New four-dimensional integrals by Mellin-Barnes transform
Pedro Allendes, Natanael Guerrero, Igor Kondrashuk, Eduardo A. Notte Cuello
备注：
Talk at El Congreso de Matematica Capricornio, COMCA 2009, Antofagasta, Chile and at DMFA seminar, UCSC, Concepcion, Chile, 24 pages; revised version, Introduction is modified, Conclusion is added, five Appendices are added, Appendix E is new
This paper is devoted to the calculation by Mellin-Barnes transform of a especial class of integrals. It contains double integrals in the position space in d = 4-2e dimensions, where e is parameter of dimensional regularization. These integrals contribute to the effective action of the N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory. The integrand is a fraction in which the numerator is a logarithm of ratio of spacetime intervals, and the denominator is the product of powers of spacetime intervals. According to the method developed in the previous papers, in order to make use of the uniqueness technique for one of two integrations, we shift exponents in powers in the denominator of integrands by some multiples of e. As the next step, the second integration in the position space is done by Mellin-Barnes transform. For normalizing procedure, we reproduce first the known result obtained earlier by Gegenbauer polynomial technique. Then, we make another shift of exponents in powers in the denominator to create the logarithm in the numerator as the derivative with respect to the shift parameter delta. We show that the technique of work with the contour of the integral modified in this way by using Mellin-Barnes transform repeats the technique of work with the contour of the integral without such a modification. In particular, all the operations with a shift of contour of integration over complex variables of two-fold Mellin-Barnes transform are the same as before the delta modification of indices, and even the poles of residues coincide. This confirms the observation made in the previous papers that in the position space all the Green function of N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory can be expressed in terms of UD functions.
Two-fold Mellin-Barnes transforms of Usyukina-Davydychev functions
在我们之前的论文[Nucl.Phys. B 870（2013）243]中，我们证明了Usyukina-Davydychev（UD）函数的多重Mellin-Barnes（MB）变换可以简化为双重MB变换。MB变换在那里被写成具有一定系数的外动量平方比的多项式。我们还表明，这些系数有一个组合的起源。在本文中，我们提出了一个明确的公式，这些系数。恢复系数的过程是基于对按预定迭代方式构造的二元光滑函数列取双重一致极限。结果是用数学分析的基本方法得到的。我们观察到，这个光滑函数的迭代链的极限的有限性也应该反映在其他数学构造中，因为它与MB变换的显式形式没有任何关系。这个有限的双重一致极限表示在一个微分算子关于一个辅助参数，它的作用在被积函数的某些双重MB积分。为了证明我们的结果与UD函数的原始表示是相容的，我们通过将该微分算子应用于标量三角形四维积分J（1，1，1-e）的简单积分表示的被积函数来再现这些原始积分表示的被积函数。
Sunset integrals with up to three mass scales in chiral perturbation theory: a comparative study of the Mellin-Barnes representation technique
Indian Institute of Science（印度科学学院）；PSI Center for Neutron and Muon Sciences（瑞士保罗谢勒研究所中子与μ子科学中心）；Univ Lyon, Univ Claude Bernard Lyon 1（里昂大学，克洛德·贝尔纳里昂第一大学）；Peng Huanwu Collaborative Center for Research and Education, International Institute for Interdisciplinary and Frontiers, Beihang University（北京航空航天大学国际交叉前沿研究院彭桓武教研协同中心）
Fermionic Bubble Loop in Cosmological Collider Revisited: Exact signals from spectral and Mellin-Barnes methods
RIKEN Center for Interdisciplinary Theoretical and Mathematical Sciences (iTHEMS)（RIKEN跨学科理论与数学科学中心（iTHEMS））；Department of Physics, Tsinghua University（清华大学物理系）；Cosmology, Gravity and Astroparticle Physics Group, Center for Theoretical Physics of the Universe, Institute for Basic Science（基础科学研究院宇宙理论物理中心宇宙学、引力与高能天体物理研究组）；Department of Physics, Institute of Science Tokyo（东京科学大学物理系）；Department of Physics and IPAP, Yonsei University（延世大学物理系及物理学与应用物理研究所）
The sixth order QED radiative corrections to lepton anomalies due to the fourth order vacuum polarization insertions within the Mellin-Barnes representation
Multiple Mellin-Barnes integrals with polygamma functions
PSI Center for Neutron and Muon Sciences（PSI中子与μ子科学中心）；Univ Lyon, Univ Claude Bernard Lyon 1, CNRS/IN2P3, IP2I Lyon（里昂大学，克洛德·贝尔纳里昂第一大学，法国国家科学研究中心/欧洲核子研究组织，IP2I里昂）
New proofs for the two Barnes lemmas and an additional lemma
Mellin-Barnes（MB）表示已成为计算量子场论微扰计算中出现的Feynman圈积分的广泛使用的工具。一些MB积分可以解析地解决封闭形式的帮助下，两个巴恩斯引理已被称为数学已经一个世纪。这些引理的原始证明通过取无穷级数的残基并通过超几何函数将其求和来解决积分。本文提出了新的，优雅的证明巴恩斯引理，只依赖于著名的MB表示的基本身份，避免任何系列求和。它们对于向量子场论的学生介绍和证明巴恩斯引理特别有用，而不需要超几何函数的知识。本文还引入并证明了涉及相位因子exp（+-i pi z）的MB积分\int dz的附加引理。
Explicit calculation of multi-fold contour integrals of certain ratios of Euler gamma functions. Part 1
本文研究了Usyukina-Davydychev（UD）函数的Mellin-Barnes（MB）变换的性质。在我们以前的论文[核物理B 870（2013）243]中，[Nuclear Physics B 876（2013）322]我们表明，Usyukina-Davydychev（UD）函数的多重Mellin-Barnes（MB）变换可以简化为双重MB变换，并且更高的Mellin-Barnes（MB）变换可以简化为更高的MB变换。阶UD函数通过将其应用于稍微修改的第一UD函数而获得。该结果在$d=4$维中是有效的，并且其在$d=4-2\varepsilon$维中的类似物也存在[Theoretical and数学物理177（2013）1515]。在[Nuclear Physics B 870（2013）243]中，通过比较具有不同循环阶的图之间的图解关系的左手侧和右手侧，隐式地获得了解析正则化UD函数的递归关系链。反过来，这些图表的关系得到了由于方法的循环减少三角梯形图提出了在1983年由Belokurov和Usyukina。在这里，我们重现这些经常性的关系，通过巴恩斯引理计算明确的轮廓积分所产生的左手边的图解关系。在这样的方式中，我们明确地计算一族的多重轮廓积分的某些比率的欧拉伽玛函数。我们做了一个猜想，类似的结果是有效的轮廓积分更广泛的家庭，其中包括MB变换的UD函数的光滑函数。
