On Ternary Diophantine Equations of Signature $(p,p,3)$ over Number Fields
本文利用模方法证明了丢番图方程$x^p+y^p=z^3$在各种数域上的解的结果。首先，通过假设一些标准的模猜想，证明了满足一定技术条件的窄类数的一般数域的一个渐近结果。其次，我们证明了存在一个显式的界，使得方程$x^p+y^p=z^3$在$K=\Q(\sqrt{-d})$上没有特定类型的解，其中$d=1,7,19,43,67$，只要$p$大于这个界。在证明过程中，我们证明了关于伽罗瓦表示的不可约性、惯性群的象和Bianchi新形的各种结果。
2022-03-08 math.NT
The classification and representations of positive definite ternary quadratic forms of level 4N
本文针对无平方因子整数N，给出4N级正定三元二次型的完整分类，并利用三元二次型、四元数代数与Jacobi形式的关系，建立各类表示加权和的显式公式，进而得到类数公式及权3/2模形式Eisenstein空间的应用。
2024-02-27 math.NT
Equidistribution of CM points on Shimura Curves and ternary theta series
本文证明全实域上志村曲线特殊纤维上CM点Galois轨道约化的等分布（含分裂和分歧情形，分歧情形用Cerednik-Drinfeld一致化模解释），通过关联权3/2希尔伯特模形式及分析傅里叶系数实现，并推导出André-Oort猜想积分版本的志村曲线情形。
2025-04-16 math.NT
Self-conjugate 6-cores and quadratic forms
在这项工作中，我们分析了自共轭6-核心划分数$sc_{6}(n)$的行为，利用二次和模形式的理论。特别是，我们探索何时出现$sc_{6}(n) > 0$。过去曾研究过$sc_{t}(n)$的阳性性，当$t > 7$。Hanusa和Nath分析了$t = 6$病例，他们证实了$sc_{6}(n) > 0$，但$n \in \{2, 12, 13, 73\}$除外。这启发了Alpoge的定理，它使用Duke和Schulze-Pillot的深入结果来证明$sc_{6}(n) > 0$对于使用特定三元二次型$Q$的表示数的$n \gg 1$。近似这样的表示数涉及虚二次域的类数，这直接关系到狄利克雷$L$ -函数的值。目前，我们只能从下面有效地约束这些。这是目前的主要障碍，在获得更明确的近似表示数的三元二次型，特别是在显示明确的积极性结果$sc_{6}(n)$。然而，通过假设广义黎曼假设，我们能够解决Hanusa和Nath猜想。
2022-11-07 math.NT
A generalization of Watson transformation and representations of ternary quadratic forms
设$L$是一个正定（非经典）三元$\z$ -格，$p$是一个素数，使得$L_p$的一个$\frac 12\z_p$ -模分量是非零各向同性的，并且$4\cdot dL$不能被$p$整除.对于非负整数$m$，令$\mathcal G_{L,p}(m)$是二次空间$L^{p^m}\otimes \q$上具有判别式$p^m\cdot dL$的亏格，使得对于每个格$T \in \mathcal G_{L,p}(m)$，$T_p$的$\frac 12\z_p$ -模分量是非零各向同性的，并且对于不同于$p$的任何素数$q$，$T_q$与$(L^{p^m})_q$等距。令$r(n,M)$是整数$n$由$\z$ -格$M$表示的数量。本文证明了如果$m \le 2$和$n$仅当$m=2$时才能被$p$整除，则对于任何$T \in \mathcal G_{L,p}(m)$，$r(n,T)$都可以表示为$r(pn,S_i)$和$r(p^3n,S_i)$的线性和，对于$S_i \in \mathcal G_{L,p}(m+1)$，在某些特殊情况下还需要增加一项.我们提供了一个简单的标准，当额外的条款是必要的，我们计算额外的条款明确。对于任意的整数$m$，我们也给出了一个递归关系式，利用某些整数在$\mathcal G_{L,p}(m+1)$中的格表示的个数，对任意的$T \in \mathcal G_…
2016-01-07 math.NT
Twisted Hilbert modular L-functions and spectral theory
这些是2010年在中国威海CIMPA研究学院“自守形式和L函数”的四个讲座的笔记。讲座的重点是一个伯吉斯一样的次凸界扭曲希尔伯特模块化L函数共同出版的瓦伦丁布洛默在同一年。他们详细讨论了证明，特别是如何使用谱理论来有效地估计相关的移位卷积和。他们还简要地讨论了全实数域上全正三元二次型表示数的一个应用。
2014-02-06 math.NT
On the positivity of black hole degeneracies in string theory
本文用显式弱耦合微观描述精确计算了N=4和N=8超弦理论中荷电态的螺旋度迹指数。这些指标预计将计算携带相同电荷的黑洞的精确量子简并。为了使这种解释是一致的，这些指数应该是正整数。我们证明了一类在T^6/T^5和K3 \times T^2/S^1上紧化的II型弦论中的四维/五维黑洞的正性性质.证明依赖于相应的生成函数的模拟模块属性。
2012-09-14 hep-th math.NT
The distribution of closed geodesics on the modular surface, and Duke's theorem
本文给出了Duke关于模曲面上闭测地线等分布的一个定理的遍历理论证明。这一证明与于的工作密切相关。Linnik和B. Skubenko，谁特别证明了这一均等分布下一个额外的合同假设的判别式。我们给出了一个更概念性的处理熵理论，并展示了如何使用积极的判别式作为替代林尼克的同余条件。
2011-09-02 math.DS math.NT
