Hopf modules and the fundamental theorem for Hopf (co)quasigroups
Tomasz Brzeziński
引入了Hopf（co）拟群上的Hopf模的概念，证明了Hopf（co）拟群的一个基本定理.
The notion of a Hopf module over a Hopf (co)quasigroup is introduced and a version of the fundamental theorem for Hopf (co)quasigroups is proven.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Actions of Hopf quasigroups
在Long双模和Smash积的背景下讨论了Hopf拟群作用的定义。特别地，定义了Hopf拟群和余拟群的长双模，并构造了Militaru D-方程的解。给出了一个作用于其拟模的Hopf拟群的作用与乘法相容的必要条件.
R-smash products of Hopf quasigroups
发展了Hopf拟群的R-smash积理论。
Integral theory for Hopf (co)quasigroups
我们回顾的概念的一个Hopf（co）拟群定义在\cite{Kl09}和定义的集成和傅里叶变换这些对象类似于那些在理论的霍普夫代数。利用\cite{Br09}中Hopf（co）拟群的一般Hopf模理论，我们证明了有限维Hopf（co）拟群具有唯一的尺度积分和可逆的对极.我们还提供了逆傅里叶变换，并表明它映射的卷积积$H$在其对偶$H^*$的产品。最后，我们进一步发展的理论，考虑Frobenius Hopf（co）拟群，可分性和半单。
A characterization of weak Hopf (co)quasigroups
本文证明了弱Hopf（余）拟群可以用Galois型条件刻画。考虑到这一概念推广了Hopf（co）拟群和弱Hopf代数的概念，我们由此得到了Hopf（co）拟群的第一基本定理和弱霍普夫代数的Galois型态射（也称融合态射）的双射性的一个刻画.
Cleft and Galois extensions associated to a weak Hopf quasigroup
本文引入了弱Hopf拟群的分裂和Galois（带正规基）扩张的概念。我们表明，在适当的条件下，这两个概念是等价的。作为一个特例，我们恢复了（弱）霍普夫代数的经典结果.此外，考虑到弱Hopf拟群是Hopf拟群的推广，我们给出了与Hopf拟群相联系的cleft和Galois（带正规基）扩张的定义，并得到了它们之间的等价性.
Strong Hopf modules for weak Hopf quasigroups
本文在辫状幺半范畴范畴中引入弱Hopf拟群H的强Hopf模范畴.我们还证明了这个范畴等价于H的目标态射的象上的右模范畴。
In this paper, we first discuss some properties of the Galois linear maps. We provide some equivalent conditions for Hopf algebras and Hopf (co)quasigroups as its applications. Then let $H$ be a Hopf quasigroup with bijective antipode and $G$ be the set of all Hopf quasigroup automorphisms of $H$. We introduce a new category $\mathscr{C}_{H}(α,β)$ with $α,β\in G$ over $H$ and construct a new braided $π$-category $\mathscr{C}(H)$ with all the categories $\mathscr{C}_{H}(α,β)$ as components.
Let $H$ be a Hopf quasigroup with bijective antipode and let $Aut_{HQG}(H)$ be the set of all Hopf quasigroup automorphisms of $H$. We introduce a category ${_{H}\mathcal{YDQ}^{H}}(α,β)$ with $α,β\in Aut_{HQG}(H)$ and construct a braided $T$-category $\mathcal{YDQ}(H)$ having all the categories ${_{H}\mathcal{YDQ}^{H}}(α,β)$ as components.
