Asymptotic stability of singular solution to nonlinear heat equation
Dominika Pilarczyk
本文讨论了非线性热方程奇异定态在加权Lebesgue范数下的渐近稳定性。
In this paper, we discuss the asymptotic stability of singular steady states of the nonlinear heat equation in the weighted Lebesgue norms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Heat content with singular initial temperature and singular specific heat
设（M，g）是无边界的紧致黎曼流形.设D是M的紧致子域，其边界光滑.我们研究了从D到M的热流的热含量渐近性，其中初始温度和比热都允许在D的边界上具有受控奇点。驱动热过程的算子被假定为拉普拉斯型算子
Neumann heat content asymptotics with singular initial temperature and singular specific heat
研究了具有边界的紧致黎曼流形上的热容量的渐近性质，其中奇异比热和奇异初始温度分布施加Robin边界条件.假设存在一个完整的渐近级数，我们确定该级数的前三项。除了一般的设置，间隔进行了详细研究，是递归关系的系数和狄利克雷和罗宾设置之间的关系。
Heat Flows with Prescribed Singularities from 3-dimensional Manifold
本文研究了从三维完备有界黎曼流形到双曲空间且沿闭曲线具有预定奇点的奇异热流，证明了其存在性、正则性，并得出其以指数速率收敛到奇异调和映射的结论。
Control properties for heat equation with double singular potential
本文研究了具有双奇异位势的热方程在区域的内点和边界上的不可控性。
Heat content asymptotics with singular data
研究了具有奇异比热和奇异初始温度分布的紧致黎曼流形上热含量的渐近性质。假设存在一个完整的渐近级数，我们确定该级数的前三项。除了一般的设置，间隔进行了详细的研究。
Another proof for the removable singularities of the heat equation
利用$n\ge 3$给出了热方程在$(Ω\setminus\{x_0\})\times (0,T)$中的可去奇点的两种不同的简单证明.对于$n=2$的情形，给出了热方程在$(Ω\setminus\{x_0\})\times (0,T)$中存在可去奇点的充要条件.
Removability of time-dependent singularities in the heat equation
本文考虑具有不定常奇性的线性热方程的解。证明了当奇点弱于拉普拉斯方程的基本解的阶时，它是可去的。我们还考虑了高维奇异集的可移除性。给出了一个非可去奇点的例子，它暗示了可去性条件的最优性。
Very weak solutions of the heat equation with anisotropically singular time-dependent diffusivity
本文针对扩散系数张量具有时间依赖、各向异性且可能奇异的热方程，在弱解或分布解可能不存在的情况下，利用很弱解框架证明了解的存在性与唯一性。
Very weak solutions of the heat equation with anisotropically singular time-dependent diffusivity
研究热方程在各向异性且时间依赖的奇异扩散张量下的非常弱解存在性和唯一性。
Heat trace asymptotics with singular weight functions II
本文研究了具有混合边界条件的Laplace型算子的加权热迹渐近性，其中权函数具有径向爆破。我们给出了展开式中前三个边界项的几何表达式。
Existence of solutions to the fractional semilinear heat equation with a singular inhomogeneous term
