为Bethe代数。我们描述了与零矩阵和幂零矩阵幂零矩阵相关的Bethe代数之间的关系。
A proof of the Gaudin Bethe Ansatz conjecture
Gaudin代数是$U(\mathfrak{g})^{\otimes N}$中的交换子代数，它是由量子Gaudin磁链的高阶积分生成的，该量子Gaudin磁链附着在半单李代数$\mathfrak{g}$上。这个代数依赖于成对不同复数$z_1,\ldots,z_N$的集合。证明了对于任意有限维不可约$\mathfrak{g}$ -模的张量积的奇异向量空间，对于参数$z_1,\ldots,z_N$的所有值，该子代数都有循环向量.我们从这个结果推出Feigin-Frenkel形式的Bethe Anasterian猜想，该猜想指出不可约有限维$\mathfrak{g}$ -模的张量积上的高阶Gaudin Hamilton算子的联合特征值与在点$z_1,\ldots,z_N,\infty$上具有正则奇点和在奇点上具有规定留数的射影线上的无单值${}^LG$算子是1-1对应的.
Defining relations for quantum symmetric pair coideals of Kac-Moody type
经典对称偶由可对称化的Kac-Moody代数$\mathfrak{g}$及其在第二类对合自同构下的不动点子代数组成。这种构造的量子群类似物，称为量子对称对，用量子化包络代数$U_q(\mathfrak{g})$的单侧共理想子代数代替不动点李子代数。我们提供了一个完整的介绍，这些量子对称对共理想子代数的生成元和关系。这些关系式是非齐次的$q$ -Serre型的，并且对广义Cartan矩阵没有限制.我们特别注意分裂的情况下，量子对称对共理想子代数是广义$q$ -Onsager代数。
The center of quantum symmetric pair coideal subalgebras
第二作者发展的量子对称对偶理论是基于半单李代数的量子化泛包络代数的余理想子代数。本文研究了这类共理想子代数的中心，证明了其中心是一个多项式环。中心的一个基础是在一个子幺半群的主导积分权重。
Finite type modules and Bethe ansatz equations
引入并研究了量子仿射代数$U_q\mathfrak{g}$的Borel子代数的模范畴$\text{Fin}$，其中对应于Cartan流的Drinfeld生成元的交换代数$h_{i,r}$具有100个特征值.这个范畴是有限维$U_q\mathfrak{g}$模范畴的自然扩张。特别地，我们对不可约对象进行了分类，讨论了它们的性质，并描述了q-特征标的组合学。我们研究了$\text{Fin}$中模块对应的传递矩阵。其中我们发现Baxter $Q_i$算子和$T_i$算子满足$T_iQ_i=\prod_j Q_j+ \prod_k Q_k$形式的关系。我们表明，这些运营商是多项式的谱参数后，适当的规范化。这使我们能够证明的Bethe anomaly方程的$Q_i$运营商的本征值的零点作用在任意有限维表示的$U_q\mathfrak{g}$。
Cartan Subalgebras for Quantum Symmetric Pair Coideals
最近的发现表明，它们在量子包络代数的表示论中起着重要的作用，因此，人们对用于形成量子对称对的余理想子代数重新产生了兴趣。然而，对于这些余理想仍然没有一般的有限维模理论。在本文中，我们建立了一个重要的一步，在这个方向上：我们证明了每个量子对称对偶余理想子代数允许一个量子Cartan子代数，这是一个多项式环，专门化到它的经典对应。该结构建立在Kostant和Sugiura的实半单李代数的Cartan子代数通过强正交系的正根的分类。我们表明，这些量子嘉当子代数的行为半单的有限维酉模，并确定特别好的量子嘉当子代数的一个家庭的例子发电机。
Dynamical ${\frak{sl}}_2$ Bethe algebra and functions on pairs of quasi-polynomials
本文考虑$\frak{sl}_2$的Cartan子代数上的函数空间$\text{Fun}_{\frak{sl}_2}V[0]$，其值在有限维不可约$\frak{sl}_2$ -模的张量积的零权子空间$V[0]$中.我们考虑由V.Rubtsov，A.Silantyev，D.Talalaev在2009年构造的$\text{Fun}_{\frak{sl}_2}\,V[0]$上的交换微分算子代数$\mathcal B$.本文描述了$\mathcal B$在$\text{Fun}_{\frak{sl}_2}V[0]$上的作用与拟多项式对空间之间的关系。
Defining relations of quantum symmetric pair coideal subalgebras
