On higher Poisson and Koszul--Schouten brackets
Andrew James Bruce
本文给出了如何在高阶Poisson流形上的微分形式代数上构造同伦BV-代数。沿着高泊松结构的李导数提供了生成算子。
In this note we show how to construct a homotopy BV-algebra on the algebra of differential forms over a higher Poisson manifold. The Lie derivative along the higher Poisson structure provides the generating operator.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Generating Operators of the Krasil'shchik-Schouten bracket
本文证明了，给定超流形的分次交换代数的结构层上的一个发散算子，可以构造Krashil'shchik-Schouten括号的生成算子。这是一类特殊的双阶Gerstenhaber代数的生成算子的构造的一个特例。此外，这些结果的推广到$n-$分次Jacobi代数的背景下的一些评论。
Generalizations for Schouten-Nijenhuis Bracket and for Differential Analog of Special Yang-Baxter Equations
Schouten-Nijenhuis括号是推广的超空间的情况下，相反的格拉斯曼宇称的泊松括号。对特殊的Yang-Baxter方程的微分模拟也提出了相当多的推广。
Weakly nonlocal Poisson brackets, Schouten brackets and supermanifolds
守恒量之间的泊松括号是可积系统理论中的一个基本工具。弱非局部Poisson括号子类出现在许多重要的可积系统中。证明弱非局部微分算子定义泊松括号可能具有挑战性。我们提出了一个计算方法来解决这个问题，通过识别这样的运营商与超函数的超流形。
Geometry of Vlasov kinetic moments: a bosonic Fock space for the symmetric Schouten bracket
在对称反变张量场的对偶李代数上，证明了Vlasov动力矩的动力学性质是Lie-Poisson。相应的Lie括号与对称Schouten括号相同，矩Lie代数与玻色Fock空间丛相关，其中产生和湮灭算子用于构造冷等离子体闭包.动力矩也被证明是定义一个动量图，这是无穷小等变的。这个动量映射是李代数同态的对偶，通过Schouten括号定义。最后将矩Lie-Poisson括号推广到各向异性相互作用。
A comparison of definitions for the Schouten bracket on jet spaces
Schouten括号（或反括号）在规范系统的泊松形式主义和Batalin-Vilkovisky量子化中起着核心作用。在喷流空间中有几种等价的方法来实现这个概念。在本文中，我们比较的定义，检查他们同意或不同意的方式，以及他们如何与通常的流形的情况。
The Schouten-Nijenhuis bracket, codifferential of products and generalized interior products of $p$-forms
本文汇集了微分几何中涉及常用微分算子（如李导数和Schouten-Nijenhuis括号）的de Rham余微分恒等式，并利用内积的自然扩展提出新公式，提供了一份紧凑实用的总结。
The Jacobi identity for graded-commutative variational Schouten bracket revisited
本文给出了$Z_2$ -分次交换系统中变分Schouten括号的Jacobi恒等式的一个显式证明。为了使推理严谨，它引用了迭代变分的乘积丛几何（参见arXiv：1312.1262 [math-ph]）;在这个理论中任何地方都没有特别的正则化。
A quantum anchor for higher Koszul brackets
本文针对$P_\infty$-结构，将高阶Koszul括号到Schouten括号的$L_\infty$-态射量子化为单一的形式傅里叶积分算子，并采用厚态射技术与量子Mackenzie-Xu变换。
Brackets by any other name
括号的另一个名字，怀特黑德或萨麦尔森产品，有一个历史平行，在科斯曼-施瓦茨巴赫的从斯考滕到麦肯齐：注意到括号。在这里，我概述了同伦理论和同调代数中的这些以及其他一些括号、乘积和括号的发展，以及它们在数学物理中的应用。在对比括号的Schouten，Nijenhuis和Gerstenhaber，其中涉及的关系，另一个分次产品，在同伦理论的许多括号是独立的二元运算。我的人生道路充满了曲折。这条路径将二进制之外的运算引向多线性n元运算，无论是对于单个n，还是对于这样的集合成现在所知的$\infty$ -代数（例如同伦Gerstenhaber代数）的整个相干连续。它还导致更微妙的不变量。在此过程中，将提请注意与“物理学”的相互作用;事实上，这是一条双向的道路。
On a Batalin--Vilkovisky operator generating higher Koszul brackets on differential forms
我们引入了一个正式的$\hbar$ -微分算子$Δ$，它在$P_{\infty}$ -流形上的（伪）微分形式的代数上产生了更高的Koszul括号。这种算子首先由Khudaverdian和Voronov在\texttt{arXiv:1808.10049}中提到。(This算子是Koszul-Brylinski边界算子$\partial_P$的类似物，该算子定义了普通泊松结构的泊松同调。在这里，我们通过不同的方法引入$Δ=Δ_P$并建立其性质。我们证明了产生更高Koszul括号的BV型算子可以包含在BV型形式$\hbar$ -微分算子的单参数族中，它可以被理解为余切$L_{\infty}$ -双代数胚的量子化.我们得到了$ΠTM$和$ΠT^*M$的对称描述。为了上述目的，我们详细地发展了正式的$\hbar$ -微分算子和对偶向量丛上作用于密度的算子的理论。特别是，我们有一个关于算子的陈述，可以被看作是Mackenzie-Xu正则双同态的量子化。另一个有趣的特点是，我们能够引入一个分级，而不是过滤，对我们的代数算子。当算子作用于向量丛上的对象时，我们得到一个双分次。
