The Weights in MDS Codes
Martianus Frederic Ezerman, Markus Grassl, Patrick Sole
研究了有限域GF（q）上长度为n，维数为k的MDS码的权系数.在某些特殊情况下，由MDS猜想给出参数的MDS码包含n-k+1到n的所有k个权.证明使用对偶码的覆盖半径
The weights in MDS codes of length n and dimension k over the finite field GF(q) are studied. Up to some explicit exceptional cases, the MDS codes with parameters given by the MDS conjecture are shown to contain all k weights in the range n-k+1 to n. The proof uses the covering radius of the dual code
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
New MDS or near MDS self-dual codes over finite fields
近年来，MDS自对偶码的研究引起了人们的广泛关注。关于确定不同长度的$q-$ ary MDS自对偶码的存在性有很多论文。不存在某些长度的$q-$ ary MDS自对偶码，即使是这些长度的$< q$。我们将MDS欧几里德自对偶码推广到近MDS欧几里德自对偶码和近MDS等对偶码。并且从扩展的双循环duadic码得到了许多新的近MDS等对偶码，从MDS欧几里德自对偶码得到了许多新的MDS欧几里德自对偶码。我们将MDS Hermitian自对偶码推广到近MDS Hermitian自对偶码。我们从扩展的双循环duadic码和MDS Hermitian自对偶码得到了接近MDS Hermitian自对偶码。
MDS or NMDS self-dual codes from twisted generalized Reed-Solomon codes
自对偶最大距离可分码（自对偶MDS码）和自对偶近似MDS码在编码理论和实践中具有重要的意义。因此，构造自对偶MDS码或自对偶近似MDS码是一个有趣的问题。本文不仅给出了扭曲广义Reed-Solomon码（TGRS码）的对偶码的校验矩阵，而且给出了自对偶TGRS码的充要条件。此外，我们还利用TGRS码构造了几类自对偶MDS码或自对偶近MDS码。
Construction of MDS self-dual codes from generalized Reed-Solomon codes
MDS码和自对偶码是编码理论中重要的经典码族。MDS自对偶码的研究是一个有趣的课题。当$q$为偶数时，完全解决了有限域$F_q$上MDS自对偶码的存在性.本文利用（扩展的）广义Reed-Solomon码构造了一类新的MDS自对偶码。
Constructions of MDS Self-dual Codes from Short length
MDS自对偶码的系统构造受到广泛关注。本文从短码长出发，研究了MDS欧几里德自对偶码的构造。实际上，MDS欧几里德短长度自对偶码（$n=3,4,5,6$）的确切结构被给出。一般来说，我们从已知长度的MDS自对偶码出发，通过广义Reed-Solomon（简称GRS）码和扩展GRS码，构造出更多新的$q$元MDS欧几里德自对偶码。
New Constructions of MDS Twisted Reed-Solomon Codes and LCD MDS Codes
最大距离可分离码（MDS）是最佳的，其中最小距离不能被改善为给定的长度和码的大小。2017年，有限域上的扭曲Reed-Solomon码被引入，它是Reed-Solomon码的推广。扭曲Reed-Solomon码可以应用于密码学中，这些密码学喜欢具有大的最小距离的码。MDS码可以由扭曲的Reed-Solomon码构造而成，并且大多数MDS码与Reed-Solomon码并不等价。本文首先将扭Reed-Solomon码推广到广义扭Reed-Solomon码，然后给出了MDS（广义）扭Reed-Solomon码的一些新的显式构造。在某些情况下，我们构造的MDS码的长度比以前的作品的构造更长。线性互补对偶（LCD）码是一种线性码，它与它们的奇偶性相交. LCD码可以应用于密码学。LCD码的这种应用重新引起了人们对构造具有大的最小距离的LCD码的兴趣。我们还提供了新的结构的LCD MDS码从广义扭曲的Reed-Solomon码。
