On the ubiquity of trivial torsion on elliptic curves
Enrique Gonzalez-Jimenez, Jose M. Tornero
本文的目的是对有理数上任意选取的椭圆曲线最有可能具有平凡挠率这一众所周知的事实给出一个“脚踏实地”的证明。
The purpose of this paper is to give a "down--to--earth" proof of the well--known fact that a randomly chosen elliptic curve over the rationals is most likely to have trivial torsion.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Elliptic Curves with Large Intersection of Projective Torsion Points
本文构造了数域上具有大的射影扭点交的椭圆曲线对。
Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with nontrivial 2-torsion subgroups
对任意数域，证明了存在定义在其上的椭圆曲线，使得其Shafarevich-Tate群具有非平凡的2-挠子群.
Elliptic curves with common torsion $x$-coordinates and hyperelliptic torsion packets
我们建立了扭转包之间的连接曲线的属$2$和椭圆曲线对实现为双覆盖的投影线$\mathbb{P}_{x}^{1}$，有许多共同的扭转$x$坐标。这可以用来表明公共扭转$x$坐标的集合具有至少$22$的大小，并且在某些情况下具有$34$元素。我们还解释了我们如何获得当前记录的例子超椭圆扭转包的亏格$2$曲线。
On Some Diophantine Parameters of the Cyclic Torsion Subgroups of Odd Order of Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$
本文研究有理数域上椭圆曲线奇阶循环挠子群，并给出了其若干显式丢番图参数。
Torsion points with multiplicatively dependent coordinates on elliptic curves
本文研究了坐标满足某些乘性依赖关系的椭圆曲线上挠点的有限性问题。特别地，我们证明了在数域上定义的椭圆曲线上，只有200多个挠点的坐标是乘法相关的。此外，当椭圆曲线定义在有理数上或具有复乘时，我们得到了一个有效的结果。
Torsion of elliptic curves over cyclic cubic fields
本研究明确了循环三次域、非循环全实三次域与复三次域上椭圆曲线的全部可能挠群，填补了相关数论研究的空白。
Torsion of rational elliptic curves over quadratic fields
设E是定义在Q上的椭圆曲线。研究了扭子群E（Q）_tors与扭子群E（K）_tors之间的关系，其中K是二次数域.
Rational torsion in elliptic curves and the cuspidal subgroup
设$A$是正方形自由导体$N$的$\Q$上的椭圆曲线。证明了若$A$有一个素数阶有理扭点，使得$r$不整除$6N$，则$r$整除$J_0(N)$的尖子群的阶.
Torsion growth over cubic fields of rational elliptic curves with complex multiplication
本文是对椭圆曲线在基变换下的挠增长性分类的一个贡献。本文讨论有理数域上椭圆曲线的复乘情形。对于这种特殊的情况下，我们给出了一个描述的可能扭转增长的立方领域和一个完全明确的描述这种增长的一些不变量附加到一个给定的椭圆曲线。
On p-torsion of p-adic elliptic curves with additive reduction
设E是p进数上具有加性约化的椭圆曲线，G是E上具有好约化的p进点群.本文给出了图G包含非平凡p-挠的充要条件。
On the torsion of rational elliptic curves over quartic fields
设E是定义在Q上的椭圆曲线，G = E（Q）_tors是相应的挠子群.本文研究了对于给定的G，哪些可能的群G <= H可以出现使得H=E（K）_tors，对于[K：Q]=4，H是定义在四次数域上的椭圆曲线的挠结构中无限频繁出现的可能的挠结构之一.
Counting elliptic curves with prescribed torsion
马祖尔定理指出，在有理数上，椭圆曲线的挠子群恰好有15种可能。我们确定这些组中的每一个实际发生的频率。精确地说，如果$G$是这15个组之一，我们表明，数的椭圆曲线的高度$X$的扭转子群是同构的$G$是在$X^{1/d}$的顺序，对于一些$d=d(G)$，我们计算。
Torsion groups of elliptic curves over quadratic cyclotomic fields in elementary abelian 2-extensions
设K表示二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，其中d= $-1$或$-3$。设E是定义在K上的椭圆曲线。本文分析了$K$的极大初等交换$2$ -扩张中E的扭子群.
