Quantization of extended SchrÄodinger-Virasoro Lie algebra
Lamei Yuan, Liji Zhou
本文将特征零的广义SchrÄodinger-Virasoro李代数与其李双代数结构进行了元武徐的分类，得到了一个新的Hopf代数.
In present paper, we quantize the extended SchrÄodinger-Virasoro Lie algebra in char- acteristic zero with its Lie bialgebra structures classified by Yuan-Wu-Xu, and get a new Hopf algebra.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Unique continuation principle for spectral projections of Schr\" odinger operators and optimal Wegner estimates for non-ergodic random Schr\" odinger operators
证明了Schr odinger算子谱投影的唯一延拓原理.考虑$\mathrm{L}^2(\mathbb{R}^d)$上的Schr”odinger算子$H= -Δ+ V$，用$H_Λ$表示它对具有Dirichlet或周期边界条件的有限盒$Λ$的限制.我们证明了唯一的连续估计类型$χ_I (H_Λ) W χ_I (H_Λ) \ge κ\, χ_I (H_Λ) $与$κ>0$适当的潜力$W\ge 0$和间隔$I$。作为应用，我们得到了一类具有合金{-型随机势的非遍历随机Schr”odinger算子（“弯曲”Anderson Hamilton算子）在所有能量下的最优Wegner估计.我们还证明了最佳的韦格纳估计在底部的频谱与预期的依赖性的障碍（韦格纳估计改善的障碍增加），一个新的结果，即使是通常的（遍历）安德森哈密顿。这些估计被应用于证明本地化在高无序安德森哈密顿在一个固定的时间间隔在底部的频谱。
Quasi-linear dynamics in nonlinear Schr\" odinger equation with periodic boundary conditions
研究了具有周期边界条件的非线性Schr odinger方程，证明了具有有限能量（$L^2$范数）的初始数据的大子集近似线性演化.这些新解不是已知解如孤子、半经典解或弱线性解的微扰。
Long range scattering for the Maxwell-Schr"odinger system with large magnetic field data and small Schr"odinger data
本文研究了三维库仑规范中Maxwell-Schr "odinger系统的散射理论。特别地，我们在要求Schr "odinger数据小的直接法的框架内，证明了对磁场数据没有大小限制的系统的修正波算子的存在性，并确定了在波算子范围内解的时间渐近行为.
Asymptotic Solutions of the Phase Space Schrodinger Equation: Anisotropic Gaussian Approximation
考虑相空间Schrodinger方程通过将初始态分析为高斯波包的叠加，并分别应用基于邻近轨道近似的半经典各向异性高斯波包动力学，我们近似了相空间中的半经典量子演化，并相应地构造了相空间传播子的半经典近似，即半经典波包传播子.利用半经典传播子构造了相空间Schrodinger方程，注意这种结构与初始值表示的联系。
Long range scattering for the Wave-Schr"odinger system with large wave data and small Schr"odinger data
本文研究了三维Yukawa型耦合波薛定谔系统的散射理论。特别地，我们在一个直接法的框架内证明了对波数据没有大小限制的系统的修正波算子的存在性，该方法需要小的Schr“odinger数据，并且我们确定了在波算子范围内解的时间渐近行为.
Resolvent kernels and time dependent Schr\" odinger equations under magnetic field on the hyperbolic half plane $\H$ and the Morse potential on the real line $\
本文研究了双曲半平面$\H$上均匀磁场作用下和实直线$\R$上双原子分子Morse势作用下含时薛定谔方程的预解核和精确解的精确公式。
Long Range Scattering and Modified Wave Operators for the Maxwell-Schr"odinger system I.The case of vanishing asymptotic magnetic field
本文研究了三维库仑规范中Maxwell-Schr“odinger系统的散射理论，在渐近磁场为零的特殊情况下，我们证明了该系统的修正波算子的存在性，对Schr”odinger数据，并确定了在波算符范围内解的时间渐近性态，该方法包括部分求解Maxwell方程组对于势，将结果代入Schr“odinger方程，使其在时间上变为非线性和非定域的，并用以前处理Hartree方程和Wave-Schr“odinger系统的方法处理后者.