Geometric weight-shifting operators on Hilbert modular forms in characteristic p
我们进行了一个深入的研究的重量移位运营商的Hilbert模形式的特征$p$，推广了作者以前的工作与Sasaki的情况下，$p$是分歧的全实领域$F$。特别地，我们利用Reduzzi和Xiao定义的部分Hasse不变量和Kodaira-Spencer滤子，改进了Andreatta和Goren构造的部分$Θ$ -算子，得到了从几何Serre权结构的角度看对权影响最优的算子.此外，我们描述的部分$Θ$ -算子的核的图像的几何构造的部分Frobenius算子。最后，我们应用我们的结果证明了mod $p$ Hilbert模形式的最小权的部分正性结果。
2021-09-18 math.NT
Chebyshev's bias for modular forms
Toyo University（东洋大学）；University of Warwick（华威大学）；Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）
本文研究了Γ₀(N)上cuspidal newforms的傅里叶系数符号的切比雪夫偏差，证明了偏差由L函数在中心点的消失阶数决定，并验证了超正性性质。
2026-01-15 math.NT
Vector-valued modular functions for the modular group and the hypergeometric equation
本文给出了模群有限维表示的上半平面全纯向量值模函数的一般理论。这也提供了任意半整数权重的向量值模形式的描述。它表明，这些模函数的空间是跨越，作为一个模块在J中的多项式，由一个矩阵，满足一个抽象的超几何方程的列，提供了一个简单的解决方案的黎曼-希尔伯特问题的模群的表示。讨论了解析性对该微分方程系数的限制，并给出了一个反演公式，该公式允许从奇异性确定任意向量值模函数.讨论了膨胀系数的合理性和正性问题。给出了半整数权向量值模形式个数的封闭表达式，并通过简单的例子说明了一般理论。
2007-05-17 hep-th math.NT
On the Elliptic Curve $X_0(49)$ over Quadratic Extensions
本研究在Birch and Swinnerton-Dyer猜想假设下，结合Tunnell方法、Waldpurger定理与Ueda分解，给出模曲线$X_0(49)$在二次扩域$\u211a(\u221ad)$上秩为正的等价判定条件。
2025-10-29 math.NT
Shifted powers in binary recurrence sequences
设$u_k$为Lucas序列。用于确定序列$u_k$中的完美幂的标准技术将来自于序列中的线性形式的界限与通过Frey曲线和模块性获得的局部信息相结合。这种方法的关键在于，方程$u_k=x^n$可以转化为$a y^2=b x^{2n}+c$形式的三元方程（具有$a$、$b$、$c \in \mathbb{Z}$），其中Frey曲线是可用的。在本文中，我们认为转移的权力卢卡斯序列，因此方程的形式$u_k=x^n+c$，通常不对应于三元方程的有理未知数。然而，他们做，在某些假设下，导致三元方程的未知数在完全真实的领域，使我们能够采用弗雷曲线在这些领域，而不是弗雷曲线定义在$\mathbb{Q}$。我们说明了这种方法，表明四元丢番图方程$x^{2n} \pm 6 x^n+1=8 y^2$没有解决方案，在正整数$x$，$y$，$n$与$x$，$n>1$。
2014-08-07 math.NT
Metaplectic Ramanujan conjecture over function fields with applications to quadratic forms
在有限域上的多项式环中，给出并证明了半整权模形式的Ramanujan猜想的类似结果.这是适用于给一个有效的解决问题的元素表示的环的三元二次型。我们的证明发展了半积分权形式和西格尔的θ函数在这方面的理论，以及一个明确的Waldspurger公式的模拟。在有理数的情况下，半整权Ramanujan猜想以这种方式转化为一个估计特殊的L-函数族的成员的特殊值的问题。这些多项式函数有越来越多的根（所有的单位圆感谢德林费尔德和德利涅的工作），这是成为equidistributed。这最终导致半整权尖点形式的傅里叶系数的关键估计。
2012-11-16 math.NT
Coprime-Universal Quadratic Forms
给定素数 $p>3$，本文刻画了对 $p$ 是 coprime-universal 的正定整二次型，推广了 $290$ 定理，并在 GRH 下证明了特定情况，最后探讨了等差数列的表示问题。
2024-06-03 math.NT
On the 1-3-5 conjecture and related topics
Z的1-3-5猜想W. Sun指出，任何$n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$都可以写为带有$w,x,y,z\in\mathbb N$的$x^2+y^2+z^2+w^2$，使得$x+3y+5z$是正方形。本文利用三元二次型及相关模型理论，研究了整数形式的1-3-5猜想及相关的带线性约束的四个平方的加权和.本文给出了两个典型结果：（1）存在正整数的有限集合$A$，使得任何不在集合$\{16^ka:\ a\in A,\ k\in\mathbb N\}$中的足够大的整数都可以写成$x^2+y^2+z^2+w^2$，其中有$x,y,z,w\in\mathbb Z$和$x+3y+5z\in\{4^k:\ k\in\mathbb N\}$。(ii)任何正整数都可以写为$x^2+y^2+z^2+2w^2$，带有$x,y,z,w\in\mathbb Z$和$x+y+2z+2w=1$。此外，任何足够大的整数都可以用$x,y,z,w\in\mathbb Z$和$x+2y+3z=1$写成$x^2+y^2+z^2+2w^2$。
2020-03-06 math.NT