Weak Hopf Quasigroups
本文引入了弱Hopf拟群的概念，作为弱霍普夫代数和Hopf拟群的推广.我们得到它的主要性质，我们证明了这些代数结构的Hopf模的基本定理。
Bicrossproduct Hopf quasigroups
我们回顾以前介绍的概念的霍普夫拟群。在一定条件下，我们从每个具有有限子群$G\subset X$和IP拟群断面$M\subset X$的群$X$构造了一个双叉积Hopf拟群$kM\bicross k(G)$.我们确定八元数拟群$G_O$为128阶群$X$与子群$Z_2^3$的横截群，从而得到一个Hopf拟群$kG_O\lcocross k(Z_2^3)$作为我们构造的一个特例。
Hopf quasigroups and the algebraic 7-sphere
本文引入了Hopf拟群和Hopf余拟群$H$的概念，推广了逆性质拟群$G$的经典概念，分别表示为拟群代数$k G$和代数拟群$k[G]$ .证明了Hopf代数的一些基本结果，如对极$S:H\to H$的反（余）乘性，如果$H$是交换的或余交换的，则$S^2=\id$是反乘的，以及交叉（余）积的理论.我们还介绍了一个Moufang的Hopf（co）拟群的概念，并表明，坐标代数$k[S^{2^n-1}]$的可并行领域是代数拟群（交换的Hopf coquasigroups在我们的制定）和Moufang。我们利用描述的复合代数，如八元数通过上链$F$在\cite{Ma99}介绍。我们构造了一个非交换非平凡Moufang的Hopf余拟群的例子$k[S^7]\rtimes\Z_2^3$.本文利用Hopf余拟群方法研究了$k[S^7]$上的微分几何，并给出了$S^7$是可并行的一个简短的代数证明.着眼于组合的左，右不变向量场的$k[S^7]$，我们提供了一个新的描述的结构常数的李代数$g_2$的结构常数$F$的八元数。在最后一节中，我们给出了$q$ -变形量子群$\C_q[S^3]$的一个新的描述，它通常被看作是一个Moufang Hopf余拟群（因为它实际上是一个Hopf代数），但现在是根据通过Cayley-Dickson过程建立的$F$。
In this paper we introduce the notion of weak non-asssociative Doi-Hopf module and give the Fundamental Theorem of Hopf modules in this setting. Also we prove that there exists a categorical equivalence that admits as particular instances the ones constructed in the literature for Hopf algebras, weak Hopf algebras, Hopf quasigroups, and weak Hopf quasigroups.
In this paper we introduce the theory of multiplication alteration by two-cocycles for nonassociative structures like nonassociative bimonoids with left (right) division. Also we explore the connections between Yetter-Drinfeld modules for Hopf quasigroups, projections of Hopf quasigroups, skew pairings, and quasitriangular structures, obtaining the nonassociative version of the main results proved by Doi and Takeuchi for Hopf algebras.
Doi-Hopf Modules over Weak Hopf Algebras
将Doi-Hopf模理论推广到弱霍普夫代数.
Hopf bimodules and Yetter-Drinfeld modules of Hopf algebroids
本文将Hopf代数中的Hopf双模与Yetter-Drinfeld模理论推广到Hopf代数胚，证明二者范畴等价为（预）辫子幺半范畴，并研究有限生成投射模的对偶性。
We investigate the equivariant and Hopf-cyclic cohomology of module algebras over Hopf algebroids and derive their Morita invariance. For this, we use the tools developed by McCarthy for $k$-linear categories and subsequently by Kaygun and Khalkhali for a certain class of categories, called as $H$-categories, for a Hopf algebra $H$.
