New solutions of Heun general equation
我们表明，在四个特殊的情况下，Heun一般方程的解的导数可以表示为另一个Heun方程的解。从这一性质出发，我们利用高斯超几何函数构造了Heun方程的级数解。每一个涉及的超几何函数只有在方程的一个奇点处才有正确的奇异行为;然而，其和却有正确的行为。
2009-09-09 math-ph math.MP
Transformations of Heun's equation and its integral relations
我们发现变换的变量保持的形式的方程的核心之间的积分关系的解决方案的Heun方程。这些变换导致Heun方程的新核，由单个超几何函数（Lambe-Ward型核）和两个超几何函数（Erdélyi型）的乘积给出。这样的核，通过一个限制过程，也提供了新的核的合流Heun方程。
2011-01-26 math-ph math.MP
Expansions of the solutions of the confluent Heun equation in terms of the incomplete Beta and the Appell generalized hypergeometric functions
利用第一类二元不不完全β函数和Appell广义超几何函数构造了合流Heun方程解的几种展开式.不同展开式的系数服从四项、五项或六项递归关系，这些递归关系仅在少数例外情况下被简化为涉及较少项的关系。讨论了通过级数的终止获得有限和解的条件。
2015-04-18 math-ph math.CA math.MP
Physical Problems Admitting Heun-to-Hypergeometric Reduction
Heun方程及其四个正则奇点出现在许多科学应用中。尽管科学界的兴趣越来越大，但文献在这个方程的概念数学方面存在许多空白。此外，为非数学家翻译数学语言，使当代思想应用于物理研究也没有得到很好的发展。本文针对量子力学中的四个问题，详细研究了Maier的Heun到超几何约化情形：（1）三维球上库仑问题的薛定谔方程，（2）引力平方反比势问题中的s波束缚态方程，（3）离散时间量子行走的极限密度函数方程，（4）在磁场和库仑力作用下的带电粒子。所有这些问题在其数学公式中产生了Heun方程。附录中给出了一个计算Heun恒等式的Sage码。
2015-12-19 math-ph math.MP quant-ph
New solutions to the confluent Heun equation and quasiexact solvability
我们构造了合流Heun方程（CHE）的合流超几何函数级数的新解。其中一些解被应用到一维定常薛定谔方程的双曲和三角拟精确可解的潜力。
2013-11-29 math-ph math.MP
Heun functions and diagonals of rational functions (unabridged version)
我们提供了一组对角线的简单的合理的功能，三个和四个变量的平方Heun功能。这些Heun函数通过创造性的伸缩得到，原来是拉回的$_2F_1$超几何函数，实际上是经典的模形式。我们还得到了Heun函数，这是Shimura曲线作为有理函数的解。
2019-10-23 math-ph math.MP
Solutions of Heun's general equation and elliptic Darboux equation
椭圆型达布方程的新解作为Heun的一般方程的解的特殊情况。考虑了高斯超几何函数级数的两组幂级数展开式和两组新的展开式。利用无穷级数的比检验法确定幂级数中一个群的收敛性，而另一个群则用来解决有有限级数解的问题。实际上，我们设想了周期性的准精确可解势，对于这种势，定常的一维薛定谔方程被简化为达布方程。在一般情况下，有限和无穷级数的解决方案，从幂级数展开Heun方程。然而，我们表明，薛定谔方程承认额外的有限级数展开的超几何函数的家庭相关联的Lamé潜力中使用的固体能带理论。对于每一个有限级数的解决方案，我们发现以及四个无穷级数的扩展是有界的，收敛的所有值的独立变量。最后，我们发现，它是可能的，以产生新的解决方案，达布方程的其他扩展系列的超几何函数Heun方程的变量的变换。
2021-05-08 math-ph math.MP
On Certain Solutions for Confluent and Double-Confluent Heun Equations
本文研究了合流和双合流Heun方程的一些解。首先，我们回顾了合流方程的正则和非正则合流超几何函数级数的两个Leaver解，并引入了非正则合流超几何函数级数的一个附加展开式。然后，我们找到的条件下，这些解决方案之一，可以写为一个线性组合的其他。其次，通过极限方法，我们给出了双汇流方程的解以及汇流方程和双汇流方程的特殊极限。最后，我们提出的问题，这是由这四个方程，并建立Heun方程和拟精确可解问题之间的关系。
