Global strong solutions in $\mathbb{R}^3$ for ionic Vlasov-Poisson systems
Vlasov-Poisson型系统是描述稀等离子体的动力学模型。该模型的结构根据它描述的是等离子体中的电子还是带正电的离子而不同。与电子情况相比，Vlasov-Poisson系统的适定性理论已经很好地建立起来，离子模型的适定性理论最近已经被研究。在这篇文章中，我们证明了两个Vlasov-Poisson系统的离子，提出了整个三维欧几里得空间$\mathbb{R}^3$，在最小的假设下的初始数据和限制势的整体适定性。
2021-05-25 math-ph math.AP math.MP
Backward problem for the 1D ionic Vlasov-Poisson equation
本文研究一维离子 Vlasov-Poisson 系统的反向问题，通过固定解的渐近行为证明了 Landau 阻尼。
2023-04-12 math-ph math.AP math.MP
Gravitational collapse and the Vlasov-Poisson system
一个压力为零的流体的自引力均匀球，其中流体粒子最初处于静止状态，在有限时间内坍缩到一个点。我们证明了这种引力坍缩可以任意接近的Vlasov-Poisson系统的适当的解决方案，这是已知的全球存在的时间。
2015-09-30 math-ph math.AP math.MP
The Vlasov-Poisson-Landau System in $\R^3_x$
对于$\R^3_x$中具有Coulomb相互作用的Landau-Poisson方程组，证明了在充分接近的条件下解的整体存在性、唯一性和大时间收敛速度.
2012-02-11 math-ph math.AP math.MP
The Cauchy problem for the 3-D Vlasov-Poisson system with point charges
本文在点电荷存在的情况下，建立了三维Vlasov-Poisson方程组解的整体存在唯一性。本分析扩展了Caprino和Marchioro的类似二维结果[关于等离子体电荷模型，出现在Kinetic and Related Models（2010）中]。
2010-03-02 math-ph math.AP math.MP
Uniqueness criteria for the Vlasov--Poisson system and applications to semiclassical analysis
本文回顾了 Vlasov–Poisson 系统在强弱拓扑下的唯一性准则，并说明其如何指导半经典分析中不同量子态问题的求解。
2023-03-19 math-ph math.AP math.MP
The Vlasov-Poisson dynamics as the mean field limit of extended charges
本文讨论非相对论性Vlasov-Poisson方程在$d\geq 2$维上的有效性问题。结果表明，Vlasov-Poisson动力学可以导出为N粒子扩展电荷库仑系统的平均场和点粒子极限的组合。这需要初始经验分布的足够快的收敛。如果电子半径比$N^{-\frac{1}{d(d+2)}}$减小得慢，则相应的初始构型是典型的。这一结果需要传播的分子混沌各自的动力学
2015-11-18 math-ph math.AP math.MP
Polynomial propagation of moments and global existence for a Vlasov-Poisson system with a point charge
本文将Lions和Perthame [6]关于Vlasov-Poisson方程的理论推广到由Dirac质量和有界密度（有限矩）构成的初值情形。我们的技术还提供多项式增长的有界密度的时刻的时间估计。
2013-09-23 math-ph math.AP math.MP
Inverse modified scattering and polyhomogeneous expansions for the Vlasov--Poisson system
本文给出了 Vlasov--Poisson 系统逆向修正散射问题适定性的新证明，并证明了其解可展开为任意有限高阶的多齐次展开，且无需利用 Poisson 方程的完全椭圆性。
2024-04-24 math-ph math.AP math.MP
Debye screening for the stationary Vlasov-Poisson equation in interaction with a point charge
我们证明了由非线性Vlasov-泊松方程描述的空间均匀等离子体与点电荷相互作用中的德拜屏蔽长度。虽然屏蔽定态以及时间相关的问题是很好的研究线性化方程，有一些严格的结果筛选在非线性设置。因此，这里给出的结果覆盖了线性化理论预测的假设下的平稳情况。
2020-11-29 math-ph math.AP math.MP
Generalized solutions of the Vlasov-Poisson system with singular data
本文在广义函数代数的背景下研究了Vlasov-Poisson方程组的球对称解。这允许建模高度集中的初始配置，并提供了一个一致的设置，用于研究系统的奇异极限。在我们的方法中唯一的可解性的证明取决于新的稳定性的系统相对于扰动。