本文研究了分数半线性热方程中带有奇异非齐次项的解的存在性，通过建立分数热半群的衰减估计和实插值法，获得了精确的积分估计和存在条件。
Local solvability and dilation-critical singularities of supercritical fractional heat equations
本文研究超临界分数阶半线性热方程的 Cauchy 问题，给出局部可解性的必要与充分条件，并提出初始数据的 DCS 概念，证明其广泛存在且得到精确公式。
The heat equation with singular potentials. II: Hypoelliptic case
本文考虑了具有强奇异位势的热方程，证明了它有一个很弱解。我们的分析致力于一般的亚椭圆算子，并在分次李群的设置。目前的工作是对以前工作的继续和扩展，其中考虑了$\mathbb R^n$上的经典热方程。
Around a singular solution of a nonlocal nonlinear heat equation
研究了一类具有非局部扩散、幂非线性和适当小数据的非线性热方程的整体时间解的存在性（无论是逐点比较于奇异解还是在临界Morrey空间的范数下）.然后，确定了次临界解的渐近性。这些结果进行了比较，导致有限时间爆破的初始数据的条件。
Solutions with time-dependent singular sets for the heat equation with absorption
研究了具有超线性吸收项$\partial_{t} u-Δu= -u^{p}$的热方程在$\mathbb{R}^n$中的非负解的存在性和不存在性，其中$n-m\geq 3$具有$m$维不定常奇异集.首先，证明了若$p\geq (n-m)/(n-m-2)$，则不存在奇异解.我们接下来证明，如果$1<p<(n-m)/(n-m-2)$，那么有两种类型的奇异解。此外，我们还证明了解的唯一性，并给出了解在奇异集附近的精确性态。
Growth of heat trace and heat content asymptotic coefficients
我们表明，在光滑的范畴，热迹渐近和热含量渐近可以任意快速增长。然而，在真正的分析语境中，这是不正确的，我们对它们的增长建立了普遍的界限。
Long-time behaviour of solutions to a singular heat equation with an application to hydrodynamics
本文推广了文献[1]的结果，证明了在Lagrange坐标系下描述粘性薄液层演化的一维奇异热方程解的指数渐近$L^2$ -收敛性。此外，我们将这个渐近收敛的结果推广到时间非均匀源的情况。本研究对多孔介质方程理论也有独立的意义。
Heat equation with singular thermal conductivity
本文研究了具有非规则空间依赖导热系数的热传导方程。我们证明了它在适当的很弱意义下有解。此外，还证明了该解的唯一性，以及当经典解存在时与经典解的一致性.事实上，我们允许系数是一个分布，一个有趣的例子是Delta函数。
On the singular layer for the 1-D steady Euler system with heat conductivity in a finite nozzle as the heat conduction coefficient vanishes
本文研究有限喷管中带热传导的一维稳态Euler系统在热传导系数趋于零时的奇异极限，建立了热传导解的存在性，发现端点边界层，按入口状态和出口压力将解分类为纯超声速、纯亚声速和跨声速解，并推导了边界层方程。
The heat equation with strongly singular potentials
本文考虑了具有强奇异位势的热方程，证明了它有一个“很弱解“。此外，我们在适当的意义下证明了唯一性和相容性结果。研究了正电势和负电势的情况。进行了数值模拟：其中一个建议所谓的“激光加热和冷却”效应取决于潜在的符号。后者是由物理观测证明的。
Asymptotic profile of solutions to the heat equation on thin plate with boundary heating
在这一节中，我们考虑厚度h > 0的板在板的上下表面上被热源加热时的热方程。当厚度h > 0趋于零时，我们得到了解的渐近分布.
