Sziklai's conjecture on the number of points of a plane curve over a finite field II
Masaaki Homma, Seon Jeong Kim
解决了Sziklai关于有限域上平面曲线非奇异点个数的猜想。
We settle the conjecture posed by Sziklai on the number of points of a plane curve over a finite field under the assumption that the curve is nonsingular.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On maximal plane curves of degree $3$ over $\mathbb{F}_4$,and Sziklai's example of degree $q-1$ over $\mathbb{F}_q$
给出了$\mathbb{F}_4$上的次数为$3$的极大平面曲线的分类，它补充了Hirschel-Storme-Thas-Voloch关于$\mathbb{P}^2$上Hermite曲线的一个特征定理.这个补充部分应该被理解为Sziklai的例子的分类的最大平面曲线度$q-1$在$\mathbb{F}_q$。虽然出现了两条在$\mathbb{F}_4$上直到在$\mathbb{F}_4$上射影等价的次数为$3$的极大平面曲线，但它们在$\mathbb{F}_4$上是双有理等价的。
Optimal plane curves of degree $q-1$ over a finite field
设$q\geq 5$是素数幂。本文证明了：如果定义在$\mathbb{F}_q$上的一条平面曲线$\mathcal{X}$的次数$q - 1$不含$\mathbb{F}_q$ -线性分量，且其$\mathbb{F}_q$ -有理点数达到Sziklai上界$(d-1)q+1 = (q - 1)^2$，则对于某些$α, β, γ\in \mathbb{F}_q^{*}$，$\mathcal{X}$在$\mathbb{F}_q$上投影等价于曲线$ \mathcal{C}_{(α,β,γ)} : αX^{q - 1} + βY^{q - 1} + γZ^{q - 1} = 0$，使得$α+ β+ γ= 0$ .这就完成了对Sziklai界限极值曲线的分类。同时，由于$q - 1$次平面曲线的Sziklai界等于Stöhr-Voloch界，我们的主要结果对$\mathbb{F}_q$ -Frobenius经典极值$q - 1$次平面曲线进行了分类.
A bound for the number of points of space curves over finite fields
对于次数为$d$的非退化不可约曲线$C$在$\mathbb{P}^3$ over $\mathbb{F}_q$上，证明了$C$的$\mathbb{F}_q$ -有理点的个数$N_q(C)$满足不等式$N_q(C) \leq (d-2)q+1$ .我们的结果改进了Homma在2012年得到的$N_q(C) \leq (d-1)q+1$界，并导致了一个自然的猜想，推广了有限域上平面曲线点数的Sziklai界。
On a conjecture by N. Takahashi on log mirror symmetry for the projective plane
根据N.高桥
Oka's conjecture on irreducible plane sextics. II
完成了关于不可约平面六次曲线的Alexander多项式的Oka猜想的证明。我们还计算了奇点邻近于$J_{10}$的不可约六次曲线的基本群。
Integral points on plane curves and Plane Jacobian Conjecture over number fields
设$K$是数域，$O_K$是$K$的整数环.根据Siegel关于仿射代数曲线上整点的定理，$K$上的平面雅可比猜想等价于以下陈述：如果$P,Q\in O_K[x,y]$和$P_xQ_y-P_yQ_x\equiv 1$，则曲线$P=0$有多个整点。
An algorithmic approach to the Polydegree Conjecture for plane polynomial automorphisms
我们研究了仿射平面的多项式自同构群上两个结构之间的相互作用：它的结构是一个合并的自由积和一个无限维代数簇。我们引入了一个新的猜想，并证明了它如何蕴涵多度猜想。由于新猜想是一个理想隶属问题，这表明多度猜想是算法可判定的。我们进一步描述了这种方法如何提供了一个统一的和更短的方法恢复现有的结果江户和Furter。
