The lower semicontinuity of the Frobenius splitting numbers
Florian Enescu, Yongwei Yao
证明了在较弱的条件下，素特征的局部环的（正规化）Frobenius分裂数是下连续的.
We show that, under mild conditions, the (normalized) Frobenius splitting numbers of a local ring of prime characteristic are lower semicontinuous.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Frobenius Splittings
我们给一个温和的介绍Frobenius分裂。然后，我们回顾了一些结果，已获得的方法。
Frobenius splitting of valuation rings and $F$-singularities of centers
利用Knaf和Kuhlmann的一个局部单值化结果，证明了素特征完备基域上函数域的Abhyankar赋值的赋值环是Frobenius分裂的.我们证明，行为足够良好的中心的弗罗贝纽斯分裂提升为赋值环的弗罗贝纽斯分裂。我们还研究了以任意的素特征的诺特域为中心的估值的性质。与[arXiv：1507.06009]不同，本文强调了中心在控制素特征赋值环的Frobenius性质中的作用.
Frobenius splitting of certain rings of invariants
两个经典的不变量环被证明是Frobenius分裂的：特殊线性群作用于定义表示的几个副本和定义表示的对偶的几个副本的直和;和特殊正交群作用于定义表示的几个副本。
Explicitly Extending Frobenius Splittings over Finite Maps
设$π\: Y \to X$是特征$p > 0$的完满域上的正规簇的有限映射.作者以前的工作给出了$X$（或更一般的任何$p^{-e}$ -线性映射）上的Frobenius分裂何时扩展到$Y$的判据。在本文中，我们给出了一个替代的和高度明确的证明这个标准（检查项的条款）时，$π$是tamely分歧余维1。还探讨了一些其他的例子。
Lifting Frobenius splittings through geometric vertex decomposition
研究通过几何顶点分解提升弗罗贝尼乌斯分裂。核心方法是利用其与戈伦斯坦联络关系，主要贡献是给出克努森结果部分逆命题，证明特定条件下可提升分裂，还讨论示例及证明李氏双行列式簇是弗罗贝尼乌斯分裂。
Algebraic Frobenius Splitting of Cotangent Bundles of Flag Varieties
继Kumar和Littelmann开始的代数Frobenius分裂程序之后，我们利用表示论技巧构造了正特征的代数闭域上半单代数群的旗簇余切丛的Frobenius分裂.我们还表明，这种分裂是由库马尔，Lauritzen，和Bogsen构建的分裂之一。
Frobenius splitting of valuation rings revisited
针对特征p>0的F有限域上函数域的赋值环，证明其Frobenius分裂等价于对应赋值为Abhyankar赋值，还构造反例说明基域非F有限时该等价性不成立，方法不依赖局部一致化结果。
Frobenius Splitting in Commutative Algebra
这是交换代数中Frobenius分裂技术的综述，基于第一作者在2012年秋季MSRI交换代数特殊年份的介绍性研讨会上的演讲。
F-signature of pairs and the asymptotic behavior of Frobenius splittings
我们将$F$ -签名推广到对$(R,D)$，其中$D$是前两位作者定义的$R$上的Cartier子代数.特别地，我们证明了任何强$F$ -正则对的$F$ -签名的存在性和正性。在一个应用中，我们回答了一个关于I的开放性问题。阿伯巴赫和F. Enescu证明了任意$F$ -纯局部环的$F$ -分裂比是严格正的.此外，在R.费德
Frobenius splitting and geometry of $G$-Schubert varieties
设$X$是连通约化群$G$在正特征的代数闭域$k$上的等变嵌入.令$B$表示$G$的Borel子群。$X$中的$G$-舒伯特簇是$\diag(G) \cdot V$形式的子簇，其中$V$是$X$中的$B \times B$-轨道闭包.在$X$是一组伴随型的奇妙紧化的情况下，$G$-舒伯特簇是Lusztig的$G$-稳定片的闭包。我们证明了$X$允许Frobenius分裂，它与所有$G$-Schubert簇相容.此外，当$X$是光滑的、投射的和环面的时，则$X$中的任何$G$-Schubert簇都允许沿着一个充分因子的稳定Frobenius分裂.虽然这表明$G$-舒伯特品种有很好的奇异性，我们提出了一个例子，一个非正常的$G$-舒伯特品种的精彩紧化的一组类型$G_2$。最后，我们还扩展了Frobenius分裂的结果，更一般的类的$\mathcal R$-舒伯特品种。
An algorithm for computing compatibly Frobenius split subvarieties
设$R$是素特征环$p$，$F^e_* R$表示$R$通过$e$第$R$ -模.给定一个满射映射$ϕ: F^e_* R \to R$（例如Frobenius分裂），我们给出了一个产生所有$ϕ$相容理想的算法.我们还探讨了该算法的一个变种的假设下，$ϕ$不一定是一个Frobenius分裂（甚至满射）。该算法和原始算法已在Macaulay 2中实现。
Global Frobenius Betti numbers and F-splitting ratio
我们将Frobenius贝蒂数和F-分裂比的概念推广到素特征环上的大类有限生成模，这些模不被假定是局部的。我们还证明了一对$(R,\mathscr{D})$的强F-正则性等价于该对的全局F-签名${\rm s}(R,\mathscr{D})$的正性，其中$\mathscr{D}$是一个Cartier代数.这扩展了以前证明的结果，这些作者，通过删除一个额外的假设的卡地亚代数。