Boundary controllability for a one-dimensional heat equation with a singular inverse-square potential
分析了具有奇异平方反比势的一维热传导方程$$ u_t-u_{xx}-\fracμ{x^2}u=0,\;\;\; (x,t)\in(0,1)\times(0,T).$$的能控性，证明了对于任意的$$ u_t-u_{xx}-\fracμ{x^2}u=0,\;\;\; (x,t)\in(0,1)\times(0,T).$$，通过边界控制$f\in H^1(0,T)$作用于奇点$x=0$，方程是零能控的.这个结果是由Fattorini和Russell利用矩量法得到的。
Singularity formation to the two-dimensional full compressible Navier-Stokes equations with zero heat conduction in a bounded domain
研究了有界区域上具有零热传导的二维完全可压缩Navier-斯托克斯方程强解的奇异性。结果表明，当初始密度为真空时，如果密度和压力自上而下有界，则整体存在强解。对数型临界Sobolev不等式在证明中起着至关重要的作用。
The heat equation with the dynamic boundary condition as a singular limit of problems degenerating at the boundary
我们推导出热方程的动态边界条件作为边界层问题的极限。我们研究了当层的宽度趋于零时，它们的弱解和强解的收敛性。我们还讨论了生成这些流的泛函的$Γ$ -收敛性。我们对强解的分析依赖于一个新的Reilly恒等式。
Long-time asymptotic profiles of the n-D heat equation and modified heat kernels
本研究构建n维热方程初值问题的长时间渐近轮廓，提出一种依据初始数据矩调整热核质量、质心与方差的修正热核，为相关问题的长时间行为分析提供新工具。
Complex powers for cone differential operators and the heat equation on manifolds with conical singularities
得到了扇形$\mathbb{B}$ -椭圆锥微分算子复幂域上的左、右连续嵌入.我们把这个结果应用到具有锥奇点的流形上的热方程，并给出了锥点附近唯一解的渐近展开。我们进一步表明，分解的解决方案的渐近空间，即有限维空间，描述的领域的整数幂的拉普拉斯算子和确定的局部几何周围的奇异性，是保存下的演变。
Periodic propagation of singularities for heat equations with time delay
本文发现带时滞热方程解的奇性沿时间轴双向周期且逐步传播，每周期联合导数阶数增减2，并阐明初值与历史值的影响，凸显其与无时滞热方程及波动方程的差异。
Optimal singularities of initial data of a fractional semilinear heat equation in open sets
本文研究开集上分数阶半线性热方程柯西-狄利克雷问题的可解性，给出必要与充分条件，确定初值最优奇异性强度，并指出内部与边界的差异。
Non-uniqueness for a critical heat equation in two dimensions with singular data
研究了具有奇异初值的二维非线性热方程。在最近的工作中，Trudinger-Moser型指数增长性的非线性已经被证明是临界行为：在亚临界情况下是适定性的，而在某些超临界数据下是不存在的。在这篇文章中，我们提出了一个特定的模型非线性与Trudinger-Moser增长，我们得到了令人惊讶的完整的结果：a）对于初始数据严格低于某一奇异门限函数$\widetilde u$的问题是适定的，b）对于初始数据高于这个门限函数$\widetilde u$，没有解决方案，c）对于奇异初始数据$\widetilde u$有非唯一性。函数$\widetilde u$是该问题的弱平稳奇异解，并且证明了在相同的初始值$\widetilde u$下，也存在正则化经典解.
On the heat equation with nonlinearity and singular anisotropic potential on the boundary
本文研究了半空间中具有非线性奇异位势的热传导方程，边界为$\mathbb{R}_{+}^{n}$。我们开发了一个适定性理论（不使用加藤和哈代不等式），使我们能够考虑具有无限多的奇异性和各向异性的临界势。出于潜在的配置文件的兴趣，进行分析，在弱$L^{p}$空间中，我们证明了一些边界算子所产生的Duhamel积分公式$\mathbb{R}_{+}^{n}$的关键线性估计。此外，我们调查的定性性质的解决方案，如自相似性，积极性和对称轴$\overrightarrow{Ox_{n}}$。
