Dihedral G-Hilb via representations of the McKay quiver
Álvaro Nolla de Celis
对于给定的小二元二面体群G，我们利用G-图的分类，通过给出稳定的二面体表示的模空间M（Q，R）的仿射开覆盖，来明确地描述G-Hilb（C^2）.
For a given small binary dihedral group G we use the classification of G-graphs to describe explicitly G-Hilb(C^2) by giving an affine open cover of M(Q,R), the moduli space of stable quiver representations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The McKay Correspondence for Dihedral Groups: The Moduli Space and the Tautological Bundles
本文证实了关于二面体群（作为复反射群）的McKay对应猜想，即解消与模空间同构当且仅当被极大解消支配，并推广了McKay对应。
Extended McKay correspondence for quotient surface singularities
设$G$是$\mbox{GL}(2)$的有限子群，自由作用于$\mathbf{A}^2\setminus\{0\}$. $G$ -轨道Hilbert格式$G\mbox{-Hilb}(\mathbf{A}^2)$是商$\mathbf{A}^2/G$的最小分解.我们确定的生成层的理想定义的通用$G$ -集群在$G\mbox{-Hilb}(\mathbf{A}^2)$，这在一定程度上加强了著名的麦凯对应的有限子群的$\mbox{SL}(2)$。我们还研究了$G\mbox{-Hilb}(\mathbf{A}^2)$在每个$G$ -簇$O_{Z_y}=O_{\mathbf{A}^2}/I_y$上的拓扑结构，即$O_{Z_y}$-簇的极小$G$ -子模（称为单特殊$O_{\mathbf{A}^2}$ -子模）的集合和生成$I_y$的$G$ -子模.
Wall-crossing for iterated Hilbert schemes (or 'Hilb of Hilb')
我们研究McKay对应中的跨壁现象。Craw-Ishii证明了Gorenstein阿贝尔商奇点的每一个射影可缩分解都是McKay算子的$θ$ -稳定表示的模空间.稳定性条件$θ$在具有腔室分解的向量空间中移动，其中（一些）壁交叉捕获不同crepant分辨率之间的触发。我们调查的某些决议与希尔伯特方案的模的解释-迭代希尔伯特计划，或“希尔伯特的希尔伯特”-坐在相对于定义通常的$G$ -希尔伯特计划的主室。我们调查相关方面的跨墙，提出我们的主要猜想，证明它的一些例子和特殊情况下，并讨论连接到其他部分的麦凯对应。
Ishii's conjecture and Bridgeland stability conditions for dihedral reflection groups
本文从Bridgeland稳定性条件的角度，给出了Ishii猜想在任意二面体反射群上的新证明，通过导出的McKay对应关系，将问题转化为根堆栈上的几何构造。
Punctual Hilbert schemes for Kleinian singularities as quiver varieties
对于有限子群$Γ\subset \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$和$n\geq 1$，我们构造了（减少计划的基础）希尔伯特计划的$n$点上的克莱因奇点$\mathbb{C}^2/Γ$作为Nakajima的框架麦凯图的$Γ$，在一个特定的非通用的稳定性参数。我们推断，这个希尔伯特计划是不可约的（结果以前由于郑），正常的，并承认一个独特的辛决议。更一般地说，我们介绍了一类代数的预投射代数的框架麦凯通过一个过程称为转弯，我们表明，罚款模空间的循环模在这些新的代数是同构的框架麦凯和某些非通用的选择稳定参数的品种。
An explicit construction of the McKay correspondence for A-Hilb C^3
对于SL（3，C）的有限Abel子群A，Ito和Nakajima证明了A-Hilbert概型Y = A-Hilbert（C^3）上的重言丛构成Y的K-理论的基。我们在Y的Picard群中建立了这些丛之间的关系，因此，按照Reid介绍的方法，构造了Y的积分上同调与A的不可约表示一一对应的显式基。
