Some bounds for the complete elliptic integrals of the first and second kinds
Bai-Ni Guo, Feng Qi
利用函数的幂级数展开式、著名的Wallis不等式和R. P. Agarwal，P. Cerone，S. S. Dragomir和F.气
In the article, the complete elliptic integrals of the first and second kinds are bounded by using the power series expansions of some functions, the celebrated Wallis' inequality, and an integral inequality due to R. P. Agarwal, P. Cerone, S. S. Dragomir and F. Qi.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sharp double inequality for complete elliptic integral of the first kind
对于$r\in(0,1)$，函数$\K(r)=\int_0^{π/2}(1-r^2\sin^2t)^{-1/2}dt$被称为第一类完全椭圆积分。本文证明了两个涉及$\K(r)$的函数的绝对单调性。从而改进了Alzer和Richards的结果。
Convexity and monotonicity for the elliptic integrals of the first kind and applications
椭圆积分及其各种推广在现代数学的各个分支中都起着非常重要的基础作用。众所周知，它们不能用初等超越函数来表示。因此，有一个尖锐的积分族的可计算的界限的需要。本文利用两种新的工具，研究了第一类完全椭圆积分的某些组合的单调性和凸性，得到了它们的新的锐界和不等式.特别地，我们证明了函数$\mathcal{K}\left( \sqrt{% x}\right) /\ln \left( c/\sqrt{1-x}\right) $在$\left( 0,1\right) $上是凹的当且仅当$c=e^{4/3}$，其中$\mathcal{K}$表示第一类完全椭圆积分.
The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 16: Complete elliptic integrals
该表的Gradshteyn和Ryzhik包含许多条目，是有关的椭圆积分。我们提出了其中一些系统的推导。
Inversions of integral operators and elliptic beta integrals on root systems
本文证明了一类新的椭圆超几何积分的反演公式，它与一对根系有关。利用（A，C）反演公式对一个已知的C型椭圆β积分进行反演，得到了A型根系的一个新的椭圆β积分.该积分的有效性也通过不同的方法建立。
Spherical Couplings and Multiple Elliptic Integrals
椭圆积分上的各种积分被评估为球上的耦合，从而导致数学常数$π$，$G$和$ζ(3)$的积分和级数表示。
Sharp bounds for generalized elliptic integrals of the first kind
本文证明了二重不等式\begin{equation*} 1+αr'^2<\frac{\mathcal{K}_{a}(r)}{\sin(πa)\log(e^{R(a)/2}/r')}<1+βr'^2 \end{equation*}对所有$a\in (0, 1/2]$和$r\in (0, 1)$成立当且仅当$α\leq π/[R(a)\sin(πa)]-1$和$β\geq a(1-a)$成立，其中$r'=\sqrt{1-r^2}$，$\mathcal{K}_{a}(r)$是第一类广义椭圆积分，$R(x)$是Ramanujan常数函数.此外，作为关键工具，给出了Ramanujan常数函数$R(x)$的级数表达式.
On a Conjecture Concerning the Approximates of Complete Elliptic Integral of the First Kind by Inverse Hyperbolic Tangent
设$\K$为第一类完全椭圆积分。本文证明了函数$r\mapsto r^{-2}\{[\log(2\K(r)/π)]/\log((\arth r)/r)-3/4\}$是从$(0,1)$到$(1/320,1/4)$的严格递增函数，使得$[(\arth r)/r]^{3/4+r^2/320}<2\K(r)/π<[(\arth r)/r]^{3/4+r^2/4}$对于$r\in(0,1)$，其中两个界的指数的所有系数都是最佳可能的，从而证明了Alzer和Qiu提出的一个猜想是正确的，并给出了比他们在公开问题中提出的更好的$\K(r)$的界.得到了完全椭圆积分的其它解析性质，包括$\K(r)$的其它近似。
On generalized complete elliptic integrals and modular functions
本文研究广义椭圆积分和广义模函数。给出了这些函数和相关函数的几个新的不等式。
Some inequalities for complete elliptic integrals
