Propagation time for zero forcing on a graph
简单无向图$G$上的迫零（也称为图感染）基于颜色变化规则：如果$G$的每个顶点都被着色为白色或黑色，并且顶点$v$是一个黑色顶点，只有一个白色邻居$w$，则将$w$的颜色更改为黑色。最小迫零集是一组具有最小基数的黑色顶点，它们可以使用颜色变化规则将整个图着色为黑色。图$G$的迫零集$B$的传播时间是使$G$的所有顶点都变黑所需的最小步骤数，从$B$的黑色顶点开始，同时执行独立的力。一个图的最小和最大传播时间取在图的所有最小迫零集上。证明了至少二阶的连通图有一个以上的最小迫零集，以实现最小传播时间。具有极端最小传播时间$|G| - 1$、$|G| - 2$和$0$的图$G$被表征，并且建立关于具有最小传播时间$1$的图的结果。它表明，直径是一个上界的最大传播时间的树，但在一般情况下，传播时间和直径的图是不可比的。
2014-10-15 math.CO
Minimum rank and failed zero forcing number of graphs
设$G$是一个简单的、有限的、无向图，每个顶点的初始着色为蓝色或白色。图$G$上的迫零是一个迭代过程，在有限次应用指定的颜色变化规则后，迫使其白色顶点变为蓝色。我们说$G$的蓝色顶点的初始集合$S$是$G$在指定的颜色变化规则下的迫零集合，如果迫零的有限次迭代导致$G$的所有顶点都是蓝色的更新着色。否则，我们说$S$是指定颜色变化规则下$G$的失败的迫零集。不难看出，失效的迫零集的任何子集也失效。因此，我们的兴趣在于失败的迫零集的最大可能基数，我们称之为$G$的失败迫零数。本文考虑了$-$标准和半正定两种颜色变化规则。我们计算了几个图族的失败迫零数。此外，在每个图族下，我们刻画了失败迫零数等于$G$的最小秩的图$G$。
2022-02-10 math.CO
Bounds on the connected forcing number of a graph
本文研究了图的诱导连通子图的（零）强制集。这样的集合的最小基数称为图的连通强迫数。我们提供了清晰的上限和下界的最小程度，最大程度，围长和顺序的图的连接强迫数。
2016-05-07 math.CO
The Classification of Graphs on $8$ vertices with Coinciding Zero Forcing number and Maximum Nullity
该研究针对简单无向图的最小秩问题，确定了八顶点图中最小秩矩阵零度与零强迫数界不相等的精确图集，同时还提出了辅助一般图最小秩计算的额外方法。
2025-06-12 math.CO
Upper bound for the $(d-2)$-leaky forcing number of $Q_d$ and $\ell$-leaky forcing number of $GP(n,1)$
漏迫是最近引入的迫零的变体，已被研究用于图族，包括路径、圈、轮、网格和树。本文推广了关于d维超立方体$Q_d$的漏强迫数的已有结果，证明了$Q_d$的$(d-2)$ -漏强迫数至多为$2^{d-1}$ .我们还研究了图$G$的最小$\ell$ -漏迫集和最小迫零集的大小之间的关系。
2022-02-25 math.CO
Zero forcing in iterated line digraphs
迫零是在图或有向图上的传播过程，在线性代数中定义，以提供最小秩问题的界。有向图是物理学、计算机科学和网络科学中经常使用的模型。迫零也与功率控制有关，功率控制是一种模拟电力网络监测的传播过程。本文研究了迭代线有向图的迫零问题，给出了迫零与幂控制之间的关系。特别是，对于正则迭代线有向图，我们确定了最小秩/最大零度，迫零数和幂控制数，并提供了实现它们的结构。我们的结论是，定期迭代线有向图目前最佳的最小秩/最大零值，迫零数和功率控制数，并应用我们的结果，以确定这些参数的一些家庭的有向图经常使用的应用。
2018-10-23 math.CO
Maximizing the Minimum and Maximum Forcing Numbers of Perfect Matchings of Graphs
设$G$是一个具有$2n$顶点和完美匹配的简单图. $G$的完美匹配$M$的强制数$f(G,M)$是$M$的子集的最小基数，该子集不包含在$G$的其他完美匹配中。在$G$的所有完美匹配$M$中，$f(G,M)$的最小值和最大值称为$G$的最小强迫数和最大强迫数，分别用$f(G)$和$F(G)$表示。然后是$f(G)\leq F(G)\leq n-1$。Che和Chen（2011）提出了一个开放问题：如何用$f(G)=n-1$刻画图$G$。后来他们证明了对于二部图$G$，$f(G)=n-1$当且仅当$G$是完全二部图$K_{n,n}$。本文完全解决了Che和Chen的问题，证明了$f(G)=n-1$当且仅当$G$是完全多部图或完全二部图$K_{n,n}$在同一部集中通过添加任意边而得到的图.对所有具有$F(G)=n-1$的图$G$，证明了每个图$G$的强迫谱通过匹配2-开关构成一个整数区间，并且所有图$G$的最小强迫数构成一个从$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$到$n-1$的整数区间.