Families of elliptic curves with rational torsion points of even order
本文是arXiv：1702.02255 [math.NT]的后续文章。构造了分别具有4、6、8、10、12阶有理点的显式双曲型椭圆曲线族.
Torsion for CM elliptic curves defined over number fields of degree 2p
对于素数p，我们刻画了在2p度数域上定义的具有复乘的椭圆曲线的扭子群。特别是，我们的工作表明，最强意义上的分类是联系在一起的，以确定是否存在无限多个苏菲·热尔曼素数。
Explicit characterization of the torsion growth of rational elliptic curves with complex multiplication over quadratic fields
在一系列的论文中，我们分类的可能扭转结构的有理椭圆曲线基扩展到数域的一个固定的程度。本文主要研究有理数域上定义有复乘的椭圆曲线在二次域上的挠率如何增长的问题。我们更进一步，我们给一个明确的表征的二次域的挠增长的一些不变量附加到曲线。
Torsion of rational elliptic curves over cubic fields
设E是定义在Q上的椭圆曲线。研究了扭群E（Q）_tors与扭群E（K）_tors之间的关系，其中K是立方数域.特别地，我们研究了使得E（Q）_tors \neq E（K）_tors的立方数域K的个数.
Torsion of elliptic curves over cubic fields
虽然不知道哪些群可以出现为立方数域上的椭圆曲线的挠群，但已知哪些群可以出现为无穷多个非同构曲线。我们将这些群的集合表示为$S$。本文讨论了三次域上椭圆曲线的挠率的三个问题。首先，我们研究了判别式绝对值最小且具有伽罗瓦群$S_3$的域上和判别式绝对值最小且具有伽罗瓦群$\Z/3\Z$的域上的椭圆曲线的可能挠群.其次，对除两个群$G\in S$外的所有群，我们找到了具有最小判别式绝对值的域$K$，使得存在$G$为挠率的$K$上的椭圆曲线.最后，对每一个$G\in S$和每一个三次域$K$，我们确定是否存在无穷多个非同构的带挠$G$的椭圆曲线.
Torsion groups of elliptic curves over quadratic fields
本文提出确定固定二次域上椭圆曲线所有可能挠群的方法，找出各挠群对应的最小判别式二次域，并分析挠与秩的相互作用及相应域的数量与密度。
On torsion sections of elliptic fibrations
设E是函数域Q（t）上的椭圆曲线。设对任意数域L \not =Q和任意元素τ \in L使得特化E_τ光滑，则曲线E_τ在L上有非平凡扭点.我们证明了E在Q（t）上有一个非平凡扭点。这提供了证据支持的一个问题的Graber-Harris-Mazur-Starr的理性伪截面的算术满射态射。
On the number of elliptic curves with prescribed isogeny or torsion group over number fields of prime degree
设$p$是素数，$K$是次数为$p$的数域.我们计数的椭圆曲线，直到$\bar{K}$ -同构，具有规定的性质，其中该性质是曲线包含一个固定的扭转群作为一个子群，或它有一个规定的程度的同构的数量。
Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant over the maximal elementary abelian 2-extension of $\mathbb{Q}$
本文针对定义在有理数域所有二次扩张合成域上、j不变量为非0或1728的有理数的椭圆曲线，完成了对其可能挠子群结构的分类。
On the $\text{PGL}_{2}$-invariant quadruples of torsion points of elliptic curves
令$E$是椭圆曲线，并且$π:E\to\mathbb{P}^{1}$是标识$\pm P\in E$的标准双覆盖。已知对于某些扭点$P_{i}\in E$、$1\leq i\leq4$，$\{π(P_{i})\}_{i=1}^{4}$的交比与$E$无关。在这篇文章中，我们将给出一个完整的四元组分类。
On the torsion of rational elliptic curves over sextic fields
给定一个椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$的扭转子群$G = E(\mathbb{Q})_{\rm tors}$，我们研究了什么组（直到同构）可以发生作为扭转子群的$E$基扩展到$K$，一个6度扩展的$\mathbb{Q}$。我们还确定了哪些组$H = E(K)_{\rm tors}$可以无限频繁地出现，哪些组只出现在多条曲线上。本文是对超六次域的挠增长进行完全分类的第一步。
The Brauer group of Kummer surfaces and torsion of elliptic curves
我们将库默尔曲面的Brauer群与相应阿贝尔曲面的Brauer群联系起来。对于许多对有理数上的椭圆曲线，证明了它们的乘积所对应的Kummer曲面具有平凡的Brauer群.