New MDS self-dual codes over finite fields $\F_{r^2}$
MDS自对偶码具有良好的代数结构，并且由码长唯一确定。近年来，构造新长度的MDS自对偶码已成为编码理论中的一个重要和热点问题。本文发展了已有的理论，构造了六类新的MDS自对偶码。加上我们的构造，所有已知的MDS自对偶码相对于可能的MDS自对偶码的比例一般超过57%.据我们所知，这是已知的最大比例。此外，还构造了一些新的MDS自正交码和MDS几乎自对偶码族。
Lifted MDS Codes over Finite Fields
MDS码是编码理论中的一种优美的构造，在密码学、网络编码、分布式数据存储、通信系统等领域有着重要的应用。本文给出了一种将MDS码提升到高阶有限域上的方法。该方法通过在$F_p.$上使用MDS码来实现距离保护和在$F_q$上生成MDS码
New MDS Euclidean and Hermitian self-dual codes over finite fields
本文构造了MDS欧几里德自对偶码，它是扩展的循环二元码。并且得到了许多新的MDS欧几里德自对偶码。我们还利用广义Reed-Solomon码和常循环码构造了MDS Hermitian自对偶码。并给出了厄米特自对偶码的一些结果，厄米特自对偶码是推广的循环duadic码。
Nearly MDS expander codes with reduced alphabet size
最近，Roth和Skachek提出了两种构造近最大距离可分（MDS）扩展码的方法。我们表明，通过简单的修改，使用混合字母表的代码来自MDS码的组成代码在他们的代码设计，可以获得近MDS码的显着较小的字母表大小，虽然在一个（非常轻微的）降低码率为代价。
On integral weight spectra of the MDS codes cosets of weight 1, 2, and 3
码的陪集的权是陪集中任何向量的最小汉明权。对于长度为$n$的线性码，我们称整权谱为固定权的所有陪集中的权$w$向量的总数$0\le w\le n$。对于最大距离可分码，我们得到了权为1和2的陪集的积分权谱的新的简便公式。并给出了具有最小距离$5$和覆盖半径$3$的MDS码的权3陪集的谱.
Many Non-Reed-Solomon Type MDS Codes From Arbitrary Genus Algebraic Curves
本文证明任意亏格代数曲线均可构造非里德-所罗门型MDS码，并给出椭圆曲线上的小长度及自对偶MDS AG码，这些码不等价于已知码类。
Application of Constacyclic codes to Quantum MDS Codes
量子最大距离可分码是一类重要的量子码。为了得到$q$元量子MDS码，利用Hermitian构造和量子Singleton界，只要在$\mathbb{F}_{q^2}$上找到满足$C^{\perp_H}\subseteq C$的线性MDS码$C$即可.如果是$C^{\perp_{H}}\subseteq C$，我们说$C$是一个包含双重的代码。通过构造包含对偶的常循环MDS码，已经产生了许多新的具有较大最小距离的量子MDS码（参见\cite{Guardia11}、\cite{Kai13}、\cite{Kai14}）。这些工作促使我们对非平凡对偶包含常循环码的存在性条件进行深入的研究。这将有助于我们避免不必要的尝试，并提供有效的想法，以构建双重包含码。构造了几类含对偶的MDS常循环码，并计算了它们的参数。因此，新的量子MDS码是从这些参数。这里展示的量子MDS码的参数优于文献中的参数。
New constructions of MDS self-dual and self-orthogonal codes via GRS codes
近年来，新的MDS欧几里德自对偶码的构造得到了广泛的研究。本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码及其扩展码，对平方q给出了四类广义q元MDS欧几里德自对偶码.特别地，对于大的平方q，我们构造的码在所有可能长度的q元MDS欧几里德自对偶码中所占的比例一般超过34%，这比以前的结果要大.同样地，还得到了两类新的MDS欧几里德自正交码和两类新的MDS欧几里德几乎自对偶码。