2022-09-14 math.CO
Maximizing the discrepancy between zero forcing parameters relative to graph order
Department of Mathematics and Computer Science, Wheaton College, IL（伊利诺伊州惠顿学院数学与计算机科学系）
本文研究零强制参数相对于图阶的差异，给出极小零强制集基数差及传播时间差的上界，并证明对无限图族紧致。
2026-09-29 math.CO
Maximum nullity and zero forcing of circulant graphs
图的迫零数是图的最小秩的一个下界。本文对某些循环图，包括二部循环图、三次循环图和环面积循环图的迫零数进行了界化和刻画，得到了最小秩和最大零度的界.我们还评估何时迫零数将给出相等。
2019-06-07 math.CO
Iteration Index of a Zero Forcing Set in a Graph
设图G =（V（G），E（G））的每个顶点都被赋予两种颜色之一，即“黑”和“白”。设Z表示G的（初始）黑点集.如果白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居，则颜色更改规则将顶点的颜色从白色转换为黑色。称集合Z是G的迫零集，如果G的所有顶点在多次应用色变规则后都将变为黑色。G的迫零数是在所有迫零集Z \subseteq V（G）上|Z|的最小值。迫零参数已经在许多文章中被研究并应用于图的最小秩问题。我们定义一个图G的迫零集的迭代指数为将G的所有顶点变为黑色所需的颜色变化规则的（全局）应用次数;这导致了一个新的图不变量，G的迭代指数-它是G的所有最小迫零集的迭代指数的最小值。给出了迭代指数的一些基本性质，并讨论了某些图的迭代指数的一些初步结果。
2011-05-08 math.CO
Zero forcing number, Grundy domination number, and their variants
本文给出了迫零数的四个变体与Grundy控制数的四个变体之间的强联系。这些连接桥接了控制问题和最小秩问题。我们证明了Grundy控制型参数是由最小秩型参数上界的。给出了利用Grundy全控制数计算$L$ -Grundy控制数的方法，给出了$L$ -Grundy控制数的线性代数界.
2017-06-02 math.CO
Leaky Forcing: Extending Zero Forcing Results to a Fault-Tolerant Setting
本研究针对零强迫的容错变体泄漏强迫，将零强迫结果扩展到容错场景，确定了单圈图的泄漏强迫数、广义Petersen图的上界等，并刻画了极值1-泄漏强迫数的连通图。
2025-08-04 math.CO
On the Relationships between Zero Forcing Numbers and Certain Graph Coverings
图的迫零数和正迫零数是两个图的参数，它们由两类图的着色引起。迫零数是图中诱导路的最小数目的上界，而正迫零数是图中诱导树的最小数目的上界。我们证明了块圈图的迫零数等于路径覆盖数。我们还给出了一个纯图论的证明，即任何外平面图的正迫零数等于图的树覆盖数。这些思想被推广到$k$ -树的设置，其中正迫零数和树覆盖数之间的关系变得更加复杂。
2013-11-27 math.CO
Minimum rank and zero forcing number for butterfly networks
单图$G$的最小秩是所有对称实矩阵$A$上的最小可能秩，其非零非对角项对应于$G$的边。利用迫零数，证明了蝶形网络的最小秩为$\frac19\left[(3r+1)2^{r+1}-2(-1)^r\right]$，且与其邻接矩阵的秩相等.
