超越证明中的辅助函数
Auxiliary functions in transcendence proofs
摘要:
讨论了辅助函数在超越数理论发展中的作用。
英文摘要:
We discuss the role of auxiliary functions in the development of transcendental number theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Auxiliary functions in transcendence proofs
Michel Waldschmidt
讨论了辅助函数在超越数理论发展中的作用。
We discuss the role of auxiliary functions in the development of transcendental number theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
继续探索
A simple proof of the transcendence of the trigonometric functions
本文给出了三角函数在任意非零有理数处的值是超越数的一个简单证明。
The transcendence of $\mathrm{e}$ via formal power series
本文通过形式幂级数方法,回顾希尔伯特的经典分析证明,并提供两种证明e的超越性的方法,基于形式幂级数的代数方法。
A short proof of the transcendence of the Mahler number
我们提出了超越刘维尔数和马勒数的简短证明。第一个证明是已知的很长一段时间,第二个证明显然只出现在2002-2003年。高中生也可以得到这些证明。
Combinatorial proof of the transcendence of $L(1,χ_s)/Π$
本文给出了$L(1,χ_s)/Π$超越性的一个组合证明,其中$L(1,χ_s)$(分别为. $Π$)是狄利克雷函数$L$的特征$p$的类似物(分别为:$π$)。这一结果已被G.使用德·马桑的标准。我们的证明是基于Christol定理和$k$ -自动序列的另一个性质。
Real geometric transcendence for the Gamma function
研究伽马函数映射下实代数曲线的性质,证明x轴是唯一满足条件的曲线,并应用相关结果探讨曼因-穆姆福德猜想的推广。
Transcendence of the Gaussian Liouville number and relatives
{ \em刘维尔数},表示为$l$,由$$l:=0.100101011101101111100...,$$定义,其中$n$第位由${1/2}(1+\gl(n))$给出;这里$\gl$是$n$的素因子奇偶性的刘维尔函数。据推测,刘维尔数是超越的,虽然目前还无法证明。类似地,通过$$γ:=0.110110011100100111011...$$定义{ \em高斯刘维尔数},其中第$n$位反映了除以$n$的有理数高斯素数的奇偶性,1表示偶数,0表示奇数。本文证明了Gaussian Liouville数及其相关数是超越数。一个这样的相对数是数$$\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{3^k}}{2^{3^k2}+2^{3^k}+1}=0.101100101101100100101...,$$,其中第$n$位由等于2模3的素因子数的奇偶性确定。我们使用类似的方法,Dekking的证明超越的Thue-莫尔斯数\cite{Dek1}以及马勒的\cite{Mahl1}定理。(For完整性我们提供所有需要的结果的证明。该方法涉及到证明形式幂级数作为完全乘法函数的生成函数的超越性。
Transcendence of Power Series for Some Number Theoretic Functions
本文给出了Fatou定理的一个新证明:{ \em如果一个代数函数有一个有界整系数的幂级数展开式,那么它一定是一个有理函数。}这一结果被应用于表明,任何非平凡的完全乘性函数从$\mathbb{N}$到$\{-1,1\}$,系列$\sum_{n=1}^\infty f(n)z^n$是超越$\mathbb{Z}[z]$,特别是,$\sum_{n=1}^\infty λ(n)z^n$是超越的,其中$λ$是刘维函数。证明了$\sum_{n=1}^\infty μ(n)z^n$的超越性。
On the possible exceptions for the transcendence of the log-gamma function at rational entries
在最近的工作[JNT \textbf{129},2154(2009)]中,Gun和同事声称数$\,\log{Γ(x)} + \log{Γ(1-x)}\,$,$x$是介于$0$和$1$之间的有理数,是超越的,至多有\emph{one}可能的例外,但在该工作中给出的证明是\emph{incorrect}。在本文中,我指出了他们犯的错误,并提出了一个定理,该定理建立了这些数的超越性,最多有\emph{two}可能的例外。因此,我利用这个函数的反射性质建立了一个超越$\,\logπ$的准则,这个数的非理性还没有得到证明。这对乘积$\,π\cdot e$的超越性有一个有趣的结果,这是另一个其不合理性尚未被证明的数。
Transcendence of dendric beta-expansions with pure discrete spectrum
本文证明了在特定组合条件下,代数基β的树状β展开数具有超越性,涵盖Arnoux-Rauzy和Cassaigne-Selmer序列,证明借助Rauzy分形与子空间定理。
Transcendence of generating functions whose coefficients are multiplicative
本文给出了Bézivin的一个新的证明和推广.设$f:\B{N}\to K$是一个乘法函数,取特征为0的字段$K$中的值,并将其生成序列写为$F(z)=\sum_{n\geq 1} f(n)z^n\in K[[z]]$。假设$F(z)$是$K(z)$上的代数。然后,或者存在自然数$k$和周期乘法函数$χ(n)$,使得对于所有$n$,$f(n)=n^k χ(n)$,或者$f(n)$最终为零。特别是,$F(z)$要么是先验的,要么是理性的。对于$K=\B{C}$,我们还证明了如果$F(z)$是一个乘法函数的$D$ -有限生成级数,则$F(z)$是超越的或有理的.
