Precise smoothing effect in the exterior of balls
Oana Ivanovici
本文主要研究薛定谔方程解的光滑效应性质。我们推导了三次薛定谔方程在R^{3}中的多个凸障碍物外的整体适定性结果。
We are interested in this article in investigating the smoothing effect properties of the solutions of the Schrodinger equation. We deduce global well-posedness results for the cubic Schrodinger equation in the exterior of several convex obstacles of R^{3}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Kato Smoothing Effect for Regularized Schrödinger Equations in Exterior Domains
在外部几何控制条件下，证明了外部区域上非齐次阻尼薛定谔方程解的Kato光滑效应。
The Kato smoothing effect for Schr{ö}dinger equations with unbounded potentials in exterior domains
本文证明了在非陷波外区域上变系数Schr{<$}dinger方程解的光滑效应。我们允许无穷远处的二次势。
Sharp Hardy inequalities in an exterior of a ball
证明了一个新的关于扇形面积的Hardy型不等式和作为球外部极限的Hardy型不等式。还显示了不平等的程度。
Strichartz estimates on exterior polygonal domains
使用一个新的本地平滑估计的第一和第三作者，我们证明了本地的时间Eschhartz和平滑估计没有损失外部的一大类多边形障碍物的任意边界条件和全球的时间Eschhartz估计没有损失外部的一大类多边形障碍物的Dirichlet边界条件。此外，我们证明了具有Dirichlet边界条件的外楔形域中的全局时间局部光滑估计，并讨论了一些非线性应用。
Global well-posedness and scattering for defocusing energy-critical NLS in the exterior of balls with radial data
我们考虑三维空间中单位球外部的散焦能量临界非线性系统。在索伯列夫空间$\dot H_0^1$中，对Dirichlet边界条件下的初值问题，证明了该方法的全局适定性和大径向初值的离散性.我们还指出，同样的策略可以用来处理球外部的Dirichlet边界条件和径向$\dot H_0^1$初始数据的能量-超临界NLS。
The large diffusion limit for the heat equation in the exterior of the unit ball with a dynamical boundary condition
研究了单位球外部的热方程在线性动力学边界条件下的解。我们的主要目的是找到拉普拉斯方程的解的收敛速率的上界和下界，具有相同的动力学边界条件的扩散系数趋于无穷大。
On refined local smoothing estimates for the Schrödinger equation in exterior domains
我们考虑薛定谔方程在$\RR^n$中严格凸障碍物外区域的局部光滑估计的改进。通过将解限制在边界的小的、频率依赖的环上，预期与通常的半导数增益相比，在时空中对其进行平方积分应在正则性方面表现出更大的增益。通过Ivanovici的结果，这些改进的局部光滑估计满足球的外部的解决方案。我们表明，当这样的估计是有效的，它们可以与波包参数化结构相结合，以产生哈茨估计。这提供了一个途径，获得这些边界时，诺依曼边界条件。
Threshold for Existence, Non-existence and Multiplicity of positive solutions with prescribed mass for an NLS with a pure power nonlinearity in the exterior of a ball
得到了球外半线性椭圆型方程正规解的存在性、不存在性和多重性的阈值结果。据我们所知，这是第一次在文献中解决这个问题。特别是，我们表明，规定的质量可以影响归一化的解决方案的数量，并在质量超临界的情况下有稳定的效果。此外，当N = 2时，在阈值中我们发现一个新的指数p = 6，这似乎在过去对这个方程没有起作用。此外，我们的发现是“相当令人惊讶的”，与在整个空间和球上获得的结果完全不同。我们还将表明，域的性质是至关重要的驻波的存在和稳定性。作为一种预示，众所周知，在超临界情况下，这些波在RN中是不稳定的。在本文中，我们将证明，在外部区域，他们是强稳定的。
Global existence for defocusing cubic NLS and Gross-Pitaevskii equations in three dimensional exterior domains
我们证明了3维非俘获域外部散焦三次非线性Schroedinger和Gross-Pitaevskii方程在能量空间中的全局适定性。主要成分是一个半经典的Eschhartz估计与外部域的平滑效果相结合，得到Eschhartz估计。
Higher order evolution inequalities with Hardy potential in the exterior of a half-ball
本文研究半空间外部区域上带有Hardy势的半线性高阶时间发展不等式，发现在非齐次Dirichlet边界条件下，其解存在与否的Fujita型临界指数依赖于势参数与维数，但与时间导数阶数无关。
Non-autonomous Ornstein-Uhlenbeck equations in exterior domains
本文考虑光滑外区域$Ω\subset \R^d$上的非自治Ornstein-Uhlenbeck算子在Dirichlet边界条件下的解.在适当的系数假设下，相应的非自治抛物柯西问题的解由一个关于$1< p < \infty$的$L^p(Ω)$的演化系统$\{P_Ω(t,s)\}_{0\leq s\leq t}$控制.进一步得到了空间导数的$L^p$ -估计和$P_Ω(t,s)$的$L^p$ - $L^q$光滑性质，即$0\leq s\leq t$.
