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arXiv 0905.4334math.PRmath.STstat.TH
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大偏差在Billingsley例子中的应用

Large Deviations Application to Billingsley's Example

R. Liptser

备注：
60F10, 60J27
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摘要：

我们考虑一个经典的模型与经验分布函数$ F_n(t)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI_{\{ξ_k\le t\}}$的$(ξ_k)_{i\ge 1}$-i.i.d.随机变量序列，支持区间$[0,1]$，具有连续分布函数$F(t)=\mathsf{P}(ξ_1\le t)$。利用"停时技巧"，给出了Kolmogorov在1943年提出的指数界$$ \mathsf{P}\big(\sup_{t\in[0,1]}|F_n(t)-F(t)|\ge \varepsilon\big)\le \text{const.}e^{-nδ_\varepsilon} $$的一个证明.使用这个界限，我们建立了一个最好的可能的对数渐近的$$ \mathsf{P}\big(\sup_{t\in[0,1]}n^α|F_n(t)-F(t)|\ge \varepsilon\big) $$的速率$ \frac{1}{n^{1-2α}} $慢于$\frac{1}{n}$的任何$α\in\big(0,{1/2}\big)$。

英文摘要：

We consider a classical model related to an empirical distribution function $ F_n(t)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI_{\{ξ_k\le t\}}$ of $(ξ_k)_{i\ge 1}$ -- i.i.d. sequence of random variables, supported on the interval $[0,1]$, with continuous distribution function $F(t)=\mathsf{P}(ξ_1\le t)$. Applying ``Stopping Time Techniques'', we give a proof of Kolmogorov's exponential bound $$ \mathsf{P}\big(\sup_{t\in[0,1]}|F_n(t)-F(t)|\ge \varepsilon\big)\le \text{const.}e^{-nδ_\varepsilon} $$ conjectured by Kolmogorov in 1943. Using this bound we establish a best possible logarithmic asymptotic of $$ \mathsf{P}\big(\sup_{t\in[0,1]}n^α|F_n(t)-F(t)|\ge \varepsilon\big) $$ with rate $ \frac{1}{n^{1-2α}} $ slower than $\frac{1}{n}$ for any $α\in\big(0,{1/2}\big)$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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