2011-01-26 math-ph math.MP
New indefinite integrals of Heun functions
本文给出了一系列由一般齐次线性常微分方程的拉格朗日公式得到的涉及Heun函数及其乘积的不定积分。作为副产品，我们还得到新的不定积分涉及高斯超几何函数和产品的超几何函数与椭圆函数的第一类。我们得到的所有积分都不能用Maple和Mathematica计算。
2018-07-20 gr-qc math-ph math.CA
Tridiagonalization and the Heun equation
证明了超几何算子$L$的三对角化可得到一般Heun算子$M$ .由算子$L,M$和$Z=[L,M]$生成的代数是二次的，是Racah代数的单参数推广。引入新的Rachah-Heun正交多项式作为算子$L$和$M$的本征函数之间的重叠系数。讨论了$su(1,1)$代数的Racah问题和超可积系统中的分离变量问题。
2016-02-15 math-ph math.MP
Potentials of the Heun class
本文综述了各种产生势的方法，将一维薛定谔方程（ODSE）转化为超几何方程。我们将我们的结果与以前的研究进行比较，并补充了新的发现。我们的主要结果是得到新的类的潜力，使ODSE可以转化为Heun方程及其合流情况。广义Heun方程也被考虑。
2012-12-03 hep-ph math-ph math.MP
Dutt-Khare-Varshni Potential and Its Quantized-by-Heun-Polynomials SUSY Partners as Nontrivial Examples of Solvable Potentials Explicitly Expressible in Terms of Elementary Functions
本文详细分析了正则高斯参考势的“双根切多项式”（DRtTP）约化，并证明了超几何函数的精确可解性。它示出的Dutt-Khare-Varshni（DKV）的潜力代表一个显着的特殊情况下，DRtTP r-GRef变得可表达的初等函数。这也适用于其基本的单步或双步超对称性伙伴，这些伙伴可以精确或有条件地精确量化Heun多项式（分别为Hp EQ或Hp CEQ）。
2015-08-11 math-ph math.MP
Generalized spheroidal wave equation and limiting cases
我们发现套解决方案的广义椭球波方程（GSWE），或等价地，合流Heun方程。每个集合由三个解构成，一个解由自变量的一系列升幂给出，另一个解由一系列规则和不规则合流超几何函数给出。对于一个固定的集合，解在复平面的不同区域收敛，但呈现彼此成比例的级数系数。GSWE的这些解提供了一个双汇流Heun方程的解，由于Leaver的取极限过程。另一个程序，称为Whittaker-Ince限制，提供了解决方案，在一系列的权力和贝塞尔函数的其他两个方程与不同类型的奇点在无穷远。此外，通过将Whittaker-Hill方程和Mathieu方程视为合流Heun方程和双合流Heun方程的特殊情况，得到了它们的新解。特别是，我们发现，每个Lindmann-Stieltjes解决方案的Mathieu方程是与两个扩展系列的贝塞尔函数。我们还讨论了GSWE的一组超几何函数和合流超几何函数的级数解，并利用它们的Leaver极限得到了具有非对称双Morse势的薛定谔方程的无穷级数解.最后，简要地讨论了将GSWE的解推广到一般Heun方程的可能性。
2006-12-12 math-ph math.MP
Confluent Heun functions and the Coulomb problem for spin 1/2 particle in Minkowski space
本文从Heun函数理论的可能应用出发，研究了自旋为1/2的粒子在外库仑势作用下的量子力学问题，将其归结为两个一阶微分方程组。结果表明，除了用合流超几何函数（G. Darvin和W. Gordon），存在依赖于应用汇合Heun函数的可能的若干其他可能性。也就是说，在本文中阐述了两种组合的可能性来构造解决方案：第一种适用于当一个方程的相关函数对表示通过超几何函数，和另一个构造的合流Heun函数。在这方面，建立了两类函数之间的某些关系。结果表明，这两个功能的系统可以表示在合流Heun功能。所有研究这个问题的方法都使我们得到一个单一的能谱，这表明它们的正确性。
2014-10-30 math-ph math.MP quant-ph