On the supercritical Schrödinger equation on the exterior of a ball
本文研究了具有幂非线性项$|u|^{p-1}u$的散焦薛定谔方程在$\mathbb{R}^{n}$，$n\ge2$中单位球外的混合问题.假设初始数据是非径向的，对\emph{large}径向初始数据作充分小的扰动，我们证明了对于所有幂次$p>n+6$，解总是存在的，其Sobolev范数不膨胀，且解在能量类中是唯一的.
Global existence for semilinear wave equations exterior to nontrapping obstacles
本文在空间维数大于或等于4的情况下，证明了非捕获障碍物外具有二次非线性项的半线性波动方程解的整体存在性。这扩展了柴田-Tsutsumi和Hayashi之前的工作。柴田-Tsutsumi展示了空间维度大于或等于6的结果，Hayashi证明了球外部的结果。
Liouville-type results in exterior domains for radial solutions of fully nonlinear equations
给出了一类完全非线性一致椭圆型方程在$\mathbb R^N$中球的补空间中正径向解存在的充要条件，并配备齐次Dirichlet边界条件.
Scattering for wave maps exterior to a ball
我们考虑从\R \times（\R^3 \setminus B）到S^3的1-等变波映射，其中B是一个以0为中心的球，B的边界映射到S^3上的一个不动点。我们证明了1-等变映射的度为零分散到零，而不管他们的能量。对于正度，我们证明了唯一调和映射在由度决定的能量类中的渐近稳定性。
Supercritical elliptic problems on a perturbation of the ball
我们研究了Hénon方程$ -Δu =|x|^αu^p$在$ Ω\subset \mathbb{R}^N$与$u=0$在$ \partial Ω$，其中$ 0 < α$。我们证明了存在一个序列$ \{p_k\}_k \subset [ \frac{N+2}{N-2}, p_α(N)]$与$p_1 < p_2 <p_3 < ...$，$ p_k \nearrow p_α(N)$，使得对于任何$ \frac{N+2}{N-2} \le p < p_α(N)$，避免$ \{p_k\}_k $，存在一个正的经典解的Hénon方程，提供$ Ω$是一个足够小的扰动的单位球。我们还研究了莱恩-埃姆登-福勒方程的情况下，一个外部域，即。$ Ω$中的$ -Δu = u^p$，外部结构域，$ \partial Ω$上的$ u=0 $。我们证明了$ \frac{N+2}{N-2} \le p_1 < p_2 < p_3<...$与$ p_k \rightarrow \infty$的存在性，使得如果$ \frac{N+2}{N-2} < p$，避免了$\{p_k\}_k$，则存在正的\emph{fast decay}经典解，只要$ Ω$是单位球外部的足够小的扰动。
Equivariant wave maps exterior to a ball