MDS codes over finite fields
mds（最大距离可分）猜想声称有限域$GF(q)$上的非平凡线性mds $[n,k]$码满足$n \leq (q + 1)$，除非$q$是偶数且$k = 3$或$k = q- 1$，在这种情况下它满足$n \leq (q + 2)$。对于给定的域$GF(q)$和任何给定的$k$，构造一系列mds $[q+1,k]$码。$GF(q)$上的任何$[n,3]$ mds或$[n,n-3]$ mds代码对于$q$奇数必须满足$n\leq (q+1)$，对于$q$偶数必须满足$n\leq (q+2)$。对于偶数$q$，在$GF(q)$上构造mds $[q+2,3]$和mds $[q+2, q-1]$码。所构造的码具有高效的编译码算法。
Construction of Unit-Memory MDS Convolutional Codes
最大距离可分卷积码是一类最优卷积码，对其研究具有重要意义。MDS卷积码的一般代数构造很少。在本文中，我们构造了一个大型的单位记忆MDS卷积码在$\F$灵活的参数。与以前的作品相比，字段大小$q$需要定义这些代码是小得多。这种构造还导致了许多新的强MDS卷积码，这是\cite{GL2}中提出和研究的MDS卷积码的一个重要子类。文末给出了一些算例。
An MDS code associated to an elliptic curve
我们将构造一个MDS（最大距离可分）码$C$，它允许一个分解，使得每个因子仍然是MDS。还将讨论一种有效的解码方法。
New MDS Self-Dual Codes over Large Finite Fields
我们构造MDS欧几里德和厄米特自对偶码在大的有限域上的奇数和偶数的特征。我们的代码来自循环和非循环duadic码。
New Quantum MDS codes constructed from Constacyclic codes
量子最大距离可分码是一类重要的量子码。本文利用常循环码和Hermitain构造，构造了一些新的量子MDS码，其形式为$q=2am+t$，$n=\frac{q^{2}+1}{a}$ .这些量子MDS码中的大多数是新的，在这个意义上，它们的参数没有被覆盖的代码在文献中。
New MDS Euclidean Self-orthogonal Codes
本文给出了MDS欧几里德自正交码的一个判别准则。利用该准则构造了新的MDS欧几里德自对偶码和自正交码。特别地，在我们的构造中，对于大正方形$q$，可以产生大约$\frac{1}{8}\cdot q$个新的在$\F_q$上的MDS欧几里德（几乎）自对偶码。此外，我们还可以构造出约$\frac{1}{4}\cdot q$新的具有不同偶数长度的MDS欧几里德自正交码$n$，其维数为$\frac{n}{2}-1$ .
The Partition Weight Enumerator of MDS Codes and its Applications
对于任意划分数，导出了最大距离可分（MDS）码的划分重量计数器的封闭形式公式。利用这一结果，讨论了MDS码的一些性质。将所得结果推广到特征为2的有限域上MDS码的平均二进制象。作为应用，我们研究了里德-所罗门码的多用户错误概率。
On the Constructions of MDS Self-dual Codes via Cyclotomy
有限域上的MDS自对偶码由于其在编码理论和密码学、组合学中的应用，近年来引起了人们的广泛关注。本文以广义Reed-Solomon码和扩展广义Reed-Solomon码作为MDS码的候选码，并将它们的评价集作为分圆类的并集，给出了一系列新长度的MDS自对偶码.这种MDS码是自对偶码的条件用分圆数表示。
Partial MDS Codes with Local Regeneration
部分MDS（PMDS）和扇区磁盘（SD）码是将局部性与强擦除校正能力相结合的一类擦除码。我们构造PMDS和SD码，其中每个本地码是带宽最优的再生MDS码。该结构需要比文献中已知的唯一其他结构显著更小的场尺寸。
Construction of MDS Self-dual Codes over Finite Fields
本文利用奇特征有限域上的广义Reed-Solomon码，得到了MDS自对偶码存在性的一些新结果。对于某些固定的$q$，我们的结果可以产生更多类的MDS自对偶码。
New LCD MDS codes of non-Reed-Solomon type
