Arithmetic in big number fields: the '+Ideals' package
J. Guardia, J. Montes, E. Nart
我们介绍我们的软件包“+理想”的岩浆，旨在执行有关理想的基本任务，在没有预先计算整基的数字字段。它是基于蒙特斯算法和一些当地的技术，我们已经开发了一系列的文件在过去几年中。
We introduce our package '+Ideals' for Magma, designed to perform the basic tasks related to ideals in number fields without pre-computing integral bases. It is based on Montes algorithm and a number of local techniques that we have developed in a series of papers in the last years.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Big Line Bundles over Arithmetic Varieties
证明了Arakelov几何中算术大线丛的一个Hilbert-Samuel型结果，它是Siu的一个经典定理的类似结果.这一结果的应用给出了代数动力系统上的小点的等距分布，继Szpiro-Ullmo-Zhang的工作之后。我们还推广了Chambert-Loir的非阿基米德等分布。
Big arithmetic divisors on the projective spaces over Z
本文是前注“P_Z^1上Zreplski分解的显式计算”的改进。本文研究了Z上n维射影空间上的一类算术因子D的几个性质，并给出了D在Z上射影直线上的Zebrski分解的精确形式.进一步，我们证明了，如果n>=2，D是大的且非nef，那么，对于任意的射影的、一般光滑的、正规的算术簇的双有理态射f：X --> P^n_Z，我们不能期望f^*（D）有一个合适的Zebriki分解.我们还给出了D的Fujita逼近的一个具体构造。
Sparser variance for primes in arithmetic progression
本文研究了算术进展中素数个数方差的渐近行为，针对特定模数序列提出并分析了相关渐近公式。
Arithmetic Properties of Overpartition Triples
令${\overline{p}_{3}}(n)$为$n$的过划分三元组的数目。通过初等级数运算，我们建立了${\overline{p}}_{3}(n)$模2的小幂的一些同余，如\[{\overline{p}_{3}}(16n+14)\equiv 0 \pmod{32}, \quad {\overline{p}_{3}}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}.\]。我们还发现了${\overline{p}_{3}}(n)$模7，9和11的许多算术性质，涉及下列Ramanujan型同余的无限族：对任意整数$α\ge 1$和$n \ge 0$，我们有${\overline{p}_{3}}\big({{3}^{2α+1}}(3n+2)\big)\equiv 0$（mod $9\cdot 2^4$），$\overline{p}_{3}(4^{α-1}(56n+49)) \equiv 0$（mod 7）和\[{\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+3)\big)\equiv {\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+5)\big)\equiv {\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+6)\big)\equiv 0 \pmod{7}.\]
On proportionally modular numerical semigroups that are generated by arithmetic progressions
本文刻画了使得比例模数值半群和区间生成半群等于给定等差数列生成数值半群的参数条件。
The first moment of primes in arithmetic progressions: Beyond the Siegel-Walfisz range