Transcendence of continued fractions over function fields and a quantitative version of Uchiyama's theorem
本文在特征零的域上,改进拟周期连分数的Maillet-Baker判据,证明函数域内山定理的定量版本,给出代数幂级数异常好有理逼近的明确界,还得到收敛分母增长的上界,且证明回文连分数的二分性。
Transcendence of values of logarithms of $E$-functions
本文证明了非特定形式的 $E$-函数对数值的超越性,并针对具理系数的严格 $E$-函数给出了其对数值的无理性度量,证明其非超 Liouville 数。
Transcendence properties of the Artin-Hasse exponential modulo $p$
本文证明 Artin-Hasse 指数模 $p$ 的约化在 $\mathbb{F}_p[x]$ 上是超越的,并利用迭代微分伽罗瓦理论研究其代数独立性与代数关系,肯定回答 Thakur 的问题。
Some transcendence results from a harmless irrationality theorem
某些单变量函数的值的算术性质,特别是$\sin{z}$、$\cos{z}$、$\sinh{z}$、$\cosh{z}$、$e^z$和$\ln{z}$,是数论中的一个相关主题。例如,所有这些函数返回$z$的所有非零代数值的超越值($\ln{z}$的情况下为$z \ne 1$)。另一方面,对于$\,e^e$、$\,π^e$、$\,π^π$、$\,\lnπ$、$\,π+ e\,$和$\,π\, e$这样的数,甚至连无理性证明都不知道,尽管众所周知,后两个数中至少有一个是无理性的。在本文中,我首先推导出最后一个结果的更一般的形式,证明任何两个超越数的和与积中至少有一个是超越数。然后,我用它来证明,给定任何复数$\,t \ne 0, 1/e$,至少有两个数$\,\ln{t}$、$\,t + e\,$和$\,t \, e\,$是超越的。我还证明了$\,\cosh{z}$、$\sinh{z}\,$和$\,\tanh{z}\,$返回所有$\,z = r \, \ln{t}$、$\,r \in \mathbb{Q}$、$r \ne 0$的超越值。最后,我使用Nesterenko最近的代数独立性结果表明,对于所有整数$\,n > 0$,$\,\lnπ\,$和$\,\sqrt{n} \, π\,$是线性独立的$\mathbb{Q}$。
A simple and constructive proof to a generalization of Lüroth's theorem
L{ü}roth定理的一个推广表明,有理函数域的每个超越度为1的子域都是一个单扩张.在本说明中,我们表明,这个定理的经典证明也持有证明这一推广。
The many faces of the Kempner number
在这篇综述中,我们提出了五种不同的证明超越肯普纳数,定义的无穷级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^n}}$。我们借此机会提到一些有趣的想法和方法,用于证明更深层次的结果。我们概述了一些这些结果的证明,并指出读者可以找到所有细节的参考文献。
Semistable reduction for overconvergent F-isocrystals, IV: Local semistable reduction at nonmonomial valuations
我们完成了我们的证明,给定一个过收敛的F-isocrystal上的各种领域的积极的特点,可以拉回沿适当的一般有限覆盖,以获得isocrystal的延伸,对数奇点和幂零残基,一些完整的品种。我们还建立了一个类似的F-isocrystals过收敛内的部分紧化。通过前面的结果,这简化为在高度为1且剩余超越度为0的估值的邻域中解决局部问题。我们这样做,通过研究的变化,一些数值不变量附加到p-adic微分模块,类似于一个复杂的亚纯连接的不规则性。这允许对估值的超越缺陷进行归纳,即,品种的维度与评价的合理性等级之间的差异。
Harbingers of Artin's Reciprocity Law. I. The Continuing Story of Auxiliary Primes
在这篇文章中,我们提出了历史上的辅助素数用于证明互惠法律从二次阿丁的互惠法律。我们还表明,在勒让德的证明差距可以关闭一个简单的应用高斯的亏格理论。
Diophantine Inequalities with Primes, Auxiliary Inequalities, Evaluations of the Difference between Consecutive Primes
利用辅助不等式和连续素数差的估计,给出了一种证明含素数的丢番图不等式的方法.本文研究了区间$((n - 1)^k, n^k)$中素数的Legendre - Ingham问题以及当$k$为实数时区间$(\frac{k-1}{k}n, \frac{k}{k-1}n)$中素数的Legendre - Ingham问题.一些新的结果,包括一个替代的证明英厄姆定理的有效计算常数,也英厄姆定理与两个素数的证明。