Discrete and embedded eigenvalues for one-dimensional Schr"odinger operators
我提出了一个离散薛定谔算子的例子，表明它是可能的嵌入奇异谱，并在同一时间，离散的特征值，接近边缘的本质谱（远）比指数。这解决了西蒙的一个猜想（否定的）。潜在的是冯诺依曼-维格纳型，仔细导航周围先前确定的边界情况。
Path integrals for a class of p-adic Schr"odinger equations
对所有阿贝尔群进行量子力学的主题可以追溯到Schwinger和Weyl。如果该群是一个非阿基米德局部紧除环上的有限维向量空间，那么研究由类似于实数域上遇到的哈密顿算子定义的动力系统的结构是很有意义的。在这封信中，路径积分公式的虚时间传播这些哈密顿量推导。
Determinant form of modulation equations for the semiclassical focusing Nonlinear Schr\" odinger equation
我们导出了奇摄动Zakharov-Shabat系统的WKB指数的一个行列式公式，它对应于聚焦非线性Schr”odinger方程的半经典（零色散）极限.推导是基于WKB指数的Riemann-Hilbert问题（RHP）表示。在满足调制方程的条件下，我们证明了它与相应超椭圆曲面的分支点无关。
Long Range Scattering and Modified Wave Operators for the Wave-Schr"odinger System III
本文继续研究三维空间中薛定谔方程和波动方程之间的汤川型耦合系统的散射理论。在以前的文章中，我们证明了该系统的修正波算子的存在性，对数据没有大小限制，我们确定了在波算子范围内的解的时间渐近行为，首先在Schr“odinger渐近状态的支撑条件下，然后没有这个条件，但对于相对低正则性的解。这里我们将后一个结果推广到更多正则解的情形。
A Study on the Pointwise Time-Space Estimates of Fundamental Solution for Higher Order Schr\odinger Equation Whose Symbol Function is One Kind of Degenerate Polynomial
本文研究了高阶薛定谔方程基本解的逐点时空估计。这些估计改进了姚文[2]的结果，推广了崔文[1]的结果.
Long Range Scattering and Modified Wave Operators for the Wave-Schr"odinger system II
本文继续研究三维空间中薛定谔方程和波动方程之间的汤川型耦合系统的散射理论。在前一篇文章中，我们证明了该系统的修正波算子的存在性，并且在波方程和Schr“odinger方程的不同传播性质所要求的渐近状态的支持条件下，我们确定了在波算子范围内解的时间渐近性，这里我们通过使用解的改进的渐近形式消除了这个条件。
Long Range Scattering and Modified Wave Operators for the Maxwell-Schr"odinger System II. The general case
本文研究了库仑规范下三维Maxwell-Schr“odinger系统的散射理论。在Schr“odinger和Maxwell的渐近数据上，我们证明了该系统的修正波算子的存在性，并确定了在该波算子范围内解的时间渐近行为.该方法包括部分求解麦克斯韦方程的潜力，代之以薛定谔方程，然后成为非线性和非局域的时间。薛定谔函数然后参数化的振幅和相位满足一个适当的辅助系统，和该系统的柯西问题，与规定的渐近行为所确定的渐近数据，是由能量方法解决，从而导致原系统的解决方案与规定的渐近行为的时间。本文是前一篇同名论文的推广。然而，它是完全独立的，可以在没有任何先前知识的情况下阅读。
Quadratic Morawetz inequalities and asymptotic completeness in the energy space for nonlinear Schr"odinger and Hartree equations
最近几个作者开发了多线性，特别是二次扩展的经典Morawetz不等式。这些推广为任意空间维的非线性Schr“odinger方程和非临界情况下大于2维的Hartree方程在能量空间中的渐近完备性提供了一个简单的证明.我们给后者的结果的教学审查。
Semiclassical limit of the scattering transform for the focusing Nonlinear Schr\" odinger Equation
聚焦非线性（立方）薛定谔方程（NLS）的半经典极限对应于奇摄动Zakharov-Shabat（ZS）系统，该系统定义了直接散射变换和逆散射变换（IST）.在本文中，我们推导出这些变换的首阶项的显式表达式，这被称为直接和逆散射变换的半经典极限。因此，我们建立了一个明确的连接之间的衰减的初始数据的形式$q(x,0)=A(x)e^{iS(x)}$和领先的阶项的散射数据。这种连接表示在一个积分变换，可以被看作是一个复杂的版本的阿贝尔型变换。我们的技术不是基于ZS系统的WKB分析，而是基于调制方程的反演，从而在首阶中解决逆散射问题。结果说明了一些例子。
Long Range Scattering and Modified Wave Operators for the Wave-Schr"odinger system
本文研究三维空间中Schr“odinger方程和Yukawa型耦合波动方程组成的系统的散射理论.特别地，我们证明了该系统的修正波算子的存在性，并确定了在该波算子范围内解的时间渐近性态.该方法包括解波动方程，将所得结果代入Schr“odinger方程，使其在时间上同时变为非线性和非定域的，并用以前处理一族具有长程相互作用的广义Hartree方程的方法处理后者.
The absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schr"odinger operators
本文研究了具有某些绝对连续谱的一维Schr“odinger算子的一般结构性质。基本结果表明，位移映射下的势的Ω极限点在谱测度的绝对连续部分的支撑下是无反射的。这意味着这样的潜力和Denisov-Rakhmanov型定理的甲骨文定理。在离散情况下，对于Jacobi算子，这些问题在我最近的论文[19]中进行了讨论。本文对连续情形的处理依赖于相同的基本思想。
Bounds on the density of states for Schr\" odinger operators
我们建立了薛定谔算子的态密度测度的界。这些是确定性的结果，不需要存在状态密度测量，或者等价地，积分状态密度。结果表示在一个总是存在的“密度的状态外测量”，并提供了一个上限的状态密度测量时，它存在。我们证明日志-Hölder连续性的状态密度外测量在一个，两个和三个维度的薛定谔算子，并在任何维度的离散薛定谔算子。
Long Range Scattering for the Modified Schr"odinger Map in two space dimensions
本文研究了二维空间中修正Schr“odinger映射解的时间渐近性态和散射理论。我们解决了柯西问题与大有限的初始时间，直到无穷大的时间，我们确定的渐近行为，从而获得的解决方案的时间。作为一个副产品，我们获得了H^k inter FH^k中小数据的全局存在性，其中k > 1。我们还解决了柯西问题的无限初始时间，即我们构造的解决方案定义在一个邻域的无穷大的时间，规定的渐近行为的前一种类型。
The Schr\" odinger picture of the Dirac quantum mechanics on spatially flat Robertson-Walker backgrounds
狄拉克量子力学的薛定谔图像被定义在具有空间平坦的罗伯逊-沃克度规和笛卡尔坐标的图表中。确定了这幅图的主要观测量，包括由与引力场的最小耦合产生的哈密顿算符的相互作用部分。它表明，在这种方法中，新的狄拉克量子模式的德西特时空可以找到解析解狄拉克方程。
Scattering Theory for the Schr"odinger Equation in some external time dependent magnetic fields
本文研究了三维库仑规范中薛定谔方程在含不定常磁场中的散射理论。磁矢势被假设为满足自由波方程的解的典型的时间衰减性质，甚至在某些情况下实际上是该方程的解。这个问题似乎是麦克斯韦-薛定谔（MS）系统散射理论中的一个中间步骤。我们特别证明了在相对较低的正则性空间中波算子的存在性及其渐近完备性。我们还证明了它们的存在性，或者至少是在更高正则性的空间中朝这个方向发展的结果。后者的结果是相关的MS系统。作为第一步，我们用能量方法研究了原方程的柯西问题，尽可能使用时间导数而不是空间导数。
Time independent fractional Schrodinger equation for generalized Mie-type potential in higher dimension framed with Jumarie type fractional derivative
本文得到了广义Mie型势下$N$维分数时间无关薛定谔方程的近似束缚态解，即$V(r^α)=\frac{A}{r^{2α}}+\frac{B}{r^α}+C$ .这里，$α(0<α<1)$的作用类似于空间变量$r$的分数参数。当$α=1$时，电势转换为通常在分子和化学物理中研究的Mie型电势的原始形式。整个研究采用Jumarie型分数阶导数方法。解用Mittag-Leffler函数和分数阶合流超几何函数表示。为了确保本工作的有效性，所获得的结果进行了验证与以前的作品，为不同的潜在参数配置，特别是$α=1$。最后，对典型双原子分子的能量本征值和束缚态本征函数进行了数值计算。
Existence of a ground state and blow-up problem for a nonlinear Schrodinger equation with critical growth
本文证明了当空间维数为$d\geq4$时，具有次临界项扰动的能量临界非线性最小二乘方程基态解的存在性。然而，在三维，我们表明，当扰动足够小，那么这样的解决方案不存在。对于发展方程，我们证明了能量低于基态能量的径向对称解的有限时间爆破的存在性。
Random Schr"odinger operators on manifolds
考虑紧致黎曼流形$M = X/Γ$的覆盖$X$上的随机薛定谔算子族.我们提出了几个结果，他们的谱理论，特别是几乎必然常数的谱分量和存在性和非随机性的综合状态密度。我们还勾勒出一个广群为基础的一般框架，允许在不同的上下文中以统一的方式对待随机算子的基本特征。还讨论了进一步的研究课题。