2018-07-04 cs.DM math.CO
Some tight bounds on the minimum and maximum forcing numbers of graphs
设$G$是一个具有$2n$顶点和完美匹配的简单图.我们用$f(G)$和$F(G)$分别表示$G$的最小和最大强迫数。Hetyei证明了具有唯一完美匹配的图$G$的最大边数为$n^2$ .我们知道$G$有唯一的完美匹配当且仅当$f(G)=0$。沿着这条路线，我们推广了经典的结果，所有的图$G$与$f(G)=k$为$0\leq k\leq n-1$，以及相应的极图的特征。因此我们得到了$f(G)$的一个关于阶和大小的非平凡下界。对于二部图，我们得到了相应的更强的结果。进一步，我们得到了$F(G)$的一个新的上界.对于二部图$G$，Che和Chen（2013）得到了$f(G)=n-1$当且仅当$G$是完全二部图$K_{n,n}$ .我们用$f(G)= n-2$完全刻画了所有二部图$G$.
2021-12-18 math.CO
Connected dom-forcing sets in graphs
本研究提出图的连通支配强迫数Fcd(G)的概念，探究其性质特征，并求解多种经典图及图乘积的连通支配强迫数具体值，丰富图论中强迫集相关理论。
2025-05-16 math.CO
On Zero Forcing Number of Graphs and Their Complements
图$G$的\emph{zero forcing number}，$Z(G)$，是黑色顶点的集合$S$的最小基数（而$V(G) \setminus S$中的顶点被着色为白色），使得$V(G)$在多次应用“颜色变化规则”之后变成黑色：如果白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居，则白色顶点被转换为黑色顶点。“AIM最小秩--特殊图工作组”引入迫零数，并用迫零数来界定图的最小秩。已知$Z(G)\geq δ(G)$，其中$δ(G)$是$G$的最小度。我们证明了$Z(G)\leq n-3$如果一个$n$阶的连通图$G$有一个连通补图$\overline{G}$ .进一步，我们刻画了树或单圈图$G$满足$Z(G)+Z(\overline{G})=δ(G)+δ(\overline{G})$或$Z(G)+Z(\overline{G})=2(n-3)$。
2014-12-27 math.CO
Connected zero forcing sets and connected propagation time of graphs
图$G$的迫零数$Z(G)$是一个顶点着色（黑）的集合$S$的最小基数，它使得集合$V(G)$在一定时间后被着色（黑）.“颜色变化规则”：当白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居时，白色顶点被改变为黑色顶点。在这种情况下，我们说黑顶点迫使白顶点。本文研究了连通迫零集和连通迫零数的概念。我们讨论了特殊图和一些图的乘积的问题。我们还引入了连通传播时间。刻画了具有极大最小连通传播时间和极大传播时间的图$|G|-1$和$|G|-2$.
2017-02-22 math.CO
Probabilistic Zero Forcing in Graphs
图$G$的\emph{zero forcing number} $Z(G)$是黑色顶点的集合$S$的最小基数（而$V(G)\setminusS$中的顶点被着色为白色），使得$V(G)$在多次应用“（经典）颜色变化规则”之后变为黑色：如果白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居，则白色顶点被转换为黑色顶点。“AIM最小秩-特殊图工作组”引入迫零数，并利用迫零数来界定图的最小图秩。我们在这里介绍了一个概率颜色变化规则（pccr），这是一个自然推广的经典颜色变化规则。我们引入了概率迫零产生的pccr的理论，该理论产生了一个数量$P_A(G)$，它可以被看作是一个图$G$与初始黑色集$A$将被完全转换为黑色的概率。我们还解释了这个理论的样本空间的演化作为一个马尔可夫过程。最后，我们用几个基本的例子来说明这个理论。
2012-08-17 math.CO
Degree conditions forcing directed cycles
本文研究迫使有向图含指定有向圈的最小半度阈值，解决了 Kelly、Kühn 和 Osthus 关于长度被 3 整除且非 3 的圈的猜想，并给出给定方向圈的渐近阈值。
2024-01-18 math.CO