2007-09-12 math-ph math.AP math.MP
From the Hartree equation to the Vlasov-Poisson system: strong convergence for a class of mixed states
我们考虑$N$费米子通过库仑势或引力势在平均场极限下相互作用的演化，这种相互作用由具有库仑势或引力势的非线性Hartree方程所支配。在大$N$的极限下，研究了一类特殊的混合准自由态的经典Vlasov-Poisson方程的迹模收敛性。
2019-11-13 math-ph math.AP math.MP
The Vlasov-Poisson equation in $\mathbb{R}^3$ with infinite charge and velocities
本文考虑$\mathbb{R}^3$中的Vlasov-Poisson方程，其初始数据在空间上不是$L^1$，且在速度上具有无界支撑.假设密度在空间中有轻微衰减，速度有强烈衰减，我们证明了解的存在性和唯一性，从而推广了文[5]中给出的在速度中完备数据的类似结果。
2018-05-22 math-ph math.AP math.MP
Moment propagation of a Vlasov-Poisson system for ions flow in the quasi-neutral regime
Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学数学系）
本文研究离子流在准中性区域的Vlasov-Poisson系统动量传播问题，通过估计特征方程解的差值来获得动量传播结果。
2026-01-01 math-ph math.AP math.MP
Global well-posedness for the Vlasov-Poisson system with massless electrons in the 3-dimensional torus
在等离子体物理中，具有无质量电子的Vlasov-Poisson系统（VPME）被广泛用于模拟等离子体中离子的演化。它不同于电子的Vlasov-Poisson系统（VP），因为Poisson耦合具有指数非线性，这会产生一些数学困难。特别是，虽然在电子的情况下，3D中的全局适定性是很好理解的，这个问题仍然完全开放的离子模型与无质量的电子。本文的目的是填补这一空白，证明VPME的唯一性在一类有界密度的解决方案，并与有界密度的解决方案的一般类的初始数据的整体存在性，推广所有以前的结果已知的VP。
2021-05-25 math-ph math.AP math.MP
A mean field limit for the Vlasov-Poisson system
我们提出了一个概率证明的平均场的极限和传播的混沌$N$粒子系统在三维正（库仑）或负（牛顿）$1/r$潜力缩放像$1/N$和$N$依赖的截止像$N^{-1/3+ ε}$的规模。特别是，对于典型的初始数据，我们显示收敛的经验分布的Vlasov-Poisson系统的解决方案，无论是排斥性的电或吸引力的引力相互作用。
2016-06-01 math-ph math.AP math.MP
Quasineutral limit of the Vlasov-Poisson system with massless electrons
本文研究了描述等离子体中离子行为的类Vlasov-Poisson方程的拟中性极限（即德拜长度趋于零时的极限）。我们考虑无质量的电子，其电荷密度遵循麦克斯韦-玻尔兹曼定律。对于冷离子，利用相对熵方法，我们从流体力学的角度导出了经典的等温欧拉方程或（无粘）浅水方程。在第二次，我们研究了这种等离子体的组合准中性和强磁场制度。
2010-11-28 math-ph math.AP math.MP
The uniform-in-time electrostatic limit of the linearised Vlasov-Maxwell system: the Poisson equilibrium
University of Cambridge（剑桥大学）
本文证明线性化Vlasov-Maxwell系统在光速趋于无穷时，其解一致收敛于线性化Vlasov-Poisson解，误差为c^{-1}阶，并给出纵向Landau阻尼与横向Klein-Gordon色散机制。
2026-09-22 math-ph math.AP math.MP
Stabilité orbitale pour le système de Vlasov-Poisson gravitationnel
本文综述了近年来在引力Vlasov-Poisson系统的轨道稳定性研究方面所取得的数学进展。我们详细介绍了Lemou，Méhats和Raphaël的论文（Inventiones 2011），我们还回顾了Dolbeault，Guo，Hadzic，Lin，Rein，Sánchez，Soler，Wan，Wolansky的先前工作。我们还讨论了这个主题的历史以及安东诺夫，林登-贝尔和阿里等物理学家的开创性工作。这是2011年11月布尔巴基研讨会的文本
2013-06-10 math-ph math.AP math.MP
Stability issues in the quasineutral limit of the one-dimensional Vlasov-Poisson equation
