正则幂零 Hessenberg 簇的几何顶点分解、Gröbner 基与 Frobenius 分裂
Geometric vertex decomposition, Gröbner bases, and Frobenius splittings for regular nilpotent Hessenberg varieties
AI总结：
本文研究 Lie 型 A 正则幂零 Hessenberg 簇在 $w_0$-图中的定义理想，证明其具有 Gröbner 基且几何顶点可分解，并构造同时相容分裂所有相关理想的显式 Frobenius 分裂。
摘要：
我们通过研究 Lie 型 A 中正则幂零 Hessenberg 簇的特殊情形，开启对 Hessenberg 簇局部定义理想的 Gröbner 几何研究，并聚焦于 $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n) \cong GL_n(\mathbb{C})/B$ 上对应于 $GL_n(\mathbb{C})$ 的 Weyl 群 $S_n$ 的最长元 $w_0$ 的仿射坐标图。我们的主要结果如下。设 $h$ 为不可分解 Hessenberg 函数。我们证明，与 $h$ 相关的正则幂零 Hessenberg 簇 $\mathrm{Hess}(\mathsf{N},h)$ 在 $w_0$-图中的局部定义理想 $I_{w_0,h}$，关于一个适当选取的单项式序具有 Gröbner 基。该 Gröbner 基由 Abe、DeDieu、Galetto 和第二作者得到的 $I_{w_0,h}$ 的一组生成元 $\{f^{w_0}_{k,\ell}\}$ 构成。我们还证明，按 Klein 和 Rajchgot（建立在 Knutson、Miller 和 Yong 的工作之上）的意义，$I_{w_0,h}$ 是几何顶点可分解的。我们对上述结果给出两种不同证明。之所以采用这种非传统的阐述方式，是因为第一种证明引入并使用了三角完全交这一具有独立意义的概念，而第二种使用联络理论的证明更有可能推广到 $w \neq w_0$ 的一般 $w$-图。最后，利用上述对 $f^{w_0}_{k,\ell}$ 的 Gröbner 分析，对于任意素数 $p>0$，我们构造了 $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$ 的 $w_0$-图的一个显式 Frobenius 分裂；当 $h$ 遍历不可分解 Hessenberg 函数集合时，该分裂同时相容地分裂所有局部定义理想 $I_{w_0,h}$。最后这一结果是关于 $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$ 以及其中 Schubert 簇和相反 Schubert 簇族的经典结果的局部 Hessenberg 类比。
英文摘要：
We initiate a study of the Gröbner geometry of local defining ideals of Hessenberg varieties by studying the special case of regular nilpotent Hessenberg varieties in Lie type A, and focusing on the affine coordinate chart on $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n) \cong GL_n(\mathbb{C})/B$ corresponding to the longest element $w_0$ of the Weyl group $S_n$ of $GL_n(\mathbb{C})$. Our main results are as follows. Let $h$ be an indecomposable Hessenberg function. We prove that the local defining ideal $I_{w_0,h}$ in the $w_0$-chart of the regular nilpotent Hessenberg variety $\mathrm{Hess}(\mathsf{N},h)$ associated to $h$ has a Gröbner basis with respect to a suitably chosen monomial order. Our Gröbner basis consists of a collection $\{f^{w_0}_{k,\ell}\}$ of generators of $I_{w_0,h}$ obtained by Abe, DeDieu, Galetto, and the second author. We also prove that $I_{w_0,h}$ is geometrically vertex decomposable in the sense of Klein and Rajchgot (building on work of Knutson, Miller, and Yong). We give two distinct proofs of the above results. We make this unconventional choice of exposition because our first proof introduces and utilizes a notion of a triangular complete intersection which is of independent interest, while our second proof using liaison theory is more likely to be generalizable to the general $w$-charts for $w \neq w_0$. Finally, using our Gröbner analysis of the $f^{w_0}_{k,\ell}$ above and for $p>0$ any prime, we construct an explicit Frobenius splitting of the $w_0$-chart of $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$ which simultaneously compatibly splits all the local defining ideals of $I_{w_0,h}$, as $h$ ranges over the set of indecomposable Hessenberg functions. This last result is a local Hessenberg analogue of a classical result known for $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$ and the collection of Schubert and opposite Schubert varieties in $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$.
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