Singularity formation to the Cauchy problem of the two-dimensional non-baratropic magnetohydrodynamic equations without heat conductivity
研究了无热传导的非正压可压缩磁流体动力学方程组二维Cauchy问题的强解的奇异性。证明了当密度和压力自上而下有界时，方程的强解整体存在。特别地，该判据与磁场无关，并且与可压缩Navier-斯托克斯方程的判据相同。我们的方法依赖于加权能量估计和Hardy型不等式。
Long-time asymptotics of solutions of the heat equation
当初始函数在无穷远处具有幂渐近性时，构造了热方程Cauchy问题解的长时间渐近性。
Singularity formation to the 2D Cauchy problem of the full compressible Navier-Stokes equations with zero heat conduction
研究了具有零热传导的二维可压缩Navier-斯托克斯方程Cauchy问题的奇性形成和强解的破裂.结果表明，当初始密度为真空时，当密度$ρ$和压力$P$满足$\|ρ\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}+\|P\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}<\infty$时，强解整体存在.此外，初始密度甚至可以具有紧凑的支撑。Lam{é}系统的Lam型估计和一些加权估计在证明中起着至关重要的作用。
Null controllability for a heat equation with a singular inverse-square potential involving the distance to the boundary function
研究了定义在有界$C^2$区域$Ω\subset\mathbb{R}^N$上的具有奇异位势的热方程$μ/δ^2$的控制性质，其中$δ$是到边界函数的距离.更准确地说，我们表明，对于任何$μ\leq 1/4$的系统是完全零可控的使用分布控制位于任何开放的$Ω$子集，而对于$μ>1/4$没有办法防止方程的解决方案爆破。该结果是应用一个新的Carleman估计得到的。
On a singular heat equation with dynamic boundary conditions
本文分析了一类非线性抛物型方程，方程的特征为一个描述快速扩散效应的奇异扩散项。该方程在光滑有界三维区域内求解，并补充了一般的动力型边界条件。这种类型的条件规定了某种质量守恒;因此，对于严格正的初始数据产生的解，预期不会产生消光效应。我们的主要结果是关于弱解的存在性，瞬时正则化性质，长时间行为，并在特殊条件下，唯一性。
Equivariant Lefschetz formulae and heat asymptotics
利用热方程方法证明了紧致流形上椭圆复形的一个等变Lefschetz公式，该复形具有紧致等距李群的作用。
Heat equation for Sturm-Liouville operator with singular propagation and potential
本文研究带奇异势的含时Sturm-Liouville算子热方程初边值问题，通过分离变量法转化为特征值问题，以Fourier级数构造解，还证明了势与初值为分布、含奇异时变系数时方程的适定性。
Heat trace asymptotics for quantum graphs
我们考虑一个量子图，其中算子包含一个潜在的。我们表明，该运营商承认一个热核。在对势的某些假设下，这个热核在t=0时有一个渐近展开，其系数以一种普遍的方式依赖于势。这些系数是谱不变量，我们计算其中的前几个。
Asymptotic behaviour of the Bessel heat kernels
考虑半直线$(a,\infty)$，$a>0$中Bessel微分算子$L^{(μ)}=\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2μ+1}{2x}$，$μ\in\mathbb{R}$的Dirichlet热核$p_a^{(μ)}(t,x,y)$，并给出了$xy/t\rightarrow\infty$的渐近展开式.
Asymptotic expansions for anisotropic heat kernels
当初值属于多项式加权Lp-空间时，得到了某些各向异性热方程解的渐近展开.我们主要解决两个模型的例子。在第一种情况下，扩散系数在某些变量中为二阶，但在其他变量中更高。第二章考虑Heisenberg群上的热方程。
On formation of singularity of the full compressible magnetohydrodynamic equations with zero heat conduction