Motivic & Arithmetic probability of a semistable elliptic surface with a Weierstrass torsion section
利用判别式$Δ(X)$的有界高度，证明了半稳定椭圆曲线在$\infty$和$0$上具有两个标记Weierstrass点的新的精确渐近性，以及$0$是$\mathbb{F}_q(t)$上的2-挠或3-挠标记Weierstrass点的情形.本文研究了在具有$\text{char}(K) \neq 2,3$的基域$K$上，选取在$\infty$和$0$上具有两个标记Weierstrass截面的$\mathbb{P}^{1}$上的非奇异半稳定椭圆曲面，使得在$0$上的标记Weierstrass截面是2-挠率或3-挠率的运动概率.最后，通过全局域的类比，利用判别式$Δ$的有界高度，给出了在$\mathcal{Z}_{\mathbb{Q}}(\mathcal{B})$上，在$0$上具有显著有理2-挠或3-挠Weierstrass点的半稳定椭圆曲线占在$\mathbb{Q}$上的所有具有显著有理Weierstrass点的半稳定椭圆曲线的比例的一个类似的估计.
Fields of definition of elliptic curves with prescribed torsion
证明了子群同构于$C_{16}$的二次域上的所有椭圆曲线，以及子群同构于$C_2\times C_{14}$的三次域上的所有椭圆曲线，都是定义在$\Q$上的椭圆曲线的基变换.这些结果是通过研究模曲线和模曲线之间映射的几何性质得到的，进而得到这些曲线和映射的模描述。
The rank and generators of Kihara's elliptic curve with torsion $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ over $\mathbb{Q}(t)$
对于Kihara发现的$\mathbb{Q}(t)$上的椭圆曲线$E$，在挠群$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$和秩$\geq 5$上，利用适当的内射特化，我们精确地确定了$E(\mathbb{Q}(t))$的秩和生成元.
Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant over quartic number fields
本文分类了定义在四次数域上且具有有理 $j$-不变量的椭圆曲线的挠子群的可能群结构。
Torsion groups of elliptic curves over $\mathbb{Q}(μ_{p^{\infty}})$
设$E/\mathbb{Q}$是椭圆曲线，$p \in \{5,7,11 \}$是素数.我们确定了$E(\mathbb{Q}(ζ_{p}))_{tors}$的可能性。此外，我们确定了$E(\mathbb{Q}(ζ_{16}))_{tors}$和$E(\mathbb{Q}(ζ_{27}))_{tors}$的所有可能性。利用这些结果，我们能够确定$E(\mathbb{Q}(μ_{p^{\infty}}))_{tors}$的可能性。
Torsion points on elliptic curves over number fields of small degree
我们确定集合$S(d)$的可能素数阶的$K$ -有理点的椭圆曲线上的数域$K$度$d$，为$d = 4$，$5$，$6$，和$7$。
Complete classification of the torsion structures of rational elliptic curves over quintic number fields
对五次数域上有理椭圆曲线可能的挠结构进行了分类。另外，设E是定义在Q上的椭圆曲线，G = E（Q）_tors是相应的挠子群.我们研究，对于一个给定的G，哪些可能的群G \subseteq H可以出现，使得H=E（K）_tors，[K：Q]=5。特别地，我们证明了至多存在一个五次数域K使得E（Q）_tors \neq E（K）_tors.