本文确定了Kac-Moody型量子包络代数的量子对称对余理想子代数的定义关系，方法基于星积，结果用连续q-埃尔米特多项式和变形切比雪夫多项式表达。
Gelfand-Tsetlin degeneration of shift of argument subalgebras in types B and C
任何半单李代数$\mathfrak{g}$的泛包络代数包含一族极大交换子代数，称为辐角移位子代数，由$\mathfrak{g}$的正则Cartan元参数化。对于$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n$，$U(\mathfrak{g})$中的Gelfand-Tsetlin交换子代数作为来自这个族的子代数的某种极限而产生。研究了李代数$\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{2n}$和$\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$的辐角子代数的相似移位极限.极限子代数分别用扭杨格数$Y^-(2)$和$Y^+(2)$中的Bethe子代数来描述.我们指数的特征基的任何不可约有限维表示的$\mathfrak{g}$的相应类型的Gelfand-Tsetlin模式，这样的极限子代数，并推测，在适当的意义下，这种索引是自然的。根据arXiv：1708.05105，这种本征基具有天然的$\mathfrak{g}$晶体结构。我们推测，这种晶体结构与Littelmann在https://doi.org/10.1007/BF01236431中定义的Gelfand-Tsetlin模式一致。
Coideal Subalgebras and Quantum Symmetric Pairs
综述了量子化包络代数的余理想子代数，并给出了部分证明。论文的前半部分研究了生成元、Harish-Chandra模和相关的量子齐性空间。第二部分讨论了各种著名的量子余理想子代数和抽象理论对这些例子的影响。重点是局部有限部分的量子化包络代数，类似物的包络代数的幂零李子代数，和余理想用于形成量子对称对。最后一个家庭的例子进行了详细探讨。连接到量子对称空间的建设。
Integrable modules over quantum symmetric pair coideal subalgebras
本文研究了量子对称对合子代数的可积模性质，并证明了其与Bao-Song坐标环的一致性。
A generalization of the Capelli identity
我们证明了Capelli恒等式的一个推广。作为应用，我们得到了Bethe子代数作用在（gl（N），gl（M））对偶下的一个同构.
Weight modules for quantum symmetric pair subalgebras
本文研究量子对称对子代数中的权重模块理论，通过构造权重基和分类不可约有限维模块，拓展了经典表示论的应用范围。
Quantum $W_{1+\infty}$ subalgebras of BCD type and symmetric polynomials
ABCD型的无限仿射李代数，也称为$\widehat{\mathfrak{gl}}(\infty)$、$\widehat{\mathfrak{o}}(\infty)$、$\widehat{\mathfrak{sp}}(\infty)$，等价于量子$W_{1+\infty}$代数的子代数。它们在福克空间中有著名的狄拉克费米子（$\hat A_\infty$）、马约拉纳费米子（$\hat B_\infty$和$\hat D_\infty$）或辛玻色子（$\hat C_\infty$）的表示。量子$W_{1+\infty}$子代数上的Fock状态的行动的明确的公式，提出了每一个表示。这些公式等价于量子环形$\mathfrak{gl}(1)$代数Fock表示的\textit{vertical presentation}。它们提供了\textit{horizontal presentation}的费米子和玻色子表达式的替代。此外，已知这些代数与对称多项式有很深的联系。量子$W_{1+\infty}$发生器的作用导致这些多项式的Pieri规则和q-差分方程的推导。在$\hat B_\infty$的特殊情况下，得到了严格分块的$Q$-Schur多项式的q-差分方程.
Weight functions and Drinfeld currents
量子仿射代数的泛权函数是一个函数族，其值在它的Borel子代数的商中，满足某些余代数性质。在量子仿射代数的表示中，它给出了离壳Bethe向量，并用于构造qKZ方程的解。利用不同类型的Borel子代数的交上的投影，构造了每个无扭量子仿射代数的通用权函数，并研究了它的函数性质.