本文研究了一维Vlasov-泊松方程的拟中性极限，初始数据接近平稳均匀剖面。我们有三个目标：首先，我们提供了一个证明的事实，即形式限制不成立的均匀配置文件，满足彭罗斯不稳定性准则。其次，我们证明了另一方面，该限制是真实的均匀配置文件，满足一定的单调性条件，连同对称性条件。我们处理准备充分和准备不充分的数据。最后，我们研究了形式极限的一个定常边值问题，即所谓的拟中性Vlasov方程。我们证明了许多定态的存在，有很多的自由度的建设（相比，Vlasov-泊松的BGK波）：这说明了退化的极限方程。
2013-11-25 math-ph math.AP math.MP
On the relativistic Vlasov-Poisson system
在吸引情形下，重新讨论了所谓的相对论性Vlasov-Poisson系统的Cauchy问题。在较弱的假设下证明了球面经典解的整体存在唯一性。当这些条件不满足时，得到了一类新的爆破解。一个新的，非引力的物理辩护的模型（不像引力的）不限于弱场，也给出了。
2009-02-06 math-ph math.AP math.MP
Landau damping on the torus for the Vlasov-Poisson system with massless electrons
本文研究带无质量电子的Vlasov-Poisson系统在环面上的非线性Landau阻尼，证明了解析或Gevrey初值下密度和力场指数衰减，将相关结果推广到离子及任意解析非线性耦合情形。
2023-08-23 math-ph math.AP math.MP
On the stability of vacuum in the screened Vlasov-Poisson equation
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；IAS Princeton（普林斯顿高等研究院）；University of Vienna（维也纳大学）；University of Zurich（苏黎世大学）
本文研究了屏蔽Vlasov-泊松方程中真空稳定性的渐进行为，证明了在不同维度下小数据解的散射性质及长时间存在性。
2026-03-03 math-ph math.AP math.MP
A model of a multiphase medium based on the closure of moment chains for the Vlasov-Poisson equations
Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）
提出通过假设最终组分无压来闭合Vlasov-Poisson矩链，得到双曲方程组并解释为多组分介质，各组分由电场耦合。
2026-09-21 math-ph math.AP math.MP
On the asymptotic limit of the three dimensional Vlasov-Poisson system for large magnetic field : formal derivation
本文建立了具有强外磁场的三维Vlasov-泊松方程的长时间渐近极限。在三维情况下的非恒定磁场的引导中心近似进行了研究。在长时间的渐近极限，运动可以分为两个部分：一个固定的流动沿磁场的线和引导中心的运动在磁场的正交平面中的经典漂移速度恢复。我们特别讨论了非恒定外磁场的影响。
2016-03-10 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear Landau damping for the Vlasov-Poisson system in $\R^3$: the Poisson equilibrium
研究欧氏空间中弗拉索夫-泊松系统的泊松齐次平衡渐近稳定性，证明其小光滑局域扰动存在全局解且以多项式速率散射到线性解，阐明了该欧氏问题与周期情形朗道阻尼的关键差异。
2024-01-29 math-ph math.AP math.MP
Decay of the Vlasov-Poisson-Boltzmann system
利用精细纯能量方法，建立了两种群Vlasov-Poisson-Boltzmann系统在Maxwell附近Cauchy问题解的时间衰减率。负的Sobolev范数被证明是保存沿时间的演变，并提高衰减率。两种粒子的总密度以Boltzmann方程的最佳代数速率衰减，但两种粒子之间的差异和电场以指数速率衰减。这种现象揭示了本质的区别时，相比之下，一个物种的弗拉索夫-泊松-玻尔兹曼系统中的电场衰减在最佳的代数率或弗拉索夫-玻尔兹曼系统中，两个物种之间的差距衰减在最佳的代数率。我们的证明是基于一个家庭的规模的能源估计与最小的衍生计数和插值之间没有线性衰减分析，以及重新制定的问题，以及显示取消属性的两个物种的系统。
2011-11-28 math-ph math.AP math.MP
Global derivation of the 1D Vlasov-Poisson equation from quantum many-body dynamics with screened Coulomb potential
研究带屏蔽库仑势的一维量子多体动力学，通过结合量子平均场、半经典和德拜长度极限，证明了一维 Vlasov-Poisson 方程的全局推导，并解决了相关守恒律开放问题的一维情形。
2024-08-27 math-ph math.AP math.MP
Global Hilbert Expansion for the Vlasov-Poisson-Boltzmann System