Regions without zeros for the auxiliary function of Riemann
我们给出了明确的和扩展的版本西格尔的一些结果。我们延长西格尔的渐近发展的有效性在第二象限的第三象限的大部分。我们还给出了精确的误差范围,这使我们能够给出一个明确的区域免费的零,或只有平凡的零。将上半平面上零点的左极限从Siegel的$1-σ\ge a t^{3/7}$推广到$1-σ\ge A t^{2/5}\log t$。Siegel声称可以证明对于任何$\varepsilon>0$,区域$1-σ\ge t^\varepsilon$中不存在零。我们表明,西格尔的指数$3/7$的证明并没有扩展到证明他的主张。
On Siegel results about the zeros of the auxiliary function of Riemann
本文完整证明 Siegel 关于 Riemann 辅助函数 $\mathcal R}(s)$ 零点的结果,确定正虚部零点的左移极限并给出可解释其统计周期行为的关键项,同时阐明其与临界线上 $ζ(s)$ 零点的位置联系。
Mean Values of the auxiliary function
本文研究与Riemann zeta函数相关的Siegel辅助函数的均值,采用更标准的推导路径得到两类均值的主项,给出Siegel相关结果的完整证明,并阐释了理解Siegel论证的难点。
Asymptotic Expansions of the auxiliary function
本文明确给出 Siegel 所建议的辅助函数 R(s) 的渐近展开,扩展其有效范围并确定无零点区域,同时完整证明 Siegel 的部分论断,还分析了 R(1/2-it) 的渐近行为。
Transcendental sums related to the zeros of zeta functions
虽然黎曼zeta函数的非平凡零点的分布构成了数学中的一个中心主题,但对这些非平凡零点的代数性质一无所知。本文研究了$$ \sum_{ρ} R(ρ) x^ρ, $$型和的超越性质,其中$$ \sum_{ρ} R(ρ) x^ρ, $$是$ζ(s)$的非平凡零点$ρ$上的和,$R(x) \in \overline{\Q}(x) $是代数数上的有理函数,$x >0$是实代数数.特别地,我们证明了函数$$ f(x) = \sum_{ρ} \frac{x^ρ}ρ $$在$(1, \infty)$中有无穷多个零点,其中至多有一个是代数的。研究$x<1$范围内的$f(x)$所需的超越工具似乎与$x>1$范围内的工具不同。对于$x < 1$,我们有以下非零定理:如果对于一个整数$d \ge 1$,$f(π\sqrt{d} x)$在$(0,~1/π\sqrt{d})$中有一个有理数零,那么$$ L'(1,χ_{-d}) \neq 0, $$其中$χ_{-d}$是与虚二次域$K:= \Q(\sqrt{-d})$相关联的二次特征标.最后,我们考虑类似的问题,在塞尔伯格类的元素。我们的证明依赖于解析数论和超越数论的结果。
A simple and self-contained proof for the Lindemann-Weierstrass theorem
本文基于多位数学家的基本思想,为Lindemann-Weierstrass定理提供了一个简单、自包含且初等的证明,汇集并完整证明了所需的所有代数数论工具,使本科生也能阅读。
Integral Eisenstein cocycles on GLn, II : Shintani's method
我们使用Shintani的方法定义了Gln上的一个上循环。它与Solomon和Hill早先定义的上循环密切相关,但不同之处在于上循环性质是通过引入辅助扰动向量Q来实现的。作为我们结果的推论,我们得到了Diaz y Diaz和Friedman关于符号基本区的一个定理的新证明,并给出了Shintani关于全实域的部分zeta函数的Klingen-Siegel合理性定理的证明的上同调改写.其次证明了我们的Shintani上循环所代表的上同调类与Schzech所引入的Eisenstein上循环所代表的上同调类本质上是相等的.这推广了Schzech和Solomon在n=2的情况下的一个结果。最后,我们引入了一个积分版本的Shintani上循环平滑辅助素细胞。应用本系列第一篇论文的形式主义,我们证明了光滑类的某些特殊化产生全实数域的p进L-函数。结合我们的上同调结构与一个定理的Spiess,我们表明,这些p-adic L-函数的消失的顺序是至少一样大的格罗斯猜想所预测的。
An analogue of Siegel's determinant
Siegel-Shidlovskii理论的$E$ -功能涉及到一个非零证明的行列式附加到线性形式$D^kR(t)$,衍生物的辅助功能$R(t)$。设一个非零函数$F(t)$满足$m$阶线性微分方程,我们将用微分算子$Δ=tD$来写,并设$L(t)$是导数$Δ^i F(t)$ $(i=0,...,m-1; m\ge 2)$的任何非零线性形式.附在线性形式$Δ^kL(t)$上的行列式$\det\mathcal A_k$具有某些简单的性质,使我们能够对一类微分方程(包括超几何微分方程的一个子类)给出$\det\mathcal A_k$的非零性的简短证明.
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