Oka's conjecture on irreducible plane sextics
本文部分证明和部分反驳了Oka关于不可约平面六次曲线的基本群/Alexander多项式的猜想。在其他结果中，我们列举了所有不可约的六分线与简单的奇异承认二面角覆盖，并找到亚历山大等价Zagliki对不可约的六分线的例子。
The monodromy conjecture for plane meromorphic germs
在[GZLM 1]中引入了亚纯函数的Milnor纤维化的概念以及相应的单值性和单值zeta函数的概念。本文定义了亚纯芽的拓扑zeta函数，并在平面情形下研究了它的极点。我们表明，极点不表现为在全纯的情况下，但仍然满足推广的单值猜想。
Yano's conjecture for 2-Puiseux pair irreducible plane curve singularities
1982年，Yano提出了一个猜想，预言了不可约平面曲线奇异性的$b$ -指数，该奇异性在其等奇异性类中是通用的。在这篇文章中，我们证明的情况下，两个Pui-puix对和monodromy具有不同的特征值的猜想。单值性的假设意味着$b$ -指数与伯恩斯坦多项式的根的相反方向一致，并且我们计算了伯恩斯坦多项式的根。
On Free and Nearly Free Conjecture of Rational Unibranched Projective Plane Curves
本文证明了补集欧拉示性数不小于自由缺陷的不等式，从而验证了有理单分支平面曲线自由或近自由的猜想。
Bloch's conjecture for fake projective planes with an automorphism of order 3
本文证明了对某些一般型曲面上的对合在零维Chow群上作用为恒等，从而验证了Bloch猜想，并推广到某些伪射影平面。
On the Bounded Negativity Conjecture and singular plane curves
特征0中没有已知的有界负性失效。鉴于最近的工作表明有界负性猜想在有理曲面的正特征中失败，我们提出了新的特征自由猜想作为替代。我们还开发了限制其消极的曲线的数值特征的界限。例如，我们证明了一个有理曲线$C$的$H$ -常数最多$9$奇点满足$H(C)>-2$的特性无关。
New distinct curves having the same complement in the projective plane
1984年，H. Yoshihara证明了如果两条平面不可约曲线有同构补曲线，则它们是射影等价的，并证明了关于一类特殊的单尖曲线族的猜想。最近，J.Blanc给出了这个猜想的39次反例，但没有一个是单尖的。本文对任意m个\geq 2，给出了该猜想的一个新的4 m + 1阶单尖反例族.特别是，我们有9次的反例，这似乎是最低可能的次数。
Computing Jet Differentials and the Green-Griffiths-Lang Conjecture for Complements of Smooth Plane Curves
针对光滑平面曲线补集的Green-Griffiths-Lang猜想，本文开发了计算负扭曲不变对数2-喷流微分族的有效方法，给出该猜想的计算准则并对若干曲线族验证，明确了相关例外轨迹。
Smooth $\mathbb{Q}$-homology planes satisfying the Negativity Conjecture
本文针对满足负性猜想的对数一般型光滑$\u211a$-同调平面，给出了完整分类，验证了tom Dieck-Petrie猜想，并证明其满足刚性猜想与自同构群阶数不超过6的Koras猜想。
The monodromy conjecture for a space monomial curve with a plane semigroup
研究了一类空间单项式曲线的单值性猜想，该曲线是等奇异曲线族的特殊纤维，其平面分支是一般纤维。粗略地说，单值猜想指出，动机或相关的Igusa zeta函数的每一个极点都诱导出单值的本征值。由于与这种空间单项曲线相关联的motivic zeta函数的极点在早期的工作中已经确定，因此仍然需要研究单值的特征值。在将问题简化为一般嵌入曲面上的Cartier因子曲线后，我们构造了这对曲面的嵌入式$\mathbb Q$ -分辨率，并使用A 'Campo公式计算单值性的zeta函数.结合所有结果，我们证明了这类单项曲线的单值猜想。
The plane Jacobian conjecture for rational curves
设K是特征为零的代数闭域，f（x，y）是K[x，y]的非零多项式.证明了若族$(f-λ)\_λ$的通有元是有理多项式，且Jacobian J（f，g）对于K[x，y]中的某个多项式g是非零常数，则K[f，g] =K[x，y].
