Quotient Representations of Uniform Tilings
Gordon Williams, Daniel Pellicer
给定欧氏平面上的正多边形的点传递镶嵌中的每一个标志，我们确定了在正则覆盖的自同构群作用下的标志稳定子。在这样做的时候，我们给出了一个介绍，这些平铺的规则（无限）多面体的替代品。
Given a flag in each of the vertex-transitive tessellations of the Euclidean plane by regular polygons, we determine the flag stabilizer under the action of the automorphism group of a regular cover. In so doing we give a presentation of these tilings as quotients of regular (infinite) polyhedra.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The quotient of generating functions of lozenge tilings for certain regions derived from hexagons, obtained with non--intersecting lattice paths
在最近的预印本，赖表明，商的生成函数的加权菱形平铺两个“半六边形与横向凹痕”，这只是不同的宽度，因素很好，同样是真实的商的生成函数的加权菱形平铺两个“四分之一六边形与横向凹痕”。Lai通过使用“图形压缩”（即，应用一定的Pfidean单位的加权枚举匹配）。本说明的目的是展示如何可以做到这一点的林斯特伦-Gessel-Viennot方法为非相交的晶格路径。对于“半六边形”的情况，基本上相同的观察，但仅限于枚举（即，菱形瓷砖的所有重量都等于$1$），包含在康登最近的预印本中。
A class of maps on the torus and their vertex orbits
平面的平铺（边到边）是覆盖平面而没有间隙或重叠的平铺族。平铺中顶点的顶点图形是与该顶点相关的所有边的并集。一个镶嵌是$k$ -顶点齐次的，如果任意两个顶点具有全等的顶点图形，并且这两个顶点关于镶嵌的所有对称的群精确地形成$k$传递类.本文讨论了如果一个映射是一个平面的$k$ -顶点齐次格（$k \ge 4$）的商，那么顶点轨道数的精确界是什么。
Large $ Y_{k,b} $-tilings and Hamilton $ \ell $-cycles in $k$-uniform hypergraphs
设$Y_{3,2}$是两条边相交于两个顶点的$3$ -一致超图.我们的主要结果是：对于$m\le n/7$，任何至少有$\binom{n}{3} - \binom{n-m+1}{3} + o(n^3)$边的$n$ -顶点3-一致超图都包含$Y_{3,2}$的$m$顶点不相交副本的集合.边数的界是渐近最佳可能的。该问题推广了Erdens的匹配猜想。然后，我们使用这个结果结合吸收的方法来确定渐近最好的可能的最小$(k-3)$度阈值的$\ell$ -哈密尔顿在$k$ -图，其中$k\ge 7$是奇数和$\ell=(k-1)/2$。此外，对于$ k,\ell,d $的其它值，我们给出了具有$ d $ -度的$ Y_{k,b} $ -镶嵌和Hamilton $ \ell $ -圈的相关结果.
Minimum vertex degree threshold for $C_4^3$-tiling
证明了在$n\in 4\mathbb N$顶点上的3-一致超图中平铺$\C_4^3$（具有四个顶点和两个三元组的3-一致超图）的顶点度阈值为$\binom{n-1}2 - \binom{\frac34 n}2+\frac38n+c$，其中$c=1$是$n\in 8\mathbb N$，而$c=-\frac12$不是$\C_4^3$.这个结果是最好的可能的，是第一个结果的顶点度条件的超图平铺。
2-uniform covers of $2$-semiequivelar toroidal maps
如果贴图中的每个顶点都有两种面循环类型中的一种，则称该贴图为$2$ -半等值面。2-均匀平铺是具有$2$不同传递性顶点类的正多边形的边到边平铺。显然，$2$ -一致映射是$2$ -半等价映射。这一点的反面一般来说并不正确。平面上有20个不同的2-均匀平铺（这些是$14$不同类型的）。本文证明了一个$2$ -半等维环面映射$K$有一个有限的$2$ -一致覆盖，如果$K$的泛覆盖是$2$ -一致的，除了两种类型.