本文利用Lupa积分不等式，得到了第一、第二类完全椭圆积分的几个新的不等式.这些结果改进了一些已知的不等式。
Numerical computation of real or complex elliptic integrals
本文对这三类对称椭圆积分的数值计算算法作了若干改进，并推广到复变量（对第三类积分有一些限制）。数值检查值，一致性检查，并与勒让德积分和Bulirsch积分的关系。
A Power Mean Inequality involving the complete elliptic integrals
研究了由完全椭圆积分定义的一类特殊函数的幂平均不等式。
Short proofs of the elliptic beta integrals
给出了以$|q|, |p|<1$为基的一元椭圆型Beta积分的初等证明及其对$A_n$和$C_n$根系上积分的多参数推广.我们还证明了一些新的单位圆重椭圆β积分，这是很好地定义为$|q|=1$，和他们的$p\to 0$退化。
New Clebsch-Gordan-type integrals involving threefold products of complete elliptic integrals
与广义Clebsch-Gordan（CG）积分相关的多重椭圆积分在物理学和特殊函数理论的许多领域中具有重要意义。周介绍和应用勒让德函数为基础的技术，以证明符号评价积分的CG形式涉及两重和三重产品的完整椭圆积分表达式，这包括周显着的证明一个开放的问题，由于万。上述考虑激发了本文中介绍的结果，其中，我们证明了封闭形式的评估新的CG型积分，涉及三重产品的完整的椭圆积分$K$和$E$。我们的方法是基于分数阶导数算子的使用，通过一种技术的变体，我们以前被称为半分部积分法。
Integral representation for a product of two Jacobi functions of the second kind
By starting with Durand's double integral representation for a product of two Jacobi functions of the second kind, we derive an integral representation for a product of two Jacobi functions of the second kind in kernel form. We also derive a Bateman-type sum for a product of two Jacobi functions of the second kind. From this integral representation we derive integral representations for the Jacobi function of the first kind in both the hyperbolic and trigonometric contexts. From the integral representations for Jacobi functions, we also derive integral representations for products of limiting …
Determinants of elliptic hypergeometric integrals
我们从解释的$BC_2$ -对称的“I型”（椭圆狄克逊）椭圆超几何积分评价作为一个公式的一个Casoratian椭圆超几何方程，并给出了一个扩展到高维积分和高阶超几何函数。这使我们能够证明相应的椭圆β积分和转换公式在一个新的方式，通过证明双方满足相同的差分方程，和差分方程满足伽罗瓦理论条件，确保唯一性的同时解决方案。
New approach to certain real hyper-elliptic integrals
本文统一处理某些椭圆积分和超椭圆积分。我们从多项式的某个基$ϕ_n(x)$中引入了一个新的积分基，并证明了该基与传统单式基之间的转移阵是某个上三角带状矩阵.这使我们能够获得明确的公式所考虑的积分。我们的方法，指定的椭圆情况下，是更有效的比已知的递归程序的椭圆积分。我们还表明，基本积分享有对称性来自于行动的二面体群$D_{M}$上的一个真正的射影线。这个作用与实射影直线的单应变换的性质密切相关。这解释了在流行的椭圆积分表中某些公式的相似性。因此，人们可以以显著的方式减少必要公式的数量。我们相信，我们的结果将简化编程和计算超椭圆积分在各种问题的数学物理和工程。
Unit circle elliptic beta integrals
给出了单位圆上带基参数的椭圆型β积分及其基本退化。
Asymptotic approximations for symmetric elliptic integrals
对称椭圆积分是三个或四个变量的齐次函数，在最近的积分表和计算机程序中被用作勒让德积分的替代。当某些变量远大于其他变量时，给出了具有误差界的渐近近似。在大多数情况下，它们是从被积函数的一致逼近导出的。作为应用，证明了第一、第二、第三类对称椭圆积分关于系数为有理函数的函数是线性无关的。
On generalized complete $(p,q)$-elliptic integrals
本文研究了第一类和第二类广义完全$(p,q)$ -椭圆积分，作为双参数广义三角函数的应用，建立了这类函数的Turán型不等式.
