Triply Periodic Minimal Surfaces Bounded by Vertical Symmetry Planes
基于平面上周期多边形的Schwarz-Christoffel公式，给出了欧几里得空间中许多经典的和新的三重周期极小曲面的统一初等处理.我们的曲面都有一个共同的特性，即垂直对称平面将它们切割成简单连接的片段。
2008-05-20 math.CV math.DG
The Morse index of a triply periodic minimal surface
在以前的工作中，第一作者建立了计算$\mathbb{R}^n$中$n$ -周期极小曲面的Morse指标和零度的算法。实际上，Morse指标可以转化为实对称矩阵的负特征值个数，零度可以转化为埃尔米特矩阵的零特征值个数.这两个关键矩阵由极小曲面上第二类交换微分的周期组成，而埃尔米特矩阵的签名给出了极小曲面的一个新的不变量.另一方面，在物理、化学和晶体学方面，对$\mathbb{R}^3$中的H族、rPD族、tP族、tD族和tCLP族三重周期极小曲面进行了研究。在本文中，我们首先明确地确定了这五个家庭的两个关键矩阵。作为其应用，通过数值计算，我们计算了五个家庭的Morse指数，零点，和签名。
2018-01-31 math.DG
Triply Periodic Monopoles and Difference Modules on Elliptic Curves
我们解释了三维环面上具有Dirac型奇异性的扭曲单极子与具有Dirac型奇异性的多稳扭曲迷你全纯丛之间的对应关系。我们还解释了它们等价于椭圆曲线上的多稳定抛物扭差分模。
2020-06-03 math.AG math.DG
Gluing Karcher-Scherk saddle towers I: Triply periodic minimal surfaces
本文通过沿翼粘合单周期 Karcher-Scherk 鞍塔并引入相位差打破对称性，发现了一种微妙的垂直平衡条件，成功构造了扩展为 5 参数族的三重周期极小曲面。
2021-06-25 math.DG
Geometric Realizations of Cyclically Branched Coverings over Punctured Spheres
在经典微分几何中，一个中心问题是具有给定几何特征的抽象曲面能否实现为欧几里得空间中的曲面。由丰富的理论嵌入三重周期极小曲面的启发，我们寻求三重周期多面体表面的例子，具有可识别的共形结构。特别是，我们感兴趣的是明确的锥度量紧凑的黎曼曲面，有一个实现作为商的三重周期多面体表面。这是很重要的黎曼曲面，其中一个具有等价的描述是罕见的。我们构造周期性表面使用图论作为一种尝试，使肖恩的启发式概念的对偶图严格。然后，我们应用循环分支覆盖的理论，以确定这种表面的共形类型。
2018-09-17 math.DG
On a triply periodic polyhedral surface whose vertices are Weierstrass points
在本文中，我们将构造一个例子，一个封闭的黎曼曲面$X$，可以实现为一个商的三重周期多面体曲面$Π\subset \mathbb{R}^3$，其中$X$的Weierstrass点重合的顶点$Π.$首先，我们构造$Π$通过附加柏拉图固体在一个周期的方式，并考虑该固体的表面。由于周期性，我们可以找到一个紧凑的商这个表面，它有亏格$g = 3.$我们声称，所得到的表面是不是超椭圆，也是正规的。正则的意思是$X$的自同构群在标志上是传递的。$X$的对称性使我们能够在$X$上构造与其共形类型相容的双曲结构和各种平移结构。平移结构是$X,$的全纯1-形式的几何表示，它使我们能够识别Weierstrass点。
2016-08-31 math.DG math.GT
A chiral family of triply-periodic minimal surfaces derived from the quartz network
我们描述了一个新的家庭的三角周期极小曲面与六角对称，有关的石英（qtz）和它的对偶（qzd网）。我们提供了一个解决方案的周期问题，并提供了这些表面的参数化，这是不是在正规类，由维尔斯特拉斯-恩内佩尔形式主义。我们确定了这种分析描述的表面生成一个面积最小化的网格接口从一对对偶图（qtz和qzd）使用广义Voronoi建设的德坎波，海德和同事，然后通过数值识别的平点结构。这种机制不限于特定的对偶图对，并且应该适用于更广泛的一组可能的对偶图拓扑及其对应的极小曲面（如果存在的话）。
2018-05-18 cond-mat.soft math.DG
Porosity and topological properties of triply periodic minimal surfaces