In this paper, we introduce the concept of a Rota-Baxter paired module to study Rota-Baxter modules without necessarily a Rota-Baxter operator. We obtain two characterizations of Rota-Baxter paired modules, and give some basic properties of Rota-Baxter paired modules. Beginning with the connection between the notion of integrals in the representations of Hopf algebra and of the notion of an integral algebra as a motivation and special case of Rota-Baxter algebra of weight zero, we obtain a large number of Rota-Baxter paired modules from Hopf related algebras and modules, including semisimple H…
In this paper, we introduce the conception of Rota-Baxter paired comodules, which is dual to Rota-Baxter paired modules in [14]. We mainly discuss some properties of Rota-Baxter paired comodules, especially we give the characterization of generic Rota-Baxter paired comodules, which has important application for the construction of Rota-Baxter comodules. Moreover, we construct Rota-Baxter paired comodules on Hopf algebras, weak Hopf algebras, weak Hopf modules, dimodules, relative Hopf modules and Rota-Baxter paired comodules. And then we finally introduce the conception of Rota-Baxter paired H…
More properties of Yetter-Drinfeld modules over quasi-Hopf algebras
将霍普夫代数上的Yetter-Drinfeld模的性质推广到拟霍普夫代数上.有限维Yetter-Drinfeld模的对偶也是Yetter-Drinfeld模。在Yetter-Drinfeld模范畴中，通过适当地修改乘法可以得到的代数$H_0$是量子交换的.给出了Yetter-Drinfeld模范畴中Hopf模的一个结构定理，并由此导出了积分的存在唯一性.
Yetter-Drinfeld modules over bosonizations of dually paired Hopf algebras
设$(R^{\vee},R)$是具有双射对极的Hopf代数$H$上的Yetter-Drinfeld模范畴中的霍普夫代数的对偶对.我们证明了在$R$和$R^{\vee}$的玻色化上的有理左Yetter-Drinfeld模之间存在辫子么半群同构.作为这个非常一般的范畴同构的应用，我们得到了$H$上半单Yetter-Drinfeld模的Nichols代数的反射存在性的自然证明.关键词：霍普夫代数，量子群，Weyl广群胚
Let H be a finite-dimensional pointed Hopf algebra of rank one over an algebraically closed field of characteristic zero. In this paper we describe all annihilator ideals of indecomposable H-modules by generators. In particular, we give the classification of all ideals of finite-dimensional pointed Hopf algebra of rank one of nilpotent type over Klein 4-group.
Deformation cohomology for Yetter-Drinfel'd modules and Hopf (bi)modules
