Additive/multiplicative free subordination property and limiting eigenvectors of spiked additive deformations of Wigner matrices and spiked sample covariance matrices
当一个尖峰乘法的某些特征值。一个埃尔米特Wigner矩阵的加性变形模型，一个样本协方差阵，我们研究了相应的特征向量如何投影到那些扰动。本文指出，相对于自由可加性的从属函数的逆，乘性卷积在渐近行为中起着重要作用。
2012-02-23 math.PR
Spiked covariances and principal components analysis in high-dimensional random effects models
我们研究了多变量随机和混合效应线性模型中的主成分分析，假设每个随机效应的协方差阵具有球形加尖峰结构。我们刻画了高维渐近条件下MANOVA方差分量估计的离群样本特征值和特征向量的行为。我们的研究结果表明，混叠现象可能会发生在高维，其中一个方差分量的MANOVA估计的特征值和特征向量可能会受到其他组件。我们提出了一种替代的方法来估计真正的主特征值和特征向量，渐近纠正这个混叠问题。
2018-06-25 math.PR math.ST stat.ME
Spiked separable covariance matrices and principal components
我们引入了一类可分离的样本协方差阵的形式$\widetilde{\mathcal{Q}}_1:=\widetilde A^{1/2} X \widetilde B X^* \widetilde A^{1/2}.$这里$\widetilde{A}$和$\widetilde{B}$是正定矩阵，其频谱包括大量的频谱加上几个尖峰，即较大的本征值，从散装分开。从概念上讲，我们将$\widetilde{\mathcal{Q}}_1$称为\emph{spiked separable covariance matrix model}。一方面，该模型包括加标协方差矩阵作为$\widetilde{B}=I$的特殊情况。另一方面，它允许数据集的更一般的相关性。特别地，对于时空数据集，$\widetilde{A}$和$\widetilde{B}$分别表示空间和时间相关性。本文研究了加标可分离协方差模型$\widetilde{\mathcal{Q}}_1$的异常特征值和特征向量，即主成分。我们证明了离群特征值$\widetilde λ_i$和广义分量（即$\langle \mathbf v, \widetilde{\mathbfξ}_i \rangle$任何确定性向量$\mathbf v$）的离群特征向量$\widetilde{\mathbfξ}_i$的最佳收敛速度。此外，我们还证明了非离群特征向量的离域性…
2020-06-28 math.PR math.ST stat.TH
On the principal components of sample covariance matrices
我们引入了一类$M \times M$样本协方差阵$\mathcal Q$，它包含和推广了几个以前的模型。假设相关的总体协方差矩阵$Σ= \mathbb E \cal Q$与单位元之间存在有界秩矩阵差异。除了$Σ- I_M$的秩之外的所有量可以以任意方式取决于$M$。我们研究主成分，即$\mathcal Q$的顶部特征值和特征向量。我们得到精确的大偏差估计广义组件$\langle \mathbf w, \boldsymbol ξ_i \rangle$的离群值和非离群值特征向量$\boldsymbol ξ_i$。我们的研究结果也持有所谓的BBP过渡附近，其中离群值被创建或消灭，并为退化或近退化离群值。我们相信得到的收敛速度是最优的。此外，我们还得到了非离群特征向量广义分量的渐近分布。从我们的研究结果中产生的一个新的观察是，与特征值不同，主成分的特征向量包含有关$Σ$的\emph{subcritical}尖峰的信息。证明使用了满足$\mathbb E \mathcal Q = I_M$的不相关矩阵$\mathcal Q$的特征值和特征向量的几个结果作为输入：[9]中建立的各向同性局域Marchenko-Pastur定律，能级排斥和特征向量的量子唯一遍历性。后者是联合特征值-特征向量分布的一个新的普适性结果的特殊情况。
2015-01-16 math-ph math.MP math.PR