研究了具有零热传导的三维完全可压缩磁流体动力学方程组Cauchy问题的奇性形成和强解的破裂。证明了当初始密度为真空时，当变形张量$\mathfrak{D}(\mathbf{u})$和压力$P$满足$\|\mathfrak{D}(\mathbf{u})\|_{L^{1}(0,T;L^\infty)}+\|P\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}<\infty$时，强解整体存在.特别是，该标准是独立的磁场。Lam{é}系统的能量估计和一些精细的能量估计在证明中起着至关重要的作用。
Multiparameter bifurcation and asymptotics for the singular Lane-Emden-Fowler equation with convection term
我们建立了奇异Lane-Emden-Fowler方程的几个分支结果。
Propagation of Singularities of Nonlinear Heat Flow in Fissured Media
本文研究了当吸收势在$(x,t)$空间中沿某条曲线强退化时，具有强吸收的非线性抛物方程中奇性的奇性传播.作为一个非常简化的模型，我们假设热传导是常数，但介质的吸收强烈地依赖于介质的特性。更精确地说，我们假设温度$u$由以下方程控制：\label{I-1} \partial_{t} u-Δu+h（x，t）u^p=0 \quad \text{in} Q_{T}：=R^N \times（0，T）其中$p>1$和$h\in C(\bar Q_{T})$。我们假设$h(x,t)>0$除了当$(x,t)$属于某个时空曲线。
On the heat equation with singular drift
研究了带有Morrey漂移的热方程解的极大模估计，基于自由项的L_{q,p}范数，适用于任意q,p满足d/p+2/q<2，且适用于Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin条件的应用。
Global asymptotic expansion for anisotropic singularly perturbed elliptic problems
针对一类线性椭圆问题的各向异性奇异扰动，本文给出并证明了解在特定函数空间中的全局渐近展开。
Existence of infinitely many singular self-similar solutions for the semilinear heat equation
本文证明半线性热方程在特定参数范围内存在无穷多个奇异正自相似解，并研究其渐近行为与轮廓界，进而利用这些解证明柯西问题正解的非唯一性。
Removable singularities for solutions of the fractional Heat Equation in time varying domains
本文研究时变区域上分数阶热方程解的可去奇点。我们介绍了相关的能力，我们研究了它的一些度量和几何性质。
Singular solutions to the heat equations with nonlinear absorption and Hardy potentials
研究了方程$u_t-Δu - \fracκ{|x|^2}u+|x|^αu|u|^{p-1}=0$，$p>1$在$\R^N\times[0,\infty)$，$N\ge 3$中奇异解的存在性和不存在性，其中奇异点在$(0,0)$，即非负解满足$u(x,0)=0$（$x\ne0$），假设$\a>-2$和$κ<\left(\frac{N-2}2\right)^2$ .将此问题转化为具有非线性吸收的加权Laplace-Beltrami算子的问题，该算子在权项中吸收了Hardy势。将加权问题的奇异解分类为以狄拉克质量的倍数作为初始数据的{ \it源解}或唯一的{ \it非常奇异解}，导致原始问题的奇异解的完全分类，其存在当且仅当$p<1+\frac{2(2+α)}{N+2+\sqrt{(N-2)^2-4κ}}$。
Exact Asymptotic Behavior of Singular Positive Solutions of Fractional Semi-Linear Elliptic Equations
本文证明了具有孤立奇点的分数阶半线性方程$$(-Δ)^σu = u^p~~~~~~~~in ~~ B_1\backslash \{0\}$$的奇异正解的精确渐近性态，其中$σ\in (0, 1)$和$\frac{n}{n-2σ} < p < \frac{n+2σ}{n-2σ}$。
On the method of differentiation and its application to asymptotics for the heat kernel on H-type groups
本说明有两个目的。第一个目的是找到关于H-型群的一般渐近展开可微的渐近序列的条件.我们的方法是从经典方法得到的，但它是对经典方法的推广.作为应用，我们的第二个目的是在迷向Heisenberg群的结果存在的条件下，用微分方法给出H-型群的热核在无穷远处的精确渐近估计.