本文研究了从3+1维Minkowski时空到三维球面的等变波映射的Cauchy-Dirichlet外问题。使用混合的分析和数值方法，我们表明，对于一个给定的拓扑度的地图，所有的解决方案从光滑的有限能量初始数据收敛到唯一的静态解决方案（调和映射）。详细描述了这个松弛过程的渐近性。我们希望，我们的模型将提供一个有吸引力的数学设置获得洞察耗散色散现象，特别是孤子分辨率猜想。
Smoothing effect for Schrödinger boundary value problems
证明了在Dirichlet边界条件下薛定谔方程的平面光滑效应（$H^{1/2}$）的非捕获条件在外问题中的必要性.我们还给出了一类被困的障碍（Ikawa的例子），我们可以证明一个弱（$H^{1/2 - ε}$）平滑效果。
Sharp Hardy and Hardy--Sobolev inequalities with point singularities on the boundary
研究了$\mathbb{R}^n$中奇点位于有界区域边界上且奇点处同时满足内球和外球条件时的Hardy不等式.在外球足够大的情况下，得到了尖锐的Hardy常数$n^2/4$，说明了大外球条件的必要性.通过增加一个尖锐的Sobolev项，改进了Hardy不等式的最佳常数.接下来，我们产生的标准，导致表征最大的潜力，改善哈代不等式。打破标准，人们会产生连续的改进和尖锐的常数。我们的方法在不太规则的区域，如锥体中进行。在圆锥的情况下，与光滑情况相反，索伯列夫常数确实取决于圆锥的开口。
Relaxation of wave maps exterior to a ball to harmonic maps for all data
本文研究了从原点单位球外的1+3维Minkowski空间到3维球面的有限能量1-等变波映射。我们在r=1处施加狄利克雷边界条件，这意味着R^3中的单位球面映射到北极。有限能量意味着空间的无穷大被映射到北极或南极。特别地，每个这样的等变波映射具有良好定义的拓扑度，该拓扑度是整数。我们建立了这样一个映射的任意能量和度的松弛唯一的平稳调和映射在其度类。这解决了最近的猜想比松，Chmaj，Maliborski谁观察到这种渐近行为的数字。
Helmholtz and dispersive equations with variable coefficients on exterior domains
我们证明了光滑估计Morrey-Campanato空间的Helmholtz方程$$ -Lu+zu=f, \qquad -Lu:=\nabla^{b}(a(x)\nabla^{b}u)-c(x)u, \qquad \nabla^{b}:=\nabla+ib(x) $$与全变系数，有限的正则性，定义在外部的一个星形紧凑的障碍物在$\mathbb{R}^{n}$，$n\ge3$，Dirichlet边界条件。该算子的主部是常系数算子的长程扰动，而低阶项具有几乎临界衰减。我们给出明确的条件，防止捕获的扰动的大小。作为应用，我们证明了变系数的薛定谔流$e^{itL}$和波动流$e^{it \sqrt{L}}$在外区域和Dirichlet边界条件下的光滑估计.