Eigenvectors of Sample Covariance Matrices: Universality of global fluctuations
本文证明了由样本协方差矩阵的特征向量定义的二元随机过程收敛的一个普适性结果。令$V_n=(v_{ij})_{i \leq n,\, j\leq m}$为$n\times m$随机矩阵，其中$(n/m)\to y > 0$为$ n \to \infty$，并令$X_n=(1/m) V_n V^{*}_n $为与$V_n \:$相关联的样本协方差矩阵。考虑由$ U_n D_n U_n^{*}$给出的$X_n$的谱分解，其中$U_n=(u_{ij})_{n\times n}$是$X_n$的特征矩阵。证明了在一定的矩条件下，二元随机过程$<B_{s,t}^{n} = \underset{1\leq j \leq \lfloor nt \rfloor}{\sum_{1\leq i \leq \lfloor ns \rfloor}} <|u_{i,j}|^2 - \frac{1}{n}> >_{(s,t)\in[0,1]^2} $按分布收敛于二元布朗桥。这种类型的结果已经证明了Wishart矩阵（LOE/LUE）和Wigner矩阵。这支持了样本协方差矩阵的特征矩阵以某种方式“渐近Haar分布”的直觉。我们的分析密切关注的Benaych-Georges的维格纳矩阵，本身的启发Silverstein作品的样本协方差阵的特征向量。
2013-06-18 math.PR
Covariance Operator Estimation: Sparsity, Lengthscale, and Ensemble Kalman Filters
本文研究通过阈值化估计协方差算子，为近似稀疏的高斯随机场建立了非渐近误差界，并证明在相关长度尺度较小时样本复杂度有指数级提升，最后应用于集合卡尔曼滤波器。
2024-03-25 math.PR math.ST stat.TH
Convergence of eigenvector empirical spectral distribution of sample covariance matrices
特征向量经验谱分布（VESD）是研究协方差矩阵特征值和特征向量极限行为的有效工具。本文研究了样本协方差阵的VESD对变形的Marčenko-Pastur（MP）分布的收敛速度。考虑$Σ^{1/2} X X^* Σ^{1/2}$形式的样本协方差阵，其中$X=(x_{ij})$是$M\times N$随机矩阵，其元素是均值为零且方差为$N^{-1}$的独立随机变量，$Σ$是确定性正定矩阵。我们证明了期望的VESD和变形的MP分布之间的Kolmogorov距离是有界的$N^{-1+ε}$为任何固定的$ε>0$，只要条目$\sqrt{N}x_{ij}$有一致有界的6阶矩和$|N/M-1|\ge τ$为一些常数$τ>0$。这一结果改进了以前在\cite{XYZ2013}中得到的结果，该结果给出了假设$i.i.d.$ $X$项、有界10阶矩、$Σ=I$和$M<N$的收敛速度$O(N^{-1/2})$。此外，我们还证明了在有限$8$阶矩假设下，对于任何固定的$ε>0$，VESD的收敛速度几乎必然是$O(N^{-1/2+ε})$，这改进了以前在\cite{XYZ2013}中的$N^{-1/4+ε}$界.
2020-01-21 math.PR
On asymptotics of eigenvectors of large sample covariance matrix
设\{ $X_{ij}$ \}，$i,j=...,$是i.i.d.用$EX_{11}=0,E|X_{11}|^2=1$和$E|X_{11}|^4<\infty$表示复随机变量，设$A_n=\frac{1}{N}T_n^{{1}/{2}}X_nX_n^*T_n^{{1}/{2}}$，其中$T_n^{{1}/{2}}$是非负定矩阵$T_n$的平方根，$X_n$是双数组左上角的$n\times N$矩阵。矩阵$A_n$可以被认为是i.i.d.的样本协方差阵。从具有均值零和协方差矩阵$T_n$的总体中提取样本，或者如果$T_n$是另一个样本协方差阵的逆矩阵，则作为多变量$F$矩阵。为了研究$A_n$的本征向量的极限行为，定义了一种新形式的经验谱分布，其权重由本征向量定义，然后证明了这与由相等权重定义的经验谱分布具有相同的极限谱分布。此外，如果\{ $X_{ij}$ \}和$T_n$是实数或复数，并作了一些附加的矩假设，则证明了由$A_n$的特征向量定义的线性谱统计量具有高斯极限，这表明当$T_n$是单位矩阵的倍数时，$A_n$的特征向量矩阵接近Haar分布，这是Wishart矩阵的一个简单推论.