Classification of local asymptotics for solutions to heat equations with inverse-square potentials
研究了具有空间奇异平方反比势的热方程解的渐近性态。将抛物型Almgren型单调性公式与Blow-up方法相结合，研究了具有Hardy型位势的线性和亚临界半线性抛物型方程解在奇异点附近的精确性态.作为一个显着的副产品，一个独特的连续性得到。
A note on local asymptotics of solutions to singular elliptic equations via monotonicity methods
本文利用Almgren型单调性公式，完善和部分改进了文献[arXiv：0809.5002]中关于带奇异系数的线性和非线性椭圆型方程解的渐近性的一些结果
Singular solutions to Yamabe-type systems with prescribed asymptotics
本文主要研究具有常数量曲率的紧致黎曼流形中一类临界增长的强耦合非线性椭圆方程组。利用胶合技术和扰动参数，我们证明了奇异解的存在性渐近于孤立奇点附近的福勒型解。
Bifurcation and Asymptotics for Elliptic Problems with Singular Nonlinearity
本文研究了一类带奇异非线性项的椭圆型方程解的存在唯一性。我们考虑了以下几类问题：（i）具有次线性非线性和两个参数的奇异问题;（ii）渐近线性和奇异非线性在分歧问题中的联合作用;（iii）一类具有次二次对流项的奇异椭圆问题的分歧。在某些具体情况下，我们还建立了解在歧点附近的渐近性态。我们的分析依赖于椭圆型方程的最大值原理结合适当的估计。
Asymptotics of the solution of the Cauchy problem for a singularly perturbed system of hyperbolic equations
构造了描述两刚性连接弦振动的双曲型方程的奇异摄动系统关于小参数的渐近展开式。在一定的条件下，这些问题的解的渐近展开的主项由Korteweg-de Vries方程描述。
Sign-changing solutions of the nonlinear heat equation with persistent singularities
研究了非线性热方程$\partial _t u = Δu + |u|^αu$在${\mathbb R}^N $上的变号解的存在性，$N\ge 3$，用$\frac {2} {N-2} < α<α_0$，其中$α_0=\frac {4} {N-4+2\sqrt{ N-1 } }\in (\frac {2} {N-2}, \frac {4} {N-2})$在$x=0$上是奇异的.特别地，对于任意大的$μ>0$，我们证明了对于任何在无穷远处有界且在$0$的邻域中等于$μ|x|^{- \frac {2} {α}}$的$u_0 \in \mathrm{L} ^\infty _{\mathrm{loc}} ({\mathbb R}^N \setminus \{ 0 \}) $，存在具有初始值$u_0$的非线性热方程的局部（在时间上）解$u$，该解是变号的，在无穷远处有界，且在原点处具有奇异性$β|x|^{- \frac {2} {α}}$，对于$t>0$，$ |x|^{\frac {2} {α}} u(t,x) \to β$为$ |x| \to 0$，其中$β= \frac {2} {α} ( N -2 - \frac {2} {α} ) $ .这些解一般既不是平稳的，也不是自相似的。
Recovery of a fast oscillating source in the heat equation by asymptotic of the solution
解决了利用解的部分渐进信息恢复具有齐次初边值条件的一维热方程中高频源的四个问题。它表明，源可以完全恢复从一个特定的数据不完全（两项）渐近的解决方案。在对每个源的恢复问题进行公式化之前，给出了原初边值问题解的渐近性的构造和证明。
On formation of singularity for non-isentropic Navier-Stokes equations without heat-conductivity
已知无热传导的非等熵Navier-斯托克斯方程的光滑解在真空存在下会在有限时间内失去其稳定性。然而，尽管最近对这种爆破现象的研究取得了一些进展，但仍然没有给出一种可能的爆破机制。本文对这类方程组给出了一个简单的延拓原理，该原理认为对于一大类光滑的初始数据，密度或温度的集中在有限时间内发生，这是导致经典解崩溃的原因.对J.Nash在20世纪50年代提出的一个强猜想给出了肯定的回答
Asymptotic profiles for inhomogeneous heat equations with memory
我们研究了非齐次非局部热方程在$\mathbb{R}^N$中的解在所有$L^p$范数下的大时间行为，其中包含一个Caputo $α$时间导数和一个Laplacian的幂$β$，当维数很大时，$N> 4β$。渐近廓线强烈地依赖于时间尺度和强迫项空间$L^1$范数的时间行为。
Asymptotic behavior of solutions to Schrödinger equations near an isolated singularity of the electromagnetic potential
研究了具有奇异磁势和奇异电势的Schroedinger方程解的渐近性。利用Almgren型单调性公式、分离变量法和Brezis-Kato型迭代方法，描述了具有平方反比电势和奇异磁势的线性和半线性（临界和次临界）椭圆型方程解在奇异性附近的精确行为.
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