研究了电子气中Vlasov-Boltzmann-Poisson系统在小Knudsen数$\varepsilon$下的Hilbert展开.零阶项取局部麦克斯韦形式：$ F_{0}(t,x,v)=\frac{ρ_{0}(t,x)}{(2πθ_{0}(t,x))^{3/2}} e^{-|v-u_{0}(t,x)|^{2}/2θ_{0}(t,x)},\text{\ }θ_{0}(t,x)=Kρ_{0}^{2/3}(t,x).$我们的主要结果表明，如果希尔伯特展开式在$t=0$对准备好的小初始数据有效，且无旋速度为$u_0$，那么它对$0\leq t\leq \varepsilon ^{-{1/2}\frac{2k-3}{2k-2}},$也有效，其中$ρ_{0}(t,x)$和$ u_{0}(t,x)$满足单原子气体$γ=5/3$的欧拉-泊松系统。
2009-10-28 math-ph math.AP math.MP
Global Existence for the Vlasov-Poisson System with Steady Spatial Asymptotics
在三维空间中，用Vlasov-Poisson系统模拟无碰撞等离子体。一个固定的正电荷背景-只依赖于速度-被假定。考虑了当x趋于无穷大时，可动负离子平衡正电荷的情况。因此，总的正电荷和总的负电荷都是无限的。光滑的解决方案与适当的渐近行为的大x，这是以前所示的存在于当地的时间，继续全球。这是通过证明电荷密度的衰减至少与x^{-6}一样快来实现的。本文还建立了静电场及其衍生物的空间衰减估计。
2010-01-05 math-ph math.AP math.MP
The Non-cutoff Vlasov-Poisson-Boltzmann and Vlasov-Poisson-Landau Systems in Union of Cubes
本文研究了无角截断的Vlasov-Poisson-Boltzmann系统和有界域上包含库仑相互作用的Vlasov-Poisson-Landau系统，即立方体并。当初始点接近Maxwell平衡点时，在镜面反射边界条件下，我们建立了该方程的全局稳定性和指数大时间衰减。我们提供了兼容的高阶导数和速度加权能量估计镜面边界条件。
2022-08-23 math.AP
Confined steady states of a Vlasov-Poisson plasma in an infinitely long cylinder
我们考虑二维Vlasov-Poisson系统来模拟一个在第三空间维度上分布函数为常数的双组分等离子体。首先，我们展示了这个二维的Vlasov-Poisson系统是如何从完整的三维系统导出的。在三维环境中，电势为零的紧支撑定态的存在性已经由A. L. Skubachevskii [15].我们表明，他的方法可以很容易地适应于二维系统。然而，我们的主要结果是证明即使具有非平凡的自洽电势，也存在紧支撑稳态。
2019-05-14 math-ph math.AP math.MP
Steady states of the spherically symmetric Vlasov-Poisson system as fixed points of a mass-preserving algorithm
本研究采用曾用于数值逼近两类系统轴对称解的策略，给出球对称Vlasov-Poisson系统稳态存在性的新证明，阐明了分析该数值方案的多重理论意义。
2024-12-02 gr-qc math-ph math.AP
Optimal control of a Vlasov-Poisson plasma by an external magnetic field - Analysis of a tracking type optimal control problem
在论文“最优控制的一个Vlasov-Poisson等离子体的外部磁场-变分的基础”[arXiv：1708.02464]中，我们已经介绍了一组容许磁场，我们已经证明，这些领域中的每一个诱导一个独特的强解的Vlasov-Poisson系统。我们还建立了将任何容许场映射到其相应解上的场-态算子是连续的和弱紧的。在本文中，我们将表明，该算子也是Fréchet可微的，我们将继续分析在[arXiv：1708.02464]中引入的最优控制问题。更确切地说，我们将建立局部最优的充要条件，我们将证明在一定条件下，最优解是唯一的。
2017-08-09 math-ph math.AP math.MP
Global well-posedness of Vlasov-Poisson-type systems in bounded domains
该研究针对有界区域中的Vlasov-Poisson及离子型Vlasov-Poisson模型，证明了在Vlasov方程镜面反射边界、Poisson方程齐次Dirichlet或Neumann边界条件下经典解的全局存在性。
2021-08-25 math.AP
The non-relativistic limit of the Nordström-Vlasov system
Nordström-Vlasov系统提供了引力情形下Vlasov-Poisson系统的一个有趣的相对论推广，尽管没有直接的物理应用。这个模型的研究可能会导致一个更好的数学理解类的非线性系统组成的双曲型和输运方程。本文证明了当光速趋于无穷大时Nordström-Vlasov系统的解在逐点意义下收敛于Vlasov-Poisson系统的解，进一步严格地证明了该模型是Vlasov-Poisson系统的相对论推广的\textit{genuine}.