设A是域k上的双代数，M，N是A上的左-右Yetter-Drinfel'd模或左-右Hopf模，我们构造了变形上同调H^*（M，N）作为某些二重复形Y（M，N）和C（M，N）的全上同调.在这两种情况下，H^1（M，N）同构于相应范畴中M乘N扩张的等价类群。在Yetter-Drinfel'd情形下，H^*（k，k）恰好是双代数A的Gerstenhaber-Schack上同调。如果M，N是Hopf双模，我们构造了上述C（M，N）的一个自然子双复形，得到了一个Hopf双模的上同调理论，类似于R. Taillefer
Hopf crossed module (co)algebras
本文引入 Hopf 交叉模（余）代数，推广 Hopf 代数与 Hopf 群（余）代数，并证明其表示范畴为幺半且 χ-分级。
On bicrossed modules of Hopf algebras
本文利用Hopf代数胚定义非交换非余交换的Hopf 2-代数，证明带Peiffer恒等式的双交叉积Hopf代数可产生此类结构，并给出Sweedler Hopf代数的应用实例。
Hopf bimodules are modules over a diagonal crossed product algebra
若H是有限维霍普夫代数，则C. Cibils和M.罗索发现一个代数X具有H^* 上的霍普夫双模与左X-模重合的性质。我们发现另外两个代数Y和Z具有相同的性质，即Y是“双边交叉积”H^*#（H \otimes H^{op}）# H^{* op}，Z是“对角交叉积”（H^* \otimes H^{*op}）\bowtie（H \otimes H^{op}）（两个概念都是由F. Hausser和F. Nill）。我们还发现了代数X，Y，Z之间的显式同构。
Two characterizations of finite quasi-Hopf algebras
设H是有限维拟双代数。证明了H是拟霍普夫代数当且仅当其有限维左模的范畴是刚性的当且仅当H上的霍普夫模的结构定理成立。我们还证明了余拟双代数H上的Hopf模的对偶结构定理成立当且仅当有限维右H-余模范畴是刚性的;这并不等价于H是余拟霍普夫代数。
Hopfological algebra and categorification at a root of unity: the first steps
任意有限维霍普夫代数H是Frobenius，H-模的稳定范畴是三角化幺半群.对于H-余代数，我们在H-模的稳定范畴上赋予三角化模范畴。这些模范畴是微分分次代数上模的同伦和导出范畴的推广。我们期望，对于合适的H，我们的构造可以成为三维流形量子不变量分类程序的起点。
The doubles of a braided Hopf algebra
设A是辫刚性范畴B中的霍普夫代数.在B允许余端C的情况下，C是B中的一个霍普夫代数，我们在2008年定义了A的双D（A），它是B中的一个拟三角霍普夫代数，其模范畴同构于A-模范畴的中心作为辫子范畴。这里，拟三角意味着被赋予一个R-矩阵（我们对B中的霍普夫代数的R-矩阵的概念涉及B的余端C）。一般地，即当B不一定允许余尾时，我们在B的中心Z（B）上构造一个拟三角Hopf单子d_A，它的模范畴同构于A-模范畴的中心作为辫子范畴.证明了Hopf单子d_A不可用霍普夫代数表示.若B有余边C，则D（A）是Hopf单子d_A与C的向量积.等价地，Hopf单子d_A是霍普夫代数D（A）与霍普夫代数C的交商.
Representations of pointed Hopf algebras and their Drinfel'd quantum doubles
研究了量子线性空间的幂零型非平凡提升及其Drinfel'd量子对偶的表示.在这两种情况下，我们构造了一类Verma型模，并证明了一个简单模的参数化定理.在提升基上的一个较弱的限制下，我们计算了韦尔马模的Loewy和socle级数.我们找到了简单模的基和维数。
Transparency condition in the categories of Yetter-Drinfel'd modules over Hopf algebras in braided categories
本文研究了辫子monoidal范畴$\C$中Hopf代数$H$上的Yetter-Drinfel'd模范畴的几个版本.与Bespalov的方法不同，我们所有的结构都存在于$\C$中。这迫使$H$是透明的，或等效地位于$\C$的Müger中心$\Z_2(\C)$。我们证明了$\C$中的Yetter-Drinfel'd模范畴与$H$有限的Drinfel'd double $D(H)\in\C$上的（左/右）模范畴是braided monoidally同构的.我们得到这些范畴可分解为两个互不相交的同构辫幺半群范畴群。我们的结论是，如果$H\in\Z_2(\C)$，那么${}_{D(H)}\C$作为一个子类嵌入到编织中心范畴$\Z_1({}_H\C)$的范畴${}_H\C$的左$H$ -模块在$\C$。对于刚性的、上完备的辫状Hopf代数$\C$和拟三角Hopf代数$H$，使得$H\in\Z_2(\C)$，我们证明了${}_H\C$的整个中心范畴与$\Aut({}_H\C)\rtimes H$上的左模范畴么半群同构-辫状Hopf代数$\Aut({}_H\C)$是${}_H\C$的余端的玻色化.讨论了一类透明霍普夫代数的例子.