The Third Boundary Value Problem of Potential Theory for the Exterior Ball and the Approximation behaviour of the solution; a Novel Open Problem
本文研究三维单位球调和分析的Dirichlet和Neumann外问题解的边界性态与相应的穿孔无限空间遍历反问题解的边界性态之间的联系。其基础是理论的半群的线性算子映射到Banach空间$X$本身。近似率起着基本的作用。另一个工具是在遍历论中自然产生的半群的无穷小生成元$A$的Drazin类逆算子$B$。该运算符$B$是封闭的，不一定有界的运算符。它是在一篇与U. Westphal（1970/71），并与J. J. Koliha（2009）一起扩展到广义环境。新的开放问题涉及第三或罗宾的问题的位势论，其解决方案是不是一个半群的运营商。因此，应用于狄利克雷或诺依曼问题的半群方法不能应用。作者给出了几个如何克服这些困难的提示。
Dispersive estimates for wave and Schrödinger equations with a potential in non-trapping exterior domains
本文研究非捕获外部区域中带短程位势的波动方程与薛定谔方程，通过证明预解估计，得到局部能量可积性、光滑效应，并将自由方程的局部 Strichartz 估计推广为全局估计。
Two Infinite Families of Solutions for Singular Superlinear Equations on Exterior Domains
本文针对欧氏空间N>2的球外奇异超线性方程，在特定参数条件下证明了两类无穷多径向解的存在性，丰富了此类方程解的相关理论。
Existence of solutions for nonlinear elliptic PDEs with fractional Laplacians on open balls
本文利用(2s)-稳定分支过程的树状概率表示，在开球上证明了带分数阶拉普拉斯算子的半线性椭圆型偏微分方程粘性解的存在性，并放宽了对多项式非线性次数和项数的限制。
Lifespan estimates for $2$-dimensional semilinear wave equations in asymptotically Euclidean exterior domains
本文研究了具有小数据的二维半线性波动方程的初边值问题。我们证明了，如果$1<p\le p_c(2)$，该问题承认几乎相同的上界的寿命作为相应的柯西问题，只有一个小的损失$1<p\le 2$。有趣的是，$2$ -D中调和函数的对数增加对$2<p\le p_c(2)$的寿命上界的估计没有影响。其中的一个创新之处是，我们可以处理具有平坦度量和一般障碍（有界和单连通）的问题，并将其归结为相应的球外平坦度量的紧扰动问题。
Global well-posedness of the defocusing, cubic nonlinear wave equation outside of the ball with radial data
本文利用畸变 Fourier 变换建立球外线性波动方程的色散与端点 Strichartz 估计，并结合 Fourier 截断和能量方法证明散焦三次非线性波动方程径向解在 $s>3/4$ 低正则空间中的整体适定性。
Normalized Schrödinger equations with mass-supercritical nonlinearity in exterior domains
本文研究外部区域中质量超临界归一化薛定谔方程，证明了在障碍集为小球或质量较大两种情形下，存在约束 Morse 指标不超过 N+1 的解。
Existence and nonexistence results for a weighted elliptic equation in exterior domains
考虑加权椭圆问题\begin{equation*} \left \{ \begin{array}{ll} -{\rm div} (|x|^θ\nabla u)=|x|^\ell u^p \;\;\; \mbox{in $\mathbb{R}^N \backslash {\overline B}$},\\ u=0 \;\;\; \mbox{on $\partial B$}, \end{array} \right. \end{equation*}的正解，其中$B$是$\mathbb{R}^N$的标准单位球.我们给出了当$N':=N+θ>2$ .特别是，对于$N' > 2$和$τ:=\ell-θ>-2$，它表明，该问题承认一个独特的正径向解决方案的$p>p_s:=\frac{N'+2+2τ}{N'-2}$，而对于任何$ 0<p \leq p_s$，唯一的非负解是$u \equiv 0$。
Lifespan estimates for semilinear damped wave equation in a two-dimensional exterior domain