Forcing large complete minors in infinite graphs
众所周知，在有限图中，可以通过假设大的平均度来强制大的完全子式/拓扑子式。我们的目标是将这一事实扩展到无限图。对于这一点，我们概括的概念，相对结束度，这是以前介绍的第一作者为局部有限图，并表明，大的最小相对度的两端和大的最小程度的顶点意味着存在大的完整（拓扑）未成年人在无限的图可数多个结束。
2011-02-02 math.CO
Fault Tolerant Zero Forcing
Winston-Salem State University（温斯顿-塞勒姆州立大学）
研究定义了k-容错零强迫数，分析其在不同图家族中的值及图操作下的行为，并刻画树的1-容错零强迫数。
2026-08-26 math.CO
The forcing number of graphs with a given girth
在本文中，我们研究了一个图$G$的顶点的动态着色，该图从着色顶点的初始子集$S$开始，所有剩余的顶点都是非着色的。在每个离散时间间隔，一个着色顶点与恰好一个非着色邻居迫使这个非着色邻居着色。初始集合$S$被称为$G$的强制集合，如果通过迭代地应用强制过程，$G$中的每个顶点都变成有色的。$G$的强迫数，最初称为\emph{zero forcing number}，并表示为$F(G)$，是$G$的最小强迫集的基数。我们研究了强迫数的最小度和围长的下界，其中围长$g$是图中最短圈的长度。设$G$是具有最小度$δ\ge 2$和围长~ $g \ge 3$的图. Davila和Kenter [Theory and Applications of Graphs，Volume 2，Issue 2，Article 1，2015]猜想$F(G) \ge δ+ (δ-2)(g-3)$ .这个猜想最近已被证明为$g \le 6$。当围长$g \ge 7$和最小度足够大时，也证明了该猜想.特别地，当$g = 7$和$δ\ge 481$、当$g = 8$和$δ\ge 649$、当$g = 9$和$δ\ge 30$、以及当$g = 10$和$δ\ge 34$时，它成立。本文证明了关于$g \in \{7,8,9,10\}$和$δ\ge 2$的所有值的猜想。
2016-10-26 math.CO
On Zero Forcing Number of Functigraphs
图$G$的\emph{Zero forcing number}，$Z(G)$是黑色顶点的集合$S$的最小基数（而$V(G) \setminus S$中的顶点被着色为白色），使得$V(G)$在多次应用“颜色变化规则”之后变为黑色：如果白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居，则白色顶点被转换为黑色。“AIM最小秩--特殊图工作组”引入迫零数，并用迫零数来界定图的最小秩。设$G_1$和$G_2$是图$G$的不相交副本，$f: V(G_1) \rightarrow V(G_2)$是函数。然后\emph{functigraph} $C(G, f)=(V, E)$具有顶点集$V=V(G_1) \cup V(G_2)$和边集$E=E(G_1) \cup E(G_2) \cup \{uv \mid v=f(u)\}$。对于连通图$G$的顺序$n \ge 3$，很容易看出，$1+δ(G) \le Z(C(G, σ)) \le n$的任何置换$σ$，我们表明，$1+ δ(G) \le Z(C(G, f)) \le 2n-2$的任何功能$f$，其中$δ(G)$是最小程度的$G$。我们给出的例子表明，不存在一个功能$g$，使每对$(G,f)$，$Z(G)<g(Z(C(G,f)))$或$g(Z(G))>Z(C(G,f))$。我们进一步研究了完全图、圈和路上的函数图的迫零数。
2012-05-06 math.CO
A Short Proof for a Lower Bound on the Zero Forcing Number
对Davila和Kenter关于图$G$的迫零数$Z(G)$的一个下界猜想给出了一个简短的证明.更具体地说，我们证明了$Z(G)\geq (g-2)(δ-2)+2$，对于每个图$G$周长$g$至少$3$和最小度$δ$至少$2$。
2017-05-23 math.CO
Zero forcing number of graphs
图$G$的初始感染顶点的子集$S$被称为强制，如果我们可以通过迭代地应用以下过程来感染整个图。在每一步中，任何有唯一未感染邻居的感染顶点都会感染这个邻居。$G$的强制数是$G$中强制集的最小基数。本文研究了几类图的强迫数，包括大围长图、固定二部图$H$的无$H$图、随机图和伪随机图.