Ranks of elliptic curves with prescribed torsion over number fields
研究了2、3、4阶数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的结构。证明了若$T$是群，则二次域上所有具有扭子群$T$的椭圆曲线的类要么为空，要么包含秩为0的曲线和正秩的曲线.我们证明了一个类似的，但稍弱的三次和四次领域的结果。另一方面，我们找到一个群$T$和一个四次域$K$，使得在具有挠子群$T$的$K$上的椭圆曲线中，存在正秩曲线，但不存在秩~0的曲线。我们发现的例子椭圆曲线的正秩和给定的挠在许多以前未知的情况下。我们还证明了所有的椭圆曲线在二次域上的一个点的阶数为13或18和所有的椭圆曲线在四次域上的一个点的阶数为22是同构的伽罗瓦共轭之一，并通过一个现象，我们称之为\emph{false complex multiplication}，有偶数秩。最后，我们讨论了与有限域上的椭圆曲线的关系以及在整数分解中的应用。
The p-torsion subgroup scheme of an elliptic curve
设$k$是具有正特征$p$的域。问题：$μ_p$在$k$上的每一个扭曲形式都作为$k$上的椭圆曲线的子群概型出现吗？我们表明，这是真实的大多数有限域，局部领域和领域的特点$p\leq11$。然而，对于特征为$p\geq13$的域，它通常是错误的，这意味着在这些域上也存在高度为1的$p$ -可整除的形式群，它们不是由椭圆曲线产生的。这也意味着Hasse不变量不遵守Hasse原则。此外，我们还分析了正常椭圆曲线的$p$ -扭子群格式的扭形式以及超奇异曲线的类似问题。
Torsion primes for elliptic curves over degree 8 number fields
本文将 Derickx 等人确定 4 至 7 次数域椭圆曲线挠素数的方法推广到 8 次数域，验证了相关技术的适用性。
Elliptic curves with torsion group $\Z /6\Z $
我们给出了几类扭群同构于$ \Z/6\Z$且类秩至少为$3$的椭圆曲线.这种类型的家庭已经构建了以前的几个作者：Lecacheux，Kihara，Eroshkin和吴。我们提到其中一些细节，我们添加其他例子最近开发的杜杰拉和佩拉尔，和麦克劳德。然后我们应用Gusić和Tadić的算法，我们发现$\Q(t)$上的确切秩为3，我们还确定了每个家族的Mordell-Weil群的自由生成元。通过适当的特殊化，我们得到了$\Q$上具有挠$ \Z/6\Z$和秩$8$的曲线的已知和新的例子，这是目前的记录.
Average analytic rank of elliptic curves with prescribed torsion
证明了在椭圆曲线$L$ -函数的GRH下，具有给定挠率$G$的椭圆曲线的平均解析秩对每个挠群$G$是有界的.
P-torsion monodromy representations of elliptic curves over geometric function fields
给定一个复拟投射曲线$B$和$B$上的一个非等平凡椭圆曲线族$\mathcal{E}$，$p$ -挠$\mathcal{E}[p]$得到一个单值表示$ρ_\mathcal{E}[p]:π_1(B)\rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ .我们证明了如果$ρ_{\mathcal E}[p]\cong ρ_{\mathcal E'}[p]$，那么$\mathcal{E}$和$\mathcal E'$是同源的，只要$p$大于一个常数，仅取决于$B$的性。这可以被看作是Frey-Mazur猜想的函数域模拟，该猜想指出$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线由其$p> 17$的$p$ -扭转伽罗瓦表示确定直到等距。证明依赖于双曲几何，因此仅适用于特征0。
New Rank Records For Elliptic Curves Having Rational Torsion
我们提出了具有扭子群Z/2 Z、Z/3 Z、Z/4 Z、Z/6 Z和Z/7 Z的破秩记录的椭圆曲线。
On the discriminant of elliptic curves with non-trivial torsion
对于定义在有理域上的具有非平凡挠子群的椭圆曲线，我们发现挠子群本身与由曲线自然产生的伽罗瓦群之间存在着紧密的关系.