Equivariant Jacobian Conjecture in dimension two
设$G$是有效作用于复仿射平面的有限群.如果$G$ -作用与仿射平面的一个自同态$f$交换，并且$G$的阶是偶数，则自同态$f$是自同构。
On the Xiao conjecture for plane curves
设$f: S\longrightarrow B$是从复射影光滑曲面$S$到亏格为$b$的光滑曲线$B$的非平凡纤维化。令$c_f$为$f$的通用纤维$F$的Clifford指数。在[arXiv：1401.7502v4]中，证明了$f$的相对不规则性，$q_f=h^{1,0}(S)-b$小于或等于$g(F)-c_f$。特别证明了（修正的）肖氏猜想：广义Clifford指数纤维化的$q_f\le 1+g(F)/2$.本文假设$f$的类属纤维是$d\ge 5$度的平面曲线，并证明了$q_f\le g(F)-c_f-1$。特别地，我们得到了五次平面曲线族的猜想。这个定理是隐含在以下结果的无穷小变形：让$F$光滑平面曲线的程度$d\ge 5$和让$ξ$是一个无穷小变形的$F$保持平面性的曲线。则杯积映射$\cdot ξ: H^0(F,ω_F) \rightarrow H^1(F,O_F)$的秩至少为$d-3$。我们还表明，这个界限是尖锐的。
Iterated Images and the Plane Jacobian Conjecture
我们证明了雅可比对的迭代像是稳定的;也就是说，当k足够大时，复二空间到自身的多项式映射的第k次迭代都具有相同的像，且具有非零常数雅可比行列式。更一般地说，我们得到了相同的结果为开多项式映射的闭代数子集X的复N-空间本身，有有限的余像，并为余有限的子集，这样的X不变下的地图。我们应用这些结果，以获得一个新的特征的二维复雅可比猜想有关的满射性问题。
Yano's conjecture
本文给出了T. Yano关于不可约平面曲线奇异点的一般$b$ -指数.
The Multivariable Strong Monodromy Conjecture for Plane Curves
该研究针对全纯芽组建立迭代残差障碍，证明局部多变量拓扑ζ函数的极大阶极超平面及约化平面曲线芽组的实际极超平面均含于Bernstein–Sato零轨迹，从而证明平面曲线的拓扑多变量强单值群猜想。
On some conjectures about free and nearly free divisors
本文给出了复射影平面上非有理曲线的不可约自由曲线和近自由曲线的无限族例子，它们的局部奇点可以有任意数目的分支。所有这些例子都否定了A. Dimca和G.斯蒂克拉鲁我们的例子并没有说明A. Dimca和G. Sticlaru定理，即有理尖点平面曲线要么自由，要么几乎自由。
Linear Systems of Plane Curves with Base Points of Equal Multiplicity
本文讨论了用$n$一般重点$m$计算$d$次平面曲线空间的维数问题。Harbourne和Hirschowitz的一个猜想暗示，当$d \geq 3m$时，维数等于由Riemann-Roch定理给出的期望维数。此外，尺寸大于预期的系统应具有包含多个$(-1)$曲线的固定部分。我们重新明确列出这些系统，有意想不到的尺寸这个猜想。然后，我们使用退化技术在以前的文章（“退化的平面线性系“，alg-geom/9702015），以表明该猜想适用于所有$m \leq 12$。
The Kleiman-Piene Conjecture and node polynomials for plane curves in $\mathbb{P}^3$