2017-06-05 math.CO
Leaky Forcing: A New Variation of Zero Forcing
零强迫是一个玩家在图上玩的游戏。玩家选择一组顶点进行着色，然后迭代地应用颜色变化规则：如果一个着色顶点的所有邻居都着色，则对剩余的未着色邻居着色（即“强制”）。通常，目标是找到最初着色的顶点的最小数量，使得所有顶点最终都着色。最近，已经在不同的设置中开发了迫零的等效形式，包括传感器分配以求解线性系（K.- Lin 2018），追随者-领导者动力学的可控性（Monshizadeh-Zhang-Camlibel 2014），以及特定超图的边覆盖（Brimkov-Fast-Hicks 2016）。虽然迫零的许多变化是由一个相关的最小秩问题的动机，这些新的配方提供了新的灵感，新的有意义的迫零变量。在我们的例子中，我们研究了一个新的变化的基础上，上述线性代数解释。特别是，如果网络中有一个节点存在泄漏，因此不可靠，无法求解网络上的线性系，该怎么办？在迫零的上下文中，这对应于我们称之为$\ell$ -迫零的以下变体：给定$\ell$，找到一组顶点，使得对于任何不能迫零的$\ell$顶点集，所有顶点都将仍然是着色的。我们计算的$\ell$ -强迫数为选定的家庭的图，包括网格图。也许令人惊讶的是，我们发现了一些例子，其中额外的边使图对这些泄漏更具“弹性”。此外，我们还实现了已知的计算方法，我们的新的泄漏强迫变化。
2019-10-01 math.CO
Forcing finite minors in sparse infinite graphs by large-degree assumptions
进一步发展斯坦最近的概念，在无限图的相对端度，我们调查的程度假设可以迫使一个局部有限图包含一个给定的有限未成年人，或一个有限的子图给定的最低程度。这是一个更广泛的项目的一部分，该项目旨在发展稀疏无限图的极值理论。
2012-09-24 math.CO
Bounds on zero forcing using (upper) total domination and minimum degree
本文提出两个与（上）全控制数相关的零强制数上界，证明其紧性并给出达到平凡下界的极值图刻画。
2023-10-11 math.CO
Minimum degree condition forcing complete graph immersion
图$H$到图$G$中的浸入是一对一映射$f:V(H) \to V(G)$和$G$中的边不相交路径的集合，$H$的每个边一个，使得对应于边$uv$的路径$P_{uv}$具有端点$f(u)$和$f(v)$。如果路径$P_{uv}$与$f(V(H))$在内部不相交，则浸入是强的。证明了对每一个正整数$t$，每一个最小度至少为$200t$的简单图都包含完全图$K_t$的一个强浸入.对于稠密图，我们可以说得更多。如果图有序$n$且有$2cn^2$边，则存在完全图在$G$中的至少$c^2 n$顶点上的强浸入，其中每条路径$P_{uv}$的长度为2。作为这些结果的应用，我们解决了Paul Seymour提出的一个问题，证明了每一个平均度为$d$的简单图的线图都有一个阶至少为$cd^{3/2}$的团子式，其中$c>0$是一个绝对常数.对于$t$，$1\le t\le 7$的小值，每个最小度至少为$t-1$的简单图包含$K_t$的浸入（Lescure和Meyniel，DeVos等人）。我们提供了一个一般类的例子表明，这并不成立时，$t$是大的。
2011-01-13 math.CO
Minimal forcing sets for 1D origami
本文讨论了在折纸中寻找最小强迫集的问题。折纸材料沿着称为折痕的直线折叠，可以标记为山脉或山谷。强制集是强制所有其他折痕根据其标签折叠的折痕子集。结果是折纸材料的平坦折叠。在本文中，我们开发了一个线性时间算法，发现在一维折纸最小强迫集。
2017-03-19 cs.DM math.CO
IP Models for Minimum Zero Forcing Sets, Forts, and Related Graph Parameters
本文针对图的零强迫数及相关参数（如传播时间、节流数、分数零强迫数等），提出了多种整数规划模型变体与新模型，并通过数值实验验证了其有效性，为多个开放猜想提供了实验证据。
2025-08-10 cs.DM math.CO
Matching, Path Covers, and Total Forcing Sets