Cumulants, Koszul brackets and homological perturbation theory for commutative $BV_\infty$ and $IBL_\infty$ algebras
我们探讨了累积量和Koszul括号的经典结构之间的关系，表明前者是后者的指数版本。此外，在一些额外的技术假设下，我们证明了这两种结构是兼容的标准同调扰动理论在适当的意义。作为这些结果的应用，我们基于对称化张量技巧和标准扰动引理，象通常证明$A_\infty$代数的方法一样，对$L_\infty$和$IBL_\infty$代数的同伦转移定理给出了新的证明.此外，我们证明了交换$BV_\infty$代数在Kravchenko意义下的同伦转移定理，这似乎是新的。在此基础上，我们引入了交换$BV_\infty$代数之间态射的一个新定义。
Poisson brackets of even symplectic forms on the algebra of differential forms
给定流形上的辛形式和伪黎曼度量，定义了微分形式代数上的非退化偶Poisson括号，并研究了它的性质。建立了与Koszul-Schouten括号的比较。
Algebraic theories of brackets and related (co)homologies
给出了交换代数上模范畴中Frolicher-Nijenhuis括号和Schouten-Nijenhuis括号的一般理论.一些相关的结构和（共）同调不变量进行了讨论，以及应用几何。
Weakly nonlocal Poisson brackets: tools, examples, computations
在Maple、Reduce和Mathematica三个不同的计算机代数系统上实现了弱非局部Hamilton算子Schouten括号的计算算法。这类Hamilton算子包含了几乎所有来自（1+1）-可积发展偏微分方程理论的例子
Divergences as a grading of the formal variational calculus
证明了域论泊松括号的新公式自然地产生于形式变分法的发散推广。局部泛函、演化向量场、泛函形式、多向量和微分算子的线性空间在发散性方面是分等级的。向量场对泛函的作用、向量场的交换子、形式与向量的内积以及Schouten-Nijenhuis括号等双线性运算都与分次相容。给出了伴随分次算子的定义，并利用边界项构造了反对称算子。新的泊松括号的雅可比恒等式的实现被证明是等价于消失的Schouten-Nijenhuis括号的泊松双向量本身。作为一个例子，它表明，第二结构的Korteweg-de Vries方程是不是哈密顿的新括号，直到特殊的边界条件规定。
The Lie Transform Method for perturbations of contravariant antisymmetric tensor fields and its applications to Hamiltonian dynamics
借助于反变反对称张量场的Schouten演算，我们应用Lie变换方法研究了张量场的光滑变形，特别是由Poisson括号的变形产生的Hamilton系统的扰动.利用Karasev和Vorobiev关于泊松上同调计算的结果，我们描述了李变换的无穷小生成元。我们给出了六维李余代数上的扰动欧拉方程和配有狄拉克括号的泊松流形上的哈密顿系统的应用。
Constraints in Hamiltonian time-dependent mechanics
在哈密顿含时力学中，泊松括号不定义动力学方程，这意味着描述含时完整约束的相应特性。在保守力学中，可以考虑约束的泊松括号，将它们分离为第一类和第二类约束，构造Koszul-Tate解和BRST复形。然而，约束的泊松括号和哈密顿量是没有意义的。第一类约束的哈密顿向量场不是规范变换的生成元。在拉格朗日约束的情况下，我们状态的拉格朗日方程的几乎正则拉格朗日方程的解和相关的哈密顿形式，它生活在拉格朗日约束空间中的汉密尔顿方程的解之间的全面关系。详细研究了退化二次拉格朗日系统。我们构造了这些系统的拉格朗日约束的Koszul-Tate决议的显式形式。
On compatible linear and quadratic Poisson brackets on $gl(N)$
本文利用$sl(N)\otimes sl(N)$上的常张量及Poisson双向量技术，显式构造了与标准Lie-Poisson括号相容的二次Poisson括号，并探讨了其与广义经典Sklyanin代数的关系。
Universal Lie Formulas for Higher Antibrackets
证明了交换超代数上线性算子$Δ$的高阶反括号（又称高阶Koszul括号，又称Koszul括号）的谱系可由包含迭代Nijenhuis-Richardson括号的泛公式定义，迭代Nijenhuis-Richardson括号以$Δ$为自变量，乘法算子为自变量.作为一个副产品，我们可以立即扩大高反括号的非交换代数的方式保持有效性的广义雅可比恒等式。
Variational Poisson-Nijenhuis structures for partial differential equations
我们探讨了非线性偏微分方程的变分Poisson-Nijenhuis结构，并建立了初始方程上的Schouten括号和Nijenhuis括号与其自然扩张（覆盖）上对称性的李括号之间的关系.这种方法允许构建一个框架的非局部结构的理论。
The right-hand side of the Jacobi identity: to be naught or not to be?