Legendre-type relations for generalized complete elliptic integrals
推广了第一类和第二类完全椭圆积分的Legendre关系。证明依赖于广义三角函数的应用，并替代证明艾略特的身份。
Multiple elliptic integrals and differential equations
本研究通过求解特殊常微分与偏微分方程，证明了多类多重椭圆积分的求值公式，并应用得到4级拉马努金型级数新表达式及完全椭圆积分$\mathbf K$的相关奇异值。
Limits of elliptic hypergeometric integrals
在数学QA/0309252中，作者证明了一些多元椭圆超几何积分。本说明的目的是更仔细地探讨存在的各种极限情况（双曲，三角，理性和经典）。特别是，我们表明（使用一些新的估计广义Γ函数），双曲积分（以前被视为纯粹的形式限制）确实是极限情况。我们还获得了一些新的三角（q-超几何）积分恒等式的限制，从椭圆水平。
A Generalized Function defined by the Euler first kind integral and its connection with the Dirac delta function
我们证明了在第一类欧拉积分发散的区域，欧拉公式定义了一个广义函数。找到了该广义函数与Dirac δ函数的联系。
An elliptic hypergeometric beta integral transformation
本文证明了一个新的椭圆超几何积分恒等式。它以前出现（作为一个猜想）在文章中由雨，Spiridonov和Vartanov。此外，它在Rains的另一篇文章中给出了一个不同的身份证明。我们也给出了这个恒等式的一些基本的超几何极限和经典极限。经典极限给出了塞尔伯格积分的推广之间的身份（一些已知的，一些新的）。
Short note on a relation between the inverse of the cosine and Carlson's elliptic integral $R_D$
本文证明了Carlson椭圆积分$R_D$的一个特殊情形的一个简单关系。研究结果被应用到导出明确的公式的角中心高斯分布的某些时刻的渐近性的二阶矩。
Asymptotical Bounds for Complete Elliptic Integrals of the Second Kind
本文建立了第二类完全椭圆积分$\mathcal{E}(r)>π[(1+(1-r^2)^{3/4})/2]^{2/3}/2$的几个渐近界，改进了M.沃里宁
Certain unified integral formulas involving the generalized modified k-bessel function of first kind
将包含第一类广义修正k-Bessel函数$J_{k,ν}^{c,γ,λ}\left( z\right) $的广义积分公式表示为广义$k-$ Wright函数.文中还讨论了主要结果的一些有趣的特例
On the curious series related to the elliptic integrals
利用椭圆积分理论，对一类涉及双曲函数的级数及其导数，给出了一种新的求和方法。它是基于逐项微分的系列相对于椭圆模和整表示的几个系列的逆梅林变换有关的黎曼ζ函数。展示了与Voronoi求和公式相应情况的关系。所涉及的级数用第一类和第二类完全椭圆积分表示为封闭形式，某些特殊情况用欧拉Γ函数的特殊值计算.
Some New Integral Inequalities for Several Kinds of Convex Functions
利用一些初等不等式和经典不等式如一般的柯西不等式和Minkowski不等式，得到了关于不同凸函数类的一些新的积分不等式.
Inequalities for some integrals involving modified Lommel functions of the first kind
本文得到了涉及第一类修正Lommel函数$t_{μ,ν}(x)$的积分不等式.在大多数情况下，这些不等式在一定限度内是紧的。对于广义超几何函数，我们还推导出一个包含修正Lommel函数$t_{μ,ν}(x)$的紧二重不等式.本文得到的不等式推广了最近的边界积分涉及修改的第一类斯特鲁夫函数。
Two multivariate quadratic transformations of elliptic hypergeometric integrals
EricRains在“EllipticLittlewood恒等式”中利用被积函数与插值函数相乘的方法，给出了多元椭圆超几何函数之间的几个二次变换。本文在插值函数为常数的情况下证明了其中的两个猜想，并得到了第三个猜想作为推论。另外两个方程的椭圆Selberg积分与10个参数，其中两个乘以pq/t，给出，因为他们需要在证明。证明基本上包括一个计算串在一起的许多椭圆狄克逊变换。在产品轮廓不存在的情况下使用Fubini进行了一些说明。
An elliptic hypergeometric integral with W(F_4) symmetry
本文给出了椭圆超几何β积分之间的一个新的变换，它产生了F_4型的外尔群对称性。该变换是Langer、Schlosser和Warnaar发现的级数变换的推广。此外，我们考虑各种限制的基本超几何函数，使p趋于0的这种转换。
Solvability conditions for a class of Wiener-Hopf integral equations of 1-st kind
本文针对经典方法不适用的非正规第一类Wiener-Hopf积分方程，采用特殊分解方法，推导出其可解性条件。
Inequalities for the modified Bessel function of the second kind and the kernel of the Krätzel integral transformation
得到了第二类修正Bessel函数$K_ν$关于Γ函数的新的不等式.这些界限遵循的特殊情况下，我们得出的核心Krätzel积分变换的不等式。