Torsion points on Elliptic Curves and the Jackson Space
该研究利用特殊非交换概形分析椭圆曲线p-挠点域的分歧与约化性质，并证明该非交换空间可通过p-挠点参数化基域Brauer群的p-挠类。
High rank elliptic curves with prescribed torsion group over quadratic fields
定义在二次数域上的椭圆曲线的挠群有26种可能。我们给出了具有给定扭群的高秩椭圆曲线的例子，这些例子给出了大多数扭群的当前记录。特别地，我们证明了对于每一个可能的挠群，除了可能是Z/15 Z之外，存在一条在某个二次域上具有该挠群且秩>= 2的椭圆曲线。
A Simple Method for High-Rank Families of Elliptic Curves with Specified Torsion
我们描述了一个简单而有效的方法，用于推导具有高秩的所有成员具有相同挠子群结构的椭圆曲线族。
Prime order torsion on elliptic curves over number fields. Part I: Asymptotics
该研究在相关新形式稀疏性猜想下，给出了不同次数数域上椭圆曲线有理点素数阶最大值的渐近上界，偶数次数域上界为3d+1，奇数次数域上界为d的低阶无穷小。
Torsion growth of rational elliptic curves in sextic number fields
对六次数域上有理椭圆曲线的可能挠结构进行了分类。
Torsion of elliptic curves over quadratic cyclotomic fields
本文研究了$\mathbb Q(i)$和$\mathbb Q(\sqrt {-3})$上椭圆曲线的可能挠率.
A complete diophantine characterization of the rational torsion of an elliptic curve
利用丢番图方程积分解的存在性（不存在性），给出了椭圆曲线有理挠率的一个完整刻画。
Growth of torsion of elliptic curves with full 2-torsion over quadratic cyclotomic fields
设$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$或$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$，并设$C_n$表示$n$阶循环群。研究了$K$上椭圆曲线的挠率部分如何在$K$的二次扩张中增长。在$E(K)[2] \approx C_2 \oplus C_2$的情况下，我们确定一个给定的扭转结构如何可以增长在一个二次扩张和最大数量的二次扩张，它的增长。我们还对作为给定扭转结构的二次扭转而出现的扭转结构进行了分类。
Addition law structure of elliptic curves
对椭圆曲线的替代模型的研究最近引起了密码学应用的兴趣，一旦认识到这种模型比标准的Weierstrass模型提供了更有效的群律计算算法。这样的模型的例子出现通过由合理的扭转结构引起的对称性。我们分析了加法态射的截面空间的模结构，确定了扭群作用下截面空间及其特征空间的显式维数公式，并将其应用于具有参数化扭子群的椭圆曲线的具体模型.
Classification of torsion of elliptic curves over quartic fields
本文确定了四次域上椭圆曲线挠群的所有可能情况，证明不存在零散挠群，并利用秩0方法、Hecke筛法和全局方法等证明了相关模曲线无非尖点四次点。
Typically bounding torsion on elliptic curves isogenous to rational $j$-invariant
证明了数域上与具有$j$-有理$F_0$-不变量的椭圆曲线几何同构的椭圆曲线族$\mathcal{I}_{F_0}$在挠率上是典型有界的.在一个额外的一致性假设下，我们还证明了数域上的椭圆曲线族$\mathcal{I}_{d_0}$与度为$d_0$ $j$ -不变量的椭圆曲线几何同构时，其挠率通常是有界的.
