Near-MDS codes of lengths q+6 and q+7 from conics in PG(2,q), q odd
Bursa Uludağ University（布尔萨乌鲁达大学）；University of South Florida（南佛罗里达大学）
该研究通过PG(2,q)中二次曲线扩展点集的几何方法，构造了奇素数幂q下长度为q+6和q+7的最优局部性为2的NMDS码，明确其重量分布并证明与现有同类码的等价性差异。
2026-08-20 cs.IT math.CO math.IT
A theorem on the quantum evaluation of Weight Enumerators for a certain class of Cyclic Codes with a note on Cyclotomic cosets
本说明是一篇关于Potts配分函数的论文的精简版，我们只专注于我们方法的线性编码方面。它是为那些对编码理论感兴趣，但不太了解所涉及的数学以及量子计算如何加速编码理论中一个非常重要的量的计算的人提供的资源。本文给出了一类有限循环码的权枚举多项式的量子计算定理。获得精确评估的复杂度是$O(k^{2s}(\log q)^{2})$，其中$s$是确定所讨论的循环码的类的参数，$q$是在其上定义码的有限域的特征，并且$k$是码的维数。我们还提供了一个概述分圆陪集和讨论的应用程序，包括它们如何可以用来加快计算的重量枚举多项式（这是相关的Potts分区函数）。给出了从列表$\{0,1,2,...,N-1\}$中返回陪集首和每个陪集大小的算法，其时间复杂度为软O（N）。该算法使用标准技术，但我们将其作为学生的资源。注意分圆陪集并不能提高权重枚举数计算的渐近复杂度。
2008-03-16 cs.IT math.IT quant-ph
Codes with few weights arising from linear sets
本文给出了一类由特殊类型的线性集产生的少权码。我们明确地显示了这些代码的重量，他们的重量枚举和可能的选择，他们的生成矩阵。特别是，我们的建设收益率也线性码与三个权重，在某些情况下，几乎MDS码。对这些代码的兴趣依赖于它们在认证码和秘密方案中的应用，以及它们与诸如关联方案和图之类的进一步对象的联系。
2020-05-06 cs.IT math.CO math.IT
Fourier-Reflexive Partitions and MacWilliams Identities for Additive Codes
有限阿贝尔群的划分通过傅立叶变换产生特征标群上的对偶划分。研究了对偶分拆的性质，并给出了对偶分拆与原分拆重合的一个简便的检验方法。这样的划分允许添加码的划分枚举数的MacWilliams恒等式。证明了对偶化与给定群的卡方幂上分拆的取积和对称化积是可交换的。在将结果翻译成Frobenius环，这是确定与他们的字符模块，该方法适用于分区所产生的偏序集结构。
2013-04-03 cs.IT math.CO math.IT
Reducing FEC-Complexity in Cross-Layer Predictable Data Communication
PRRT协议支持具有严格性能要求的应用，例如网络物理系统，因为它通过跨层调步提供可预测的低端到端延迟，并通过混合ARQ（HARQ）提供及时纠错。然而，所实现的HARQ使用计算复杂的最大距离可分离（MDS）码来生成冗余。在本文中，我们提出了代码划分MDS码的复杂性降低，从而使他们的部署在受限的嵌入式设备。
2022-02-21 cs.IT math.IT
On weight distributions of perfect colorings and completely regular codes
一个图的顶点着色称为“完美”，如果对于任何两个颜色$a$和$b$，一个颜色-$a$顶点$x$的颜色-$b$邻居的数量不依赖于$x$的选择，也就是说，只依赖于$a$和$b$（顶点集的相应划分称为“公平”）。一个顶点集被称为“完全正则”，如果根据距离这个集合的着色是完美的。所谓染色关于集合的“权重分布“是指每种颜色在距离集合的每一个距离上的顶点数的信息。研究了图关于完全正则集（特别是距离正则图关于顶点）的完美染色（公平划分）的权重分布。我们展示了如何计算这个分布的知识的颜色组成的集合。对于完全正则集的某些部分情形，我们导出了权重分布的显式公式。由于任何（其他）完全正则集本身生成完美着色，这给出了从其参数计算任何完全正则集的权重分布的通用公式。在Hamming图的情况下，我们证明了一个非常简单的公式的重量计数器的任意完美染色。暗号：完全正规码公平分割;分区设计;完美的着色;结构完善;规则划分;权重分布;重量计数器
2011-05-02 cs.IT math.CO math.IT
Coded Information Retrieval for Block-Structured DNA-Based Data Storage
Universität Zürich（苏黎世大学）
本文研究了块结构数据的编码信息检索问题，针对DNA存储系统中数据库分块需单独恢复的情况，提出了块结构检索问题，推导了线性下界和非线性几何界，并分析了不同编码方案的检索时间。
2026-07-21 cs.IT math.CO math.IT
A formula on the weight distribution of linear codes with applications to AMDS codes