局部泛函的迭代变化的几何方法[1312.1262]-例如，的（主）行动功能-导致扩展的变形量化技术的设置泊松模型的场论[IHES/M/15/13]。它还允许严格的证明（[1312.1262]，[1210.0726]）之间的主要相互关系Batalin-Vilkovisky（BV）拉普拉斯$Δ$和变分Schouten括号。这些关系的特殊使用是BV-形式主义在规范系统量子化中的一个已知的分析困难;现在实现了，证明实际上不需要分级交换性的假设[1210.0726]。在我们以前的工作中解释，几何的自我正则化是由Gel'fand的微积分奇异线性积分算子支持的对角线。我们现在通过检查变分Schouten括号确实满足的分次Jacobi恒等式的有效性机制[1312.4140]来说明分析技术（因此$Δ^2=0$，即，BV-拉普拉斯算子是局部泛函代数中的微分作用）。通过两次使用一个三个变分多向量的元组，我们将迭代变分的新逻辑-当Jacobi恒等式的右手边完全消失时-与旧方法进行对比：交错其步骤和停止，它可以产生一些非零的代表顶级水平上同调中的平凡类。但是，我们然后显示一次由一个小学反例，为什么在框架的旧方法，不依赖于凝胶'fand的演算，BV-拉普拉斯算子未能成为一个分级衍生的变Schouten括号。关键词：变分多向量，Schouten括号，Jacobi恒等式，Batalin-Vilkovisky La…
A Darboux theorem for Hamiltonian operators in the formal calculus of variations
我们证明了一个达布定理的形式变形的哈密顿算子的流体动力型（Dubrovin-Novikov）。不是所有的变形都等价于原来的操作符：有一个模2栈的范式。本文利用了三个主要概念：1）集中在[-1，\infty）度上的dg李代数，如Schouten代数，它们为描述变形问题提供了一种方便的语言; 2）与这样的dg李代数相联系的Deligne 2-广群，它表示形式变形的模;（3）形式变分法中Schouten括号的一个改进版本，由于V.O. Soloviev（hep-th/9305133）。
Higher Poisson Brackets and Differential Forms
我们展示了泊松括号和辛形式之间的关系如何可以扩展到非齐次多向量场和非齐次微分形式（或伪微分形式）的情况。特别是，我们到达一个概念，这是一个推广的辛结构，并产生更高的泊松括号。我们还获得了建设Koszul型括号在此设置。
Exterior Differentials in Superspace and Poisson Brackets
它表明，两个定义的外微分在超空间中，给出相同的外部演算，但导致不同的结果时，适用于泊松括号。借助这些外微分，给出了从给定的确定格拉斯曼宇称的泊松括号到另一个括号的过渡的处方。它还表明，由此产生的括号导致推广的Schouten-Nijenhuis括号的情况下，超空间和括号的不同格拉斯曼宇称。它表明，在格拉斯曼奇外部微分的情况下，所产生的括号是括号上给出的外部形式。上面提到的过渡与应用到线性偶/奇泊松括号的奇外微分的使用，对应于半单李群，结果，分别在也是线性奇/偶括号自然连接的李超代数。后者包含BRST和反BRST电荷，可用于计算BRST算子上同调。
Lifting a Weak Poisson Bracket to the Algebra of Forms
我们详细的建设弱泊松括号上的一个光滑流形M的子流形关于这个子流形的局部叶状。这样一个括号满足一个弱型Jacobi恒等式，但可以看作是叶理的叶空间上的一个普通泊松括号。然后我们将这个弱Poisson括号提升为奇切丛上的弱奇Poisson括号，解释为M上微分形式上的弱Koszul括号。这种提升是通过将弱泊松结构编码为扩展流形上的同伦泊松结构，并提升生成此结构的哈密顿函数来实现的。这种结构有直接的物理解释。对于一般的规范系统，子流形可以被看作是一个静止曲面或约束曲面，其叶理由规范轨道的叶理给出。通过这种解释，弱泊松结构的提升仅仅是产生系统的相应BRST算子的作用的提升。
From 2-covariant tensor fields to Poisson and Jacobi structures
提出统一框架，通过2-协变张量诱导的Poisson和Jacobi结构，用曲率和外微分给出Schouten-Nijenhuis括号公式，并恢复经典几何中的括号。
How to quantize the antibracket