Pseudo-symmetric pairs for Kac-Moody algebras
李代数对合及其不动点子代数产生了对称空间和复李代数的实形式，并且在可对称化的Kac-Moody代数的背景下得到了很好的研究。在本文中，我们研究了一个推广。也就是说，我们引入了伪对合的概念，一个自同构，它只需要对合作用在一个稳定的Cartan子代数，和伪不动点子代数的概念，一个自然的替代品的不动点子代数。在可对称化的Kac-Moody条件下，利用Satake图的推广，对第二类伪对合、伪不动点子代数、限制根系和外尔群进行了全面的讨论.
Cactus group and monodromy of Bethe vectors
Cactus群是稳定有理曲线的Deligne-Mumford模空间的实轨迹的基本群。这个群自然地表现为上边界幺半范畴中辫群的一个类似物。定义了仙人掌群在任意半单李代数$\mathfrak{g}$对应的Gaudin磁链的Bethe向量集上的作用. Cactus群在我们的构造中是作为Bethe Anesthesia方程的伽罗瓦群的一个子群出现的。根据Pavel Etingof的思想，我们猜想这个作用同构于一般上界范畴形式主义中的仙人掌群对晶体张量积的作用.我们证明了这一猜想的情况下$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$（事实上，在这种情况下，猜想几乎立即从结果Varchenko的渐近解的KZ方程和晶体基地）。本文还将这一结果推广到辐角子代数的移位Bethe向量上，并将Cactus群与Gelfand-Tsetlin多胞形的分段线性对称的Berenstein-Kirillov群联系起来.
Graded Satake diagrams and super-symmetric pairs
本文列出了基本矩阵李超代数中可量子化为标准量子超群中余理想子代数的经典球面子代数，分类了相应的 Satake 型图，并证明每个图定义了一族真球面子代数。
Dynamical elliptic Bethe algebra, KZB eigenfunctions, and theta-polynomials
设$(\otimes_{j=1}^nV_j)[0]$是有限维不可约$\frak{sl}_2$ -模的张量积的零权子空间。动态椭圆Bethe代数是作用于$\frak{sl}_2$的Cartan子代数上的$(\otimes_{j=1}^nV_j)[0]$值函数的微分算子的交换代数。该代数由V. Rubtsov，A. Silantyev，D. 2009年的塔拉拉耶夫。我们用G. Felder和C. 1994年的Wieszerkowski。利用Bethe代数方法研究了动力椭圆Bethe代数的本征函数.在一定的假设下，我们表明，这样的贝特特征函数是在一对一的对应关系，有序对θ-多项式的一定程度。Bethe本征函数和二维空间之间的对应关系由两个θ-多项式产生，是$\frak{gl}_2$ Gaudin模型的本征向量和向量空间$\Bbb C[x]$的二维子空间之间的非动力学非椭圆对应关系的模拟，由于E. Mukhin，V. Tarasov，A.瓦琴科我们得到了一个计数结果，等价地，某些解决方案的Bethe anomalies方程，某些纤维的椭圆Wronski映射，或比率的θ多项式，其衍生物是一定的形式。本文给出了Bethe本征函数在一定极限下的渐近展开式，并由此导出作用在Bethe本征函数上的Weyl对合与对应序对中θ-多项式转置所给出的解析对合的作用是一致的.
Bethe ansatz equations for orthosymplectic Lie superalgebras and self-dual superspaces
本文研究正交辛李超代数 Bethe ansatz 方程的解，通过再生程序构造解的种群，并证明种群与自对偶超空间中各向同性完全超旗及对称完全分解之间存在典范双射。
Braid group actions on coideal subalgebras of quantized enveloping algebras
在量子对称对理论中出现的量子包络代数的余理想子代数上构造辫群作用。特别地，我们构造了Z^n与n股经典辫群的半直积在对称对子（sl_{2n}（C），sp_{2n}（C））所对应的余理想子代数上的作用.这证明了Molev和Ragoucy的一个猜想。我们期望所有对称李代数都存在类似的作用。所给的作用受Lusztig的辫群作用在量子化包络代数上的启发，并明确定义在生成元上。借助计算机代数程序GAP中的Quagroup包验证了辫群和代数关系。
On right coideal subalgebras of quantum groups
右余理想子代数是量子群等霍普夫代数中一类有趣的子结构。右余理想子代数的例子是量子波莱尔部分以及量子对称对。右余理想子代数的分类是一个困难的问题，Schneider，Heckenberger和Kolb给出了一些著名的结果.在回顾这些结果之后，作为主要结果，我们证明了任意右余理想子代数都有一个特别好的生成元集。这允许在原则上指定的一组右共理想子代数在一个给定的情况下。作为应用，我们确定了量子群Uq（sl 2）和Uq（sl 3）的右余理想子代数，并讨论了它们的表示论性质.