Representations of pointed Hopf algebras over S_3
群为S_3的有限维尖霍普夫代数的分类在Andruskiewitsch，Heckenberger和Schneider的“The Nichols algebra of a semisimple Yetter-Drinfeld module”，arXiv：0803.2430v1 [math.QA]中完成：它们中正好有两个，12维Nichols代数的玻色化和非平凡提升。在这里，我们确定所有的单模在任何这些霍普夫代数。我们还找到了单模的投射覆盖Gabriel箭图，并证明了它们不是有限表示型的.为此，我们首先研究了Andruskiewitsch和Graña的论文“Examples of liftings of Nichols algebras over racks”和G. Garcia和作者，他们对类群的群的限制是一维模的直和。
Twisted derivations of Hopf algebras
本文引入了双代数的扭导子的概念。扭导子表现为表示范畴的无穷小对称。更确切地说，它们是双代数扭曲自同构的无穷小版本。扭曲导子自然地形成一个李代数（扭曲自同构群的切代数）。此外，这个李代数适合于交叉模（与扭自同构的交叉模相切）。在这里，我们计算这个交叉模块的泛包络代数和Sweedler的霍普夫代数。
Larson-Sweedler Theorem and the Role of Grouplike Elements in Weak Hopf Algebras
将Larson-Sweedler定理推广到弱霍普夫代数，证明了有限维弱双代数是弱霍普夫代数当且仅当它具有非退化左积分.证明了弱霍普夫代数上的模范畴是具有半单单位和可逆模的自治幺半群。我们还揭示了对偶弱霍普夫代数中可逆模与左、右类群元的关系。定义了不同的左、右类群元，导出了弱Hopf代数中对极的四次幂的Radford公式，并证明了弱霍普夫代数A的平凡子代数A^T中的类群元使得对极的阶在内自同构上是有限的.
Yetter-Drinfeld categories for quasi-Hopf algebras
证明了拟霍普夫代数$H$上的Yetter-Drinfeld模的所有可能范畴都是同构的.我们还证明了有限维左Yetter-Drinfeld模范畴$\yd^{\rm fd}$是刚性的，并明确地计算了$\yd^{\rm fd}$中的正则同构.最后，证明了在\cite{bn,bpv}中引入的辫状Hopf代数$H_0$的某些子代数同构于辫状霍普夫代数，如果$H$是有限维三角拟霍普夫代数.
Crossed products and cleft extensions for coquasi-Hopf algebras
引入并研究了余拟双代数H的交叉积的概念。所得的交叉积是右H-余模的幺半范畴范畴中的代数。我们给出了交叉积作为幺半范畴作用的一个解释。特别地，给出了两个交叉积等价的充要条件。然后给出了余拟Hopf模的两个结构定理。首先，它们是交叉积上的相对Hopf模。第二，余拟Hopf模范畴是平凡的，即等价于起始结合代数上的模范畴。关于交叉积，我们想起余拟霍普夫代数上的分裂扩张的概念.构造了Hom空间的一个Morita context来解释这些扩张，并证明了它们等价于具有可逆上圈的交叉积.最后，我们给出了二维和三维非平凡余拟霍普夫代数对所有分裂扩张的完整刻画。
Representations of copointed Hopf algebras arising from the tetrahedron rack
研究了仿射架$\Aff(\F_4,ω)$（又称四面体架）和2-上圈-1的Nichols代数上的余点霍普夫代数.我们研究了所谓的韦尔马模，并对所有的单模进行了分类。我们得出了这些代数是野表示型的，不是拟三角的，并分析了它们何时是球面的。
Triangular braidings and pointed Hopf algebras
我们考虑一类有趣的辫子定义的组合性质在较早的文件。我们证明了它完全由具有交换余根的点霍普夫代数上的某些Yetter-Drinfeld模结构所形成的辫子所组成。作为一个工具，我们定义了一个简化版本的FRT结构。对于U_q（g）-模诱导的辫子，给出了约化FRT结构的显式计算.