2007-08-13 math.PR
Eigenvector correlations in the complex Ginibre ensemble
复Ginibre系综是$\mathbb{C}$上的$N\times N$非Hermite随机矩阵，i.i.d.归一化为具有均值零和方差$1/N$的复高斯项。不同于高斯酉系综，其特征向量根据紧群$U(N)$上的Haar测度分布，独立于特征值，Ginibre系综的特征基的几何形状不是特别好理解。本文系统地研究了这种矩阵系综中特征向量相关的性质。特别是，我们发现了一个扩展的代数结构，它描述了他们的渐近行为（$N$走向无穷大）。我们的工作扩展了Chalker和Mehlig [CM98]的先前结果，其中计算了特征向量对的相关性。
2018-05-23 math-ph math.MP math.PR
On eigenvector statistics in the spherical and truncated unitary ensembles
研究了球面和截断酉系综随机矩阵的左、右特征向量的重叠问题。在所有特征值上，对角重叠被证明是作为独立随机变量的产品分布。这使我们能够证明，缩放的对角线重叠，有条件的一个特征值，收敛分布的重尾限制，即逆的$γ_2$分布。这些结果类似于已知的复杂Ginibre系综。我们还提供了公式的条件期望的对角和非对角重叠，相对于所有的特征值。
2019-08-19 math.PR
Eigenvector Overlaps of Random Covariance Matrices and their Submatrices
该研究在宏观比例收敛条件下，利用布朗轨迹下的奇异向量动力学与预解式，推导了高斯矩阵及其子矩阵奇异向量的极限缩放均方重叠显式形式，零初始矩阵时公式简化为类柯西函数。
2025-01-15 cond-mat.stat-mech math.PR q-fin.MF
Estimating eigenvectors and eigenspaces of covariance matrices: Optimal Bounds and Conditions for Consistency
The University of Hong Kong（香港大学）
研究大维度零均值随机向量协方差矩阵特征向量和特征空间估计问题，通过对样本协方差矩阵进行最优误差分析，给出匹配量级上下界，得到估计量一致性新充要条件，样本数\(n\)只需线性依赖\(M\)的有效秩。
2026-09-22 cs.NA math.NA math.PR
Asymptotic Joint Distribution of Extreme Sample Eigenvalues and Eigenvectors in the Spiked Population Model
在本文中，我们考虑一个数据矩阵$X_N\in\mathbb{R}^{N\times p}$，其中所有的行是i.i. d。$\mathbb{R}^p$中的样本的均值零和协方差矩阵$Σ\in\mathbb{R}^{p\times p}$。这里的总体矩阵$Σ$是单位矩阵的有限秩扰动。这就是约翰斯通首先提出的“尖峰种群模型”。作为$N, p\to\infty$而不是$N/p \to γ\in(1, \infty)$，对于样本协方差阵$S_N := X_NX_N^T/N$，我们建立了最大和最小少数特征值包的联合分布。在每个包内，它们的行为将与从相应大小的高斯矩阵中提取的特征值相同。在不同的包中，我们还计算高斯矩阵项之间的协方差。作为推论，如果数据矩阵的所有行都是高斯的，那么这些包将是渐进独立的。同时，得到了样本特征向量的渐近性质。它们的局部波动也是高斯的，协方差是明确计算的。
2013-05-03 math.PR
Universality results for largest eigenvalues of some sample covariance matrix ensembles
对于具有亚高斯尾的iid元的样本协方差阵，当样本个数和变量个数都变大且比值趋于1时，这是A. Soshnikov证明了最大特征值的极限分布与高斯样本的极限分布相同.在本文中，我们将这个结果推广到两种情况。第一种情况是当比率接近任意有限值时。第二种情况是当比率变为无穷大或任意小时。
2007-06-21 math.PR math.ST stat.TH
The eigenstructure of the sample covariance matrices of high-dimensional stochastic volatility models with heavy tails
我们考虑一个$p$维时间序列，其中维度$p$随着样本量$n$而增加。由此产生的数据矩阵$X$遵循随机波动率模型：每个条目由正随机波动率项乘以独立噪声项组成。波动率乘数在每一行和各行之间引入相关性。本文研究了在噪声为正则变化的假设下，样本协方差阵$XX'$的特征值和特征向量的渐近行为。特别是，我们证明了泊松收敛的点过程的中心和规范化的特征值，并得出极限理论的泛函作用于他们，如跟踪。我们证明了随机波动率模型与额外的线性相关结构和随机波动率模型的时变波动率项被熄灭时，高概率$n$增加的相关结果。我们提供明确的近似的特征向量是一个惊人的简单的结构。证明这些结果的主要工具是重尾时间序列的大偏差定理，主张用统一的方法研究重尾随机矩阵的特征结构。