Cyclotomic Gaudin models: construction and Bethe ansatz
对于任何单李代数$\mathfrak g$和自同构$σ:\mathfrak g\to \mathfrak g$，我们将分圆Gaudin代数联系起来。这是$U(\mathfrak g)^{\otimes N}$的一个大的交换子代数，由分圆Gaudin Hamilton算子生成。它在特殊情况下可化为Gaudin代数$σ= \text{id}$ .在自旋链由韦尔马模的张量积组成的情况下，我们继续构造这个分圆Gaudin Hamilton算子层次的联合本征向量和它们的本征值。要做到这一点，我们推广的方法，由于费金，Frenkel和Reshetikhin涉及顶点代数和Wakimoto建设的Bethe anomaly。作为这一建设的一部分，我们利用一个定理分圆coinvariants，我们证明在一个配套文件。作为一个副产品，我们得到了分圆推广的Schechtman-Varchenko公式的权函数。
Symmetric pairs for Nichols algebras of diagonal type via star products
我们构造对称对的Drinfeld双对角型预尼科尔斯代数，并确定当他们拥有岩泽分解。这扩展了G.量子对称对理论。我们的结果可以统一地应用于Kac-Moody量子群的一般量子参数，单位根的大小量子群，量子超群和奇异的量子群的ufo型。在上述一般性中，我们给出了Heisenberg二重对称对的第二种构造，并证明了它们总是允许Iwasawa分解。对于对称对余理想子代数与岩泽分解在上述一般性，然后我们解决两个问题，这是基本的已经在设置的量子群。首先，我们证明了对称对余理想子代数同构于相应的预Nichols代数的部分玻色化的内在定义的变形。为此，我们发展了一个一般的概念，星产品的N-分次连通代数提供了一个有效的工具来证明两个变形的部分玻色化是同构的。新的观点也提供了一个确定共理想子代数定义关系的有效算法。其次，对于对角型Nichols代数，利用余理想子代数与部分玻色化之间的线性同构，给出了拟K-矩阵作为对偶基上和的显式构造。我们证明，由此产生的拟K-矩阵产生弱泛K-矩阵在上述的一般性。
Matrix product solution to the reflection equation associated with a coideal subalgebra of $U_q(A^{(1)}_{n-1})$
给出了对称张量表示及其对偶中$U_q(A^{(1)}_{n-1})$的共理想子代数所对应的反射方程的一个新的解。$K$矩阵的元素由矩阵乘积公式表示，该公式涉及在$q$玻色子生成器中终止$q$超几何级数。在$q=0$，我们的结果再现了一个已知的集理论的反射方程的解决方案连接到晶体基础理论。
Characters of Quantum Symmetric Pairs
该研究对有限型与仿射型广义 Satake 图的量子对称对余理想子代数的所有特征标完成分类。
Spaces of quasi-exponentials and representations of the Yangian Y(gl_N)
我们考虑张量积$V(b)= \otimes_{i=1}^n\C^N(b_i)$的扬$Y(gl_N)$评价向量表示。考虑交换Bethe子代数$B^q \subset Y(gl_N)$在权$λ$的$gl_N$ -权子空间$V(b)_λ\subset V(b)$上的作用.这里Bethe代数依赖于参数$q=(q_1,...,q_N)$。我们确定的$B^q$ -模块$V(b)_λ$与正规表示的纤维上的功能的一个适当的离散Wronski映射的代数。如果$q=(1,...,1)$，我们研究了$B^{q=1}$在具有一定权的奇异向量空间$V(b)^{sing}_λ$上的作用。再次，我们确定的$B^{q=1}$ -模块$V(b)^{sing}_λ$与正规表示的纤维上的功能代数的另一个合适的离散Wronski地图。这些结果，我们宣布早些时候在关系的描述量子等变上同调的余切丛的部分旗品种和描述交换子代数的群代数的对称群。
A new approach to Kazhdan-Lusztig theory of type B via quantum symmetric pairs