Existence of traveling waves for a fourth order Schr\" odinger equation with mixed dispersion in the Helmholtz regime
本文研究了一类四阶混合色散Schr odinger方程的行波解的存在性，即$$Δ^2 u +βΔu +i V \nabla u +αu =|u|^{p-2} u,\ in\ \R^N ,\ N\geq 2.$$解的存在性。我们考虑该方程在Helmholtz区域，当我们算子的Fourier符号$P$在某点严格为负时。在适当的假设下，利用Evequoz和Weth的对偶方法证明了解的存在性，条件是$p\in (p_1 , 2N/(N-4)_+)$ .实数$p_1$取决于$M$的主曲率的数量，该主曲率远离$0$，其中$M$是由$P$的根定义的超曲面。我们还得到了我们算子的格林函数的估计和一个$L^p - L^q$预解估计，它可以独立地应用于其他算子。
Exact Analytical Solution of the N-dimensional Radial Schrodinger Equation with Pseudoharmonic Potential via Laplace Transform Approach
利用Laplace变换方法将二阶$N$维薛定谔方程化为一阶微分方程，并利用卷积定理得到了精确的束缚态解.对某些特殊情况进行了验证，并给出了能量本征值$E_n$随维数$N$的变化.为了给这封信一个额外的深度，目前的方法也简要地调查了广义Morse势作为一个例子。
Schr"odinger invariance and space-time symmetries
具有质量M的自由薛定谔方程可以通过关于M的傅立叶变换转化为无质量的Klein-Gordon方程。因此，当M固定时，自由d维薛定谔方程的运动对称代数sch_d自然地表现为d+2维复化共形代数conf_d+2的抛物子代数。conf_3的抛物子代数的显式分类产生了物理上有趣的动力对称代数。这使我们能够提出一个新的动态对称群相关的描述老化远离热平衡，与动态指数z=2。导出了由conf_d+2及其抛物子代数下的不变性导出的沃德恒等式，并构造了相应的自由场能量动量张量.在Martin-Siggia-Rose理论的背景下，我们还推导了两点和三点函数的标度形式和因果关系条件以及它们与响应函数的关系。
A Hamiltonian action of the Schrödinger-Virasoro algebra on a space of periodic time-dependent Schrödinger operators in $(1+1)$-dimensions
设${\cal S}^{lin}:=\{a(t)(-2\II \partial_t-\partial_r^2+V(t,r) | a\in C^{\infty}(\R/2π\Z), V\in C^{\infty}(\R/2π\Z\times\R)\}$是具有周期含时势的$(1+1)$ -维薛定谔算子空间。本文证明了一个大的无限维重参数化群$SV$在${\cal S}^{lin}$上的作用，它的李代数为$\sv$ \cite{RogUnt06,Unt08}，称为Schrödinger-Virasoro群，其中包含Virasoro群，对于${\cal S}^{lin}$上的某种Poisson结构，它是Hamilton的.更准确地说，$\sv$的无穷小作用量似乎是伪微分符号李代数$\g$的余伴随作用量的一部分，其中$\sv$是商，而泊松结构则继承自相应的Kirillov-Kostant-Souriau形式。
Mathematical Exploration of the Intersection Between Extended Schrodinger-Virasoro Lie Algebras and Symplectic Novikov Lie Algebras
该研究通过分析导子、中心扩张与自同构群，探究扩展Schrödinger-Virasoro李代数与辛Novikov李代数的交集，为李代数表示理论提供新见解，可应用于共形场论与辛几何领域。
Infinite rank Schrodinger-Virasoro type Lie conformal algebras
受Loop Virasoro李共形代数上某些模的结构和Schrodinger-Virasoro代数的李结构的启发，构造了一类无限秩李共形代数CSV（a，b），其中a，b为复数.一致确定了CSV（a，b）的共形导子.对CSV（a，b）上的秩1共形模和Z-分次自由中间级数模进行了分类.给出了CSV（a，b）的共形子代数CHV（a，b）的相应结果.