我们研究了数列$$ \sum_{\substack{q\leq x/N \\ (q,a)=1}} \Big(ψ(x; q, a) - \frac x{φ(q)}\Big) $$中素数的一阶矩为$x, N \to \infty$。我们无条件地表明，当$a=1$，有一个显着的偏向负值，均匀的$N\leq {\rm e}^{c\sqrt{\log x}}$。证明结合了最近的结果，作者的第一时刻和误差项的分散方法。更一般地说，对于$a \in \mathbb Z\setminus\{0\}$，我们证明估计，考虑到潜在的存在（或不存在）的朗道-西格尔零。
Arithmetic Properties For $(r,s)$-Regular Partition Functions With Distinct Parts
对于任何互质整数$r$和$s$，令$a_{r,s}(n)$表示将$n$的正整数分成不同部分的$(r,s)$ -正则划分的数目。Prasad和Prasad（2018）证明了$a_{3,5}(n)$的模2同余的许多无限族。本文建立了$a_{r,s}(n)$与$(r,s)\in$ \{（2，5），（2，7），（4，5），（4，9）\}的模2和模4同余族.例如，我们证明了对于所有的$β\geq 0$和$n \geq 0,$，我们有$$a_{2,5}\Big(4\cdot 5^{2β+1}n+\dfrac{37\cdot5^{2β}-1}{6}\Big)\equiv0 \pmod4. $$
Arithmetic Properties of Partition Triples With Odd Parts Distinct
令$\mathrm{pod}_{-3}(n)$表示$n$的分区三元组的数量，其中每个分区中的奇数部分是不同的。我们发现了$\mathrm{pod}_{-3}(n)$的许多算术性质，涉及以下无穷族的同余：对于任何整数$α\ge 1$和$n\ge 0$，\[\mathrm{pod}_{-3}\Big({{3}^{2α+2}}n+\frac{23\times {{3}^{2α+1}}+3}{8}\Big)\equiv 0 \pmod{9}.\]我们还建立了$\mathrm{pod}(n)$和$\mathrm{pod}_{-3}(n)$之间的一些算术关系，以及$\mathrm{pod}_{-3}(n)$模7和模11的一些同余。
Arithmetic Properties of Partition Quadruples With Odd Parts Distinct
令$\mathrm{pod}_{-4}(n)$表示$n$的分区四元组的数量，其中每个分区中的奇数部分是不同的。我们发现了$\mathrm{pod}_{-4}(n)$的许多算术性质，包括以下无穷同余族：对任意整数$α\ge 1$和$n \ge 0$，\[\mathrm{pod}_{-4}\Big({{3}^{α+1}}n+\frac{5\cdot {{3}^{α}}+1}{2}\Big)\equiv 0 \pmod{9}.\]我们还建立了$\mathrm{pod}_{-4}(n)$满足的内部同余和模2，5和8的同余.
On sums of coefficients of Borwein type polynomials over arithmetic progressions
得到了$$\prod_{j=1}^n\prod_{k=1}^{p-1}(1-q^{pj-k})^s,$$型多项式系数在等差数列上求和的渐近公式，其中$p$是奇素数，$n, s$是正整数.让我们用$a_i$表示上述多项式中的$q^i$的系数，并假设$b$是整数。我们证明了$$\Big|\sum_{i\equiv b\ \text{mod}\ 2pn}a_i-\frac{v(b)p^{sn}}{2pn}\Big|\leq p^{sn/2},$$，其中$v(b)=p-1$，如果$b$可被$p$整除，否则$v(b)=-1$。这改进了Goswami和Pantangi最近的结果。
Some optimal links between generations of correlation averages
对于实值且本质上有界的算术函数$f$，即，$f(n)\ll_{\varepsilon}\!n^{\varepsilon},\,\forall\varepsilon\!>\!0$，我们\enspace给出了和$\sum_{h\le H}\sum_{N<n\le 2N}f(n)f(n-h)$，$\sum_{N<x\le 2N} \big| \sum_{x<n\le x+H}f(n)\big|^2$和$\sum_{N<n\le 2N} \big| \sum_{0\le |n-x|\le H}\big(1-{|n-x|\over H}\big)f(n)\big|^2$的非平凡界之间的最优联系，其中$H=o(N)$为$N\to\infty$ .