2020-01-14 math.PR math.ST stat.TH
Large deviations for the largest eigenvalues and eigenvectors of spiked random matrices
我们考虑由随机$N\times N$矩阵从高斯正交包络（或高斯酉包络）加上一个秩一扰动强度$θ$，并专注于最大的特征值，$x$，和组件，$u$，相应的特征向量的方向与秩一扰动。我们得到了控制$x$和$u$非典型联合涨落的大偏差原理。有趣的是，对于$θ>1$，在由小的$u$值表征的大偏差中，即$u<1-1/θ$，第二大特征值从维格纳半圆中弹出，并且相关联的特征向量在对应于秩1扰动的方向上定向。我们将这些结果推广到WishartEnsemble，并将它们推广到第一个$n$特征值和相关的特征向量。
2019-04-03 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Universal eigenvector correlations in quaternionic Ginibre ensembles
非厄米特随机矩阵在其特征向量的统计中具有非平凡的相关性。研究了四元数值高斯矩阵元的Ginibre系综的左、右特征向量的重叠问题。这个概念是由Chalker和Mehlig在复杂的Ginibre合奏中引入的。使用舒尔分解，对于调和势，我们可以仅用复特征值来表示重叠，在这个对称类中共轭对。它的期望值导致一个Pfiraban行列式，我们明确计算矩阵元素的诱导Ginibre系综与$2α$零特征值，有限的矩阵大小$N$。在宏观大$N$限制在大部分的频谱，我们恢复的限制表达式的复杂Ginibre合奏的对角和非对角重叠，因此是普遍的。
2020-02-03 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Eigenvector Distribution of Wigner Matrices
我们考虑具有独立元素的$N\times N$ Hermite或对称随机矩阵。第$(i,j)$个矩阵元素的分布由概率测度$ν_{ij}$给出，该概率测度的前两个矩与相应的高斯系综的前两个矩一致。我们证明了本征值靠近谱边缘的本征向量分量的联合概率分布与相应的高斯系综的联合概率分布一致。对于与体本征值相关的本征向量，只要分布$ν_{ij}$的前四阶矩与相应的高斯系综的前四阶矩一致，则相同的结论也成立。更一般地说，我们证明了联合特征向量特征值分布附近的两个广义Wigner系综的频谱边缘同意，提供的第一个两个时刻的条目匹配，并且其中一个系综满足水平排斥估计。如果另外前四个时刻匹配，则该结果在整体中也成立。
2011-11-15 math-ph math.MP math.PR
Nonlinear spiked covariance matrices and signal propagation in deep neural networks
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；New York University（纽约大学）；Flatiron Institute（弗拉蒂伦研究所）；Yale University（耶鲁大学）
本文研究了深度神经网络中非线性尖峰协方差模型的信号特征值与特征向量，定量描述了输入数据尖峰特征结构在随机权重网络隐藏层中的传播机制，并分析了表示学习中目标函数与 CK 尖峰特征向量的对齐情况。
2024-02-15 cs.LG math.PR math.ST
A diffusive matrix model for invariant $β$-ensembles
我们定义了一个新的扩散矩阵模型收敛到$β$ -Dyson布朗运动的所有$β\in [0,2]$，提供了一个明确的建设$β$ -系综的随机矩阵是不变的正交/酉群。我们还描述了本征向量动力学的限制矩阵的过程中，我们表明，当$β< 1$和两个本征值碰撞，这两个碰撞的本征值的本征向量波动非常快，并采取统一措施的正交补的本征向量的其余本征值。
2012-06-07 cond-mat.stat-mech math.PR
Spiked sample covariance matrices with possibly multiple bulk components
本文研究了具有多个体成分的加标样本协方差阵的特征值和特征向量的收敛极限和收敛速度。我们的模型是Johnstone的尖峰协方差阵模型的扩展。基于我们的结果，我们可以扩展许多统计应用的基础上Johnstone的尖峰协方差阵模型。
2019-12-30 math.PR
On statistics of bi-orthogonal eigenvectors in real and complex Ginibre ensembles: combining partial Schur decomposition with supersymmetry