线性互补对偶（LCD）码和最大距离可分（MDS）码都具有良好的代数结构，在通信系统、数据存储、量子编码等方面有着重要的实际应用，目前大多数LCD MDS码都是利用广义Reed-Solomon码构造的。本文构造了几类新的非单性等价于Reed-Solomon码的Euclidean LCDMDS码和Hermitian LCDMDS码，称之为非Reed-Solomon型LCDMDS码。我们的方法基于Beelen et al.（2017）和Roth and Lempel（1989）的构造。据我们所知，这是第一篇关于非Reed-Solomon类型的LCD MDS码的构造的论文;通过我们的方法构造的任何非Reed-Solomon类型的LCD MDS码都不与Carlet等人（2018）的方法构造的任何LCD码单等价。
MDS, Hermitian Almost MDS, and Gilbert-Varshamov Quantum Codes from Generalized Monomial-Cartesian Codes
本文利用广义单项式-笛卡尔码和显式扭转向量构造新的稳定子量子纠错码，给出最小距离与维数公式，并证明其在m=2时的一族无限参数下优于Gilbert-Varshamov界。
Simple proofs for duality of generalized minimum poset weights and weight distributions of (Near-)MDS poset codes
1991年，Wei提出了线性码的广义最小Hamming重量，并证明了它们的单调性和对偶性。最近，一些作者用不同的方法将这些结果推广到了广义最小偏序集权的情形。在这里，我们想用拟阵理论证明对偶性。这给出了它的另一个非常简单的证明，特别是，我们的论证将清楚地表明，对偶性是由拟阵的秩函数和余秩函数之间的众所周知的关系得出的。此外，我们推导出线性MDS和Near-MDS偏序集码的重量分布在相同的精神。
New MDS Entanglement-Assisted Quantum Codes from MDS Hermitian Self-Orthogonal Codes
线性码${\bf C} \subset {\bf F}_{q^2}$与其厄米对偶${\bf C}^{\perp_H}$的交${\bf C}\bigcap {\bf C}^{\perp_H}$称为该码的厄米壳。满足${\bf C} \subset {\bf C}^{\perp_H}$的线性码${\bf C} \subset {\bf F}_{q^2}$称为厄米特自正交码。为了构造MDS量子纠错码，人们给出了许多厄米特自正交码。本文证明了对于满足$0 \leq h \leq k$的非负整数$h$，线性Hermitian自正交$[n, k]_{q^2}$码等价于线性$h$维Hermitian hull码.因此，许多新的MDS纠缠辅助量子纠错码（EAQEC）可以从已知的厄米特自正交码构造。实际上，我们的方法表明，由Hermitian自正交码构造的量子MDS码可以直接转化为消耗参数$c$为非零的MDS纠缠辅助量子码.证明了对于任意长度的$n \leq q^2+1$，具有非零$c$参数和$d\leq \frac{n+2}{2}$的MDS EAQEC $[[n, k, d, c]]_q$码存在.此外，任何由$k$维Hermitian自正交码构造的QECC都可以变换为$k$维EAQEC码。
New Quantum MDS Codes over Finite Fields
本文利用广义Reed-Solomon码满足Hermitian自正交性质，提出了三类新的$q$元量子MDS码.在我们的构造中，某些$q$进制量子MDS码的最小距离可以大于$\frac{q}{2}+1$ .与以前已知的构造相比，我们构造的码的长度更灵活。
MDS and $I$-Perfect Codes in Pomset block Metric
本文建立了环$\mathbb{Z}_m$上长度为$N$的pomset分组码（$(Pm,π)$ -码）的Singleton界.我们给出了码在pomset（块）度量中为MDS的必要条件，并证明了每个MDS $(Pm,π)$ -码都是MDS $(P,π)$ -码。然后，我们继续寻找$I$ -完美和$r$ -完美码。此外，给出了一个理想的部分和完整的计数，我们看看MDS和$I$完美的代码是如何相互关联的。对于链尾集，我们得到了长度为$N$/$\mathbb{Z}_m$的尾集分组码的对偶定理，并由此确定了MDS尾集分组码的重量分布.