Thue equations and torsion groups of elliptic curves
利用Thue方程组解的存在性，对大于4阶的点，得到了椭圆曲线的有理扭子群的一个新的刻画.
Transcendental Brauer elements via descent on elliptic surfaces
超越布劳尔元素是出了名的难以计算。工作的维滕贝格，后来，Ieronymou，给出了一种方法，计算2-扭转超越类的表面上有一个属1纤维化与合理的2-扭转的雅可比纤维化。我们使用Poonen和Schaefer的一个下降文件的想法，以消除这种假设的合理2-扭转。
On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields (III)
本文是讨论立方数域上椭圆曲线的循环扭子群的系列论文的第三部分。对于$N=39$，我们证明了对于立方数域$K$上的任何椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群。
A criterion to rule out torsion groups for elliptic curves over number fields
我们提出了一个准则，证明某些群的形式$\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z$不出现任何椭圆曲线的扭子群在适当的（家庭）数域。我们应用这个准则来消除某些群作为扭转群的椭圆曲线在三次和四次域。我们还利用这个准则给出了发生在特定三次域和特定四次域上的所有椭圆曲线的挠群的列表。
Average Cyclicity for Elliptic Curves in Torsion Families
本文证明了一类具有特定挠率的曲线族中的有理数上的椭圆曲线约化的循环性的渐近公式。这些结果同意既定的条件下的结果，并采取了较大的家庭的平均结果。作为一个关键工具，我们证明了一个类似的结果，Vlaper-duty估计的数量椭圆曲线在一个有限域具有指定的扭点和循环群结构。
Torsion points and Galois representations on CM elliptic curves
证明了数域上复乘椭圆曲线的扭点和伽罗瓦表示的几个结果。一个结果计算的程度，这样一个椭圆曲线有一个合理的点的顺序$N$，细化结果西尔弗伯格。另一个结果根据具有CM的椭圆曲线的最大阶扭子群，以非最大阶限制了具有CM的椭圆曲线的扭子群的大小。我们的技术也产生一个完整的分类可能的扭转子群和合理的循环isogenies的$K$ -CM椭圆曲线$E$定义在$K(j(E))$。
Torsion of rational elliptic curves over quadratic fields II
设E是定义在Q上的椭圆曲线，G=E（Q）_tors是相应的挠群.在以前的文章中，作者研究了，对于一个给定的G，哪些可能的群G \leq H可以出现，使得H=E（K）_tors，[K：Q]=2。在本文中，我们进一步在这项研究和计算，在此假设下，对每一个这样的G，所有可能的情况下，G \neq H。结果是最佳的，因为我们还显示了我们尽可能陈述的每种情况的示例。结果，容易获得使得E（Q）_tors \neq E（K）_tors的二次数域K的最大数目。
The elliptic torsion anomalous conjecture in codimension 2
挠反常猜想指出，对于任何簇V，在一个阿贝尔簇中，只有1000个极大V-挠反常簇。本文证明了对任意椭圆曲线E的乘积E^N中余维数为2的V的这个猜想。只有当E有CM时才知道。我们还给出了这些最大V-挠率反常簇的归一化高度的有效上界。
Complete classification of torsion of elliptic curves over quadratic cyclotomic fields
在以前的论文中，作者研究了二次域$\mathbb Q(i)$和$\mathbb Q(\sqrt{-3})$上椭圆曲线的可能挠率。虽然所有可能的扭转都被发现，如果椭圆曲线有合理的系数，我们无法消除扭转的一些可能性，如果椭圆曲线的系数是不合理的。本文通过求$\mathbb Q(i)$和$\mathbb Q(\sqrt{-3})$上两条超椭圆曲线的所有点，完全解决了这个问题，从而得到了$\mathbb Q(i)$和$\mathbb Q(\sqrt{-3})$上椭圆曲线所有可能挠率的分类.
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