The integral formalism and the generating function of grand confluent hypergeometric function
双合流Heun（BCH）函数是Heun函数的合流形式，是大合流超几何（GCH）函数的特例：它在x=0处有一个正则奇点，在无穷远处有一个秩为2的不规则奇点。本文应用三项递推公式（3TRF）[arXiv：1303.0806]，给出了包含A_n的所有高阶项的GCH函数的积分形式和使B_n项终止的GCH多项式的母函数。给出了如何将GCH方程封闭形式的幂级数展开解析地转化为积分表示。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章的第10篇。请参阅第6节中的所有论文系列。本文的前一篇文章描述了GCH方程的闭形式幂级数展开及其渐近性态。【arXiv：1303.0813】
2014-11-05 math-ph math.MP
New relations for the derivative of the confluent Heun function
的情况下，当方程的衍生物的合流Heun函数只有三个奇点（在一般情况下，方程有四个这样的点）进行检查。研究表明，这种情况仅发生在三种特定情况下。此外，它表明，在所有这三种情况下，该方程是减少到一些合流Heun方程与改变参数。这意味着在这些情况下，合流Heun函数的导数通过其他合流Heun函数表示。对所得关系的分析表明，它们可以用于对所涉及的参数的特定值的合流Heun方程的一些精确解的构造。这种情况下的几个例子，并为所有的情况下，最终的解决方案，更简单的特殊功能明确提出。此外，还证明了在上述三种情况下，解都可以用Goursat或Clausen的广义超几何函数展开.
2014-02-06 math-ph math.MP
Orthogonal Polynomials, Asymptotics and Heun Equations
Painlevé方程源于对矩矩阵生成的Hankel行列式的研究，矩矩阵的权重表示为"经典”权重乘以适当的"变形因子”的乘积，通常取决于"时间变量“$t$。从梯形算子中可以得到系数为有理函数的正交多项式的二阶线性常微分方程。Painlevé和相关的功能出现作为这些合理的功能的残留物。我们将感兴趣的情况下，当$n$，汉克尔矩阵的阶数和多项式$P_n(x)$的次数正交于变形的权重，变大。证明了当$n$较大时，$P_n(x)$满足的二阶线性微分方程是Heun方程的特例.在某种意义上，由变形权生成的一元正交多项式是各种Heun方程的解. Heun方程在数学物理中具有重要意义，在特殊情况下，Heun方程退化为超几何和汇合型超几何方程。在本文中，我们看看三种类型的权重：Jacobi型，这是支持$(0,1]$的Laguerre型和变形的$(a,b)$ $χ_{(a,b)}$和阶跃函数$θ(x)$的指示函数的权重。
2019-05-13 math-ph math.CA math.MP
Expansions of the solutions of the general Heun equation in terms of the incomplete Beta functions
应用基于导数方程的方法，我们构造了一般Heun方程解的几种不完全Beta函数展开式.给出了第一类二元Appell广义超几何函数的几种展开式。所构造的展开式适用于所涉及的参数的任意集合。展开式的系数服从四项、五项或六项递推关系。然而，存在几组参数，其递归关系涉及较少的项，不一定是连续的。讨论了通过级数的终止获得有限和解的条件。
2017-03-23 math-ph math.MP
Series Solutions of the Non-Stationary Heun Equation
我们考虑非定常Heun方程，也称为量子Painlevé VI，它出现在量子可积模型和共形场论的不同著作中。我们使用一个广义的核函数身份转换的问题，以解决这个方程成一个微分差分方程，正如我们所示，可以解决有效的递归算法。因此，我们得到一系列表示的解决方案，提供椭圆推广的雅可比多项式。这些系列重现，在极限情况下，由于竹村的Heun方程的微扰解，但我们的方法是不同的，因为我们扩大在非常规的基函数，使我们能够获得明确的公式，所有订单;特别是，对于特殊的参数值，我们的系列减少到一个单一的术语。
2018-02-16 math-ph math.MP
Ince's limits for confluent and double-confluent Heun equations