New quantum MDS codes derived from constacyclic codes
量子最大距离可分码是一类重要的量子码。构造最小距离较大的量子MDS码是非常困难的。在经典常循环码的基础上，构造了两类带参数的量子MDS码：$$[[λ(q-1),λ(q-1)-2d+2,d]]_q$$，其中$2\leq d\leq (q+1)/2+λ-1$，$r$为偶数; $$[[λ(q-1),λ(q-1)-2d+2,d]]_q$$，其中$2\leq d\leq (q+1)/2+λ/2-1$，$q+1=λr$，$r$为奇数.这里展示的量子MDS码的参数优于文献中的参数。
New Quantum MDS codes from Hermitian self-orthogonal generalized Reed-Solomon codes
本文利用厄米特自正交广义Reed-Solomon码构造了五类最小距离大于q/2+1的新量子MDS码，且其参数无法由已有构造获得。
An Unified Approach on Constructing of MDS Self-dual Codes via Reed-Solomon Codes
基于由广义Reed-Solomon码\cite{JX}和扩展广义Reed-Solomon码\cite{Yan}构造的有限域上MDS自对偶码的基本结果，近年来通过各种构造和计算得到了许多系列不同长度的MDS自对偶码.本文给出了一种统一的方法，用简明的陈述和简化的证明得到了以前的几个结果，并给出了MDS自对偶码的一些新的构造。在结论部分，我们提出了两个开放的问题。
Systems of MDS codes from units and idempotents
构造了一系列的最大距离可分（mds）码的代数系统。该方法使用单位和幂等方案。
Infinite families of near MDS codes holding $t$-designs
$[n, k, n-k+1]$线性码称为MDS码。一个$[n, k, n-k]$线性码被称为几乎最大距离可分（简称几乎MDS或AMDS）。如果一个码和它的对偶码都是几乎最大距离可分的，则称这个码是几乎最大距离可分的。第一个近MDS码是Golay在1949年发现的$[11, 6, 5]$三元Golay码。该三进制代码包含$4$ -设计，其扩展代码包含具有已知最大强度的Steiner系统$S(5, 6, 12)$。在过去的70年里，人们发现了一些具有$t$ -设计的零星的near MDS码，并构造了许多有限域上的near MDS码的无限族。然而，关于是否存在一个无限族的近MDS代码持有一个无限族的$t$ -设计的$t\geq 2$仍然开放了70年的问题。本文提出了一个在$\mathrm{GF}(3^s)$上的包含有无限族$3$ -设计的无限族近MDS码和一个在$\mathrm{GF}(2^{2s})$上的包含有无限族$2$ -设计的无限族近MDS码，从而解决了这个长期存在的问题.这两个家庭的子域子码也进行了研究，并被证明是维数最优或距离最优。
Improved Decoding Algorithms for MDS and Almost-MDS Codesfrom Twisted GRS Codes
本文提出改进的TGRS码解码算法，针对MDS和近MDS码，提升解码性能。
Near MDS codes from oval polynomials
具有$[n, k, n-k+1]$形式的参数的线性码被称为MDS（最大距离可分离）码。具有$[n, k, n-k]$形式的参数的线性码被称为几乎是MDS（即，几乎最大距离可分离）或简称为AMDS。如果一个码和它的对偶码都是几乎最大距离可分的，则称这个码是接近最大距离可分的（简称接近MDS或NMDS）。近MDS码对应于有限几何中有趣的对象，在组合数学和密码学中有很好的应用。利用奇$m$的特殊椭圆多项式构造了$\gf(2^m)$上的7个$[2^m+1, 3, 2^m-2]$ near MDS码无限族和$\gf(2^m)$上的7个$[2^m+2, 3, 2^m-1]$ near MDS码无限族.此外，利用椭圆多项式构造了$\gf(2^m)$上9个接近MDS码的最优$[2^m+3, 3, 2^m]$无限族.