本文针对二维外部区域中临界半线性阻尼波动方程，在径向对称条件下，证明了其生命跨度与临界半线性热方程相同的双指数下界和上界估计，并引入了控制L^1范数的新技术及带对数权重的Gagliardo-Nirenberg型估计。
Dispersive Estimates for Maxwell's Equations in the Exterior of a Sphere
本文研究了完全导电球外部麦克斯韦方程的高频色散估计，构造了新的广义本征函数，证明了电场传播子的全局衰减率，并指出部分极化以与波动算子相同的速率散射。
Uniqueness of least energy solutions to the fractional Lane-Emden equation in the ball
本文证明了球域上分数阶Lane-Emden方程在齐次Dirichlet外部条件下最小能量解的唯一性，利用Morse理论和新的Hopf引理型结果，受C. S. Lin启发。
Some elliptic problems involving the gradient on general bounded and exterior domains
本文考虑了有界区域上正奇异解的存在性以及外部区域上的经典解。首先我们考虑以下问题的正奇异解：\begin{equation} \label{eq_abst_1}-Δu = (1+g(x)) | \nabla u|^p \qquad \mbox{ in } B_1, \qquad u = 0 \mbox{ on } \;\; \partial B_1, \qquad \mbox{ and} \end{equation} \begin{equation} \label{eq_abst_2} -Δu = | \nabla u|^p \qquad \mbox{ in } Ω, \qquad u = 0 \mbox{ on } \;\; \partial Ω. \end{equation}在第一个问题中$B_1$是$ \mathbb{R}^N$中的单位球，在第二个问题中$Ω$是$ \mathbb{R}^N$中的有界光滑域.在这两种情况下，我们假设$ N \ge 3$，$ \frac{N}{N-1}<p<2$和在第一个问题中，我们假设$ g \ge 0$是一个Hölder连续函数与$g(0)=0$。在这两种情况下，我们得到了正奇异解。对于第二个方程，我们也考虑$Ω$是外部域$ \mathbb{R}^N$的情况，其中$N \ge 3$和$ p >\frac{N}{N-1}$。我们证明了一个有界正…
Existence and nonexistence of sign-changing solutions for linearly perturbed superlinear equations on exterior domains
研究外区域上含奇异线性扰动项的超线性椭圆方程径向解，通过系数 $K$ 的衰减指数条件，给出无穷多变号解的存在区间及不存在区间。
Localized smoothing for the Navier-Stokes equations and concentration of critical norms near singularities
本文研究Navier-斯托克斯方程正则性问题的两个对偶问题。首先，我们证明了局部能量解的局部时间局部平滑效应。更准确地说，如果限制到单位球的初始数据属于尺度临界空间$L^3$，则解在空间中局部光滑一段短时间，这是量化的。这建立在贾和什韦拉克的工作基础上，他们考虑了亚临界情况。其次，我们应用这些本地化的平滑估计，以证明附近的一个可能的I型爆破的浓度现象。也就是说，我们表明，如果$(0, T^*)$是一个奇点，那么$$\|u(\cdot,t)\|_{L^{3}(B_{R}(0))}\geq γ_{univ},\qquad R=O(\sqrt{T^*-t}).$$这一结果的启发，并提高了浓度的结果，李，小泽，王和前川，三浦，和Prange。我们还将结果推广到其它临界空间，即$L^{3,\infty}$和Besov空间$\dot B^{-1+\frac3p}_{p,\infty}$，$p\in(3,\infty)$ .
The Method of Reflections, Homogenization and Screening for Poisson and Stokes Equations in Perforated Domains
本文研究了Poisson方程和斯托克斯方程Dirichlet问题的反射法在球外有孔区域上的收敛性。我们证明了该方法的收敛性，如果球包含在一个有界的区域和球的静电容量的密度是足够小的。如果容量密度太大或球扩展到整个空间，该方法发散，但我们提供了一个适当的修改的方法，收敛到解决方案的狄利克雷问题也在这种情况下。本文利用（改进的）反射法给出了多孔区域上Poisson方程和斯托克斯方程Dirichlet问题的经典均匀化结果的新证明。
Existence of an Infinite Number of Solutions to a Singular Superlinear p-Laplacian Equation on Exterior Domains
