arXivDaily arXiv每日学术速递 周一至周五更新
arXiv 0911.4433math.NTmath.CO
收藏

调和数的算术理论（II）

Arithmetic theory of harmonic numbers (II)

Zhi-Wei Sun, Li-Lu Zhao

备注：
13 pages. Final published version
发表信息：
Colloq. Math. 130(2013), 67-78
阅读 PDF
arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要：

对于$k=1,2,\ldots$，让$H_k$表示调和数$\sum_{j=1}^k 1/j$。本文建立了一些新的含调和数的同余。例如，我们表明，对于任何素数$p>3$，我们有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k}{k2^k}\equiv\frac7{24}pB_{p-3}\pmod{p^2},\ \ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_{k,2}}{k2^k}\equiv-\frac 38B_{p-3}\pmod{p},$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_{k,2n}^2}{k^{2n}}\equiv\frac{\binom{6n+1}{2n-1}+n}{6n+1}pB_{p-1-6n}\pmod{p^2}$$，对于任何正整数$n<(p-1)/6$，其中$B_0,B_1,B_2,\ldots$是伯努利数，和$H_{k,m}:=\sum_{j=1}^k 1/j^m$。

英文摘要：

For $k=1,2,\ldots$ let $H_k$ denote the harmonic number $\sum_{j=1}^k 1/j$. In this paper we establish some new congruences involving harmonic numbers. For example, we show that for any prime $p>3$ we have $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k}{k2^k}\equiv\frac7{24}pB_{p-3}\pmod{p^2},\ \ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_{k,2}}{k2^k}\equiv-\frac 38B_{p-3}\pmod{p},$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_{k,2n}^2}{k^{2n}}\equiv\frac{\binom{6n+1}{2n-1}+n}{6n+1}pB_{p-1-6n}\pmod{p^2}$$ for any positive integer $n<(p-1)/6$, where $B_0,B_1,B_2,\ldots$ are Bernoulli numbers, and $H_{k,m}:=\sum_{j=1}^k 1/j^m$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

↑