McKay correspondence and Hilbert schemes in dimension three
设$G$是$\SL_n(\C)$的非平凡有限子群.假设商奇点$\C^n/G$具有置信分辨率$π\colon X\to \C^n/G$（即$K_X = \shfO_X$）。有一个稍微不精确的猜想，称为McKay对应，指出$X$的Grothendieck群（或（上）同调群）和$G$的表示（或共轭类）之间存在关系，在交集和张量积之间具有“一定的相容性”（例如参见\cite{Maizuru}）。本文的目的是给出更精确的公式的猜想时，$X$可以给出作为一个特定的簇与$\C^n$中的希尔伯特方案的点。我们对$\SL_3(\C)$的阿贝尔子群$G$给出了这个新猜想的证明。
Towards the multiplicative behavior of the K-theoretical McKay correspondence
当一个辛向量空间由辛自同构的有限子群的作用所得到的商允许Nakamura正则轨道的Hilbert方案作为奇性的一个crepant投射分解时，则在这个分解的Grothendieck群和由Bridgeland-King-Reid映射给出的群的表示环之间存在一个自然同构。然而，这种同构与环结构不相容。对于仿射平面上点的Hilbert方案，我们研究了这类映射的乘法性态。
Moduli of McKay quiver representations I: the coherent component
对于GL（n，k）中的有限阿贝尔群G，我们刻画了θ-稳定McKay表示的模空间M_θ的相干分量Y_θ.这是一个不一定正规的复曲面簇，它允许A^n/G的一个投射双有理态射，通过GIT商的变分得到。作为一种特殊情况，这给出了一种新的构造Nakamura的G-Hilbert方案，避免了A^n中|G| -点的Hilbert方案（通常是高度奇异的）。最后，我们描述了Y_theta的复曲面扇，并由此计算了Y_theta上任意一点对应的复曲面表示。
Mukai implies McKay: the McKay correspondence as an equivalence of derived categories
设G是一个非奇异复三重群M的有限自同构群，使得典范丛Ω_M作为G层是局部平凡的.本文证明了M中G-簇的参数化的Hilbert方案Y= GHilbM是X=M/G的一个可靠的分解，并证明了Y上的相干层与M上的相干G-层之间存在一个导出的等价关系（Fourier- Mukai变换）。这将Y的K理论与M的等变K理论等同起来，从而推广了经典的McKay对应。一些更高维度的扩展是可能的。
Contraction of excess fibres between the McKay correspondences in dimensions two and three
从多面体群和相应的二元多面体群中得到的二维和三维商奇点，承认奇点的自然分解为正则轨道的希尔伯特方案，其在原点上的例外纤维揭示了类似的性质。我们在这两个分辨率之间构造一个态射，正好收缩例外纤维的多余部分。这种结构的动机是研究的一些铅笔的K3-表面所产生的最小分辨率的节点表面的平行分量具有高的对称性。
Moduli of McKay quiver representations II: Groebner basis techniques
在本文中，我们介绍了几个计算技术的研究模空间的McKay的表示，利用Groebner基地和环面几何。对于GL（n，k）中的有限阿贝尔群G，设Y_θ是McKay群的θ-稳定表示的模空间的凝聚分支.我们的两个主要结果是：给出了对应于Y_θ的环面轨道的一个简单的描述，并在Y_θ等于Nakamura的G-Hilbert格式的情况下，给出了局部坐标图覆盖的显式方程。后一个定理纠正了第一个结果[中村]。这里介绍的技术允许在这个主题中进行实验，并提供具体的算法工具来解决进一步的开放问题。为了说明这一点，我们提出了一个非正规的G-Hilbert方案的例子，从而回答了中村提出的一个问题。
Motivic Donaldson-Thomas invariants and McKay correspondence
设$G\subset SL_2(C)\subset SL_3(C)$是一个有限群.我们计算了$C^3/G$的crepant分辨率$Hilb^G(C^3)$的motivic Pandharipande-Thomas和Donaldson-Thomas不变量，推广了Gholampour和Jiang使用局部化技术计算数值DT/PT不变量的结果。我们的公式依赖于计算motivic唐纳森-托马斯不变量的一类特殊的箭与潜力。我们表明，这些motivic Donaldson-Thomas不变量是密切相关的多项式计数绝对不可分解的表示在有限域的Kac。我们制定了一个猜想的积极性唐纳森-托马斯不变量的广泛类颤抖的潜力。这个猜想，如果真的，意味着卡茨积极性猜想任意颤动。