该研究在外区域上考察具有原点奇异性和无穷远超线性增长的 p-Laplacian 方程，通过对系数衰减指数施加区间条件，证明了存在无穷多个在无穷远处趋于零的径向解。
Criteria of the existence of global solutions to semilinear wave equations with first-order derivatives on exterior domains
本文利用局部能量估计与加权 Sobolev 嵌入，给出外区域上含一阶导数半线性波动方程整体解存在的维数与正则性判据，并获得尖锐寿命估计。
Radial solutions to the Cauchy problem for $\square_{1+3}U=0$ as limits of exterior solutions
我们考虑的战略实现的柯西问题的径向数据的径向解决方案的限制初边值问题的外部消失球中心在原点。我们的目标是衡量这种方法的有效性，在一个简单的，具体的设置：三维，线性波动方程$\square_{1+3}U=0$与径向柯西数据$U(0,x)=Φ(x)=ϕ(|x|)$，$U_t(0,x)=Ψ(x)=ψ(|x|)$。我们主要感兴趣的是，这是一个模型的情况下，其他可能是非线性的，方程既没有公式，也没有抽象的存在性结果，可用于径向对称柯西问题。因此，在处理三维波动方程时，我们坚持基于能量方法和强收敛性的稳健论证。(In特别是，这项工作没有解决可以通过解决方案公式建立的问题。）我们对三维波动方程的研究结果表明，虽然人们可以通过外部解获得径向柯西解的存在性，但不应该期望这样的结果是最优的。线性波动方程的标准存在性结果保证了$C([0,T);H^s(\mathbb{R}^3))$中的唯一解，只要$(Φ,Ψ)\in H^s\times H^{s-1}(\mathbb{R}^3)$。然而，在上述的约束框架内，我们得到严格较低的正则性的解决方案作为外部解决方案的限制。我们还表明，外部诺依曼解决方案比外部狄利克雷解决方案产生更好的规律性。具体地说，对于$H^2\times H^1(\mathbb{R}^3)$中的Cauchy数据，我们通过外Neumann解得到了$H^1$ -解，而通过外Dirichlet解只…
Asymptotics of Radially Symmetric Solutions for the Exterior Problem of Multidimensional Burgers Equation
研究了球外多维Burgers方程$\mathbb{B}_{r_0}(0)\subset \mathbb{R}^n$的径向对称解的长时间行为，其中$n\geq 3$和某个正的常数$r_0>0$，边界数据$v_-$和初始数据的远场状态$v_+$是给定的，并且对应于一个驻波.它示出在\cite{Hashimoto-Matsumura-JDE-2019}，一个充分条件，以保证存在这样的驻波是$v_+<0, v_-\leq |v_+|+μ(n-1)/r_0$。由于驻波不再是单调的，它的非线性稳定性是合理的，只是最近在\cite{Hashimoto-Matsumura-JDE-2019}的情况下，当$v_\pm<0, v_-\leq v_++μ(n-1)/r_0$。本文的主要目的是验证这样的驻波的时间渐近非线性稳定性的整个范围内的$v_\pm$满足$v_+<0, v_-\leq |v_+|+μ(n-1)/r_0$。此外，我们还推导出时间收敛速度，代数和指数。我们的稳定性分析是基于一个空间加权能量方法与适当选择的权重函数，而对于时间的衰减率，除了这样的空间加权能量方法，我们还使用时空加权能量方法中采用的\cite{Kawashima-Matsumura-CMP-1985}和\cite{Yin-Zhao-KRM-2009}。
Large-time estimates for the Dirichlet heat equation in exterior domains
本文研究了外区域中 Dirichlet 热方程的大时间渐近行为，给出了一致范数和 $L^1$ 范数下的显式逼近速率估计，并利用熵方法揭示了热核的渐近轮廓及其与区域形状和质量损失的关系。
General monotone formula for homogeneous $k$-Hessian equation in the exterior domain and its applications
针对外区域齐次 $k$-Hessian 方程超定问题，论文结合积分恒等式与几何不等式提出新方法，并建立一般单调公式以证明球特征刻画及相关几何不等式。
On the supercritical defocusing NLW outside a ball
研究了一类具有幂非线性项$|u|^{p-1}u$的散焦半线性波动方程，定义在$\mathbb{R}^{n}$的单位球外，$n\ge3$，Dirichlet边界条件.我们证明了如果$p>n+4$和初始数据是大径向数据的非径向扰动，则存在全局光滑解。该解在满足能量不等式的能量类解中是唯一的。所使用的主要工具是彭罗斯变换和逐点衰减估计的外部线性波动方程扰动一个大的，不定常的潜力。