线性码的权重分布的确定一直是编码理论研究的热点问题。对于自对偶码和具有小Singleton亏的码等特殊情况的重量计数器，已有大量的研究。我们提出了一组新的线性关系，必须满足的系数的权重分布。从这些关系，我们能够得到已知的身份（在一个更容易的方式）有趣的情况下，如极值码，厄米特码，MDS和NMDS码。此外，我们能够第一次提出的权重分布的AMDS码。我们还讨论了我们的结果和Pless方程之间的联系。
2021-09-25 cs.DM cs.IT math.CO
Explicit constructions of optimal-access MDS codes with nearly optimal sub-packetization
具有长度$n,$维度$k=n-r$和子分组化$l$的$(n,k,l)$ MDS阵列码由有限域$F,$上的$l\times n$矩阵形成，其中矩阵的每一列存储在分布式存储系统中的单独节点上并被视为码字的坐标。故障节点的修复可以通过访问一组$d\le n-1$助手节点来执行。如果在每个助手节点上访问的数据量满足此数量的下限，则该代码被称为具有最佳访问属性。在我们以前的工作中，对于任何$n$和$r,$，我们提出了一个显式的结构的最优接入MDS码与子分组$l=r^{n-1}.$的最优接入MDS码的子分组$l$满足界$l\ge r^{(k-1)/r}.$在本文中，我们采取的问题，减少子分组值$l$，使其接近下界。本文构造了一类具有$l=r^{\lceil n/r\rceil},$的显式最优存取码，它与最优值相差至多1倍$r^2.$。这些码可以在任意长为$|F|\ge r\lceil n/r\rceil,$的有限域$F$上构造，并提供低复杂度的编译码过程。我们还定义了一个版本的修复问题，桥梁的上下文再生代码和代码的局部约束（LRC代码），称之为最佳访问组修复。在该变型中，我们假设$n=sm$节点的集合被划分为大小为$s,$的$m$修复组，并且只要$d$助手节点包括来自与故障节点相同的组的所有其他$s-1$节点，就要求用于修复的访问数据量尽可能最小。对于这个问题，我们构造了一族具有群最优存取性质…
2017-07-28 cs.IT math.IT
Block-Diagonal and LT Codes for Distributed Computing With Straggling Servers
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；Simula UiB；University of Bergen（卑尔根大学）
我们提出了两个编码方案的分布式计算问题乘以一组向量的矩阵。第一种方案是基于将矩阵划分成子矩阵，并对每个子矩阵应用最大距离可分离（MDS）码。对于这个方案，我们证明了直到给定的分区数，通信负载和计算延迟（不包括编码和解码延迟）与Li等人最近提出的方案相同，基于单个长MDS码。然而，由于使用较短的MDS码，我们的计划产生一个显着降低的整体计算延迟时，编码和解码引起的延迟也被考虑。我们进一步提出了第二个编码方案的基础上，鲁比变换（LT）码下失活解码。有趣的是，LT码可以以增加的通信负载为代价来减少分区方案上的延迟。我们还考虑了分布式计算下的最后期限和数值计算表明，所提出的计划优于其他计划在文献中，与LT码为基础的计划产生的最佳性能的情况下考虑。
2018-10-19 cs.DC cs.IT cs.LG
Partitions of Matrix Spaces With an Application to $q$-Rook Polynomials
研究了矩阵空间$\mathbb{F}_q^{n \times m}$上的行空间划分和主元划分。我们表明，这两个分区是自反的，行空间分区是自对偶的。此外，使用各种组合的方法，我们明确地计算与这些分区相关的Krawtchouk系数。这建立了线性秩度量码的行空间和枢轴枚举数的麦克威廉斯型恒等式。然后我们推广了秩度量码的类Singleton界，并引入了码极值的两个新概念。这两种码推广了MRD码的概念，并且都是由迹对偶保持的。此外，根据任一概念极值的代码满足类似于MRD代码的强刚性特性。作为我们的结果在组合数学中的一个应用，我们给出了与Ferrers图板相关的$q$ -rook多项式的封闭公式。利用有限域上矩阵与车的位置之间的关系，证明了在费勒斯图上支持的秩为$r$的$\mathbb{F}_q$上的矩阵的个数在$q$中是多项式，且其次数在$r$中是严格递增的.最后，我们调查的秩，行空间和枢轴分区的MacWilliams扩展定理的自然类似物。
2019-08-23 cs.IT math.CO math.IT
The DNA Coverage Depth Problem: Duality, Weight Distributions, and Applications
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文提出了一种基于对偶性和扩展重量枚举的通用方法，用于计算不同线性码的DNA覆盖深度，推导了多种码的闭合公式。
2026-03-06 cs.IT math.CO math.IT
The Coverage Depth Problem in Distributed DNA Data Storage