我们提出了一种方法，研究联合概率密度（JPD）的特征值和相关的“非正交重叠因子”（也称为“特征值条件数”）的左，右特征向量的大小为$N\times N$的非自伴高斯随机矩阵。首先，我们推导了实Ginibre系综中实本征值$λ$和非正交因子的JPD的一般有限$N$表达式，然后分析了它的“体积”和“边缘”尺度限制.随后的分布是最大重尾的，因此所有超过归一化的整数矩都是发散的。一个复杂的本征值$z$和相关的非正交因子在复杂的Ginibre系综类似的计算，以及产生的分布与有限的一阶矩。它的“散装”缩放限制产生的分布，其第一时刻再现著名的结果Chalker和Mehlig \cite{ChalkerMehlig1998}，我们提供了这种情况下的“边缘”缩放分布以及。我们的方法涉及评估的产品和整数和半整数的权力的特征多项式的Ginibre矩阵，我们执行的框架中的超对称方法的比率的合奏平均。我们的论文补充了最近的研究由Bournard和Dubach \cite{BourgadeDubach}。
2018-03-16 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
The Beta-MANOVA Ensemble with General Covariance
我们得到了具有正对角协方差的$β$ -MANOVA系综的联合广义奇异值分布和最大广义奇异值分布，具有一般性。对于连续$β> 0$情况下的恒等协方差（特征值形式），已经完成了这一点，通过在我们的模型中将协方差设置为$I$，我们得到了另一个版本。对于对角协方差情况，仅对$β= 1,2,4$情况（实数、复数和四元数矩阵项）进行了计算。这在某种程度上是第一个二阶$β$ -系综，因为具有对角协方差的$β$ -MANOVA的广义奇异值的采样器调用具有Forrester和Dubbs-Edelman-Koev-Venkataramana的对角协方差的$β$ -Wishart的特征值的采样器。利用Baker和Forrester证明的关于超几何函数积分的MacDonald猜想和关于Jack多项式积分的Kaneko定理导出了广义奇异值分布.此外，我们还使用Forrester的{ \it Log-Gases and Random Matrices}中的许多标识。我们提供数值证据证明我们的定理是正确的。
2013-09-17 math.PR
The delocalization of eigenvectors of real elliptic matrices
Université de Montréal（蒙特利尔大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；École Polytechnique（巴黎综合理工学院）
研究实椭圆矩阵特征向量的去局部化现象，证明特征向量的去局部化水平与特征值位置有关，通过逆参与比分析得出不同极限行为。
2026-02-10 math-ph math.MP math.PR
Symmetries of the Quaternionic Ginibre Ensemble
我们建立了四元数Ginibre系综（QGE）的特征值和特征向量的一些性质，类似于在复杂的Ginibre情况下已知的。我们首先恢复一个版本的Kostlan的定理，已经注意到了骑士：一组平方半径的特征值分布作为一组独立的伽玛变量。我们的证明技术使用的德布鲁因身份和性质的Pfweians;它还允许证明，这些特征值的高功率是独立的。这些结果扩展到任何潜在的高斯情况下，只要径向对称举行，这包括例如截断的四元数酉矩阵，产品的四元数Ginibre矩阵，和四元数球形合奏。然后我们研究了四元数Ginibre矩阵的特征向量。特征向量之间的夹角和重叠矩阵都表现出一些特定的功能，可以比较复杂的情况。特别是，我们计算的分布和限制的对角重叠相关联的特征值是条件为零。
2018-11-09 math.PR
Eigenvector dynamics: general theory and some applications
我们提出了一个一般的框架来研究一般对称矩阵${\bf H}_0$的$P$连续特征向量所张成的子空间的稳定性。这个问题在各种情况下都是相关的，包括量子耗散（${\bf H}_0$是哈密顿量）和金融风险控制（在这种情况下，${\bf H}_0$是资产收益协方差矩阵）。我们认为，这个问题可以用重叠矩阵的奇异值来表示，这使得人们可以定义一个“保真度”的距离。我们专门的高斯正交${\bf H}_0$的情况下，奇异值的全谱可以明确计算我们的结果。我们还考虑的情况下，当${\bf H}_0$是一个协方差矩阵，并说明我们的结果使用金融数据的有用性。顶部特征值比所有其他特征值大得多的特殊情况可以完全详细地研究。特别是，由顶部特征向量和其真实方向所形成的角度的动态定义了一类有趣的新随机过程。
2012-07-16 cond-mat.stat-mech math.PR q-fin.RM
Local Marchenko-Pastur Law for Random Bipartite Graphs
本文是作者本科毕业论文三篇的第一章。本文研究了随机$(d_b, d_w)$ -正则二部图在$M$黑点和$N$白点集合上的协方差阵的随机矩阵系综，其中对$d_b \gg \log^4 N$ .我们同时证明了这些协方差阵的格林函数和底层图的邻接矩阵在最优尺度下符合相应的极限定律（例如协方差阵的Marchenko-Pastur定律）。这是对以前已知的介观结果的改进。作为结果，我们得到了协方差阵系综的特征向量离域化，以及弱刚性估计。
2017-04-27 math.CO math.PR math.ST