Some New Constructions of Quantum MDS Codes
构造具有良好参数的量子最大距离可分码是量子通信中的一个重要课题。本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码和Hermitian构造，给出了六类新的q元量子MDS码。我们的量子MDS码的最小距离可以大于q/2+1。这六类量子MDS码中有三类的码长比文[1]和[2]中构造的码长，因此它们的一些结果可以很容易地由我们的结果通过传播法则导出。此外，一些已知的特定长度的量子MDS码可以看作是我们的特殊情况，一些已知的量子MDS码的最小距离也得到了改进。
On MDS Codes With Galois Hulls of Arbitrary Dimensions
线性码的伽罗瓦壳是线性码的欧几里德壳和埃尔米特壳的推广。本文研究了（扩展）GRS码的Galois壳，并利用（扩展）GRS码构造了几种具有任意维Galois壳的MDS码。给出了用Hermitian或广义Galois自正交（扩展）GRS码构造具有任意维数Galois壳的MDS码的两种一般方法。利用这些方法，可以得到一些维数更大的MDS码和任意维数的Galois壳，而且相对严格的条件也可以得到许多新的MDS码类和任意维数的Galois壳.
MDS and Self-dual Codes over Rings
本文给出了形式幂级数和链环上常循环码的结构。给出了主理想环上MDS码存在的充分必要条件。这些结果允许有限链环，形式幂级数和主理想环上的MDS自对偶码的无限族的建设。
New quantum mds constacylıc codes
本文主要研究新的量子MDS码的构造。基于Fq ~ 2上的常循环码，我们得到了四类新的量子MDS码，其中一类是[22]中定理7的显式推广。本文还推广了文[17]中定理3：3的结果。
On $\ell$-MDS codes and a conjecture on infinite families of $1$-MDS codes
该研究解决了1-MDS码的相关猜想，得到含2-设计的最优1-MDS码无穷族，还通过经典传播规则构造新$\text{ell}$-MDS码，推广改进了该类码的相关理论结果。
Constructions of non-Generalized Reed-Solomon MDS codes
该研究针对MDS码分类需求，提出一种通用MDS码构造方法，生成无穷多实例，明确多族非广义Reed-Solomon MDS码，并对比广义扭曲Reed-Solomon码给出新研究视角。
An MDS-PIR Capacity-Achieving Protocol for Distributed Storage Using Non-MDS Linear Codes
我们提出了一个私有的信息检索（PIR）协议的分布式存储系统中的数据存储使用任意的线性码的非合谋节点。PIR速率的表达式，即，导出了每单位下载数据的检索数据量之比，并给出了码达到最大距离可分离（MDS）PIR容量的充要条件。必要条件基于存储码的广义汉明重量，而充分条件基于码的自同构。我们证明了循环码和Reed-Muller码满足充分条件，从而实现了MDS-PIR容量。
Two new classes of quantum MDS codes from generalized Reed-Solomon codes
本文主要利用经典的Hermitian自正交广义Reed-Solomon码构造了两类新的量子MDS码。大多数量子MDS码的最小距离大于q/2+1。与已有的量子MDS码结构相比，我们构造的量子MDS码具有较大的最小距离，且其参数不被已有的量子MDS码所覆盖。
New MDS Self-dual Codes over Finite Fields of Odd Characteristic
本文利用奇特征有限域上的广义Reed-Solomon码构造了一类新的MDS自对偶码。在我们构造的MDS自对偶码中，有许多新参数的MDS自对偶码从未被报道过。对于具有$q$平方的奇素数幂$q$，本文给出了$\mathbb{F}_q$上MDS自对偶码的码长总数，比以往的所有结果都要多得多.