我们找到了一个微分方程的解对，该微分方程是作为广义球面波方程（也称为合流Heun方程）的一个特殊极限而获得的。每对中的一个解由一系列超几何函数给出，并且对于自变量$z$的任何有限值收敛，而另一个解由一系列修改的贝塞尔函数给出，并且对于$|z|>|z_{0}|$收敛，其中$z_{0}$表示正则奇点。简而言之，前面的极限被称为Ince极限，因为Ince使用相同的程序从Whittaker-Hill方程得到Mathieu方程。我们还发现，当$z_{0}$趋于零时，广义球面波动方程的Ince极限也是双汇流Heun方程的Ince极限，并给出了其解.最后，我们表明，薛定谔方程的反四次和六次幂的潜力减少到特殊情况下的双合流Heun方程和Ince的极限，分别。
2005-09-08 math-ph math.MP
Asymptotic behavior of Heun function and its integral formalism
The Heun function generalizes all well-known special functions such as Spheroidal Wave, Lame, Mathieu, and hypergeometric functions. Heun functions are applicable to diverse areas such as theory of black holes , lattice systems in statistical mechanics , solution of the Schrodinger equation of quantum mechanics , and addition of three quantum spins. In this paper, applying three term recurrence formula, I consider asymptotic behaviors of Heun function and its integral formalism including all higher terms of A_n's. I will show how the power series expansion of Heun functions can be converted to…
2015-06-27 math-ph math.CA math.MP
Series solutions of confluent Heun equations in terms of incomplete Gamma-functions
本文提出了一种构造有理系数常微分方程解的展开式的简单系统算法，该算法用具有不定积分表示的数学函数表示。该方法采用了一个辅助方程，只涉及所考虑的方程的解的导数。利用这个辅助方程解的幂级数展开式，我们构造了四个合流Heun方程解的不完全Gamma函数展开式。在单汇流和双汇流Heun方程的情况下，展开式的系数服从四项递归关系，而对于双汇流和三汇流Heun方程，递归关系一般涉及五项。展开系数服从涉及更多项的递归关系的其他展开也是可能的。当这些关系减少到涉及较少数量的条款的特定情况下确定。讨论了通过所构造的级数的右端终止得到封闭形式有限和解的条件。
2014-12-01 math-ph math.MP
Modular forms, Schwarzian conditions, and symmetries of differential equations in physics
我们给出了无限阶有理变换的例子，使线性微分方程协变。这些例子是重整化群的精确表示的非平凡但足够简单的说明。我们首先说明协方差性质的二阶线性微分算子与身份有关的相同的$_2F_1$超几何函数不同的合理拉回。我们提供了两个新的和更一般的结果，以前的协方差有理函数：一个新的Heun函数的例子和更高的亏格$_2F_1$超几何函数的例子。然后，我们专注于同一超几何函数的身份与两个不同的代数拉回变换：这种显着的身份对应的模块化形式，代数变换的解决方案的另一个微分代数Schwarzian方程出现在一份文件中的Casale。此外，我们表明，第一个微分代数方程可以被看作是一个子情况下的最后施瓦茨微分条件，相应的限制，一些相关的二阶线性微分算子的因式分解条件。最后，我们还探讨了这些结果的推广，例如，$_3F_2$，超几何函数，并表明，一个只是减少到以前的$_2F_1$情况下，通过克劳森身份。在$_2F_1$超几何框架中，施瓦茨条件包含了椭圆曲线理论的所有模形式和模方程，但这两个条件实际上比椭圆曲线或$_2F_1$超几何函数更丰富，正如Heun和更高亏格的例子所示。这项工作是一个强有力的激励，以发展更多的微分代数对称性分析在物理学中。
2017-03-27 math-ph math.MP
Perturbative connection formulas for Heun equations
线性常微分方程在不同Fuchsian奇点处的Frobenius解的联系公式可以用相应幂级数的高阶渐近性表示。我们证明了，对于通常的，汇合和减少汇合Heun方程，级数展开的相关渐近振幅在一个合适的参数可以系统地计算到任意阶。这允许检查最近的猜想Bonelli-Iossa-Panea Lichtig-Tanzini表示Heun连接矩阵的准经典Virasoro共形块。