Doi-Hopf modules and Yetter-Drinfeld modules for quasi-Hopf algebras
对于拟霍普夫代数$H$，左$H$ -余代数$\mf{B}$和右$H$ -模余代数$C$，我们用模刻画了Doi-Hopf模范畴${}^C{\cal M}(H)_{\mf{B}}$.我们还将证明，对于$H$ -双模余代数$\mb{A}$和$H$ -双模余代数$C$，广义Yetter-Drinfeld模范畴${}_{\mb{A}}{\cal YD}(H)^C$同构于某个Doi-Hopf模范畴.利用这个同构，我们将把Doi-Hopf模范畴的性质转移到广义Yetter-Drinfeld模范畴。
On a family of Hopf algebras of dimension 72
研究了一类72维的霍普夫代数，其余根同构于S_3上的函数代数.我们确定所谓的韦尔马模的子模的格，并作为一个结果，我们分类所有简单的模块。我们证明了这些霍普夫代数是么模的（以及它们的模），但不是拟三角的;而且，它们是彼此的余循环变形。
Two-sided (two-cosided) Hopf modules and Doi-Hopf modules for quasi-Hopf algebras
设$H$是域$k$上的有限维拟Hopf代数，${\mathfrak A}$是Hausser和Nill意义下的右$H$ -余代数.首先证明了在$k$ -向量空间${\mathfrak A}\ot H^*$上，我们可以在左$H$ -模的么半群范畴中定义一个代数结构，记为${\mathfrak A}\ovsm H^*$（即${\mathfrak A}\ovsm H^*$是一个$H$ -模代数）.然后我们将证明双边$({\mathfrak A}, H)$ -双模范畴$\hba $同构于相对$({\mathfrak A}\ovsm H^*, H^*)$ -Hopf模范畴，如Hausser和Nill在.在${\mathfrak A}=H$的特定情况下，我们将获得Nill宣布的结果。我们还将介绍Doi-Hopf模和双边双边Hopf模的范畴，并证明它们在某些情况下同构于模范畴。
Fundamental theorem of Poisson $(A,H)$-Hopf module for weak Hopf algebras
该研究将Poisson Hopf模基本定理推广至弱Hopf代数情形，同时推导了Poisson Hopf模范畴的相对投射性，拓展了相关代数结构理论的适用范围。
Hopf (Bi-)Modules and Crossed Modules in Braided Monoidal Categories
研究了辫子monoidal范畴C中双代数B上的Hopf（双）模和交叉模.证明了当B是一个具有可逆对极的Hopf代数时，这两个范畴的（辫状）么半群等价。证明了C中Hopf代数上的双代数投影和Hopf双模双代数是同构范畴。作为结果的Radford-Majid准则的辫子Hopf代数是一个交叉产品的推广。本文的结果对辫状Hopf代数上的（双共变）微分演算的构造具有重要意义。
The Hopf modules category and the Hopf equation
从算子代数出发，研究了与五角型方程等价的Hopf方程.给出了一个FRT型定理，并构造了新的量子群.现在起关键作用的是经典的霍普夫模范畴。作为应用，给出了一个五维非交换非余交换双代数。
Projectivity of a relative Hopf module over the subring of coinvariants
设$k$是交换环，$H$是具有双射对极的忠实平坦霍普夫代数，$A$是$k$ -平坦右$H$ -余代数.研究了相对Hopf模何时在共不变量$B=A^{{\rm co}H}$的子环上投射，并研究了相对Hopf模范畴的半单性。
The Radicals of Hopf Module Algebras
从多方面给出了$H$ -素根的刻划。同时得到了Smash积$R # H$的根与Hopf模代数$R$的$H$ -根之间的关系.
Hopf Modules and Noncommutative Differential Geometry
对任何具有可逆对极的霍普夫代数定义了一个新的非交换微分形式代数。我们证明了反Yetter-Drinfeld模块，这是作为系数的霍普夫循环（上）的同源性，和模块承认一个平坦的连接，就我们的微分学之间有一个一一对应。因此，我们表明，这些系数模可以被视为''平坦的''在Connes的非交换微分几何的意义。
Partially dualized Hopf algebras have equivalent Yetter-Drinfel'd modules
给定一个霍普夫代数$H$和一个到一个Hopf子代数的投影$H\to A$，我们构造一个霍普夫代数$r(H)$，称之为$H$的部分对偶化，其到该霍普夫代数的投影与$A$对偶.这种构造在辫状幺半范畴范畴的一般设置中提供了强有力的技巧。该结构特别包括广义量子群的反射，arxiv：1111.4673。证明了霍普夫代数上的Yetter-Drinfel'd模与其部分对偶之间的辫子等价性。
Yetter-Drinfeld modules over weak Hopf algebras and the center construction
在弱霍普夫代数$H$上引入了Yetter-Drinfeld模，并证明了Yetter-Drinfeld模范畴与$H$ -模范畴的中心同构.左-左、左-右、右-左和右-右Yetter-Drinfeld模范畴同构为辫状幺半范畴范畴。Yetter-Drinfeld模可以被看作是弱Doi-Hopf模，更不用说是弱Entrance模。若$H$是双生成的且是投射的，则利用缠绕结构与Smash积结构之间的对偶性结果，引入了Drinfeld对偶，并证明了Yetter-Drinfeld模范畴同构于Drinfeld对偶上的模范畴.