MDS Symbol-Pair Codes from Repeated-Root Cyclic Codes
符号对码被提出来对抗符号对读取通道中的成对错误。最小码元对距离是决定码元对码纠错能力的重要指标。最大距离可分码（MDS）是一种最优码，它能达到单例界。本文利用有限域上具有奇特征的重根循环码，提出了两类新的MDS符号偶码。准确地说，这些码的最小符号对距离为10或12，大于所有已知的常循环码的MDS符号对码。
A Characterization of MDS Symbol-pair Codes over Two Types of Alphabets
符号对码是具有符号对度量的分组码，其设计用于防止可能发生在高密度数据存储系统中的对错误。MDS码元对码是最优的，因为它可以在相同的码长和码长下获得最高的码对纠错能力。MDS码元对码的构造是码元对码研究的主要课题之一。本文刻画了有限域和一类有限链环上任意长度常循环码的符号对距离。利用符号对距离的刻画，我们给出了几类MDS符号对常循环码，并证明了在这类常循环码中，除了我们给出的MDS符号对码之外，不存在其他MDS符号对码.此外，这些MDS符号对常循环码的有限链环上的一些不能通过以前的工作得到。
New families of non-Reed-Solomon MDS codes
本文提出一种基于求值多项式与求值点选择的通用框架来构造非Reed-Solomon型MDS码，并通过Schur平方证明其非RS性质，最终获得长度更灵活的新码族。
MDS Codes with Euclidean and Hermitian Hulls of Flexible Dimensions and Their Applications to EAQECCs
线性码的外壳是其自身与其对偶码关于某个内积的交集。欧几里德壳和厄米特壳都具有理论和实际意义。本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码构造了几类新的MDS码，并确定了它们的欧氏壳和Hermitian壳。具体地说，我们构造了四类新的具有可变维Hermitian壳的MDS码和六类新的具有可变维Euclidean壳的MDS码。对于前者，我们进一步构造了四类新的纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）和四类新的长度为$n>q+1$的MDS EAQECC.对于后者，我们也给出了一些欧氏自正交和一维欧氏壳MDS码的例子。
New constructions of quantum MDS convolutional codes derived from generalized Reed-Solomon codes
量子卷积码可以用来保护任意长度的量子比特序列免受退相干。本文从广义Reed-Solomon码出发，构造了两种新的量子MDS卷积码，得到了18类新的量子MDS卷积码。它们中的大多数是新的意义上的参数的代码是不同的，从所有以前已知的。
New constructions of MDS codes with complementary duals
线性互补对偶码（Linear Complementary-Dual，简称LCD）是一类与其奇偶性相交的线性码。LCD码已经在某些通信系统中使用。最近发现LCD码可以应用于密码学。LCD码的这种应用重新引起了人们对构造具有大的最小距离的LCD码的兴趣。MDS码是最佳的，在这个意义上，最小距离不能提高给定的长度和代码的大小。因此构造LCD MDS码具有重要的理论和实际意义。最近，Jin（\cite{Jin}，IEEE Trans. Inf. Theory，2016）通过广义Reed-Solomon码构造了几类LCD MDS码。本文提出了一种从广义Reed-Solomon码得到新的LCD MDS码的方法。因此，新的代码结构提供和某些以前已知的结果在\cite{Jin}进行了扩展。
Explicit MDS Codes with Complementary Duals
1964年，Massey提出了一类具有互补码的码，称为线性互补对偶码（Linear Complimentary Dual，简称LCD）。他指出，LCD码在通信系统、侧信道攻击（SCA）等方面有着广泛的应用。另一方面，MDS码又是经典码的最佳族，在理论和实际中有着广泛的应用。本文的主要目的是利用代数函数域的工具，给出几类LCD MDS码的显式构造。我们证明了这种构造，并得到了几类奇特征情形的显式LCD MDS码。
Non-RS type cyclic MDS codes over finite fields via cyclotomic field reduction
本文通过圆周域约简方法构造了非RS型有限域上的循环MDS码，简化了构造过程并提高了参数灵活性。
New MDS Self-Dual Codes from Generalized Reed-Solomon Codes
MDS自对偶码和欧几里德自对偶码都具有重要的理论和实际意义，近年来MDS自对偶码的研究引起了人们的广泛关注。特别地，已经广泛地研究了确定各种长度的$q$元MDS自对偶码的存在性。对于$q$为偶数的情况，该问题完全解决。本文主要讨论$q$是奇数的情况。利用广义Reed-Solomon码构造了几类新的MDS自对偶码。更精确地说，我们证明了对于任何给定的偶数长度$n$，只要$q\equiv1\bmod{4}$和$q$足够大（比如说$q\ge 2^n\times n^2)$），我们就有一个$q$元MDS码.进一步证明了存在长度为$n$的$q$元MDS自对偶码，如果$q=r^2$和$n$满足以下三个条件之一：（i）$n\le r$和$n$是偶数;（ii）$q$是奇数，$n-1$是$q-1$的奇数因子;（iii）对于任何$t\le (r-1)/2$，$r\equiv3\mod{4}$和$n=2tr$.