对于光滑射影曲面族$q:\mathcal{S}\rightarrow B$上的相对有效因子$\mathcal{C}$，我们考虑$B$中$\mathcal{C}$的纤维是$δ$ -节曲线的轨迹.本文证明了Kleiman和Piene关于该轨迹上的计数圈的普适性的一个猜想。我们提出了一个bivariant类$γ(\mathcal{C})\in A^*(B)$动机的BPS演算Pandharipande和托马斯，并表明它可以普遍表示为一个多项式的类的形式$q_*(c_1(\mathcal{O}(\mathcal{C}))^a c_1(T_{\mathcal{S}/B})^b c_2(T_{\mathcal{S}/B})^c)$。在一个满度假设下，证明了$γ(\mathcal{C})\cap[B]$是一类支持度等于$δ$ -节曲线轨迹闭包的自然有效环.最后，我们将应用我们的方法计算$\mathbb{P}^3$中与一般直线相交的平面曲线的节点多项式。我们使用19世纪舒伯特的几何学来验证我们的结果。
Smooth limits of plane curves of prime degree and Markov numbers
对于维数至少为3的素度超曲面，森问是否每一个光滑的固有极限仍然是超曲面。有趣的是，在1维和2维中，情况并非如此。例如，格里芬构建明确的家庭五次曲线，使反例在1维（堀川构建类似的例子，五次在2维）。在本文中，我们提出了一个猜想解释这些例子使用Hacking和Prokhorov的工作Q-Gorenstein限制的射影平面。特别地，如果p是一个非马氏数的素数，我们猜想任意p次平面曲线的光滑投射极限都是一条平面曲线.主要结果是证明了这一猜想的7度曲线和推广格里芬的反例，所有的素数，也是马尔可夫数。
Milnor number of plane curve singularities in arbitrary characteristic
本研究将Kouchnirenko公式推广至任意退化幂级数，并推广García Barroso和Płoski的猜想，特别利用Greuel和Nguyen的结果在某些情形下证明了该猜想。
On the $b$-exponents of generic isolated plane curve singularities
1982年，Tamaki Yano提出了一个猜想，预测了不可约平面曲线的$b$ -指数集如何在其等奇异性类中是通用的。1986年，Pi。卡苏-诺格斯证明了一个Pui-puix对的情况下猜想。在以前的工作中，作者证明了猜想两个Puixix对芽的复代数monodromy有不同的特征值。由Yano猜想引起的一个自然问题是，对于孤立的平面曲线奇异芽的一般等奇异变形，研究$b$ -指数集如何依赖于奇异点的拓扑。由矢野的方法提出的自然推广在适当的例子中成立（对于孤立奇点的情况，这些奇点是牛顿非退化的，commode并且其谱数集都是不同的）。此外，我们用一个例子表明，这种自然的概括是不正确的。我们限制到细菌的复杂的代数monodromy有不同的特征值，使嵌入的决议图的顶点的价在最多3，我们讨论了一些例子与多个特征值。
The Crepant Resolution Conjecture
对于承认可信解析并满足硬莱夫谢茨条件的轨道褶皱，我们推导出轨道褶皱的Gromov-Witten理论与解析之间的猜想等价性。证明了关于复平面的n阶对称积的等变Gromov-Witten理论与n点Hilbert概型的猜想。
Variations on Nagata's Conjecture
本文讨论了Nagata猜想关于平面曲线的线性系的一些变形。最相关的是关于某些射线的非有效性（因此是无效的），我们称之为\emph{good rays}，在$n\ge 10$一般点处的平面的爆破\emph{good rays}的森锥中。Nagata的原始结果是$X_n$与$n\ge 16$的平方数的良好射线的存在。使用退化，我们给出了所有$n\ge 10$的$X_n$的好射线的例子。与Nagata的原始结果一样，这意味着希尔伯特XIV问题的反例的存在。最后，我们表明，Nagata的猜想$n\le 89$结合一个更强的猜想$n=10$意味着Nagata的猜想$n\ge 90$。
The correspondence between a plane curve and its complement