本文研究了三重周期极小曲面（TPMS）的孔隙率与持久熵同形状因子的关系，通过机器学习技术提出了多项式关系的猜想，并提供了对实际结构设计有潜在意义的数学模型。
2024-06-26 math-ph math.DG math.GT
Periodic Steiner networks minimizing length
本文研究了一个几何图论问题：在欧氏空间中，确定了一个三重周期图，它使得在欧氏空间的一个基本区上具有相同体积的所有图的长度最小。最小化是所谓的srs网络与商的四个顶点上的完全图$K_4$。该网络跨越体心立方晶格，并与螺旋三重周期表面有关。
2018-04-25 math.CO math.DG
Minimal surfaces with only horizontal symmetries
我们发现的第一个例子的三重周期极小曲面的内在对称性都是水平型。
2009-07-06 math.CV math.DG
Gluing doubly periodic Scherk surfaces into minimal surfaces
本文研究通过堆叠并粘合多个双周期Scherk曲面构造极小曲面的可行性，证明除三角形水平格子这一特殊情况外，粘合构造只能得到平凡Scherk曲面、KMR例子或Meeks曲面。
2025-09-02 math.DG
On Alan Schoen's I-WP Minimal Surface
本文详细讨论了具有立方对称性和亏格为4的嵌入三重周期极小曲面 Alan Schoen 的 I-WP 曲面，通过展示其相同共形结构的多种几何实现，证明了其伴随族在 $60^\circ$ 倍数的 Bonnet 角处包含六个全等曲面。
2024-01-08 math.DG
A quasi-periodic minimal surface
我们在平坦积R^2*S^1中构造了一个适当嵌入的极小曲面，它是拟周期的，但不是周期的。
2006-11-06 math.DG
An end-to-end-construction for singly periodic minimal surfaces
我们证明了R^3中存在一族适当嵌入的单周期极小曲面，它们具有有限的任意亏格和商中的Scherk型端点。我们的结果的证明是基于小扰动片已知的极小曲面的胶合。
2008-07-07 math.DG
A note on balance equations for doubly periodic minimal surfaces
在$\mathbb{R}^3$中具有平行端点的双周期极小曲面的大多数已知例子限制为$\mathbb{R}^3$通过水平节点平面的叶理，节点的位置满足一组平衡方程。相反，对于提供平衡配置的每一组点，存在对应的双周期极小曲面的三参数族。本文导出了一个与双周期极小曲面的平衡方程等价的微分方程。这允许生成更多的平衡方程的解，从而能够构造越来越复杂的曲面。
2016-04-26 math.DG
Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces
研究了欧氏空间中具有Scherk型端点的嵌入双周期极小曲面的存在性问题，这些曲面在拓扑上是Scherk双周期曲面，并以各种方式添加了把手.我们推广了H. Karcher和F. Wei对更多的情况下，我们发现其他情况下，存在并不成立。
2009-12-25 math.DG
Genus three embedded doubly periodic minimal surfaces with parallel ends
Indiana University South Bend（南本德印第安纳大学）；Hiroshima University（广岛大学）；Purdue University（普渡大学）；Kansai University（关西大学）
本文构造了一族亏格为三的嵌入双周期极小曲面，具有四个平行端口，并解决了二维周期问题。
2026-04-16 math.DG
An end-to-end construction of doubly periodic minimal surfaces
本文基于Traizet再生方法，构造了亏格为2n-1且具有4个平行端的双周期极小曲面族，证明其光滑收敛于2n份Scherk曲面，填补了亏格大于3的该类曲面研究空白。
2025-05-28 math.DG
Periodic minimal surfaces in semidirect products
本文证明了度量半直积中完备极小曲面的存在性。这些曲面类似于$\mathbb R^3$中的双周期和单周期Scherk极小曲面。特别是，我们得到这些表面在海森堡空间与其规范度量，并在溶胶3与一个参数家庭的非等距度量。