Criteria for the construction of MDS convolutional codes with good column distances
本文提出构造MDS卷积码的新准则，使其具有最优第一（反向）列距离，并将其与反向超正则Toeplitz矩阵的构造建立联系，同时给出小参数示例。
On Euclidean Hulls of MDS Codes
在本文中，我们提出了一种机制的MDS码的建设与任意维数的欧几里德壳。更准确地说，我们构造（扩展）广义Reed-Solomon（GRS）码的欧氏壳指定的尺寸从自正交GRS码。事实证明，我们的建设是更普遍的比以前的作品（扩展）GRS码的欧几里德外壳。
MDS codes with arbitrary dimensional hull and their applications
线性码的包在编码理论和量子编码理论中有着重要的应用。本文研究了有限域上广义Reed-Solomon码和广义Reed-Solomon码关于欧氏内积的壳。给出了几类具有任意维壳的MDS码。作为应用，利用这些任意维壳的MDS码，我们构造了几个新的具有灵活参数的纠缠辅助量子纠错码无限族。
MDS and AMDS symbol-pair codes constructed from repeated-root codes
Cassuto和Blaum在2010年提出的符号对码被设计用于防止符号对读取通道中的对错误。码元纠错的核心问题之一是构造具有最大纠错性能的最大距离可分码元对码。基于重根循环码，我们构造了两类更一般的生成多项式的MDS符号偶码，并给出了一类新的码长为$lp$的几乎MDS（AMDS）符号偶码.此外，当生成多项式的次数不超过10时，我们还导出了所有长度为$3p$的MDS和AMDS符号对码。主要结果是通过确定有限域上某些方程的解得到的。
Euclidean and Hermitian LCD MDS codes
具有互补码的线性码（缩写LCD）是与其对偶的交是平凡的线性码。当它们是二进制时，它们在防御侧信道攻击和故障注入攻击方面发挥着重要作用。特征2中的非二进制LCD码可以通过扩展转换为二进制LCD码。另一方面，最大距离可分码作为最优码，由于其重要的理论意义和实际应用价值，引起了众多研究者的极大兴趣。然而，很少有工作已经做了LCD MDS码。特别地，对于不同长度$n$和尺寸$k$，确定$q$元$[n,k]$ LCD MDS码的存在性是一个基本的和令人感兴趣的问题.本文首先研究了$q$元$[n,k]$ LCD MDS码的存在性问题，并在欧几里德情形下完全解决了这个问题。更具体地说，我们证明了对于$q>3$，存在一个$q$元$[n,k]$欧几里德MDS码，其中$0\le k \le n\le q+1$，或$q=2^{m}$，$n=q+2$和$k= 3 \text{or} q-1$ .其次，我们研究了几种新的Euclidean和Hermitian LCD MDS码的构造。我们构造Euclidean和Hermitian LCD MDS码的主要技术是使用一些小维数或余维数的线性码、自正交码和广义Reed-Solomon码。
Duality of generalized twisted Reed-Solomon codes and Hermitian self-dual MDS or NMDS codes
有限域上的自对偶MDS码和NMDS码是具有重要组合和密码学应用的线性码。本文首先研究了广义扭Reed-Solomon码（简称GTRS码）在某些特殊情况下的对偶性质。在下文中，提出了一种新的系统方法来绘制Hermitian自对偶（+）-GTRS码。给出了Hermitian自对偶（+）-GTRS码的充要条件，并利用该方法构造了几类Hermitian自对偶MDS和NMDS码。
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