图$G$的顶点的动态着色从着色顶点的初始子集$S$开始，所有剩余的顶点是未着色的。在每个离散时间间隔，一个着色顶点与恰好一个非着色邻居迫使这个非着色邻居着色。初始集合$S$被称为$G$的强制集合，如果通过迭代地应用强制过程，$G$中的每个顶点都被着色。如果初始集$S$具有导出$G$的无孤立点子图的附加性质，则称$S$为$G$的全强制集.在$G$中，总强迫集的最小基数是它的总强迫数，记为$F_t(G)$。$G$的路径覆盖数，记为$\pc(G)$，是使得每个顶点属于覆盖中的路径的顶点不相交路径的最小数目，而$G$的匹配数，记为$α'(T)$，是$G$的最大匹配中的边的数目。设$T$是一棵至少为2阶的树。我们观察到，$\pc(T) + 1 \le F_t(T) \le 2\pc(T)$，我们证明，$F_t(T) \le α'(T) + \pc(T)$。此外，我们的特征的极值树实现平等，在这些界限。
2018-01-14 math.CO
Global forcing number for maximal matchings in corona products
图$G=(V(G), E(G))$的最大匹配的全局强制集是一个集合$S \subseteq E(G)$，使得对于$G$的每对最大匹配$M_1$和$M_2$，有$M_1\cap S \neq M_2 \cap S$。最小的这样的集合被称为最小全局强制集合，其大小是$G$的最大匹配$ϕ_{gm}(G)$的全局强制数。本文建立了图的冠积的最大匹配的强制数的上下界上界。我们还引入了一个整数线性规划模型来计算图的最大匹配的强制数。
2021-07-29 math.CO
Extremal anti-forcing numbers of perfect matchings of graphs
图$G$的完美匹配$M$的反强制数是指除去不属于$M$的边以使$M$成为图的唯一完美匹配的最小边数。$G$的所有完美匹配的反强迫数的集合是$G$的反强迫谱。本文刻画了最小反强迫数为1的平面初等二部图。我们证明了图的最大反强迫数至多是它的圈数。特别地，我们刻画了最大反强迫数达到上界的图，这类极图是一类平面二部图。最后，我们确定了偶多边形链在线性时间内的反强迫谱。
2016-07-19 math.CO
Zero Forcing sets and Power Dominating sets of cardinality at most 2
设$S$是图$G$的顶点集。假设$cl(S)$是通过迭代地应用以下传播规则从$S$构建的顶点集：如果顶点及其所有邻居（除了恰好一个）都在$cl(S)$中，则剩余的邻居也在$cl(S)$中。如果$cl(S)=V(G)$，则集合$S$称为$G$的迫零集合。$G$的迫零数$Z(G)$是迫零集合的最小基数。令$cl(N[S])$为通过迭代地应用先前的传播规则从$S$的闭合邻域$N[S]$构建的顶点集。一个集合$S$称为$G$的幂控制集，如果$cl(N[S])=V(G)$。$G$的幂控制数$\gp(G)$是幂控制集的最小基数。本文刻画了所有图$G$的集合，其中$Z(G)=2$。另一方面，我们提出了各种充分和/或必要条件的图$G$满足$1 \le \gp(G) \le 2$。
2019-08-08 math.CO
Connected forcing density and related problems
本文引入并研究每个顶点均属于某最小连通强制集的CF-dense图，识别了相关图族，刻画了CF-dense树并给出连通强制集数量公式，同时分析了图运算下CF-density的保持条件。
2025-07-15 math.CO
The Zero Forcing Number of Twisted Hypercubes
本文研究扭超立方体的零强迫数，通过强迫弧集的替代框架构造了一族维度k≥3的扭超立方体，其零强迫集大小低于超立方体的最小零强迫数。
2025-05-03 math.CO
Acyclic and unicyclic graphs whose minimum skew rank is equal to the minimum skew rank of a diametrical path
实数域上的单图G的最小斜秩是指当{i，j}是G中的边时，（i，j）-元（i不等于j）不为零，否则为零的所有实斜对称矩阵的最小可能秩.本文给出了一个计算连通单圈图的最小斜秩的算法，并对所有连通无圈图和连通单圈图G进行了分类，使G的最小斜秩等于P的最小斜秩，其中P是G的一条直径路。
2011-07-12 math.CO
Complexity and Computation of Connected Zero Forcing