The $F$-different and a canonical bundle formula
我们研究了Frobenius分裂的结构（及其推广）诱导相容的子品种$W \subseteq X$。特别是，如果相容分裂来自一个相容分裂的一个因子上的一些双有理模型$E \subseteq X' \to X$（即，这是一个日志典型的中心），然后我们表明，分裂对应于$W$的因子是有界的不同的Kawamata，Shokurov，Ambro和其他研究的除数部分以下。我们还表明，与分裂和除数的不同部分之间的差异主要是由（非）Frobenius分裂纤维的$E \to W$。在做这个分析，我们恢复$F$ -典范丛公式，通过重新解释技术常见的Frobenius分裂理论。
Frobenius splitting, point-counting, and degeneration
设f是ZZ[x_1，...，x_n]，典型的可约但无平方。从超曲面{f=0}，通过提取准素分量、求交、求并并迭代该过程，可以构造许多其他子模式{Y}。我们证明了如果\FF_p^n中f=0的解的个数不是p的倍数，那么上述的n_{\FF_p}中的所有这些交集都是约化的。(If这对无穷多个p成立，那么它对\QQ也成立。）更具体地说，在n_{\FF_p}上有一个_Frobenius splitting_，它兼容地分裂所有这些子方案{Y}。我们确定当这样一个超曲面f=0的Gröbner退化f_0=0又是这样一个超曲面。在此条件下，我们证明了相容分裂子格式退化为相容分裂子格式，并保持约化。我们的结果是最强的情况下，f的字典序第首项是\prod_{i=1}^n x_i。然后对于所有大的p，有一个Frobenius分裂，它相容地分裂f的超曲面和所有相关的{Y}。每个这样的Y的Gröbner退化Y'是坐标空间的约化并（Stanley-Reisner方案），并且我们给出一个结果以帮助计算其Gröbner基。我们展示了一个f，其相关的{Y}包括富尔顿矩阵舒伯特品种，并恢复更容易Gröbner基础定理[Knutson-Miller '05]。我们证明了在Bott-Samelson坐标系中G/B中的一个相对Bruhat胞腔X^v_ \circ上，定义大胞腔补的f也有初始项\prod_{i=1}^n x_i，…
Some properties and applications of $F$-finite $F$-modules
本文的目的是描述M. Hochster对内射壳上的Frobenius映射、Frobenius近分裂以及$F$ -有限$F$ -模的态射的性质的研究。在本文的结果中，我们证明了$F$ -有限$F$ -模的态射有一个特别简单的形式，并证明了某些Frobenius近分裂有100多个相容子模，从而推广了M. Blickle和G. Böckle到非$F$有限的情况。
Tate algebras and Frobenius non-splitting of excellent regular rings
本文利用刚性几何构造了特征p的优欧几里得整环，证明优F-纯环一般不是Frobenius分裂的，从而解决了F-奇点理论中长期悬而未决的问题，并首次区分了F-纯性与Frobenius分裂性。
F-Splittings of seminormal monoid algebras
本文针对特征p>0的半正规仿射环面簇，利用Frobenius迭代潜在分裂的组合描述，给出了F-分裂比的简单公式，并计算了Cartier代数下的稳定理想（含测试理想）。
On the number of compatibly Frobenius split subvarieties, prime $F$-ideals, and log canonical centers
设$X$是代数闭域上的Frobenius分裂簇，其上有分裂的$θ: F_* Ø_X \to Ø_X$.本文给出了$θ$相容分裂的$X$的子簇个数的一个精确界.特别地，假设$\sL$是$X$上具有$n = \dim H^0(X, \sL)$的足够充足的线丛（例如，如果$\sL$诱导投射正常嵌入）。证明了$X$的$d$维不可约子簇被$θ$相容分裂的个数小于或等于${n \choose d+1}$.这推广了一个众所周知的结果，闭点的数目兼容分裂由一个固定的分裂$θ$。类似地，我们给出了$F$-有限$F$-纯局部环的素$F$-理想个数的一个界.可裂子簇与对数典范中心密切相关。我们的方法适用于任何特征，所以我们也能够绑定通过一个封闭点$x \in X$的日志规范对$(X, Δ)$的日志规范中心的可能数量。具体地，如果$n$是$X$在$x$处的嵌入维数，则$(X, Δ)$至$x$的$d$维对数正则中心的数目小于或等于${n \choose d}$。
On $\mathfrak{m}$-adic Continuity of $F$-Splitting Ratio
该研究探讨了在素特征局部环中，除子对的 Frobenius 分裂比的 $\mathfrak{m}$-adic 连续性，证明了在适当扰动下分裂数保持不变，并建立了分裂维度的不等式。
Geometric vertex decomposition, Gröbner bases, and Frobenius splittings for regular nilpotent Hessenberg varieties
本文研究 Lie 型 A 正则幂零 Hessenberg 簇在 $w_0$-图中的定义理想，证明其具有 Gröbner 基且几何顶点可分解，并构造同时相容分裂所有相关理想的显式 Frobenius 分裂。
Splittings and symbolic powers of square-free monomial Ideals
利用符号Rees代数和素特征的方法研究了无平方单项式理想的符号幂。特别地，我们证明了符号Rees代数和符号伴随分次代数关于一个类似于Frobenius映射且存在于所有特征中的态射是分裂的.使用这些方法，我们恢复了Hoa和Trung的结果，该结果表明，归一化的$a$ -不变量和符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性收敛。此外，我们还给出了这类理想的普通幂和符号幂相等的一个充分条件，并将它与Conforti-Cornuéjols猜想联系起来.最后，我们解释这个条件的上下文中的线性最优化。
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