Singularity of the extremal solution for supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity
令$λ^{*}>0$表示$λ$的最大可能值，使得$$ \{{array}{lllllll} Δ^{2}u=λ(1+u)^{p} & {in}\ \ \B, %0<u\leq 1 & {in}\ \ \B, u=\frac{\partial u}{\partial n} =0 & {on}\ \ \partial \B {array}. $$有解，其中$\B$是$R^{n}$中以原点为中心的单位球，$p>\frac{n+4}{n-4}$和$n$是外部单位法向量。我们证明了对于$λ=λ^{*}$这个问题具有唯一的弱解$u^{*}$，称为极值解。我们证明了当$n\geq 13$对于$p$足够大时，$u^{*}$是奇异的，在这种情况下$u^{*}(x)\leq r^{-\frac{4}{p-1}}-1$在单位球上。
On the existence of foliations by solutions to the exterior Dirichlet problem for the minimal surface equation
给定一个外区域$Ω$，其$C^{2,α}$边界在$\mathbb{R}^{n}$，$n\geq3$中，我们得到了极小曲面方程解的$1$参数族$u_γ\in C^{\infty}\left(Ω\right) $，$\left\vert γ\right\vert \leqπ/2$，使得如果$\left\vert γ\right\vert <π/2$，$u_γ\in C^{\infty}\left( Ω\right) \cap C^{2,α}\left( \overlineΩ\right) $，$u_γ|_{\partialΩ}=0$具有$\max_{\partialΩ}\left\Vert \nabla u_γ\right\Vert =\tanγ$，如果$\left\vert γ\right\vert =π/2$，$u_γ$的图包含在一个$C^{1,1}$流形$M_γ\subset\overlineΩ\times\mathbb{R}$具有$\partial M_γ=\partialΩ$中.这些函数中的每一个都是有界的，并且渐近于常数\[ c_γ=\lim_{\left\Vert x\right\Vert \rightarrow\infty}u_γ\left( x\right) . \]映射$γ\rightarrow u_γ\left( x\right) $（对于固定的$x\inΩ$）和…
Exterior Serrin Rigidity for the Homogeneous{k}-Hessian Equation
本文在三维情形下对2≤k<n的齐次k-Hessian方程外部超定问题，结合参数q与尺度函数，通过不同积分机制建立球刚性结果，将构造从凸域扩展至严格星形域。
Universal bound independent of geometry for solution to symmetric diffusion equation in exterior domain with boundary flux
固定$R>0$，让$B_R$表示以$R^d$，$d\ge2$中的原点为中心的半径为$R$的球。设$D\subset B_R$是一个光滑边界的开集，且$R^d-\bar D$是连通的，$$ L=\sum_{i,j=1}^da_{i,j}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}-\sum_{i=1}^db_i\frac{\partial}{\partial x_i} $$是一个二阶椭圆算子.考虑具有边界通量的外部区域$R^d-\bar D$中的以下线性热方程：\begin{equation*} \begin{aligned} &L u=0 \ \text{in}\ R^d-\bar D;\\ &a\nabla u\cdot \bar n=-h\ \text{on}\ \partial D;\\ &u>0 \ \text{is minimal}, \end{aligned} \end{equation*}其中$h\gneq0$是连续的，并且其中$\bar n$是区域$R^d-\bar D$向内法线的单位。算子$L$必须具有格林函数，才能有解$u$。该方程的一个重要特征是，在解的上确界$\sup_{x\in R^d-\bar D}u(x)$上不存在先验界，仅限于边界通量$h$、$\partial D$的超曲面测度和$L$的系数;而$D\subs…
Dirichlet-to-Neumann operator for the Helmholtz problem with general wavenumbers on the $n$-sphere
研究外部球域上带Dirichlet边界条件和辐射条件的亥姆霍兹问题，证明DtN算子的波数显式连续性估计，并导出波数无关的迹和Friedrichs型不等式。