2004-01-14 gr-qc math-ph math.AP
Sharp Decay Estimates for the Vlasov-Poisson and Vlasov-Yukawa Systems with Small Data
本文给出了以下两个系统的小数据解的衰减估计：3维或更高维的Vlasov-Poisson（V-P）系统和2维或更高维的Vlasov-Yukawa（V-Y）系统.我们依赖于Smulevici在2016年为Vlasov-Poisson系统开发的输运方程的向量场方法的修改。特别是使用格林函数来估计双线性项，我们改进了Smulevici的结果，只需要初始数据及其导数的$L^1_{x,v}$界。我们还将结果推广到Vlasov-Yukawa系统。
2019-04-12 math.AP
Optimal control of a Vlasov-Poisson plasma by an external magnetic field - The basics for variational calculus
我们考虑了具有外磁场的三维Vlasov-Poisson系统来描述等离子体。各种具体应用的目的是以期望的方式控制等离子体。这可以通过最优控制问题来建模。因此，本文将介绍变分法的基础知识。我们必须找到一个合适的类的字段是允许的这个过程，因为它们提供了唯一的整体解决方案的Vlasov-Poisson系统。然后，我们可以定义一个场态算符，它将任何容许场映射到它相应的分布函数上。我们将证明这个场态算符是Lipschitz连续的和（弱）紧的。最后，我们将考虑一个跟踪型成本泛函的模型问题，我们将证明这个最优控制问题至少有一个全局最优解。
2017-08-08 math-ph math.AP math.MP
Global Existence for the Vlasov-Poisson System in Bounded Domains
本文证明了凸有界区域上具有镜面边界条件和在边界上具有一个给定的向外电场的Vlasov-Poisson方程组解的整体存在性。
2008-10-20 math.AP
Global solutions to the Vlasov-Poisson-Landau System
本文在具有一般角截断势的Vlasov-Poisson-Boltzmann系统[3，4]研究的基础上，建立了具有库仑势的Vlasov-Poisson-Landau系统Cauchy问题整体经典解的存在性.这就提供了一种与最近的工作不同的方法[8]。
2011-12-14 math.AP
Spectrum of the linearized Vlasov--Poisson equation around steady states from galactic dynamics
该研究针对星系动力学中能量递减连续稳态附近的引力线性化Vlasov-Poisson方程，确定了绝对连续谱，给出振荡模存在判据与数量估计，且方法可纳入吸引外势。
2024-04-11 astro-ph.GA math-ph math.AP
On the asymptotic behavior of solutions to the Vlasov-Poisson system
利用色散分析的方法证明了$d=3$维Vlasov-Poisson系统的小数据修正散射。特别是，我们确定了一个简单的渐近动态散射质量。
2020-05-07 math.AP
Focusing solutions of Vlasov-Poisson equation on a spherical shell
本文构造了Vlasov-Poisson系统及相对论版本的光滑球对称解，证明初始任意小的电荷密度和电场可在后续时刻在任意给定球壳上聚焦并达到任意大值。
2023-12-04 math.AP
On Some Recent Progress in the Vlasov-Poisson-Boltzmann System with Diffuse Reflection Boundary
本文讨论了有界区域上具有漫反射边界条件的Vlasov-Poisson-Boltzmann系统的一些最新进展。此外，我们提出了一个新的正则性结果时，粒子周围的导体边界。
2020-12-17 math.AP
The Vlasov-Poisson and Vlasov-Poisson-Fokker-Planck systems in stochastic electromagnetic fields: local well-posedness
本文在$\mathbb T^d \times \mathbb R^d$中构造了受外部空间规则时变白电磁场作用的Vlasov-Poisson（VP）和Vlasov-Poisson-Fokker-Planck（VPFP）系统的唯一时变局部强解.初始条件采用具有$σ> d/2 + 1$的$H^σ$（除多项式速度权重外）。我们还表明，解决方案的VPFP是即时$C^\infty_{x,v}$由于亚椭圆正则化，如果外部力场是光滑的。动力学方程中的外力作为速度的随机输运而产生，这意味着，连同非线性中$x$和$v$之间的各向异性，局部理论比受到附加随机力或随机输运的可比流体力学方程稍微复杂一些。虽然随机电磁场经常在等离子体物理学文献中讨论，但据我们所知，这是第一次对非线性随机动力学方程的强解进行数学研究。