迫零是一个迭代的图着色过程，其中具有单个未着色邻居的着色顶点强制该邻居着色。这是NP-难找到一个最小的迫零集-一个最小的初始着色顶点的集合，迫使整个图着色。我们发现，当初始着色集诱导一个连通子图时，该问题仍然是NP-困难的。我们还给出了结构的结果有关的图的密度，分离集，和某些诱导子图的连通迫零集，我们的特点的最小连通迫零集的单圈图和变种的仙人掌和块图的基数。最后，我们确定了几个家庭的图，其连接迫零集定义拟阵和拟阵。
2016-07-03 cs.DM math.CO
The zero forcing span of a graph
本文引入图的零强迫跨度概念，即存在零强迫集与非零强迫集的不同基数数量，并在标准零强迫、斜零强迫及有向图背景下刻画了高低跨度图并研究了特殊零强迫多项式。
2023-09-12 math.CO
Minimum Forcing Sets for Miura Folding Patterns
我们介绍了数学折纸中的强迫集的研究。折纸材料沿着称为折痕的直线段折叠，每个折痕都被分配了山脉或山谷的折叠方向。如果全局折叠峰/谷分配可以从其对$F$的限制推导出，则折痕的子集$F$是强制的。在本文中，我们专注于一类特殊的折叠模式称为三浦织，它划分成全等平行四边形的平面使用水平线和锯齿垂直线。我们开发了有效的算法，用于构建一个最小的强制设置的三浦ori地图，并决定是否一组给定的折痕是强迫或不。我们还提供了严格的限制大小的强制设置，建立标准的山谷分配的三浦ori是一个需要最折痕的强制设置。此外，给定一个部分山/谷分配到一个子集的折痕的三浦-ori地图，我们确定是否分配域可以扩展到一个局部平坦的折叠模式的所有折痕。在我们的结果的核心是一个新的对应平坦折叠Miura-ori地图和$3$ -着色的网格图。
2014-10-08 cs.DM cs.DS math.CO
The complete forcing numbers of hexagonal systems
设G是一个具有完美匹配的图。G的完全强迫集是G的边的子集，每个完美匹配对它的约束是它的强迫集，G的完全强迫数是G的完全强迫集的最小基数。Xu等给出了完全强迫集的一个特征，并导出了cata-condensed六角系统完全强迫数的一些显式公式。在本文中，我们考虑一般六角系统。本文给出了六角系统完全强迫数的一个上界和两个下界，上界是由初等边割覆盖给出的，下界分别是由六边形数和匹配数给出的。作为应用，我们得到了某些类型的六角系统包括正六边形、正六边形和矩形六角系统的完全强迫数的显式公式。
2021-02-08 math.CO
Zero Forcing Sets for Graphs
对于$n$顶点上的任何单图$G$，$G$的（半正定）最小秩被定义为所有（半正定）实对称$n\times n$矩阵中的最小可能秩，对于$i\neq j$，如果$ij$是$G$中的一条边，则这些矩阵在位置$(i,j)$中的项非零，否则为零.此外，$G$的（半正定）最大零度被定义为上述矩阵集合中的（半正定）矩阵的最大可能零度。本文研究了两个图参数，即$G$的迫零数$Z(G)$和正迫零数$Z_+(G)$，它们分别从上到下限定了最大零度和半正定最大零度。关于迫零数，我们引入了一些新的图族，它们的迫零数和最大零度是相同的。另外，我们建立了一类新的图的迫零数与路覆盖数之间的等式。此外，我们还建立了图的迫零数与图的色数之间的联系。关于正迫零数，我们在图中引入了迫树的概念，并建立了正迫零数与树覆盖数之间的联系。我们还研究了这些参数相吻合的图的家庭。此外，我们还给出了该参数与其它图参数，包括$G$的独立数和色数之间关系的一些新结果.
2013-11-29 math.CO
Forcing clique immersions through chromatic number
建立在最近的工作Dvoák和Yepremyan，我们表明，每一个单图的最低程度$7t+7$包含$K_t$作为一个浸入和每一个图的色数至少$3.54t + 4$包含$K_t$作为一个浸入。我们还表明，$n$顶点没有独立集的大小为3的每一个图包含$K_{2\lfloor n/5 \rfloor}$作为浸入。
2017-03-23 math.CO
Matching forcing polynomial of generalized Petersen graph GP(n, 2)
Harary等人和Klein、Randic分别在数学和化学中提出了完美匹配的强迫数。详细地说，图G的完美匹配M的强制数是G的完美匹配中不包含的M的子集的最小基数。作者及其合作者定义了G的强迫多项式为具有相同强迫数的完美匹配的计数多项式，由此可以得到G的平均强迫数、强迫谱以及最大和最小强迫数.到目前为止，关于非平面非二部图的匹配强迫问题的研究还很少。本文研究了广义Petersen图GP（n，2）（n = 5，6，.）的强迫多项式。. .，15，它是一类典型的非平面非二部图.