2013-09-10 math.DG
Infinite Periodic Discrete Minimal Surfaces Without Self-Intersections
欧氏空间中的三角化分段线性极小曲面是一个关键的区域之间的所有连续分段线性变化与紧支持，保持单纯形结构。我们明确地构建这样的表面嵌入的例子，是周期性的三个独立的方向的欧几里德3-空间。
2004-10-13 math.DG
Constructions of minimal periodic surfaces and minimal annuli in Sol3
利用Weierstrass型表示在李群Sol3中构造了两个单参数极小恰当嵌入曲面族.这些表面不是由一个单参数组的环境等距不变。第一个可以看作是一族螺旋面，第二个是一族极小环，称为悬链面。最后，我们研究这些catenoid的限制，特别是我们表明，这些限制之一是一个新的极小整图。
2013-11-20 math.DG
Singly periodic minimal Wente torus with ends
Instituto de Matemática Pura e Aplicada（纯数学与应用数学研究所）；Universidade Federal do Rio Grande do Sul（南里奥格兰德联邦大学）
研究在\(\mathbb{R}^3\)中构造由菱形晶格参数化且由球面曲率线叶状化的单周期极小曲面，以此找到新的自由边界和毛细极小环面例子。
2026-07-21 math.DG
Higher genus doubly periodic minimal surfaces
我们构造Weierstrass数据高属嵌入双周期极小曲面，并提出了数值证据，相关的周期问题可以解决。在正交端点的情况下，以前每个亏格只有一个已知的曲面。我们说明了多个新的例子，每个亏格g>2。在平行端的情况下，已知的例子限制为具有节点的平行平面的叶理。我们构造了一个新的例子，每个亏格g>2，限制为g-1单周期Scherk曲面之间的两个双周期Scherk曲面，也作为一个单周期曲面与四个垂直和2g水平Scherk结束。
2016-02-17 math.DG
The classification of doubly periodic minimal tori with parallel ends
设$\mathcal{K}$是$\R^3$通过两个独立平移而正确嵌入的最小环面的空间，具有任何固定（偶数）数量的平行端。经过适当的规范化后，我们证明了$\mathcal{K}$是一个3维实解析流形，它可约化为Karcher，Meeks和Rosenberg在\cite{ka4,ka6,mr3}中定义的例子的有限覆盖. $\mathcal{K}$中曲面的退化极限是悬链面、螺旋面和三个单参数曲面族：单周期和双周期Scherk极小曲面和Riemann极小曲面。
2005-01-28 math.DG
The construction of doubly periodic minimal surfaces via balance equations
利用Traizet的再生方法，我们证明了许多新的三维家庭的嵌入，双周期极小曲面的存在。所有这些族都有一个由垂直平面构成的三维欧几里得空间的叶理作为极限。在商中，这些极限可以共形地实现为节点黎曼曲面，其分量是C* 的具有200个节点的副本。我们推导出平衡方程的节点的位置，并展示解决方案，允许表面的任意大的属和数量的结束商。
2010-01-14 math.DG
Limit of Karcher's Saddle towers
在1988年，Karcher推广了单周期Scherk极小曲面族，对每个自然$n\geq 2$，构造了亏格为零且$2n$ Scherk型终止于商的单周期极小曲面的$(2n-3)$ -参数族，称为{ \it鞍塔}。它们最近被Pérez和Traizet \cite{PeTra1}分类为$\R^3$中唯一正确嵌入的单周期极小曲面，其亏格为零，商中有200个Scherk型端点。在本文中，我们得到了鞍塔的一个极限：悬链面;角$\fracπ{2}$的双周期Scherk极小曲面;任何单周期Scherk极小曲面;或$M_{\t,\a,0}$类的KMR例子（也称为{ \it toroidal halfplane layer}，参见\cite{ka4,mrod1}），它们是具有平行端部且商亏格为1的双周期极小曲面;或者是在\cite{mrt}中构造的例子之一，它们是亏格为零的单周期极小曲面，极限终止于它们所有周期的商。
2006-12-05 math.DG
The space of doubly periodic minimal tori with parallel ends: Standard Examples