Riemannian statistics meets random matrix theory: towards learning from high-dimensional covariance matrices
黎曼高斯分布最初被引入作为学习模型的基本构建块，其目的是捕获正定矩阵（这里称为协方差阵）的统计总体的内在结构。虽然这种模型的潜在应用已经引起了极大的关注，一个主要的障碍仍然站在这些应用的方式：似乎不存在计算与黎曼高斯分布的高维空间的协方差阵的归一化因子的实用方法。本文表明，这种失踪的方法来自一个意想不到的新的连接与随机矩阵理论。其主要贡献是证明了实、复或四元数协方差阵的黎曼高斯分布等价于正交、酉或辛对数正规矩阵系综。这种等价性产生了一个非常有效的近似的归一化因子，在一个相当简单的解析表达式。由于这种近似的误差减少类似于尺寸的平方反比。数值实验表明，这种新的近似可以解锁的困难，阻碍了应用程序的高维协方差阵的真实世界的数据集。然后，本文转向黎曼高斯分布的块Toeplitz协方差阵。这些等价于另一种随机矩阵集合，这里称为“acosh-normal”集合。正交和酉“acosh-normal”系综分别对应于块Toeplitz与Toeplitz块的情况，以及块Toeplitz（与一般块）协方差阵的情况。
2022-12-26 math.PR math.ST stat.CO
Eigenvectors of non normal random matrices
研究了密度为$\propto \mathrm{e}^{-n\operatorname{Tr}V(M^*M)}$且$x\mapsto V(x^2)$为凸的随机$n\times n$复矩阵$M$的特征向量间的夹角.我们证明了，对于单位特征向量$\mathbf{v},\mathbf{v}'$与不同的特征值$λ,λ'$是最接近的指定点$z,z'$在复平面上，重新标度的内积$$\sqrt{n}(λ'-λ)\langle\mathbf{v},\mathbf{v}'\rangle$$是一致的次高斯，并给出了一个更精确的陈述的情况下，Ginibre系综。
2018-09-26 math.PR
Nonlinear stability of the ensemble Kalman filter with adaptive covariance inflation
Enhancement Kalman滤波和Enhancement平方根滤波是用于将高维非线性模型与观测数据相结合的数据同化方法。这些方法已被证明是科学和工程中不可或缺的工具，因为它们允许计算成本低，低维系综态近似极高维湍流预报模型。从理论的角度来看，这些方法是知之甚少，除了最近建立的，但仍然不完整的非线性稳定性理论。此外，最近的数值和理论研究的灾难性过滤发散表明，稳定性是一个真正的数学问题，不能想当然地在实施。在这篇文章中，我们提出了一个简单的修改合奏为基础的方法，完全解决这些稳定性问题。该方法涉及一种新型的自适应协方差膨胀，它具有最小的额外成本。我们开发了一个完整的非线性稳定性理论的自适应方法，在较弱的假设下产生李雅普诺夫函数和几何遍历性。我们提出的数值证据表明，自适应方法比标准方法提高了精度，并完全消除了灾难性的滤波发散。这种增强的稳定性允许使用非常便宜的、不稳定的预测积分器，否则这将导致广泛的滤波器故障。
2015-07-29 math.PR
Probing non-orthogonality of eigenvectors in non-Hermitian matrix models: diagrammatic approach
利用大$N$变元，提出了一种计算非正态随机矩阵在大$N$极限下两点特征向量关联函数的方法.设置推广的四元数扩展的自由概率两点函数。在双酉不变随机矩阵的特殊情况下，我们得到了两点特征向量关联函数的一个简单的一般表达式，它可以被看作是单环定理的进一步推广。这种结构与第二类自由有着惊人的相似之处，第二类自由是以大$N$中的厄米系综而闻名的。在几个已解决的例子的基础上，我们推测两种微观普适性的本征向量-一个在散装，和一个在边缘。在复杂Ginibre系综的情况下，束缚体普适性的形式与Chalker和Mehlig [JT Chalker，B Mehlig，PRL，\textbf{81}，3367（1998）]发现的标度极限一致。
2018-05-25 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Pfaffian structure of the eigenvector overlap for the symplectic Ginibre ensemble
本文研究辛 Ginibre 系综条件特征向量重叠，利用 Pfaffian、斜正交多项式与 Christoffel 扰动建立有限 N 核方程，并得到实轴体内和边缘大 N 极限。
2025-05-12 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Local Marchenko-Pastur law at the hard edge of the Sample Covariance ensemble