2022-10-17 math-ph math.MP
The analytic solution for the power series expansion of Heun function
Heun函数推广了所有著名的特殊函数，如球面波、Lame、Mathieu和超几何_2F_1、_1F_1和_0F_1函数。Heun函数适用于不同的领域，如黑洞理论，统计力学中的晶格系统，量子力学中薛定谔方程的解，以及三个量子自旋的添加。本文将应用三项递推公式（Choun，Y.S.，arXiv：1303.0806.，2013）推广到Heun函数（无穷级数和多项式）的封闭形式的幂级数展开，其中包含A_n的所有高阶项。第三部分是对Heun函数幂级数展开式在一篇论文中的应用的分析。（R.S. Maier，Math.Comp.33，2007）由于篇幅限制，192个Heun函数的最终方程未包含在本文中，但请随时与我联系以获得最终解决方案。第四节给出了Heun函数幂级数展开式的两个应用实例。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇中的第3篇。请参阅第5节中的所有论文系列。本文讨论了三项递推公式（3TRF）。下一篇文章在该系列描述积分形式的Heun函数及其渐近行为的分析。
2014-11-04 math-ph math.CA math.MP
A limit of the confluent Heun equation and the Schroedinger equation for an inverted potential and for an electric dipole
本文重新研究并推广了一组Bessel函数级数的极限情形下的Heun方程的解，然后将这些解应用于具有反拟精确可解势的一维薛定谔方程以及点电偶极子场中电子的角度方程.对于第一个问题，我们发现有限和无限级数的解决方案是收敛和有界的任何值的独立变量。对于角方程，我们还发现了雅可比多项式级数的展开式。
2009-06-23 math-ph math.MP
Confluent and Double-Confluent Heun Equations: Convergence of Solutions in Series of Coulomb Wavefunctions
用双边无穷级数，即求和指数$n$从负无穷到正无穷的级数，给出了合流Heun方程（CHE）的库仑波函数级数的Leaver解[E. W. Leaver，J.Math.Phys.27，1238（1986）]。首先，我们表明，在相反的D 'Alembert测试，在一定条件下的Raabe测试确保这些解决方案的收敛域包括一个额外的奇点。利用Leaver提出的一个极限，得到了双汇流Heun方程（DCHE）的解.此外，我们得到所谓的Whittaker-Ince极限的CHE和DCHE的解决方案。对于这四个方程，通过变量的变换产生新的解。其次，对于上述方程中的每一个，我们通过在左侧截断双侧级数来获得单侧级数解（$n\geq 0$）。最后讨论了两种宇宙学模型中Klein-Gordon方程的时间依赖性和薛定谔方程对一族拟精确可解势的空间依赖性。对于这些势的一个子族，我们得到了无穷级数解，这些解对自变量的所有值都是有界的，这与一个共同的信念相反。
2015-03-07 math-ph math.MP
Potentials of the Heun class: the triconfluent case
自从量子力学出现以来，人们成功地开发了不同的方法来寻找薛定谔方程的解析解。在这里，我们遵循并推广了Natanzon和其他人开创的方法，通过该方法，薛定谔方程可以转换为另一个众所周知的超越函数方程（例如，超几何方程）。这就设置了一个可以进行这种变换的势类。我们的推广包括在寻找潜在的允许转换的薛定谔方程到一个triconfluent Heun方程。我们发现这类潜在的能量本征值，本征函数和确切的超伙伴。
2014-12-11 math-ph math.CA math.MP
Integral relations and new solutions to the double-confluent Heun equation
利用积分关系和变换法则，从一个渐近解中得到了双汇流Heun方程的一组新的四对解。每一对都有相同的级数系数，但在复平面的不同区域有收敛的解。建立了库仑波函数级数解之间的积分关系。Whittaker-Hill方程和另一个方程作为双汇流Heun方程和单汇流Heun方程的特例进行了研究。最后讨论了具有某些势的薛定谔方程的应用，主要是对导致上述特殊方程的拟精确可解势的应用.