证明了B型Hecke代数和A型量子群的余理想子代数满足双中心化子性质，推广了A型Schur-Jimbo对偶. A型量子群与它的余理想子代数构成一个量子对称对。提出了一种新的由量子对称对产生的正则基理论。然后，它被用来制定和建立的第一次Kazhdan-Lusztig理论的BGG范畴O的正交辛李超代数$\mathfrak{osp}(2m+1|2n)$。特别地，我们的方法为B/C型李代数的Kazhdan-Lusztig理论提供了一个新的公式。
Schur algebras and quantum symmetric pairs with unequal parameters
研究了与不等参数Hecke代数对应的B/C型（量子）Schur代数.我们证明了Schur代数提供了Beilinson-Lusztig-MacPherson意义下的稳定化构造，它构造了A III/IV型量子对称对余理想子代数的多参数升级，且没有黑节点.在任意权函数的特殊化下，我们进一步得到了Schur/余理想子代数的标准基.这些基对应于Lusztig的不等参数Hecke代数的棒不变基。在附录中，我们提供了一个代数版本的D型Beilinson-Lusztig-MacPherson建设，首先介绍了范李从几何的观点。
Invariant subalgebras of affine vertex algebras
给定一个有限维复李代数g，g具有一个非退化的对称不变双线性型B，设V_k（g，B）表示g和B在k层上的泛仿射顶点代数.对V_k（g，B）的任意自同构的约化群G，证明了不变子代数V_k（g，B）^G对k的通有值是强非生成的.这意味着存在一个新的可变形W-代数族W（g，B，G）_k，它对k的所有值都存在.
RTT presentation of coideal subalgebra of quantized enveloping algebra of type CI
本文利用R矩阵表示构造CI型量子包络代数的余理想子代数，通过A形式方法得到其PBW基，并构造相关Poisson代数及辫群作用。
Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn-Sommerville relations
组合霍普夫代数是域$F$上的分次连通霍普夫代数，它具有特征标（乘性线性泛函）$ζ:H\to F$。我们证明了组合霍普夫代数范畴中的终对象是拟对称函数的代数$QSym$;这解释了拟对称函数作为生成函数在组合学中的普遍性。我们用几个例子来说明这一点。我们证明，每个字符分解唯一的产品的一个偶数字符和一个奇数字符。相应地，每个组合霍普夫代数$(H,ζ)$都有两个标准Hopf子代数，其上的特征标$ζ$分别为偶数（奇数）。奇子代数由某些典型关系定义，我们称之为广义Dehn-Sommerville关系。证明了对于$H=QSym$，广义Dehn-Sommerville关系是Bayer-Billera关系，奇子代数是Stembridge的峰值霍普夫代数.证明了$QSym$是它的奇、偶Hopf子代数的乘积（在范畴意义下）.我们还计算了各种相关的组合霍普夫代数的奇子代数：排列的Malvenuto-Rittenauer霍普夫代数，平面二叉树的Loday-Ronco霍普夫代数，对称函数和非交换对称函数的霍普夫代数。
The q-analogue of the alternating groups and its representations
我们构造了A型Hecke代数的一个子代数。这是交错群的群代数的推广。得到了该子代数的不可约表示的所有等价类以及对称群与交错群的分支规则的q-模拟。
Quantization of the Gaudin System
本文利用Y（gl（n））中已知的交换族Bethe子代数及其特殊极限构造Gaudin可积系统的量子化.给出了量子哈密顿量QI_k（u），k=1，…，n.在小阶k=1，...，3的结果与准经典的结果一致，即使在k=4的情况下也得到了量子修正。
The bar involution for quantum symmetric pairs -- hidden in plain sight
我们证明了Kac-Moody型量子对称对偶余理想子代数$B_\mathbf{c}$对于适当的参数$\mathbf{c}$都有一个棒对合.该证明依赖于拟K-矩阵的广义概念。证明不涉及一个明确的介绍$B_\mathbf{c}$的发电机和关系。
Webs and finite dimensional representation theory for quantum symmetric pairs