Nonlinear Schrodinger Equations and Virasoro Algebra
利用AKNS格式和孤子连接在维拉索罗代数中取值，得到了新的耦合非线性薛定谔方程。
Algorithm for generating new explicitly solvable Schrodinger type equations
本文给出了一个生成新的Schr\”odinger型方程的算法，该方程可以用正交多项式或相关的特殊函数显式求解.
On vertex algebra representations of the Schrödinger-Virasoro Lie algebra
薛定谔-Virasoro李代数\mathfrak{sv}是Virasoro李代数通过幂零李代数的扩展，幂零李代数由权为3/2的玻色子流和权为1的玻色子流形成。它也是薛定谔李代数的一个自然的无限维扩展，薛定谔李代数--撇开时间平移下的不变性--已经被证明是许多经历动力学指数z=2的动力学的统计物理模型的对称代数;因此它应该在二维平衡统计物理中扮演类似于维拉索罗李代数的角色。在这篇文章中，我们定义了一般的薛定谔Virasoro初级场类比共形场论，其特征在于一个“自旋”指数和（非相对论性）的质量，并构建顶点代数表示的\mathfrak{sv}出一个带电的辛玻色子和一个自由玻色子。我们还计算了两点和三点的函数仍然是由解析延拓定义的大规模领域的形式参数。
A classification of periodic time-dependent generalized harmonic oscillators using a Hamiltonian action of the Schrödinger-Virasoro group
继前一篇文章\cite{RogUnt06}介绍了Schrödinger-Virasoro群之后，我们研究了它在具有随时间和空间变化的$V$势的$(1+1)$维Schrödinger算子空间上的仿射作用。我们专注于在空间坐标，这是在某种意义上的自然量化的希尔（Sturm-Liouville）运营商的一维环面上的空间的潜力，在最二次对应的子空间。这个子空间中的轨道具有有限余维，通过研究稳定子可以得到它们的分类，推广了Kirillov关于Virasoro群下Hill算子空间的轨道的结果。然后，我们解释了与时间相关的谐振子的Ermakov-Lewis不变量理论的连接。这些精确的绝热不变量在薛定谔-维拉索罗群的作用下表现为协变的，这使得可以根据$L^2(\R)$上的单值算子对轨道进行自然分类，该单值算子与相应的希尔算子的单值矩阵密切相关。
Dynamical phase retrieval for Schr{ö}dinger evolution on finite graphs
该研究针对有限连通图上的薛定谔演化，基于算子特征值与特征向量给出无相位数据确定初始态的唯一性判据，证明其一般性并给出阻碍唯一性的情形。
Whittaker modules for the Schrödinger-Virasoro algebra
本文定义了Schrödinger-Virasoro代数$\mathfrak{sv}$的Whittaker模.研究了Whittaker模的Whittaker向量和不可约性。对于任意李代数同态$\mathfrak{sv}$，我们可以定义$\mathfrak{h}:$型的Whittaker模。当$ψ$非奇异时，Whittaker模的Whittaker向量、不可约性和分类完全确定。当$ψ$是奇异的时，通过构造一些特殊的Whittaker向量，我们发现所有的Whittaker模都是可约的。此外，我们还得到了特殊$ψ$的一些更精确的结果.