Very accurate approximations for the elliptic integrals of the second kind in terms of Stolarsky means
对于含$a\neq b$的$a,b>0$，Stolarsky平均值定义为% \begin{equation*} S_{p,q}\left(a,b\right) =\left({\dfrac{q(a^{p}-b^{p})}{p(a^{q}-b^{q})}}% \right) ^{1/(p-q)}\text{if}pq\left(p-q\right) \neq 0 \end{equation*} %，$S_{p,q}\left(a,b\right) $定义为$p=0$或$q=0$或$p=q$（如果$pq\left(p-q\right) =0$）的限值。定义了$\left(0,1\right) $上的第二类完全椭圆积分\begin{equation*} E\left(r\right) =\int_{0}^{π/2}\sqrt{1-r^{2}\sin ^{2}t}dt. \end{equation*}，证明了函数\begin{equation*} F\left(r\right) =\frac{1-\left(2/π\right) E\left(r\right)}{% 1-S_{11/4,7/4}\left(1,r^{\prime}\right)}\text{and}G\left(r\right) =% \frac{1-\left(2/π\right) E\left(r\right)}{1-…
Elliptic hypergeometric functions: integrals versus series
本文研究椭圆超几何函数，将椭圆贝塔积分表示为无穷级数组合，并讨论其收敛性及终止级数的渐近行为。
Transformations of hypergeometric elliptic integrals
本文对具有局部指数差的高斯超几何函数的代数变换进行了分类：$(1/2,1/4,1/4)$、$(1/2,1/3,1/6)$和$(1/3,1/3,1/3)$。这些形成了一类特殊的代数变换的高斯超几何函数，任意高的程度。高斯超几何函数可以表示为亏格为1的曲线$y=x^3-x$或$y=x^3-1$上的椭圆积分。特别有趣的是代数变换的超几何函数到自己的，这些转变来自同源的各自的椭圆曲线。
A note on a generalisation of a definite integral involving the Bessel function of the first kind
我们考虑一个广义的定积分涉及的第一类贝塞尔函数。结果表明，该积分可以用一元Fox-Wright函数${}_pΨ_q(z)$表示。通过适当选择参数来探索这种表示的一些结果。此外，还导出了Fox-Wright函数的无穷级数的两个封闭形式的计算式.
Bounds for Integral j -Invariants and Cartan Structures on Elliptic Curves
利用定义模曲线的同余群，给出了整点的j -不变量的界。我们应用这一点证明了，如果p是一个足够大的素数，则模曲线Xsplit（p3）没有非平凡的有理点。假设GRH，可以用p2代替p3。
Inequalities for integrals of the modified Struve function of the first kind
建立了涉及修正的第一类Struve函数$\mathbf{L}_ν(x)$的积分的简单不等式.在大多数情况下，这些不等式具有最佳可能常数。对于广义超几何函数，我们还导出了一个包含修正Struve函数$\mathbf{L}_ν(x)$的紧二重不等式.
Properties of generalized Jacobi elliptic functions with three parameters
本文用三个参数推广雅可比椭圆函数与完全椭圆积分，构造Wallis型积分公式，推导等价于Elliott恒等式的Legendre型关系，并给出二项展开式的不等式。
Elliptic integral identities derived from Coxeter's integrals
本文通过Coxeter积分推导出椭圆积分恒等式，揭示了经典积分与椭圆函数的联系。
Bounds for an integral involving the modified Lommel function of the first kind
为积分$\int_0^x\mathrm{e}^{-βu}u^νt_{μ,ν}(u)\,\mathrm{d}u$建立简单的上界和下界，其中$x>0$、$0<β<1$、$μ+ν>-2$、$μ-ν\geq-3$和$t_{μ,ν}(x)$是第一类修正的Lommel函数。我们的边界补充和改善现有的边界，这个积分，无论是尖锐的或增加的有效性范围。我们的边界还概括了涉及第一类修改的斯特鲁夫函数的积分的最近边界，并且在某些情况下，当我们的一般边界专门用于修改的斯特鲁夫情况时，更直接的方法会导致更尖锐的边界。
Recurrences for elliptic hypergeometric integrals
在最近关于多元超几何积分的工作（math.QA/0309252）中，作者将van Diejen和Spiridonov的一个积分公式推广为在外尔群E_7作用下可证不变的十参数积分。本文考虑仿射外尔群的作用，更确切地说，考虑积分的特殊情形所满足的递归性。这有两种口味：线性递归，只保持到6维，和三个家庭的双线性递归，保持在任意维，受一个条件的参数。作为推论，我们发现，余维的一个特殊情况下的积分是一个tau函数的椭圆Painlevé方程。
On a function involving generalized complete $(p,q)$- elliptic integrals