我们描述了一个三参数族$\mathcal{K}$的适当嵌入极小环面与四个平行的端部的$\mathbb{R}^3$的两个独立的翻译，我们将被称为\textit{Standard Examples.}这些表面推广的例子由Karcher，Meeks和Rosenberg在\cite{ka4,ka6,mr3}。$\mathcal{K}$可以被赋予一个自共轭的三维实解析流形的自然结构，它与$\mathbb{R}\times(\mathbb{R}^2-\{(\pm 1,0)\})$同构，其退化极限是悬链面、螺旋面、单周期和双周期Scherk极小曲面以及Riemann极小例子. Perez、Rodriguez和Traizet \cite{PeRoTra1}在以下意义上刻画了$\mathcal{K}$：如果$M$是一个适当嵌入的极小环面，其商为$\mathbb{R}^3$与两个具有任意数量平行端的独立平移，则$M$是一个标准例子的有限覆盖。
2006-11-23 math.DG
Construction of embedded periodic surfaces in $\mathbb{R}^n$
构造了$\mathbb{R}^n$中具有$n$ -周期性的嵌入极小曲面.它们是余维$n-2\ge 2$的新参数。我们从$n$维立方体的边的Jordan曲线开始。它是一个Plateau极小圆盘的边界，Schwarz反射将该圆盘推广到一个完备的极小曲面.通过研究Schwarz反射群，我们可以刻画出嵌入完整曲面的Jordan曲线。例如，对于$n=4$，正好有五条这样的Jordan曲线生成嵌入曲面。我们的结果适用于曲面类以外的最小的，以及，例如多边形曲面。
2017-07-28 math.DG
The periodic Plateau problem and its application
给出了一条在$\mathbb R^3$中没有自交的非紧不连通完全周期曲线$Γ$，证明了存在一个生成$Γ$的非紧单连通周期极小曲面.作为应用，证明了对于任意具有二面角$\leq90^\circ$的四面体$T$，存在四个嵌入的极小环，它们沿边界垂直于$\partial T$.证明了$\mathbb R^3$的每一个柏拉图体都包含五种类型的嵌入亏格为零的极小曲面的自由边界。
2021-08-23 math.DG
Minimal Twin Surfaces
我们报告了一些极小曲面，它们可以看作是平行镜面反射相关的三重周期性极小曲面（TPMS）的副本。我们称之为最小孪晶面，因为它与孪晶相似。Brakke的Surface Evolver被用来构造各种经典TPMS的孪生曲面，包括Schwarz的Primitive（P）曲面和Diamond（D）曲面，它们的菱形变形（rPD），以及Schoen的Gyroid（G）曲面。我们的数值计算结果为最近材料科学家在实验中观察到的D孪晶和G孪晶的数学存在提供了有力的证据。对于rPD双胞胎，我们通过注意Traizet（2008）和Fujimori和Weber（2009）先前构建的例子，建立了很好的理解。相比之下，我们对G双胞胎的了解非常有限。然而，我们的实验导致新的立方多面体模型的D和G表面，我们推测新的TPMS变形的框架Traizet的启发。
2017-10-16 cond-mat.soft math.DG
Uniqueness of minimal surfaces, Jacobi fields, and flat structures
受Finn-Osserman（1964），Chern（1969），do Carmo-Peng（1979）对Bernstein定理的证明（该定理将平面刻画为唯一的整极小图）的启发，我们证明了连接双周期Scherk图和单周期Scherk塔的结合族的一个新的刚性定理.我们的Scherk曲面的表征发现了一个新的想法，从原来的Finn-Osserman曲率估计。结合Chern和Ricci引入的两个一般独立的平坦结构，我们将构造极小曲面上的几何调和函数，并建立周期极小曲面的唯一性定理.
2019-05-31 math.DG
Catenoid limits of singly periodic minimal surfaces with Scherk-type ends
本文构造了任意亏格和偶数个Scherk端的单周期极小曲面族，其极限为带节点的多层垂直平面，节点打开条件由Stieltjes多项式根的平衡方程决定。
2023-10-14 math.DG
The embedded singly periodic Scherk-Costa surfaces
我们对M. Traizet关于不含平面测地线的Scherk-端点的完全嵌入极小曲面的存在性的公开问题。在单周期情形下，这些例子接近于Traizet关于全曲率有限的欧几里得空间的非对称完备极小子流形的结果的推广.