2004-02-25 math-ph math.MP
Solutions for the General, Confluent and Biconfluent Heun equations and their connection with Abel equations
在最近的一篇论文中，一个新的多参数类阿贝尔微分方程，所谓的AIR，其所有成员都可以映射到Riccati方程，被证明是与超几何2F 1，1F 1和0 F1函数的微分方程的标准型。本文给出了AIR标准形与Heun广义（GHE）、合流（CHE）和双合流（BHE）方程之间的联系。这种连接固定的Heun参数之一的值，表示另一个在那些剩余的条款，并提供封闭形式的解决方案，在pFq功能的GHE，CHE和BHE，分别取决于四个，三个和两个不可约的参数。这种联系也变得明显的Heun参数之间的关系，使解决方案承认Liouvillian形式，并建议通过规范形式的一个非线性方程的一个机制，与N和N-1奇点的线性方程少。
2004-07-25 math-ph math.MP
Integral relations for solutions of confluent Heun equations
首先，我们构造了合流Heun方程（CHE）解与其极限之间的积分关系核，即约化CHE（RCHE）。在这两种情况下，我们通过系统地应用变量替换来生成额外的内核。其次，我们建立积分关系的已知解决方案的CHE是幂级数和解决方案是一系列的特殊功能;同样的解决方案的RCHE。第三，利用其中一个积分关系式作为积分变换，得到了球面波方程的一个新的级数解。从这个解出发，我们构造了广义CHE的新解，并证明了这些新解适用于求解量子力学中双中心问题的径向部分。最后，通过对CHE的核进行极限处理，得到了{2}个双汇流Heun方程的核。因此，我们处理Heun家族四个方程的核，每个方程都呈现出不同的奇异结构。此外，我们发现已知的Mathieu方程的核是RCHE核的特殊情况。
2015-03-02 math-ph math.MP
Expansions of the solutions of the biconfluent Heun equation in terms of incomplete Beta and Gamma functions
从包含双汇流Heun函数的一阶或二阶导数的函数所服从的方程出发，构造了双汇流Heun方程的解关于不完全Beta函数的两种展开式.第一个系列应用单个Beta函数作为展开函数，而第二个系列涉及两个Beta函数的组合。展开系数分别服从四项和五项递推关系。结果表明，所提出的技术是有效的，以产生其他特殊功能的级数解。给出了两个用不完全Gamma函数展开的例子
2016-07-31 math-ph math.MP
Computations of general Heun functions from their integral series representations
我们提出了一个数值实现最近开发的一般Heun函数的积分级数的无条件收敛表示。我们生成了两个Python代码可供下载，其中一个专门用于重现Mathematica的HeunG函数的输出。我们表明，目前的代码相比毫不逊色Mathematica的HeunG和与Octave/Matlab代码的Motygin，特别是当Heun函数是在大量的点，如果不太准确是足够的评估。我们建议进一步提高有关的准确性和讨论的奇异性问题。
2021-07-22 cs.NA math-ph math.MP
Schrödinger equation for two quasi-exactly solvable potentials
我们将Heun一般方程的解应用于具有两个依赖于实参数$\ell$的拟精确可解椭圆型势的定常薛定谔方程.除了$\ell=-1,-2,-3,-4$以外，当$\ell$是整数时，我们得到Heun方程的有限级数解.如果$\ell\neq-5/2$是半个奇整数，我们得到了用超几何函数表示的有限级数。拟精确可解性由有限级数解表示。然而，对于任何值的$\ell$，我们发现无穷级数的特征函数是收敛的和有界的所有值的独立变量。
2022-12-18 math-ph math.MP
Series solutions of Heun-type equation in terms of orthogonal polynomials
引入一个九参数Heun型微分方程，得到了它的三类解，它们是用雅可比多项式表示的平方可积〔的〕函数的级数。级数的展开系数满足三项递推关系，可采用连续和/或离散谱的正交多项式求解。其中一些是众所周知的多项式，而另一些则是已知多项式的新版本或修改版本。
2018-06-12 math-ph math.CA math.MP
Elementary Integral Series for Heun Functions. With an Application to Black-Hole Perturbation Theory