Construction of Rota-Baxter algebras via Hopf module algebras
提出了Hopf模代数的概念，证明了协不变子空间上的投影是一个权为-1的幂等Rota-Baxter算子.我们还利用Yetter-Drinfeld模代数给出了一个Hopf模代数的构造.作为应用，我们证明了量子群的正部分存在幂等元Rota-Baxter代数结构.
Module categories over pointed Hopf algebras
本文发展了一些技巧来研究有限维点霍普夫代数上的正合模范畴。作为应用，我们对小量子群$u_q(\mathfrak{sl}_2)$表示的张量范畴上的精确模范畴进行了分类。
Hopf-cyclic cohomology of bicrossed product Hopf algebras
本文研究了一类双交叉积霍普夫代数上的Hopf-循环上同调理论的系数空间（SAYD模），并计算了这类霍普夫代数的具有系数的Hopf-循环上同调。我们通过Majid的半对偶过程将一个霍普夫代数，我们称之为李-霍普夫代数，与李群、李代数和仿射代数群的任何匹配对相关联。然后我们用匹配对的全李群、李代数或仿射代数群的表示和余表示来确定李-霍普夫代数上的SAYD模.首先，我们对只对应于全李群（代数）表示的SAYD模进行分类。我们称之为诱导SAYD模块。然后，我们推广这种识别，专注于匹配对的李代数。我们建立了匹配李代数上对应的李-霍普夫代数上的SAYD模与全李代数上的某些SAYD模之间的一一对应关系。一旦SAYD模与李代数的表示和余表示相关联，就可以构造非平凡的例子。这样，我们说明了一个高度非平凡的4维SAYD模的Schwarzian霍普夫代数H_{1S}。此外，我们还讨论了具有非平凡SAYD系数的李-霍普夫代数的周期循环上同调.我们得到了一个一般的van Est同构，它将一个Lie-霍普夫代数的周期循环上同调与相应的全李代数的（相对）李代数的上同调联系起来.
Representations of the category of modules over pointed Hopf algebras over S_3 and S_4
本文对所有非平凡霍普夫代数的表示范畴上的具有余根S_3和S_4的正合不可分解模范畴进行了分类。作为一个副产品，我们计算其所有的霍普夫伽罗瓦扩展，我们表明，这些霍普夫代数是其分级版本的上循环变形。
Frobenius and Mashke type Theorems for Doi-Hopf modules and entwined modules revisited: a unified approach
我们研究了当感应函子（及其伴随）之间的Doi-Hopf模块的类别，更一般地说，english模块是可分离的，分别。弗罗贝纽斯我们提出了一个统一的方法，导致新的证明旧的结果的作者，以及一些新的。此外，我们的方法提供了一个分类的解释之间的关系可分性和Frobenius属性。
Module categories, weak Hopf algebras and modular invariants
我们发展了幺半范畴上的模范畴的抽象无意义（这是环上模的直接分类）。作为应用，我们证明了任何具有n个单对象的半单幺半范畴等价于弱霍普夫代数的表示范畴（T. Hayashi），并在正整数水平上对$\hat{sl}(2)$的融合范畴上的模块范畴进行分类，在此我们再次遇到ADE分类模式。
Examples of support varieties for Hopf algebras with noncommutative tensor products
某些霍普夫代数的表示有奇怪的行为：非投射模可能有投射张量幂，并且模的张量积的簇可能不包含在它们簇的交集中。我们解释了一个家庭的例子，这样的霍普夫代数和他们的模块，并分类左，右，和双边理想在其稳定的模块类别。
We survey variety theory for modules of finite dimensional Hopf algebras, recalling some definitions and basic properties of support and rank varieties where they are known. We focus specifically on properties known for classes of examples such as finite group algebras and finite group schemes. We list open questions about tensor products of modules and projectivity, where varieties may play a role in finding answers.