给定平面上两条不可约曲线，它们有同构的补曲线，很自然地要问是否存在一个平面的自同构，使一条曲线在另一条曲线上。这个问题有一个肯定的答案为一个大家庭的曲线和H.吉原证实，这是真的一般。在任何基域上，我们给出了这个猜想的反例。在某些情况下，曲线是同构的，而在其他情况下则不是;这提供了两种不同类型的反例。最后，我们使用我们的建设，发现令人惊讶的非线性仿射曲面的自同构的存在。
The Dynamical Mordell-Lang Conjecture for polynomial endomorphisms of the affine plane
本文证明了仿射平面上多项式自同态的动力学Mordell-Lang猜想。
A remark on the Chisini conjecture
Chisini猜想断言，复射影平面上的一般分歧覆盖的次数至少为5，它的分支曲线唯一确定。我们证明了这一点的程度至少12使用工作库利科夫（数学AG/9803144）。
Linear subspaces, symbolic powers and Nagata type conjectures
在Guardo，Van Tuyl和第二作者关于射影空间中直线的结果的基础上，我们给出了射影空间中n维不相交平面并上至少m阶消失的齐次型的最小次数的渐近上界，其中n至少为2r+1.这些考虑导致新的aptutures表明，众所周知的猜想永田点在射影平面不是零星的，而是一个特殊情况下，一个更普遍的现象。
Lagrangian 4-planes in holomorphic symplectic varieties of K3^[4] type
我们分类的拉格朗日4-平面$¶^4$的上同调类的光滑流形$X$变形等价于一个希尔伯特计划的4点的$K3$表面上，单值行动。经典地，$K3$曲面$S$上的有效曲线锥由非负类$C$和节点类$C$生成，其中非负类$C$为$(C,C)\geq0$，节点类$C$为$(C,C)=-2$ ; Hassett和Tschinkel猜想，全纯辛簇$X$上的有效曲线的锥类似地由“节点”类$C$控制，使得$(C,C)=-γ$，对于$(\cdot,\cdot)$现在是Beauville-Bogomolov形式，其中，$γ$对与$C$相关联的极值收缩的几何形状进行分类。特别是，他们推测，$X$变形相当于一个希尔伯特计划的$n$点的$K3$表面上，类$C=\ell$的一条线在一个光滑的拉格朗日$n$ -平面$¶^n$必须满足$(\ell,\ell)=-\frac{n+3}{2}$。通过计算$X$上的monodromy不变量环，证明了关于$n=4$的猜想，并证明了Lagrangian 4-平面存在唯一的monodromy轨道.
On a conjecture on Hodge loci of linear combinations of linear subvarieties
本文针对 Movasati 关于包含相交 $k$-平面的三次和四次超曲面 Hodge 轨迹维数的猜想，在 $k \geq 5$ 时给出反例，并在 $k=3,4$ 时提供支持该猜想的新证据。
Bernstein polynomial of 2-Puiseux pairs irreducible plane curve singularities
1982年，Tamaki Yano提出了一个猜想，预测了不可约平面曲线的奇异芽的b-指数集，该奇异芽在其等奇异类中是通用的。在\cite{ACLM-Yano2}中，我们证明了芽有两个Puietrix对且其代数单值有不同特征值的情况下的猜想。在这篇文章中，我们的目的是研究任何函数的伯恩斯坦多项式与上述假设。特别地，给出了这些伯恩斯坦多项式的所有公共根的集合.我们还提供了一些解析不变量的奇点的界限，并说明计算在适当的例子。
Generic coverings of plane with A-D-E-singularities