Heun微分方程是最一般的具有四个正则奇点的二阶Fuchsian方程。显式积分级数表示的Heun函数只涉及初等被积函数迄今为止是未知的，并指出作为一个重要的公开问题，在最近的审查。我们提供显式积分表示的Heun类的所有方程的解决方案：一般，合流，双合流，双合流和triconfluent，与积分只涉及有理函数和指数被积。所有系列都有具体的使用示例。这些结果源于技术的路径和，我们用它来评估的路径有序指数的变量矩阵选择专门产生Heun功能。我们证明了效用的积分系列的Teukolsky径向方程的解决方案的第一个代表性的度量扰动旋转黑洞，是收敛的地方从黑洞地平线到空间无穷大。
2020-10-08 gr-qc math-ph math.CA
Incomplete beta-function expansions of the solutions to the confluent Heun equation
构造了合流Heun方程的解关于不完全Beta函数的几种展开式。介绍了一种新的展开式，它涉及不完全Beta函数的某些组合作为展开函数。当导出的展开终止，从而产生封闭形式的解决方案的必要条件和充分条件，进行了讨论。它表明，终止的Beta函数系列的解决方案总是导致一个解决方案，这必然是一个初等函数。
2009-09-09 math-ph math.MP
The power series expansion of Mathieu function and its integral formalism
Mathieu常微分方程具有两个正则奇点和一个非正则奇点，属于Fuchsian型。而Fuchsian型Heun方程则具有四个正则奇点。Heun方程有四种汇合形式：（1）汇合Heun（两个正则奇点和一个非正则奇点），（2）双汇合Heun（两个非正则奇点），（3）双汇合Heun（一个正则奇点和一个非正则奇点），（4）三汇合Heun方程（一个非正则奇点）.从Confluent Heun方程出发，通过改变所有系数，导出了代数形式的Mathieu方程。本文将三项递推公式[arXiv：1303.0806]应用于Mathieu方程的幂级数展开式及其包含A_n的所有高阶项的无穷级数积分形式。从计算中得到的一个有趣的观察是，一个修正的贝塞尔函数在每一个子积分形式中递归：第一个子积分形式包含A_n的零项，第二个子积分形式包含A_n的一项，第三个子积分形式包含A_n的两项，等等。第五节是Mathieu函数的另外两个例子。本文是“特殊函数与三项递推公式（3TRF）”系列文章10篇中的第5篇。请参阅第6节中的所有论文系列。上一篇系列论文涉及Heun函数的渐近行为及其积分形式[arXiv：1303.0876]。该系列的下一篇论文描述了代数形式和积分形式的Lame方程的封闭形式的幂级数展开[arXiv：1303.0873]。
2014-11-05 math-ph math.CA math.MP
Heun Functions and Some of Their Applications in Physics
今天所知的大多数理论物理都是用少量的微分方程来描述的。对于线性系统，不同形式的超几何或合流超几何方程往往足以描述所研究的系统。这些方程具有连续系数之间具有简单关系的幂级数解和/或可以用简单的积分变换表示。如果问题是非线性的，人们通常使用潘勒韦方程的一种形式。然而，有一些重要的例子，其中一个必须使用高阶方程。Heun方程就是其中的一个例子，它是近年来在广义相对论和天体物理学中经常遇到的问题。它的特殊形式和汇合形式被命名为Mathieu，Lamé和Coulomb椭球方程。对于这些方程，每当写出幂级数解时，我们会在三个或四个不同的系数之间找到一个关系，而不是级数中系数之间的双向递归关系。使用更简单的函数的积分变换解也是不可获得的。这个方程在物理学和数学文献中的使用在后来的几年里爆炸式增长，与1889年引入这个方程到2008年的时间段相比，在过去十年中，这些解决方案的论文数量增加了一倍多。我们使用SCI数据来总结这一说法，这并不精确，但在正确的范围内。这里将介绍这个方程，并举例说明它的应用，特别是在广义相对论文献中的应用。
2018-08-07 gr-qc math-ph math.MP
Analytical connection between exact and approximate solutions of the periodically-driven two-level system starting from the Heun equation
Università degli Studi di Milano（米兰大学）；Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Milano（意大利国家核物理研究所，米兰分部）
通过将薛定谔方程映射到Heun方程，建立了线性驱动和旋转波近似下两能级系统精确解之间的解析联系，并利用超几何函数和连续分数展开恢复了Stark和Bloch-Siegert频移。
2026-07-02 math-ph math.MP quant-ph
Slowly Rotating Homogeneous Stars and the Heun Equation