考虑具有iid实部和虚部的复数项的$N$乘$N$矩阵$X$。我们证明了在最优尺度下$X^*X$的局部特征值密度以概率$1$收敛于Marchenko-Pastur律.我们还获得了刚性的本征值在散装和附近的硬和软的边缘。在这里，我们避免了对数和多项式校正直接与高功率的期望的斯蒂尔切斯变换。我们的工作假设，条目有一个有限的四阶矩，并截断在$N^{1/4}$。在这项工作中，我们简化和适应的方法，从以前的文件Götze-Tikhomirov和Cacciapuoti-Maltsev-Schlein的协方差阵。
2022-06-04 math-ph math.MP math.PR
Quantitative estimates of the convergence of the empirical covariance matrix in Log-concave Ensembles
设$K$是$\R^n$中的各向同性凸体。给定$\eps>0$，经验协方差阵需要多少个均匀分布在$K$上的独立点$X_i$才能以压倒性的概率逼近直到$\eps$的恒等式？本文回答了Kannan、Lovasz和Simonovits提出的这个问题。更准确地说，让$X\in\R^n$是一个中心随机向量，具有对数凹分布，并具有协方差阵的身份。这种矢量$X$的一个例子是各向同性凸体中的随机点。我们证明了对于任何$\eps>0$，都存在$C(\eps)>0$，使得如果$N\sim C(\eps) n$和$(X_i)_{i\le N}$是i.i.d. $X$的拷贝，然后是概率大于$1-\exp(-c\sqrt n)$的$ \Big\|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\otimes X_i - \Id\Big\| \le ε, $。
2009-08-27 math.FA math.PR
Optimal decay of eigenvector overlap for non-Hermitian random matrices
University of Arizona（亚利桑那大学）；IST Austria（奥地利科学技术研究院）；AMSS, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）
研究非正交随机矩阵特征向量重叠的衰减性质，证明其与特征值距离的平方成反比，扩展了复高斯集合理论的结果。
2026-01-21 math-ph math.MP math.PR
Covariance structure behind breaking of ensemble equivalence in random graphs
对于受拓扑约束的随机图，微正则系综要求图的每个实现都满足该约束（“硬约束”），而正则系综要求仅平均满足该约束（“软约束”）。已知当图的大小趋于无穷大时，可能发生系综等价性的破坏，这由两个系综的非零特定相对熵来表示。本文分析了Squartini和Garlaschelli最近提出的一般离散随机结构的相对熵公式。我们考虑的情况下，一个随机图与一个给定的度序列（配置模型），并表明，在密集的制度，这个公式正确地预测，具体的相对熵是由缩放的矩阵的正则协方差的约束的行列式。该公式还正确地预测，一个额外的修正项是需要在稀疏政权和超密集政权。我们进一步表明，不同的表达式对应的程度是渐近高斯的密集制度和渐近泊松的稀疏制度（后者证实了我们发现在早期的工作），和对偶度的正则系综渐近泊松的超密集制度。在一般情况下，我们表明，度遵循的泊松二项分布的多变量版本的典型合奏。
2018-08-13 math-ph math.MP math.PR
On the determinantal structure of conditional overlaps for the complex Ginibre ensemble
我们继续研究联合统计的特征向量和特征值发起的开创性论文Chalker和Mehlig。我们研究的主要对象是复$N\times N$ Ginibre系综的左、右本征向量重叠矩阵的期望，条件是任意数目的复本征值$k=1,2,\ldots$.这些对象提供了最简单的对角重叠（$k=1$）和非对角重叠（$k=2$）的期望的一般化，最初由Chalker和Mehlig考虑.它们也自然地出现在克拉科夫学派研究的具有复矩阵值的布朗运动的特征向量和特征值的联合演化问题中。我们发现，这些期望具有行列式结构，其中相关的内核可以表示在某些正交多项式在复平面。此外，内核允许所有$N \geq 2$都有一个相当容易处理的表达式。这一结果使得一个相当简单的计算条件期望的重叠矩阵在当地的散装和边缘缩放限制，以及证明的确切的代数衰减和渐近因式分解这些期望在散装。
2019-11-13 math-ph math.MP math.PR
Universality for eigenvalue algorithms on sample covariance matrices
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, University of California, Irvine（加州大学欧文分校数学系）
研究随机正定样本协方差矩阵上幂/逆幂方法和QR特征值算法的迭代次数，证明其收敛性及计算极值特征值的复杂度估计。
2017-01-07 cs.NA math.NA math.PR
Eigenvector dynamics under free addition