本文推广了数学AG/9803144中Chisini猜想关于曲线B对f的唯一重构的结果。为此，研究了通用覆盖物的纤维产品。在分支曲线B上存在两个非等价覆盖的情况下，得到了一个覆盖度的主要不等式。这个不等式被用来证明Chisini猜想的m-典型覆盖的一般类型的表面$m\ge 5$。
On submaximal plane curves
我们证明了次极大平面曲线（即，Nagata猜想的一个不可约反例）具有r个奇点，具有重数序列（m，n，.，n），其中m<sn，对于每个整数，（（s-1）（s+2））^2 > 6.76（r-1）。
Quadric cones on the boundary of the Mori cone for very general blowups of the plane
本文证明了平面在至少13个非常一般点爆破的Mori锥边界上存在8维有理球面上的锥，为De Fernex强Δ猜想提供证据，并蕴含Nagata猜想及众多良好和奇妙射线的存在。
On a Conjecture on Linear Systems
Paranjape和Ramanan在对Green猜想的评论中，分析了向量丛$E$，它是由泛商丛$T_{\Pp^{g-1}}(-1)$在$\Pp^{g-1}$上的正则映射拉回的，并提出了一个更一般的猜想，并证明了它对Clifford指标为$1$（三角和平面五次）的曲线。本文对一般线性系提出了猜想，并得到了超椭圆曲线的猜想。
Deformations of plane curves and Jacobian syzygies
本文将约化复平面曲线的等解析变形和等奇异变形与其定义方程的雅可比syzygies联系起来。讨论了几个涉及有理尖点曲线的例子和图解。
A Proof of the Plane Jacobian Conjecture
由于第7节中的错误，本文已被作者撤回。
Plane Jacobian Conjecture for rational polynomials
如果$P$和$Q$是有理多项式，则$\mathbb{C}^2$的非零常数雅可比多项式映射$F=(P,Q)$是可逆的。
Slope equality of plane curve fibrations and its application to Durfee's conjecture
给出了一般纤维为光滑平面曲线的纤维曲面的斜率等式。作为推论，我们证明了孤立超曲面奇性的一个“强”Durfee型不等式，它包含了Durfee关于极小分解例外集的拓扑欧拉数为非负的奇性的强猜想.
The Arc-Floer conjecture for plane curves
本文针对平面曲线情形，证明了arXiv:1911.08213中提出的关于孤立超曲面奇点紧支上同调与Milnor纤维单值群迭代的Floer上同调的Arc-Floer猜想，给出肯定答案。
A note on the plane Jacobian conjecture
证明了每个不可约纤维亏格相同的多项式函数$P : \mathbb{C}^2\longrightarrow \mathbb{C}$都是一个坐标。因此，不存在Jacobian猜想的反例F =（P，Q）使得P的所有纤维都是同一亏格的不可约曲线.
On the freeness of rational cuspidal plane curves
我们带来了额外的支持的猜想说，一个合理的尖平面曲线是自由或几乎自由。这个猜想在偶数次曲线上得到了证实，在本文中，我们对许多奇数次曲线证明了这个猜想。特别是，我们表明，这一猜想持有的曲线的程度最多为34。
Pencil of irreducible rational curves and Plane Jacobian conjecture
本文研究了$\mathbb{C}^2$的多项式映射$F=(P,Q)$的性质，它具有有限纤维，且满足所有曲线$aP+bQ=0$，$(a:b)\in \mathbb{P}^1$都是不可约的有理曲线的条件。结果表明，如果$(0,0)$是$F$的正则值或雅可比条件成立，则这种多项式映射$F$是可逆的.