哈特尔在1967年为描述缓慢旋转的物体而提出的方案，在1974年被应用到了Ehrasekhar和Miller的简单的等密度模型中。关键的方程之一，必须解决原来是一个Heun的方程。在简要地讨论了该方程和找到封闭形式解的可能性之后，给出了它的一个快速收敛的级数解。与数值解的完整爱因斯坦方程的比较允许一个截断系列在一个适当的顺序慢旋转近似。截断的解决方案，然后用于提供明确的表达式的度量。
2007-02-06 gr-qc math-ph math.MP
On polynomial solutions of Heun equation
利用最近发展起来的一种求解任意阶线性微分方程的方法，我们找到了Heun方程的一类多项式解。在确定多项式解之前，我们构造Heun方程的级数解。Heun方程通过增加一项$- \s/x$而扩展，也适合于多项式解。
2004-10-05 hep-th math-ph math.MP
A radial scalar product for Kerr quasinormal modes
King’s College London（伦敦国王学院）；Institute for High-Energy Physics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学高能物理研究所）
本文提出了一种用于Kerr准正模的径向标量积，用于研究其正交性和特征值性质，并首次证明了Teukolsky方程可精确三对角化。
2026-01-16 gr-qc math-ph math.MP
On regularization of the Heun functions
在本文中，我们考虑Heun函数，这是卡尔Heun在1889年推出的方程的解决方案。Heun函数是许多已知的特殊函数的推广，在现代物理学的许多领域中都有出现。函数的评价在[1]中描述。它是基于局部幂级数解附近的起源，由Frobenius方法，和解析延拓到整个复平面与分支切割。然而，当两个局部解中的一个应该包括对数项时，例外情况可能发生在方程的指数相关参数$γ$的整数值处。这也意味着当$γ$接近整数值时Heun函数的奇异行为。本文提出了一种正则化方法，并在$γ$的整数值附近重新定义Heun函数，新函数光滑地依赖于参数.
2020-10-18 cs.NA math-ph math.MP
Padé interpolation and hypergeometric series
提出了一类解可用超几何级数的行列式表示的Padé插值问题.
2015-03-07 math-ph math.CA math.MP
Novel representation of the general Heun's functions. Back to the beginning
基于广义Heun方程的对称形式，研究了其一类新的解。我们导出了该方程的对称群，它是Mobius群的适当推广。新的级数解同时且平等地处理所有奇点。
2014-09-30 gr-qc hep-th math-ph
The Heun equation and the Calogero-Moser-Sutherland system II: perturbation and algebraic solution
本文从三角模型出发，对$BC_1$ Inozemtsev模型应用摄动方法，证明了摄动的全纯性，从而证明了以形式幂级数表示的本征值和本征函数的收敛性。我们还研究了$L^2$空间与某些有限维椭圆函数空间之间的关系。
2004-02-05 math-ph math.CA math.MP
Novel representation of the general Heun's functions
本文介绍并研究了一般Heun方程的一类新的解。我们的方法是基于Heun的微分方程的对称形式所产生的发展的费利克斯克莱因对称形式的Fuchsian方程与任意数量的$N\geq 4$的定期奇点。我们导出了这些方程的对称群，它是Mobius群的适当推广。本文还介绍和研究了一般Heun微分方程（N=4）的对称形式的新的级数解，它同时且平等地对待所有奇点。希望这种新的形式将简化解决现有的开放问题的理论中的一般Heun的功能，并可用于发展新的有效的计算方法。
2014-09-16 astro-ph.HE gr-qc math-ph
Transformation formulas for bilinear sums of basic hypergeometric series
给出了基本超几何级数双线性和变换公式的一个主公式。它是由作者以前关于不同维数的$A$型基本超几何级数的Milne多元推广的一个变换公式的结果得到的，它可以看作是终止平衡${}_4 ϕ_3$级数的Whipple-Sears变换公式的推广.作为主公式的应用，给出了基本超几何级数双线性和的一些变换公式的一元情形。双线性变换公式在文献中似乎是新的，即使在一个变量的情况下。
2014-03-10 math-ph math.CA math.MP
Normalization Integrals of Orthogonal Heun Functions
本文提出一种基于微分方程极限过程的方法，利用局部幂级数解及其导数显式计算正交Heun函数的归一化积分，为构建标准正交基提供高效替代方案。
1997-07-14 cs.NA funct-an math-ph