本文为量子对称对构造三角分解与Verma模，定义图解范畴$Web^B$控制多项式表示，证明量子外幂无重数分解并确定不可约和项。
Boundary $q$-characters of evaluation modules for split quantum affine symmetric pairs
本文研究了量子对称对coideal子代数的评价模块，通过计算生成元在Gelfand-Tsetlin基上的作用，确定了大型交换子代数的谱，并推导出边界$q$-字符的显式公式，揭示了新的对称性和结构。
Affine Hecke algebras and quantum symmetric pairs
通过与仿射型C的外尔群相关联的仿射Hecke代数引入仿射Schur代数.建立了仿射Hecke代数和仿射Schur代数上的乘法公式。然后我们构造了仿射Schur代数的单项基和标准基。乘法公式使我们能够建立一个稳定的性质，家庭的仿射舒尔代数，导致修改版本的代数${\mathbf K}^{\mathfrak c}_n$。证明了${\mathbf K}^{\mathfrak c}_n$是量子仿射代数${\bf U}(\hat{\mathfrak{gl}}_n)$的余理想子代数，并且$\big({\mathbf U}(\hat{ \mathfrak{gl}}_n), {\mathbf K}^{\mathfrak c}_n)$形成量子对称对.证明了修正的余理想子代数是单项式的，并且是稳定的标准基。我们还制定了几个变种的仿射舒尔代数和（修改）余理想子代数，以及它们的单项式和规范的基础。这项工作提供了一个新的和代数的方法，补充和揭示了我们以前的几何方法的问题。在四位作者的附录中，以对称化的方式得到了仿射经典型外尔群的新的长度公式。
A topological origin of quantum symmetric pairs
编织幺半范畴范畴是二维小圆盘算子的范畴代数。我们介绍了对合小圆盘操作，这是Z/2 Z-orbifold版本的小圆盘操作。我们分类的范畴代数，并明确描述这些方面的一个有限列表的函子，自然同构和相干方程。在二维中，范畴代数是具有反对合的辫状幺半范畴范畴和具有（扭曲）反射方程的普适解的点模范畴。主要的例子是从一类带对合的带状霍普夫代数和一个拟三角共理想子代数的表示中得到的，如一个量子群和一个量子对称对共理想子代数.
One-dimensional partial actions of 8-dimensional Hopf algebras and right coideal subalgebras
本文完成8维Hopf代数一维部分作用的分类，证明其对称性，并证明有限维余半单Hopf代数的右余理想子代数均可实现为部分smash积。
Braid group actions for quantum symmetric pairs of type AIII/AIV
本文构造了AIII/AIV型量子对称对偶余理想子代数上的辫群作用。这就完成了Kolb和Pellegrini在基本李代数是$\mathfrak{sl}_n$的情况下对一个猜想的证明。在共理想子代数的生成元上定义了辫群作用，并通过显式计算验证了定义关系和辫关系。
Diffeomorphisms from higher dimensional W-algebras
高维的经典W-代数是最近才被构造出来的。在这封信中，我们证明了存在一个同构于D维中的局部超同态代数的超同构生成子代数。此外，在这个子代数下有一个无穷多个场的塔变换为对称张量1密度。我们还解开了一个结构同构的Schouten对称括号，提供了一个自然的推广w_ \infty在更高的维度。
Hecke algebras as subalgebras of Clifford geometric algebras of multivectors
引入了多向量的Clifford几何代数，它具有不一定对称的双线性形式。我们研究CL（K^{2n}，B）中的双向量子集，证明了如果双线性型B被适当地选择，这些元素生成Hecke代数H_{K}（n+1，q）.这表明，q-量子化可以由描述通常复合实体的Clifford多向量对象生成。这与目前的方法，给出变形版本的Clifford代数变形的一个向量变量。我们的例子表明，从数学的观点来看，q变形在任何意义上都比未变形的结构更基本，这是不明显的。
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