我们研究了高斯正交系综中的一个对称（确定性或随机）矩阵的特征向量的演化。我们量化这个单一的向量与初始矩阵的特征向量之间的重叠，并精确地确定一个“柯西飞行”制度。特别地，我们计算该向量在初始矩阵的特征值空间中的局部密度。我们的结果是在非微扰的情况下得到的，并利用[O. Ledoit和S. Péché，Prob. Th. Rel.字段，{ \bf 151} 233（2011）]。最后，我们给出了[R. Allez和J. - P. Bouchaud，Phys. Rev. E { \bf 86}，046202（2012）]，以研究半微扰状态下的本征空间动力学。
2015-01-06 cond-mat.stat-mech math.PR
Local Marchenko-Pastur Law at the Hard Edge of Sample Covariance Matrices
令$X_N$是其条目是i.i.d.的$N\times N$矩阵。均值为零且方差为$\frac{1}{N}$的复随机变量。我们研究了$N\to\infty$协方差矩阵$X_N^*X_N$特征值的渐近谱分布。我们证明了在一个区间$[E,E+η]$的本征值的经验密度收敛到局部的最佳规模，$N η/\sqrt{E} \gg (\log N)^b$，并在任何区间的硬边，$\frac{(\log N)^b}{N^2}\lesssim E \leq 4-κ$，任何$κ>0$的Marchenko-Pastur法律。作为一个结果，我们显示的特征向量的完全离域。
2012-06-21 math-ph math.MP math.PR
Extremal statistics of quadratic forms of GOE/GUE eigenvectors
我们考虑二次型的确定性矩阵$A$评估在一个大的$N \times N$ GOE或GUE矩阵的随机特征向量，或等价地评估在一个Haar正交或Haar酉随机矩阵的列。我们证明，只要确定性矩阵的秩远小于$\sqrt{N}$，这些二次型的极值的分布是渐近相同的，如果特征向量是独立的高斯。这减少了问题的高斯计算，我们进行了几种情况下，以说明我们的结果，发现Gumbel或威布尔极限分布取决于签名的$A$。我们的结果也自然适用于任何不变系综的特征向量。
2022-10-06 math-ph math.MP math.PR
Wigner theorems for random matrices with dependent entries: Ensembles associated to symmetric spaces and sample covariance matrices
Wigner的一个经典结果是，对于对角线上和对角线上具有独立元素的埃尔米特矩阵，当矩阵大小趋于无穷大时，平均经验特征值分布弱收敛于幂律.在本文中，我们证明了类似的维格纳定理的随机矩阵取自所有无穷小版本的经典对称空间。这是一类模型，其中包括维格纳和戴森研究的模型，以及凝聚态物理中产生的其他七个模型。像维格纳的，我们的结果是普遍的，因为它们只依赖于某些假设的时刻的矩阵项，但不对他们的分布的具体情况。更重要的是，我们允许一定数量的矩阵项之间的依赖性，在精神上最近推广的维格纳定理，由于申克和舒尔茨-巴尔德斯。作为一个副产品，我们得到了一个普遍性的结果，样本协方差阵的相关项目。
2007-07-16 math-ph math.MP math.PR
On the behavior of the covariance matrices in a multivariate central limit theorem under some mixing conditions
在2010年发表的一篇论文中，C. Tone证明了一类满足一定混合条件的随机向量组成的严平稳随机场的多元中心极限定理。给定“部分和“（或“块和”）的“归一化”涉及矩阵乘以其协方差矩阵（对称正定矩阵）的“标准-1/2幂”，并且极限多元正态分布具有单位矩阵作为其协方差阵。Tone的结果中的混合假设隐含地对部分和的协方差阵中最大与最小特征值的比率施加了上界。本文的目的是证明在Tone的结果中，对于部分和的协方差阵的整个集合，特征值的相对大小或相应特征向量的（正交）方向基本上没有其他限制。为了简单起见，本文中给出的例子只涉及随机序列，而不是更广泛的随机场。
2011-05-20 math.PR
The Eigenvector Bead Process
本文针对Wigner矩阵与Wishart矩阵，在大N固定K的设定下研究相邻阶主子式的特征向量重叠规律，得到谱体域局部投影、谱边缘扰动特性及对应渐近核表达，验证了该过程的普适性。
2025-11-16 math.PR
Central Limit Theorem for linear eigenvalue statistics of the Wigner and sample covariance random matrices
本文考虑随机矩阵理论中的两个经典集合：Wigner矩阵和样本协方差矩阵，并在关于检验函数导数个数和项矩个数的较弱条件下（与已知结果相比）证明了线性特征值统计量的中心极限定理。此外，我们还发展了一种通用的方法，如果随机矩阵预解式的迹的方差有界，则该方法允许自动获得可微测试函数的方差界。该方法不仅适用于Wigner和样本协方差矩阵，而且适用于任何随机矩阵的集合。
2011-01-17 math-ph math.MP math.PR