Quaternion algebras, Heegner points and the arithmetic of Hida families
给定一个新的形式f，我们扩展霍华德的结果的变化Heegner点在Hida家庭的f到一般的四元数设置。更准确地说，我们建立大Heegner点和大Heegner类的兼容家庭的Heegner点的塔志村曲线。我们的方法，系统地利用最优嵌入理论的新颖性，包括在治疗的情况下，确定四元数代数和不定四元数代数的情况下，在一个统一的方式。我们证明结果的大小Nekovásness的扩展Selmer群附加到适当的大伽罗瓦表示，我们制定两个变量岩泽主要的拓扑结构在确定的情况下，在不确定的情况下。此外，在定解情形下，我们给出了关于f的Hida族中与f同枝的模形式的L-函数（的转折）在临界点消失的精化定理。
On the Computation of Identities Relating Partition Numbers in Arithmetic Progressions with Eta Quotients: An Implementation of Radu's Algorithm
2015年，Cristian-Silviu Radu设计了一种算法来检测Ramanujan和Kolberg研究的一类身份。这个类包括著名的身份拉马努金提供了一个证人的可除性属性的$p(5n+4),$ $p(7n+5)$。我们使用Mathematica给出了该算法的实现。首先描述了基本理论，并简要给出了算法的概要，以描述我们的包的功能和实用性。此后，我们给出了多个应用程序的例子，最近的工作在分区理论。在许多情况下，我们已经使用我们的包，以获得替代证明各种身份或同余;在其他情况下，我们已经改善了以前建立的身份，并在至少一种情况下，我们已经证实了一个常设猜想。
An arithmetic zeta function respecting multiplicities
本文研究了$\mathbb{Z}$上有限型模式$\mathcal{X}$的算术zeta函数$$\mathscr{Z}_{\mathcal{X}}(s) = \prod_p \prod_{\substack{x \in \mathcal{X}_p \\ \text{closed}}} \Big( \frac{1}{1-|κ(x)|^{-s}} \Big)^{\mathfrak{m}_{p}(x)}$$，其中$κ(x)$表示剩余域，$\mathfrak{m}_{p}(x)$表示$\mathcal{X}_p$中$x$的重数.如果$\mathcal{X}$是在有限域上定义的，那么$\mathscr{Z}_{\mathcal{X}}$自然出现在具有多重性的点计数的上下文中。证明了$\mathscr{Z}_{\mathcal{X}}$容许$\{s \in \mathbb{C} \colon \mathrm{Re}(s) > \mathrm{dim}(\mathcal{X})-1/2\}$的亚纯延拓，并确定了其极点在$s = \mathrm{dim}(\mathcal{X})$的阶.最后，我们将$\mathscr{Z}_{\mathcal{X}}$与编码多项式$f$的残余因式分解模式的Zeta函数$ζ_f$相关联。
Arithmetic equivalence for non-geometric extensions of global function fields
本文研究函数域$\mathbb{F}_q(T)$的有限可分扩张对，它们是算术等价的，即使得$\mathbb{F}_q[T]$的素理想在两个域中以相同的惯性度分解，直到有100个例外.在本文的第一部分中，我们将Cornelissen，Kontogeorgis和Van der Zalm的结果推广到了$\mathbb{F}_q(T)$的非几何扩张的情形，这些扩张是常数域大于$\mathbb{F}_q$的域.在第二部分中，我们显式地给出了$\mathbb{F}_2(T)$的非几何扩张的例子，这些扩张在$\mathbb{F}_2(T)$上是等价的和非同构的，在$\mathbb{F}_4(T)$上是非等价的，解决了一个特殊的逆伽罗瓦问题。
New lower bounds for van der Waerden numbers
我们发现，有一个红蓝色的$[N]$没有蓝色的3项等差数列，没有红色的等差数列长度$e^{C(\log N)^{3/4}(\log \log N)^{1/4}}$。因此，双色范德瓦尔登数$w(3,k)$由$k^{b(k)}$限定，其中$b(k) = c \big( \frac{\log k}{\log\log k} \big)^{1/3}$。以前曾推测，数据支持，$w(3,k) = O(k^2)$。
A classification of $\mathbb C$-Fuchsian subgroups of Picard modular groups
给定$\mathbb Q$的一个虚二次扩张$K$，给出了复双曲平面$\mathbb H^2_\mathbb C$中Picard模群$\operatorname{PSU}_{1,2}(\mathcal O_K)$的保复测地线的极大非初等子群的分类.作为对Holzapfel，Chinburg-Stover和Möller-Toledo工作的补充，我们证明了这些最大$\mathbb C$ -Fuchsian子群是算术的，它们是由四元数代数$\Big(\!\begin{array}{c} D\,,D_K\\\hline\mathbb QQ\end{array} \!\Big)$对某些显式$D\in\mathbb N-\{0\}$和$D_K$ $K$的判别式产生的.从而证明了在$\mathbb P_2(\mathbb C)$的超球面中存在无穷多个$K$ -算术链轨道.
Existential closedness of $\overline{\mathbb{Q}}$ as a globally valued field via Arakelov geometry
本研究利用算术体积函数可微性与算术Bertini型定理分类闭点高度逼近问题，证明了$\overline{\mathbb{Q}}$作为全局赋值域（GVF）的存在封闭性，引入GVF泛函并给出Zhang不等式等号成立的新判据。
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