Walls for $G$-Hilb via Reid's Recipe
三维McKay对应试图将Gorenstein $3$ -倍商奇点$\mathbb{A}^3/G$的cropant解析几何与群$G$的表示论联系起来。深入研究的第一个临界分辨率是$G$ -Hilbert格式$G\text{-Hilb}\,\mathbb{A}^3$，它也是与$G$相关的McKay矩阵的$θ$ -稳定表示的模空间.当稳定性参数$θ$变化时，我们得到了许多其它的可信解。在本文中，我们专注于$G$是阿贝尔的情况下，并计算明确的不等式室的稳定空间定义$G\text{-Hilb}\,\mathbb{A}^3$在标记的例外子品种的$G\text{-Hilb}\,\mathbb{A}^3$称为里德的配方。我们进一步显示这些不平等定义墙。这一过程只依赖于特殊纤维的组合学，并可应用于其他crepant分解的双有理几何。
Counting invariants for the ADE McKay quivers
本文研究了二元多面体群G < SU（2）< SU（3）的McKay表示的模空间.这种表示的导出范畴等价于在相应的ADE分解Y=G-Hilb（C^3）上的相干层的导出范畴。根据Nagao和Nakajima的思想，通过对等价的导出范畴的稳定性条件空间中的参数进行特殊的选择，我们恢复了Donaldson-Thomas（DT），Pandharipande-Thomas（PT）和Szendroi（NCDT）模空间.我们还直接计算了Y的Gromov-Witten（GW）分拆函数，并将结果用相应的ADE Dynkin图的根系表示.然后，我们通过假设DT/PT对应关系来验证GW/DT/NCDT对应关系。Szendroi不变量与Bryan定义的C^3/G的轨道Donaldson-Thomas不变量相同。这将使我们能够验证在这种情况下的轨道Donaldson-Thomas理论的Crepant归结猜想。
A McKay-Like Correspondence for (0,2)-Deformations
本文给出了一个解析轨道奇点C^d/G的切丛形变的局部计算。这些对应于（2，2）-理论的（0，2）-变形。一个麦凯式的对应关系被发现预测的一阶变形的空间的维度从简单的计算涉及的组。这是证实了在两个维度上使用Kronheimer-Nakajima构造。在更高的维度，这样的计算是受非平凡的世界表瞬子校正，并给出了一些例子，这种情况下发生。然而，我们猜想，G-Hilbert方案所给出的特殊的crepant决议是从来没有受到这样的修正，并显示这是真实的在无限数量的情况下。有趣的是，对于G是阿贝尔的三维例子，模空间与由爆破的复曲面扇形给出的一个曲率有关。我们证明了C^3/Z7型的轨道折叠有一个非平凡的超势，从而有一个阻塞的模空间。
An explicit derived McKay correspondence for some complex reflection groups of rank two
本文通过显式计算，证明了某些二维复反射群的导出 McKay 对应关系，并验证了 Orbi-fold 半正交分解猜想。
Special vs Essential
研究通过构造小解析来建立G-希尔伯特空间的例外曲线与不可约表示之间的对应关系，扩展了特殊 McKay 对应和 Reid 的配方。
Quiver representations in toric geometry
这篇文章是基于我在犹他大学（2007年6月）和华威大学（2007年9月）暑期学校的课堂笔记。我们提供了一个明确的方法，在研究模空间的复曲面几何中产生的表示和导出范畴。第一个主要目标是通过箭图给出半投射环面簇的非交换几何方法。为了实现这一点，我们使用几何不变的理论来构建半投射环面品种和模空间的双曲表示。第二个主要目标建立在第一个介绍了明确的方法在导出范畴的相干层复曲面几何。我们回顾的概念，倾斜束的例子，并描述了麦凯对应作为一个衍生等价在一定程度上详细以下Bridgeland，国王和里德。我们还描述了扩展他们的结果超出了$G$ -希尔伯特计划的其他罚款模空间的有界表示。
Kleinian singularities: some geometry, combinatorics and representation theory
本文综述了 Kleinian 奇点相关的几何、组合与表示论，重点介绍单位根替换演算，并讨论 A 型、D 型及 E 型情形的结果与问题。
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