Scattering for 3d cubic focusing NLS on the domain outside a convex obstacle revisited
本文研究了具有Dirichlet边界条件的$\mathbb{R}^3$中凸障碍物外区域上的聚焦立方非线性薛定谔方程（NLS）.利用Dodson和Murphy的论证以及Ivanovici和Lebeau建立的色散估计，我们重新讨论了Killip-Visan-Zhang基态下的散射结果，避免了使用浓度紧性。我们通过建立边界的局部光滑效应克服了聚焦情况下边界的困难。基于这种效应和相互作用的Morawetz估计，我们证明了解在一个大的时间间隔内衰减，这满足散射准则。
Nonlinear Schrödinger equation in an exterior domain
该研究针对非捕获障碍物外区域的三次、五次非线性薛定谔方程，利用局部光滑效应与Strichartz型估计，证明了其在二维、三维中围绕零解及非平凡轨迹的局部精确可控性，并讨论了相关开放问题。
Channels of energy for the linear radial wave equation
外部通道的能量估计径向波动方程首先考虑在三维Duyckaerts，第一作者，和Merle，最近为5维的情况下，由第一，第二和第四作者。本文给出了径向自由波方程在所有奇维上能量估计通道的一般形式。这将被用于一个配套文件，以建立孤立子分辨率的等变波映射在3维外部的球B（0，1），并在所有的等变类。
Properties of the extremal solution for a fourth-order elliptic problem
令$λ^{*}>0$表示$λ$的最大可能值，使得$$ \{{array}{lllllll} Δ^{2}u=\fracλ{(1-u)^{p}} & \{in}\ \ B, 0<u\leq 1 & \{in}\ \ B, u=\frac{\partial u}{\partial n} =0 & \{on}\ \ \partial B. {array} . $$有解，其中$B$是以原点为中心的$R^{n}$中的单位球，$p>1$和$n$是外部单位法向量。我们证明了对于$λ=λ^{*}$这个问题具有唯一的弱解$u^{*}$，称为极值解。我们证明了当$p$的$n\geq 13$足够大且$1-C_{0}r^{\frac{4}{p+1}}\leq u^{*}(x)\leq 1-r^{\frac{4}{p+1}}$在单位球上时，$u^{*}$是奇异的，其中$ C_{0}:=(λ^{*}/\barλ)^{\frac{1}{p+1}}$和$\barλ:=\frac{8(p-1)}{(p+1)^{2}}[n-\frac{2(p-1)}{p+1}][n-\frac{4p}{p+1}]$。我们的结果实际上完成了\cite{D}留下的部分公开问题
Normalized solution for $p$-Laplacian equation in exterior domain
本文研究外部区域中带 $L^p$ 范数约束的非线性 $p$-Laplacian Schrödinger 方程，通过分裂技术、Gagliardo-Nirenberg 不等式、重心函数、Brouwer 度、极小极大原理及亏格理论，证明了正规范化解的存在性及无穷多解。
Symmetry properties of sign-changing solutions to nonlinear parabolic equations in unbounded domains
本文研究了非线性抛物型方程正解和变号解在全空间或球外Dirichlet边界条件下的渐近性态。我们证明了，在适当的正则性和稳定性假设下，解是渐近（在时间上）叶化Schwarz对称的，即，相关的Ω极限集中的所有元素相对于通过原点的公共轴轴对称，并且极角不增加。我们还获得了对称性结果的解决方案的Hénon-type问题，平衡（即相应的椭圆问题的解决方案），并为时间周期的解决方案。
Global well-posedness of the defocusing nonlinear wave equation outside of a ball with radial data for $3<p<5$
本文通过结合畸变傅里叶截断、端点 Strichartz 估计和能量方法，并利用径向 Sobolev 不等式处理超共形非线性项，证明了球外散焦能量次临界非线性波动方程径向解的全局适定性，将三次非线性结果推广到 $3<p<5$。
On the periodic Korteweg-de Vries equation: a normal form approach
利用规范形变换讨论了KdV方程在周期背景下低正则解的一种改进的光滑化现象。结果，从$H^{-1/2+}$上的球到$C_0^t ([0,T], H^{-1/2+})$的解映射可以被示出为$H^{0+}_x$拓扑中的Lipschitz，其中Lipschitz常数仅取决于初始数据的粗糙范数$\|u_0\|_{H^{-1/2+}}$。在最近一篇关于低正则性下一维二次薛定谔方程的论文中也观察到了类似的情况。
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