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Electrical and Computer Engineering, Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本古里安大学电气与计算机工程学院）；Department of Computer Science, Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院计算机科学系）；Department of Electrical and Electronics Engineering, Bilkent University（比尔肯特大学电气与电子工程系）
本文研究分布式DNA数据存储中的覆盖深度问题，推导恢复时间与期望读取成本的精确公式，证明MDS码的最优性及单纯码的唯一最小化性质，并阐明分布式采样对延迟和测序成本的影响。
2026-10-05 cs.IT math.CO math.IT
Reed-Solomon Codes with Optimal Repair Bandwidth: A Basis-Transformation Approach
Tsinghua University（清华大学）；Shandong University（山东大学）；Nankai University（南开大学）
本文提出一种基变换方法构造修复使能子空间，直接由修复域的标准单项基通过欧几里得平方划分、转置和列聚合三个确定性操作得到，从而构造出具有更小子包化度的RS-MSR码。
2026-10-20 cs.IT math.IT
Symmetric bilinear forms over finite fields with applications to coding theory
设$q$是奇素数幂，$X(m,q)$是$\mathbb{F}_q$上$m$维向量空间上的对称双线性型集.由一般线性群的作用引起的$X(m,q)$的划分产生了一个可交换的平移结合方案。我们给出了明确的表达式，该计划的特征值的线性组合的广义Krawtchouk多项式。然后，我们研究$d$ -码在这个计划中，即子集$X(m,q)$ $Y$的属性，对于所有不同的$A,B\in Y$，$A-B$的秩至少是$d$。我们证明了一个$d$ -码的大小的界限，并表明，在一定的条件下，一个$d$ -码的内部分布是由它的参数。给出了$d$ -码的构造，它们在作为$X(m,q)$子群的$d$ -码中是最优的.最后，对$X(m,q)$的每个子集$Y$，我们将$\mathbb{F}_q$上的两个经典码联系起来，证明了它们的汉明距离枚举数可以用$Y$的内部分布来表示.作为一个例子，我们得到的距离枚举的某些循环码，其中许多特殊的情况下，以前已经获得了使用长特设计算。
2014-10-27 cs.IT math.CO math.IT
Subfield Codes of Several Few-Weight Linear Codes Parametrized by Functions and Their Consequences
有限域上线性码的子域码近年来受到广泛关注。其中一些码是最优的，在秘密共享、认证码和关联方案中有应用。本文分别考虑和研究了有限域$F_{q^m}$上六类由两个函数$f, g$参数化的线性码$C_{f,g}$的$q$ -元子域码$C_{f,g}^{(q)}$.明确地确定了$C_{f,g}^{(q)}$及其删余码$\bar{C}_{f,g}^{(q)}$的参数和汉明重量分布。并对这些码的误码性能参数进行了分析。所得到的$q$元码$C_{f,g}^{(q)},$ $\bar{C}_{f,g}^{(q)}$及其对偶码中有些是最优的，有些具有最好的已知参数.确定了前两类线性码$C_{f,g}$的参数和重量计数器，其中第一类是满足Griesmer界的最优双重量线性码，这两类码的对偶码几乎都是MDS码.作为本文的一个副产品，利用$m \geq 2$得到了一族$[2^{4m-2},2m+1,2^{4m-3}]$四元厄米特自对偶码。作为一个应用，我们证明了三个家庭的衍生线性码产生几个无限家庭的$t$ -设计（$t \in \{2, 3\}$）。
2023-03-07 cs.IT math.IT
Partition-Balanced Families of Codes and Asymptotic Enumeration in Coding Theory
我们介绍了类的分区平衡家庭的代码，并展示了如何利用其组合不变量，以获得上界和下界的代码的数量，具有规定的属性。特别是，我们得到精确的渐近估计的密度函数的几个类的代码是极端的最小距离，覆盖半径，和极大值。本文中开发的技术适用于各种距离函数，包括汉明距离和秩度量距离。结果的应用表明，与$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性MRD码不同，$\mathbb{F}_q$ -线性MRD码在相同维数的码族中不是稠密的.更准确地说，我们表明，密度的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD码在$\mathbb{F}_q^{n \times m}$在所有矩阵码的集合中的相同维度是渐近最多$1/2$，无论是作为$q \to +\infty$和作为$m \to +\infty$。我们还证明了MDS和$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性MRD码在极大码族中是稠密的。虽然不存在一个直接的模拟的覆盖半径的$\mathbb{F}_q$ -线性秩度量码的冗余界，我们证明了一个类似的界是满足一个均匀随机矩阵码的高概率。特别是，我们证明了代码满足这个界限是密集的。最后，我们计算了线性码在秩度量中的平均重量分布，以及推广线性码的总重量的其他参数。
2018-12-12 cs.IT math.IT