Time dependent rationally extended Poschl-Teller potential and some of its properties
我们研究了时间相关的Schr具有振动边界条件的odinger方程更具体地说，我们利用分离变量技术构造了时间依赖的有理扩张POschl-Teller势（其解由X1 Jacobi例外正交多项式给出）及其超对称伙伴，即POschl-Teller势我们得到了Schr方程的精确解在某些边界条件下，利用上述势函数，得到了振荡型的odinger方程。还计算了两个系统的一些物理量，如平均能量、概率密度、期望值等，并进行了比较。
The Schrödinger-Virasoro Lie group and algebra: from geometry to representation theory
本文主要研究无限维李代数$\mathfrak{sv}$，它是在非平衡统计物理学的背景下引入的，包含自由薛定谔方程的不变性李代数和中心不带电维拉索罗代数$Vect(S^1)$作为子代数。我们称$\mathfrak{sv}$为薛定谔-维拉索罗代数。我们选择目前$\mathfrak{sv}$从牛顿几何的角度来看，第一，然后与共形和泊松几何。之后我们转向它的表示理论：实现为场方程的李对称，coadjoint表示，与Cartan延拓方法有关的coinduced表示（产生$Vect(S^1)$的张量密度模的类似物），最后是具有Kac行列式公式的Verma模。我们还提出了一个详细的上同调的研究，特别是提供了一个分类的变形和中央扩展，出现了一个非本地的上循环。
Sharp and Endpoint Two-Weight Fractional Integral Estimates for Schr"odinger Operators with Inverse-Square Potentials
研究具有逆平方势的薛定谔算子，从已知双边比较出发确定双权分数积分映射范围，给出特定条件下不等式成立情况，包括原点临界边界处的结果，还推导加权索伯列夫结果及处理哈代临界情形。
Generalized intelligent states of the su(N) algebra
对于代数$su(N)$的Weyl生成元的正交分量，给出了Schr”odinger-Robertson测不准关系的极小化.这是通过确定明确的Fock-Bargamann表示的$su(N)$相干态和差分实现的元素的$su(N)$。新的类的相干态和压缩态的明确推导。
Analytic representations based on su(3) coherent states and Robertson intelligent states
构造了使Schr\”odinger-Robertson测不准关系最小化的Robertson智能态作为$su(3)$代数的Weyl生成元线性组合的本征态.该结构基于$su(3)$相干态的解析表示。新的类的相干态和压缩态的明确推导。
Lie symmetries, Kac-Moody-Virasoro algebras and integrability of certain (2+1)-dimensional nonlinear evolution equations
本文研究了最近引入的两个不同的（2+1）维非线性发展方程，即（i）（2 + 1）维破裂孤子方程和（ii）由Zakharov引入并由Strachan研究的（2 + 1）维非线性Schr dinger型方程的Lie对称性、Kac-Moody-维拉索罗代数、相似约化和特解.有趣的是，我们的研究表明，并不是所有的可积高维系统允许Kac-Moody-Virasoro型子代数。特别是上面提到的两个可积系统不允许Virasoro型子代数，即使其他可积高维系统也允许这样的代数，我们也在附录中进行了审查。此外，我们提出了物理上有趣的解决方案，在这两个系统中的对称参数的特殊选择。
On the (in)validity of the NLS-KdV system in the study of water waves
人们普遍认为，三次非线性薛定谔方程odinger方程（NLS）模拟由短色散波组成的窄带波包的动力学，而Kortewegde Vries方程（KdV）模拟色散介质中长波的传播。耦合这两个方程的系统似乎很有吸引力，可以模拟长波和短波的相互作用，并且在过去的几十年中已经研究了这样的系统。然而，在我们以前的工作中，我们提出了我们的分析使用五阶KdV作为起点的水波研究系统的有效性的问题。在本文中，这些问题得到了明确的解决，因为我们表明，NLS-KdV系统，甚至线性Schrodinger-KdV方程组不能从研究水波的全欧拉方程组中导出。
A formula related to CMV matrices and Szego cocycles
对于Schr在odinger算子中，有一个众所周知的和广泛使用的公式将转移矩阵和Dirichlet行列式联系起来。以前没有已知用于CMV基质的该式的类似物。在本文中，我们填补了这一空白，并提供该公式的CMV类似物。
Integrated density of states for random metrics on manifolds
研究覆盖流形上的遍历随机Schr“odinger算子，其中随机性通过势和度量进入。我们证明了随机算子的可测性，它们的谱性质的几乎必然恒定性，自平均积分态密度和Šubin型迹公式的存在性。
Classification of Harish-Chandra modules over some Lie algebras related to the Virasoro algebra
本文给出了一个统一的方法，对与Virasoro代数相关的李代数上的所有Harish-Chandra模进行了彻底的分类.我们首先对$s=0,\frac12$的李代数$W(\varrho)[s]$上的这类模进行分类。利用这个结果和方法，我们也可以对一些与Virasoro代数有关的李代数和超共形代数，包括目前公开的几类Schrödinger-Virasoro李代数，进行这样的工作.
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