Poisson李代数变形（类）的唯一性早已被人们所接受。实际上，它是错误的，因为它的有效性取决于生成泊松李代数Po（2n）的函数类：它对多项式是真的，但对洛朗多项式是假的。我们证明了与李超代数Po（2n）不同，|m），它的商模中心，李超代数H（2n| m）具有特殊的额外变形|m）=（2| 2）且仅限于此超维。我们将这个结果与反括号（也称为Schouten或Buttin括号）变形的完整描述联系起来。泊松代数在福克空间中的变形（量子化的结果）的表示与对易关系的李代数作用的最简单的空间一致。这种重合对于李超代数来说是不必要的
Hamiltonian structures for integrable nonabelian difference equations
在本文中，我们广泛地研究了非交换微分差分系统的Hamilton结构的概念，探索不同的代数（双Poisson代数和顶点代数）和几何（非交换Poisson双向量）定义之间的联系。我们引入了乘性双Poisson顶点代数（PVAs）作为乘性PVAs的合适的非交换对应，用来描述交换条件下的Hamilton微分差分方程，并证明了这些代数与由差分算子定义的Poisson结构一一对应，为Jacobi恒等式的成立提供了充分条件.此外，我们定义了非交换多向量场和它们的Schouten括号，对于非交换生成的非交换代数和无限生成的差代数：这使我们能够提供一个统一的表征泊松双向量和双拟泊松代数结构。最后，作为应用，我们得到了局部标量Hamilton差分结构的分类结果，并构造了非交换Kaup，Ablowitz-Ladik和Chen-Lee-Liu可积格的Hamilton结构.
Deformed graded Poisson structures, Generalized Geometry and Supergravity
近年来，超引力、弦有效作用量和广义几何之间的密切联系被发现，通常涉及几何结构的加倍。我们从梯度几何的角度研究了这种关系，引入了一种基于梯度泊松结构变形的方法，并导出了相应的重力作用。我们认为特别是自然变形的$2$ -分级辛流形$T^{*}[2]T[1]M$是基于一个度量$g$，一个封闭的Neveu-Schwarz $3$ -形式$H$（本地表示的Kalb-Ramond 2-形式$B$）和一个标量的$ϕ$。派生的括号形式主义涉及到这个结构的广义微分几何的柯朗代数体，它有适当的弦对称，并产生一个连接与非平凡的曲率和扭转的广义“双重”切丛$E \cong TM \oplus T^{*}M$。借助于$E$的自然非各向同性分裂，我们将其投影到$TM$上，得到了一个在10维中再现NS-NS超引力扇区的联络和曲率不变量.进一步的结果包括一个完全广义Dorfman括号，广义李括号和新的公式的挠和曲率张量广义切丛。一个副产品是一个独特的Koszul型公式的扭曲连接自然地与非对称度量，解决了模糊性问题和不一致的传统方法的非对称引力理论。
Microformal geometry and homotopy algebras
我们通过引入微形式或“厚”态射的概念来扩展（超）流形及其光滑映射的范畴。它们是一种特殊形式的正式规范关系，借助余切方向上的正式幂展开式构建。其结果是一个形式范畴，使得其合成律也由形式幂级数指定。微形式态射通过拉回操作作用于函数，这通常是一个非线性变换。更确切地说，它是偶函数（玻色子场）的形式流形的形式映射，它具有这样的性质：它对每个函数的导数是环同态。这表明了一个抽象的概念“非线性代数同态”和相应的扩展经典的“代数功能”的对偶。有一个平行的费米子版本。所得到的形式主义提供了一个一般的构造$L_{\infty}$ -态射同伦泊松（$P_{\infty}$ -）或同伦Schouten（$S_{\infty}$ -）流形上的函数作为拉回泊松微形式态射。我们还表明，伴随的概念可以推广到非线性算子的微形式态射。通过将其应用于$L_{\infty}$ -代数胚，我们证明了$L_{\infty}$ -代数胚的$L_{\infty}$ -态射诱导了对偶向量丛上函数的“同伦Lie-Poisson”括号的$L_{\infty}$ -态射。我们将这种建设高Koszul括号的微分形式和三角$L_{\infty}$ -bialgebroids。我们还开发了一个量子版本（玻色子的情况下），其与经典版本的关系是一样的薛定谔方程与汉密尔顿-雅可比方程。我们证明了微形式态射的非线性拉回是某些“量子拉回”在$\hba…
Noncommutative Poisson vertex algebras and Courant-Dorfman algebras
本文提出双 Courant-Dorfman 代数，证明其 Kontsevich-Rosenberg 性质及与双 Poisson 顶点代数的一一对应，并建立非交换微分演算。
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