2022-11-07 math.AP
On the linearized Vlasov-Poisson system on the whole space around stable homogeneous equilibria
研究了线性化的Vlasov-Poisson系统在$\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d$上（对于任何$d \geq 1$）适当稳定的齐次平衡点附近的解，建立了物理空间中的色散$L^\infty$衰变估计.
2020-07-15 math.AP
Global compressible Euler-Poisson limit of the ionic Vlasov-Poisson-Boltzmann system for all cutoff potentials
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Cyber Security, Guangdong Police College（广东警官学院网络安全学院）
本文研究了离子Vlasov-Poisson-Boltzmann系统在全截断势范围下的可压缩Euler-Poisson极限，通过截断Hilbert展开和加权框架证明了解的全局收敛性。
2026-01-13 math.AP
Nonlinear Landau damping for the 2d Vlasov-Poisson system with massless electrons around Penrose-stable equilibria
本文证明了具有无质量电子的$2d$ Vlasov-Poisson系统解的Penrose稳定平衡点的非线性渐近稳定性。
2022-07-03 math.AP
Quasineutral limit for Vlasov-Poisson via Wasserstein stability estimates in higher dimension
本文研究二维和三维Vlasov-Poisson系统的拟中性极限。我们证明了非常小的，但粗糙的扰动分析初始数据的正式限制，推广的结果\cite{HI}到更高的维度。
2015-03-20 math.AP
On the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck equation near Maxwellian
通过时间上一致的能量估计和宏观方程，我们建立了Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程小振幅光滑解在全空间和周期盒中的指数时间衰减率.
2011-12-23 math.AP
Uniqueness of the solution to the Vlasov-Poisson system with bounded density
本文在宏观密度$ρ$由$ρ(t,x) = \int_{\Rd} f(t,x,ξ)dξ$定义在$\Linf$中有界的条件下，证明了Vlasov-Poisson方程组弱解的唯一性.我们的证明基于最佳运输。
2005-04-07 math.AP
On the gyrokinetic limit for the two-dimensional Vlasov-Poisson system
在Golse和Saint-Raymond研究的范围内，我们研究了二维Vlasov-Poisson系统的陀螺极限。我们提出了另一个收敛到欧拉方程的能量和初始数据的$L^\infty$规范的几个假设下的证明。
2016-03-14 math.AP
On the Vlasov-Poisson-Boltzmann limit of the Vlasov-Maxwell-Boltzmann system
对于整个截止分子间相互作用范围，我们给出了从Vlasov-Maxwell-Boltzmann系统到Vlasov-Poisson-Boltzmann系统在光速趋于无穷大时的极限的严格的数学证明。在我们的分析中，关键点是推导出某些与光速无关的先验估计，主要困难是这是由于大光速下电磁场耗散效应的简并性。
2021-11-03 math.AP
The gyrokinetic limit for the Vlasov-Poisson system with a point charge
本文研究了二维Vlasov-Poisson系统中有界密度与点电荷相互作用系统在大外磁场作用下的渐近性。在一个适当的渐近制度，我们证明了该解决方案收敛到一个测度值的欧拉方程的缺陷措施的解决方案。
2017-11-15 math.AP