Plane Jacobian conjecture for simple polynomials
非零常数雅可比多项式映射$F=(P,Q):\mathbb{C}^2 \longrightarrow \mathbb{C}^2$具有多项式逆，如果分量$P$是简单多项式，即，如果当$P$扩展到$\mathbb{C}^2$的紧致化$X$的态射$p:X\longrightarrow \mathbb{P}^1$时，$p$对紧致化因子$D = X-\mathbb{C}^2$的每个不可约分量$C$的限制是次数0或1。
Transcendental versions in C n of the Nagata conjecture
Nagata猜想是平面曲线领域最有趣的公开问题之一。这很容易说。也就是说，它预言了通过射影平面P2中的r个$\ge$ 10个一般点的平面曲线的最小次数d在每个点处至少为l，满足不等式d > $\sqrt$ r $\times$ l.这个猜想已被M. Nagata在1959年，如果r是大于9的完满平方。经过许多研究人员半个多世纪的关注，到目前为止，它仍然对每个非平方r $\ge$ 10开放。在本文中，我们制定新的超越版本的这个猜想来自多能理论，这是等价于一个版本在Cn的Nagata猜想。
On irregular links at infinity of algebraic plane curves
我们对第一作者的一个猜想给出了两个证明（Inv. Math.98，1989），一条约化的代数平面曲线在无穷远处是正则的当且仅当它在无穷远处的连杆是正则的toral连杆。这个猜想也被哈·H证明了。在无穷远处使用Lojasiewicz数。我们的第一个证明使用极不变量和第二个证明使用线性系统的平面曲线奇点。第二种方法（基于准备中的一篇论文）也证明了一个更强的猜想（同上。（同上）在拓扑上描述与无穷远处的不规则链接相关联的无穷远处的规则链接。
Manin's conjecture for the chordal cubic fourfold
本文证明弦三次四重流形上Manin猜想的薄集版本，通过将其与射影平面的对称平方同构，归结为Schmidt的二次点结果。
The Coolidge-Nagata conjecture holds for curves with more than four cusps
设E是定义在复数上的平面有理曲线，且仅有局部不可约奇点。柯立芝-永田猜想指出E是可求长的，也就是说它可以通过平面的双有理自同构变换成直线。我们表明，如果它是不可求长的，那么树的例外因子的最小嵌入奇点的分解有最多9个最大的分支。这解决了猜想的情况E有四个以上的奇点。
Comment on a Paper by Kuo, Parusinski and Paunescu On Jacobian Conjecture
该论文题为“一个证明的平面雅可比猜想”是不正确的。
On the dynamical Manin-Mumford conjecture for plane polynomial maps
在特征0域上，证明了正则多项式映射的动力Manin-Mumford猜想对避开无穷远处超吸引轨道的不可约曲线成立。
Betti numbers for fat point ideals in the plane: a geometric approach
考虑了在射影平面上一般点上支撑的胖点子概型的分次贝蒂数的确定问题。我们将这个问题的开放的几何问题，确定分裂类型的拉回的余切丛在平面上的正规化某些合理的平面曲线。我们给出了一个猜想的分级贝蒂数，这将确定他们在所有程度，但一个为每个胖点子计划支持一般点的平面。我们还证明了我们的贝蒂数猜想在广泛的情况下。附录讨论了更多的情况下，我们的猜想已被验证的计算，并提供了一个新的和更有效的计算方法计算分级贝蒂数在一定程度上。它还演示了如何导出贝蒂数的显式几何值以及如何计算分裂类型。
Computing Node Polynomials for Plane Curves
根据Göttsche猜想（现在是一个定理），如果d足够大，则具有delta节点的d次平面曲线的塞维里簇的次数N^{d，delta}由d中的多项式给出。这些“节点多项式”N_delta（d）分别由Vainsencher和Kleiman-Piene确定，delta <= 6和delta <= 8。基于Fomin和Mikhalkin的思想，我们开发了一个计算所有节点多项式的显式算法，并使用它来计算delta <= 14的N_delta（d）。此外，我们改进了多项式的阈值，并验证了Göttsche关于最佳阈值的猜想，直到delta <= 14。我们还确定了N_delta（d）的前9个系数，对于一般的delta，解决和扩展了Di Francesco和Itzykson 1994年的猜想。
The Hertling conjecture in dimension 2
我们考虑一条孤立的平面曲线的奇异性及其相应的Eisenbud的Neumann图.我们给出了一个算法来计算图上的最大谱值，我们表明，奇异性是拓扑等价于另一个奇异性的最大谱值是由点$(1,1)$在牛顿多边形的平面。从图的拼接分量上的几乎可加性，我们计算谱值的平方和。这个公式与前面关于最大谱值的结果一起给出了赫特林猜想的一个推论。
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