Minimum vertex degree thresholds for tiling complete 3-partite 3-graphs
给定正整数$a\leq b \leq c$，设$K_{a,b,c}$是具有三个部分大小为$a,b,c$的完全3部3一致超图.设$H$是$n$顶点上的3-一致超图，其中$n$可被$a+b+c$整除.我们渐近确定$H$的最小顶点度，保证一个完美的$K_{a, b, c}$ -平铺，即，一个生成子图的$H$的顶点不相交副本的$K_{a, b, c}$。这部分回答了一个问题的麦考夫，谁证明了一个类似的结果，就codegree的$r$ -一致超图的所有$r\ge 3$。我们的证明使用了一个基于格的吸收方法，分数平铺的概念，和最近的结果阴影的3-图。
Perfect tilings of 3-graphs with the generalised triangle
本文确定了3-一致超图被广义三角形完美铺砌的最佳最小共度条件，并给出了彩虹版本的渐近最优条件。
Large $ Y_{3,2} $-tilings in 3-uniform hypergraphs
该研究在3-均匀超图领域，证明了满足特定边数下界的n顶点3-均匀超图存在覆盖超4αn个顶点的Y_{3,2}-平铺，边数界渐近最优，解决了推广Erdős匹配猜想的相关猜想。
Tiling 3-uniform hypergraphs with K_4^3-2e
设K_4^3- 2 e表示由四点上的两个三元组构成的超图。对于整数n，设t（n，K_4^3- 2 e）表示最小整数d，使得每一个具有最小对度δ_2（G）\geq d的n阶3-一致超图G都含有K_4^3- 2 e的\floor{n/4}顶点不交副本. Kühn和Osthus证明了t（n，K_4^3- 2 e）=（1 + o（1））n/4对大整数n成立。这里我们证明了完全对应的结果：对于所有能被4整除的充分大的整数n，当n/4是奇数时，t（n，K_4^3- 2 e）= n/4，当n/4是偶数时，t（n，K_4^3- 2 e）= n/4+1。在我们的证明的一个主要成分是最近的“吸收技术”的Rödl，Rucienski和Szemerédi。
Covering and tiling hypergraphs with tight cycles
给定$3 \leq k \leq s$，我们称一个$k$ -一致超图$C^k_s$是$s$顶点上的紧圈，如果$C^k_s$的顶点有一个循环序，使得在这个序下的每个$k$连续顶点形成一条边.证明了如果$k \ge 3$和$s \ge 2k^2$，则$k$ -一致超图的最小余度至少为$(1/2 + o(1))n$的$k$ -一致超图的每个顶点都被$C^k_s$的一个副本覆盖.我们的结果是渐近最好的可能无限多对$s$和$k$，例如，当$s$和$k$互质。完美的$C^k_s$平铺是$C^k_s$的顶点不相交副本的跨越集合。当$s$可被$k$整除时，确定保证完美的$C^k_s$ -平铺的最小余度的问题由Mycroft的结果解决。证明了：若$k \ge 3$和$s \ge 5k^2$不能被$k$整除，且$s$整除$n$，则$n$顶点上的最小度至少为$(1/2 + 1/(2s) + o(1))n$的$k$ -一致超图有完美$C^k_s$ -平铺.同样，我们的结果对于无穷多对$s$和$k$是渐近最佳可能的，例如当$s$和$k$与$k$互质时。
On Perfect Matchings and tilings in uniform Hypergraphs
本文研究了超图中Dirac型问题的一些变形。首先，我们证明了对于$k\ge 3$，如果$H$是一个在$n\in k\mathbb N$顶点上的$k$ -图，其独立数至多为$n/p$，最小余度至少为$(1/p+o(1))n$，其中$p$是$k$的最小素因子，则$H$包含完美匹配.其次，证明了如果$H$是一个在$n\in 3\mathbb N$顶点上的$3$ -图，且不包含$K_4^-$的任何导出拷贝（唯一的$3$ -图，其顶点和边都是$4$），且最小度至少为$(1/3+o(1)))n$，则$H$包含完美匹配.此外，如果我们允许匹配在大多数$3$顶点错过，那么最小度条件可以减少到$(1/6+o(1)))n$。第三，我们证明了如果$H$是一个在$n\in 4\mathbb N$顶点上的$3$ -图，且不包含$K_4^-$的任何诱导拷贝，且最小余度至少为$(1/8+o(1)))n$，则$H$包含一个完美$Y$ -平铺，其中$Y$表示唯一的具有$4$顶点和$2$边的$3$ -图。我们还提供的例子表明，我们的最小余度条件是渐近最好的可能。我们的主要工具，寻找完美匹配是一个特征定理，其特征$k$ -图的最小度至少$n/k$包含一个完美匹配。
Quotients of uniform positroids
旗拟阵是一个丰富的考克斯特拟阵家族，可以用形成商的拟阵对来刻画。我们考虑一类拟阵称为positroids，介绍了Postnikov，并利用其组合表示探索旗positroids的特征。给定一个一致正胚，我们给出了一族与它构成同素异义体的正胚的纯组合刻划，我们用它们的相关装饰置换来说明这一点。在证明我们的特征，我们也充分描述了这个家庭的电路。
Polyhedrons and PBIBDs from hyperbolic manifolds
通过对双曲平面/空间中的某个镶嵌，用某个群作用取其关联项，得到了具有有趣对称性和关联结构的几何多面体/胞腔.