2004-08-30 math.DG
Gluing Karcher-Scherk saddle towers II: Singly periodic minimal surfaces
本文通过沿翼面粘合单周期 Karcher-Scherk 鞍塔构造具有 Scherk 端的单周期极小曲面，规定相位差获得无水平反射平面的新实例，并仔细分析轻微弯曲以纠正近期关于平行 Scherk 端嵌入性的错误，确定曲面确实嵌入的场景。
2023-10-14 math.DG
On doubly periodic minimal surfaces in $\mathbb H^2 \times \mathbb R$ with finite total curvature in the quotient space
本文发展了商空间$\mathbb H^2\times\mathbb R/G,$中的恰当浸入极小曲面的理论，其中$G$是$\mathbb H^2$中由垂直平移和水平等距生成的无不动点等距子群.水平等距可以是一个抛物线平移沿horocycles在$\mathbb H^2$或双曲线平移沿测地线在$\mathbb H^2.$事实上，我们证明，如果一个适当的浸入极小曲面在$\mathbb H^2\times\mathbb R/G$有限的全曲率，那么它的全曲率是多个$2π,$，而且，我们了解几何的结束。这些定理对于$M\times\mathbb S^1,$中的适当浸入的极小曲面更一般地成立，其中$M$是具有有限拓扑的双曲曲面，其端点等距于上述空间$\mathbb H^2\times\mathbb R/G.$的端点之一
2013-05-21 math.DG
Minimal Surface Linear Combinatoin Theorem
给定$\mathbb{D}$上的两个单叶调和映射$f_1$和$f_2$，利用Weierstrass-Enneper表示定理，给出了$f_3=(1-s)f_1+sf_2$提升到$s\in[0,1]$的极小曲面的充要条件.然后，我们构建这样的映射从Enneper的表面Scherk的奇周期表面，Schkerk的双周期表面的悬链线，和4-Enneper表面的4-noid。
2006-10-24 math.DG
The doubly periodic Scherk-Costa surfaces
我们提出了一个新的嵌入双周期极小曲面，其中的对称群不符合任何其他已知的例子。
2008-06-26 math.DG
Minimal surfaces with the area growth of two planes; the case of infinite symmetry
本文证明了具有无穷对称群的欧氏空间中与半径为R的球的交小于2 \piR^2的连通真浸入极小曲面是平面、悬链面或Scherk单周期极小曲面。特别地，我们证明了一对相交平面的唯一周期极小去奇异化是Scherk的单周期极小曲面。
2005-01-08 math.CV math.DG
Stacking disorder in periodic minimal surfaces
构造了$T \times \mathbb{R}$中无限亏格的非周期嵌入极小曲面的单参数族，其中$T$表示平坦的2-环面.我们的每一个族都收敛到$T \times \mathbb{R}$乘$T$的叶理。然后，这些表面提升到$\mathbb{R}^3$中的极小曲面，其在水平方向上是周期性的，但在垂直方向上不是周期性的。用晶体学的语言来说，我们的结构可以解释为周期性排列的悬链颈层的无序堆叠。我们的工作是出于实验观察周期性的极小曲面，我们复制的特殊情况下堆叠混乱的孪生缺陷。
2020-10-27 cond-mat.soft math.CV math.DG
Periodic partitions with minimal perimeter
证明了在齐次度量测度空间中使一般周长泛函最小的基本区的存在性。在某些情况下，包括闭黎曼流形的泛覆盖中的通常周长，以及$\mathbb R^n$中的分数周长，我们可以证明极小域的正则性。作为我们的分析的副产品，我们得到的可数分区，这是最小的分数周长是局部有限的和定期的，扩展了以前已知的局部周长的结果。最后，在平面的情况下，我们提供了一个详细的描述的基本区是最小的一般各向异性周长。
2022-12-22 math.AP math.DG
Existence and qualitative properties of isoperimetric sets in periodic media
本文回顾和推广了非均匀各向异性周期介质中极小曲面和等周集存在性的一些结果。我们还描述了均匀化的表面张力，也被称为稳定的范数（或最小作用）在弱KAM理论的定性性质。特别地，我们研究它的严格凸性和可微性。
2013-05-02 math.AP math.DG