Let H be a finite-dimensional pivotal and unimodular Hopf algebra over a field k. It was shown in [BBGa] that the projective tensor ideal in H-mod admits a unique non-degenerate modified trace, a natural generalisation of the categorical trace. This paper provides an extension of this result to a much more general setting. We first extend the notion of the modified trace to the so-called module trace for a given k-linear module category M over a pivotal category C equipped with a module endofunctor. We provide a non-trivial class of examples of such module traces. In particular, we show that a…
Galois functors and generalised Hopf modules
正如在以前的论文中所示，由相同的作者，伽罗瓦函子理论提供了一个范畴框架的特点，双单子在任何范畴的霍普夫单子，也为opmonoidal单子的特点，对幺半范畴的monoidal范畴作为右霍普夫单子在Bruguieres和Virelizier的意义。因此，中心部分是描述条件下的比较函子之间的基础范畴和范畴的霍普夫模块成为一个等价（基本定理）。对于幺半范畴，Aguiar和Chase扩展了设定，对于某些余模用余模范畴替换基范畴，并考虑了广义Hopf模的比较函子。对于duoidal范畴，Bohm，Chen和Zhang研究了由这类范畴中给出的两个monoidal结构诱导的双阶上的Hopf模的比较函子。在这两种方法的基本定理证明，本文的目的是表明，这些可以从理论的伽罗瓦函子。
The monoidal category of Yetter-Drinfeld modules over a weak braided Hopf algebra
本文在严格幺半范畴范畴中引入了弱算子的概念和具有可逆对极的弱辫子霍普夫代数上的Yetter-Drinfeld模理论。我们证明了此类对象的类构成一个非严格的幺半范畴。它也表明，这个范畴是不是平凡的，也就是说，它允许对象产生的伴随作用（coaction）与弱辫霍普夫代数。
Hopf modules for autonomous pseudomonoids and the monoidal centre
在这项工作中，我们发展的霍普夫代数的理论的某些方面，自治映射伪随机的背景下。我们集中在霍普夫模和中心或Drinfel的两倍。若$A$是monoidal双范畴\M中的映射伪模，则$A$的Hopf模范畴的类似物是$\mathbf{Hom}(\M^{\mathrm{op}},\mathbf{Cat})$中某个单子的Eilenberg-Moore构造.我们研究存在的内在化的这个概念，称为霍普夫模块建设，通过扩展完成下的Eilenberg-摩尔对象的2类的内同态的三个范畴上$\mathbf{Bicat}$。我们的主要结果是$A$（{\em即}）的左对偶的存在性之间的等价性，$A$是左自治的）和一个类似的Hopf模的结构定理的有效性。在这种情况下，$A$的Hopf模构造总是存在的。我们利用这些结果研究了左自治映射伪随机的松弛中心。我们表明，宽松的中心是Eilenberg-Moore建设的某一单子上$A$（一个存在，如果其他的）。如果$A$也是右自治的，则松弛中心等于中心。我们研究了\V-模的双范畴和余模的双范畴的例子，得到了余拟Hopf代数$H$的Drinfel'd double是$H$的中心.
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