2021-10-08 math.CO
On the forts and related parameters of the hypercube graph
本文完整刻画了超立方体图中的极小堡垒，推导了分数零强迫数与堡垒数界限，并发现维数为2的幂时多个图参数相等，同时给出了笛卡尔积中极小堡垒的一般构造。
2025-07-14 math.CO
Zero loci of nullvectors and skew zero forcing in graphs and hypergraphs
图和超图的邻接矩阵的零空间中存在有趣的内部结构，特别是对于树、二部图和相关的组合类。零向量的零轨迹，即，它们的零坐标的索引，编码关于匹配、覆盖和边对秩的影响的信息。这个集合系统是一个“核拟阵”的平面格，其中的一个子系统是在偏零强迫（SZF）下闭合的“停滞”集合，这是一个已知与秩和零性有联系的图渗透/感染模型。对于各种各样的图，SZF-闭集的格也是拟阵，这一事实可以用来获得计算斜迫零数的多项式时间算法。这与一般情况下，我们表明，相应的判定问题是NP-难的。我们还定义了超图的斜迫零，并表明，对于线性超树，SZF-闭集的偏序集是对偶的超图的零簇的理想格;而对于完全超图，SZF-闭集和零向量的零轨迹是更松散的相关。
2023-03-30 math.CO
Relationships between minimum rank problem parameters for cobipartite graphs
本文研究了二部补图的最小秩问题，证明了图的零强迫数与模式的三角形数遵循与最小秩相同的简单关系，并探讨了相关参数在二部补图和一般图中的联系。
2025-10-31 math.CO
Extremal $k$-forcing sets in oriented graphs
研究了定向图的\emph{$k$-forcing number}，推广了有向图的\emph{zero forcing number}和简单图的$k$ -强迫数.特别地，给定一个简单图$G$，我们引入最大（最小）定向$k$ -强迫数，记为$\MOF_k(G)$（$\mof_k(G)$），它是$G$所有可能定向中最大（最小）的$k$ -强迫数.这些新的想法相比，已知的图形不变量，它示出，除其他事项外，$\mof(G)$等于路径覆盖数的$G$，而$\MOF_k(G)$是大于或等于$G$的独立数-与平等持有，如果$G$是一棵树或如果$k$是至少最大程度的$G$。同时，我们也证明了最近关于$k$ -强迫数的许多结果对于定向图是可以修正的。
2017-09-09 math.CO
On the Total Forcing Number of a Graph
设$G$是一个简单有限的无孤立点图.本文研究了$G$的无孤立点子图的迫集（迫零集）。这样的集合被称为全强迫集，由Davila \cite{Davila}首先提出并研究。$G$中的总强迫集的最小基数是$G$的总强迫数，记为$F_t(G)$。研究了$F_t(G)$的基本性质，将$F_t(G)$与各种控制参数联系起来，建立了$F_t(G)$的相关判定问题的$NP$ -完备性.证明了若$G$是阶为$n \ge 3$且度最大的连通图，则$F_t(G) \le ( \fracΔ{Δ+1} ) n$具有相等性当且仅当$G$是完全图$K_{Δ+ 1}$ .
2017-02-27 math.CO
Zero Forcing with Random Sets
给定一个图$G$和一个实数$0\le p\le 1$，我们通过独立地包含每个顶点并以概率$p$来定义随机集$B_p(G)\subset V(G)$。研究了随机集$B_p(G)$是$G$的迫零集的概率.特别是，我们证明了，对于大$n$，树的这种概率是上界的路径图的相应概率。在给定一个最小度条件的情况下，我们还证明了Boyer et. al.关于图可以具有的给定大小的迫零集的数量。
2022-08-27 math.CO
Dom-forcing sets in graphs
该研究提出图的dom-forcing集与dom-forcing数的概念，探究该参数的性质，并给出若干经典图对应的dom-forcing数的精确值。
2024-11-01 math.CO
Minimum forcing numbers of perfect matchings of circular and prismatic graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
研究循环图和棱柱图完美匹配的最小强制数，通过线性代数方法，证明在特定条件下，对于有对合加权邻接矩阵的二分图 \(G\)，\(f(G\Box C_{2k}) = n\)，该方法还可用于一些非平衡二分图，拓展了相关研究成果。
2026-07-08 math.CO