受Alzer和Richards \cite{ar}工作的启发，本文作者研究了函数$$Δ_{p,q} (r) = \frac{{E_{p,q}(r) - \left( {r'} \right)^p K_{p,q}(r) }}{r^p } - \frac{{E'_{p,q}(r) - r^p K'_{p,q}(r) }}{{\left( {r'} \right)^p }},$$的单调性和凸性，其中$K_{p,q}$和$E_{p,q}$分别表示完整的$(p,q)$ -第一类和第二类椭圆积分。
Absolutely monotonic functions related to the asymptotic formula for the complete elliptic integral of the first kind
本文研究了与第一类完全椭圆积分相关的函数 $\mathcal{G}_{p}(x)$ 的绝对单调性，给出了其各阶导数绝对单调的充要条件，并提出了一种基于幂级数系数序列单调性证明的新方法。
Limits of multivariate elliptic beta integrals and related bilinear forms
本文考虑椭圆Selberg积分，它是椭圆Beta积分的BC_n对称多元延拓.我们将得到的极限分类为p->0，对于给定的参数行为，分类为p->0。因此，这篇文章是我们早期论文“基本超几何函数作为椭圆超几何函数的极限“的多元版本。椭圆Selberg积分的被积函数是第二作者引入的BC_n对称双正交函数的测度，因此我们也考虑了相应的双线性型的极限。我们还提供了这个双线性型，这是一个多变量扩展的Frenkel-Turaev求和的离散版本的限制。
Elliptic Selberg integrals and conformal blocks
本文给出了Selberg积分公式的一个椭圆形式。
Elliptic Selberg integrals
本文给出了Selberg积分公式的一个椭圆形式。
Elliptic functions from hypergeometric integrals
作为对拉马努金理论的贡献，椭圆函数的替代基地，李坚沉已表明如何类似的雅可比椭圆函数可能来自不完全超几何积分的签名三和四。我们确定精确的签名中的雅可比类似物或他们的平方确实是椭圆形的。
Generalized elliptic integrals
雅可比的椭圆积分和椭圆函数自然地产生于上半平面到矩形上的Schwarz-Christoffel保形变换。本文研究了由上半平面到四边形的类似映射所产生的广义椭圆积分，得到了这些积分的某些组合的尖锐的单调性和凸性，从而推广了经典共形容度和拟共形偏差函数的类似的著名结果.
Integral representation of Weil's elliptic functions
本文给出了欧拉-麦克劳林求和公式的一个二维类比。利用这个公式，我们得到了“根据Eisenstein和Kronecker的椭圆函数”一书中介绍的Weil椭圆函数的一个整表示.
Moments of Products of Elliptic Integrals
本文研究第一类和第二类完全椭圆积分乘积的矩。特别地，我们利用初等方法，借助于计算机实验和W。祖迪林并给出了各种相关评价和两个结论。
Twice-punctured hyperbolic sphere with a conical singularity and generalized elliptic integral
本文用广义椭圆积分描述了具有一个规定阶圆锥奇点的二次穿孔球面的双曲度量。我们也给出了度量的几个单调性性质和几个应用。
Determinantal elliptic Selberg integrals
经典的Selberg积分包含一个范德蒙德行列式的幂。当幂是平方时，很容易通过将其解释为一元积分的行列式来证明塞尔伯格恒等式。对连续和离散椭圆型Selberg积分的求和公式和变换公式给出了类似的证明。在连续的情况下，Noumi以前给出了相同的证明。这些恒等式的特殊情况在组合数学中有应用。
Complete $(p,q)$-elliptic integrals with application to a family of means
利用广义双参数三角函数推广了完全椭圆积分。它表明，一个特殊的关系保持广义积分。此外，作为积分的一个应用，给出了Bhatia和Li关于一类平均的一个结果的另一种证明，它涉及对数平均和算术-几何平均.
Legendre Hyperelliptic integrals, π new formulae and Lauricella functions through the elliptic singular moduli
本文在文[10]、[11]的基础上，通过第一类椭圆积分的比值和劳里切拉型三元或三元超几何函数的某些值，得到了π的六个新公式，见方程。这将是通过减少一些超椭圆积分椭圆的方法教勒让德在他的论文。最后，利用超几何Lauricella函数对某些超椭圆积分进行了计算，得到了它们在某些特殊点上的进一步的计算，以及它们的解析延拓.
Generalized Elliptic Integrals and the Legendre M-function
我们研究了在椭圆积分理论中出现的函数的单调性和凸性，特别是从半平面到梯形的Schwarz-Christoffel共形映射的情形.我们得到尖锐的单调性和凸性的结果，这些功能的组合，以及功能的不等式和线性化性质。
Linear relations between $L$-values of newforms and moments of elliptic $K$ integral
本文将椭圆积分矩相关积分转化为若干同余子群上模形式的$L$值，并借助尖点新形式临界$L$值的关系，给出这些积分张成空间的维数公式。
The Catalan-Qi number of the second kind and a related integral
Li等人给出了第二类Catalan-Qi数的一个积分公式。他们表明，这个积分可以写为一个与双因子的总和。本文将积分化为Catalan数与一个超几何函数的乘积。这个超几何函数可以写为第一类相关的勒让德多项式。也有联系的不完全β函数和盖根鲍尔多项式。在最后一节中，计算了相关的积分。
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