Characterizing positroid quotients of uniform matroids
本文研究两步flag positroid，完整刻画了包含一致拟阵的情形，证明Grassmann项链包含关系对一般flag positroid不充分，并解决了装饰排列通过循环移位相关的猜想。
Codegree conditions for tiling complete $k$-partite $k$-graphs and loose cycles
给定两个$k$ -图（$k$ -均匀超图）$F$和$H$，$H$中的完美$F$ -平铺（或$F$ -因子）是$F$的顶点不相交副本的集合，这些副本一起覆盖$H$的顶点集.对于所有的完全$k$ -部$k$ -图$K$，Mycroft证明了一个最小余度条件，该条件保证$n$ -顶点$k$ -图中存在$K$ -因子，并且紧到误差项$o(n)$ .当$K$的顶点类的大小差互质时，本文将Mycroft结果中的误差项改进为与$K$的Turán数有关的次线性项.此外，我们找到了一个结构，表明我们的改进的余度条件是渐近紧在无限多的情况下，从而反驳了Mycroft猜想。最后，我们确定了平铺$K^{(k)}(1, \dots, 1, 2)$和平铺松散圈的精确最小余度条件，从而推广了Czygrinow，DeBiasio，Nagle和Czygrinow的结果。
Tiling dense hypergraphs
研究超图完美平铺问题，证明了对于近似封闭于子抽样的超图族，空间、可除性和覆盖三个必要条件是渐近充分的，并给出了最小d度阈值的刻画。
A Coloring Book Approach to Finding Coordination Sequences
描述了一种基本的方法，用于找到协调序列的平铺，着色的基础图的基础上。我们通过首先将其应用于Cairo（或dual-3^2.4.3.4）平铺中的两种顶点（四价和三价）来说明该方法。令人惊讶的是，四价顶点的配位顺序是1，4，8，12，16，...，与熟悉的正方形（或4^4）平铺中的顶点相同。我们以为，这样一个简单的事实应该有一个简单的证明，而这篇文章就是结果。我们还应用该方法获得了3^2.4.3.4、3.4.6.4、4.8^2、3.12^2和3^4.6均匀镶嵌以及snub-632和bew镶嵌的坐标序列。在某些情况下，这些结果为以前提出的公式提供了证明。
Weak Ramanujan property of the standard non-uniform arithmetic quotient of $PGL_4$
该研究在有限域形式级数域的仿射厦与格的框架下，定义了弱拉马努金商复形的谱条件，证明了$PGL_4$的标准非一致算术商满足弱拉马努金性质。
Spectrum of weighted adjacency operator on a non-uniform arithmetic quotient of $PGL_3$
本文研究了 $PGL(3,\mathbb{F}_q[t])$ 商复形上加权邻接算子的自守谱，证明了其非平凡近似特征值集合包含同时谱与内摆线，并从组合角度重新证明了该商不是 Ramanujan 复形。
Uniform partitions of 3-space, their relatives and embedding
我们回顾了3-空间的28个均匀划分，以找出它们中的哪些图（骨架）可等距嵌入（或尺度为2）到某些立方格${\bf Z}_n$中。我们还考虑了这28个划分的一些相关的划分，包括Achimedean的Conway-Guy的4-多面体，非紧一致划分，Kelvin划分和具有唯一顶点图形的划分（即Delaunay星）。其中，我们指出了两种连续的非周期性镶嵌半规则的三棱柱体与立方体或正四面体和正八面体。在途中，许多新的分区被添加到这里考虑的不完整的情况下。
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