C^3不存在多次（3，4，5）的驯服自同构

仿射三次二次曲面的驯服自同构与野性自同构

The tame and the wild automorphisms of an affine quadric threefold

本文证明了仿射二次三重曲面上的野自同构的存在性。我们使用的方法是一个适应所使用的Shestakov和Umirbaev证明野生自同构的仿射三维空间的存在。

三维Tame自同构群的并积结构

The Amalgamated Product Structure of the Tame Automorphism Group in Dimension Three

它示出的驯服子群$\text{TA}_3(\mathbb C)$的组$\text{GA}_3(\mathbb C)$的多项式自同构的${\mathbb C}^3$可以实现为产品的三个子群，沿成对交叉合并，在一种方式，推广了著名的合并自由积结构的$\text{TA}_2(\mathbb C)$（这符合$\text{GA}_2(\mathbb C)$的荣格定理）。这个结果是由U.联合乌米尔巴耶夫

关于C^3的驯服与野性自同构的多阶性

On multidegree of tame and wild automorphisms of C^3

本文证明了集合mdeg（Aut（C^3））mdeg（Tame（C^3））不为空。此外，我们证明了这个集合有无穷多个元素。因为对于著名的Nagata的例子N的野生自同构，mdeg N =（5，3，1）是mdeg（Tame（C^3））的元素，并且因为对于其他已知的野生自同构的例子，多度是（1，d_2，d_3）的形式（如果必要的话，在置换之后），那么我们给出C^3的野生自同构F的第一个例子，使得mdeg F不属于mdeg（Tame（C^3））。我们还证明了，如果d_1，d_2是奇数，使得gcd（d_1，d_2）=1，则（d_1，d_2，d_3）属于mdeg（Tame（C^3））当且仅当d_3是d_1，d_2的自然系数线性组合.这是一个关键的事实，我们使用的主要结果的证明.

C^3上多次（p_1，p_2，d_3）的Tame自同构

Tame automorphisms of C^3 with multidegree of the form (p_1,p_2,d_3)

设d_3 >= p_2 > p_1 >= 3是整数，使得p_1，p_2是素数.本文证明了序列（p_1，p_2，d_3）是C^3的某些驯服自同构的重次数当且仅当d_3在p_1*N+p_2*N中，即当且仅当d_3是p_1和p_2的系数在N中的线性组合.

A non-tame and non-co-tame automorphism of the polynomial ring

An automorphism $F$ of the polynomial ring in $n$ variables over a field of characteristic zero is said to be {\it co-tame} if the subgroup of the automorphism group of the polynomial ring generated by $F$ and affine automorphisms contains the tame subgroup. There exist many examples of such an $F$, and several sufficient conditions for co-tameness are already known. In 2015, Edo-Lewis gave the first example of a non-cotame automorphism, which is a tame automorphism of the polynomial ring in three variables. In this paper, we give the first example of a non-cotame automorphism which is not tam…

关于驯顺自同构逼近、自同构群与 Ind-概形的增广拓扑，以及驯顺自同构群的自同构

On the tame authomorphism approximation, augmentation Topology of Automorphism Groups and $Ind$-schemes, and authomorphisms of tame automorphism groups

本文利用驯顺逼近研究多项式自同构 Ind-群的自同构，证明了 n≥3 时多项式代数自同构群的 Ind-概形自同构均为内自同构，并由此给出自同构群提升问题的否定解，进而探讨其与雅可比猜想的关系。

多项式环的驯服自同构的退化

Degeneration of tame automorphisms of a polynomial ring

最近Edo-Poloni构造了三元多项式环的一族驯服自同构，它退化为一个野生自同构.在本文中，我们用另一种方法推广了这个例子。

局部驯服平面多项式自同构

Locally tame plane polynomial automorphisms

对于整环R上二元多项式环的自同构，证明了在每个2-生成可逆R-模是自由的条件下，局部驯服蕴含整体驯服.我们给出了许多例子来说明这个属性。

正则环上二维多项式自同构的稳定性

Stable Tameness of Two-Dimensional Polynomial Automorphisms Over a Regular Ring

本文证明了正则环R上的二维多项式自同构是稳定驯服的。当R是Dedekind Q-代数时，得到了一些更强的结果.证明中的一个关键要素是一个定理，它产生了以下推论：在一个阿廷环A上，所有具有雅可比行列式1的二维多项式自同构都是稳定驯服的，并且如果A是Q-代数，则是驯服的。另一个重要的因素，本身的兴趣，是稳定驯服是一个局部属性：如果一个自同构是局部驯服的，那么它是稳定驯服的。

On Automorphisms of the Tame Polynomial Automorphism Group in Positive Characteristic

In this paper we prove that over algebraically closed field $K$ of positive characteristic $\neq 2$ every automorphism of the group of origin-preserving automorphisms of the polynomial algebra $K[x_1,\ldots, x_n]$ ($n>3$) which fixes every diagonal matrix preserves, up to composition with a linear inner automorphism, every tame automorphism.

C^n的多阶驯服自同构

Multidegrees of tame automorphisms of C^n

设F=（F_1，...，F_n）：C^n --> C^n是一个多项式映射.通过映射F的多度，我们意味着mdeg F=（deg F_1，...，deg F_n），N^n的元素。本文的目的是研究下列问题（特别是当n=3时）：对于哪一个序列（d_1，...，d_n）在N^n中存在C^n的驯服自同构F使得mdeg F=（d_1，.，d_n）。换句话说，我们研究集合mdeg（Tame（C^n）），其中Tame（C^n）表示C^n的驯服自同构群，mdeg表示从C^n的多项式自同态集合到集合N^n的映射。因为对于{1，.，n}，我们有（d_1，...，d_n）在mdeg（Tame（C^n））中当且仅当（d_s（1），.，d_s（n））在mdeg（Tame（C^n））中，我们可以关注集合mdeg（Tame（C^n）），其中{（d_1，.，d_n）：d_1<=. <=d_n}。在本文中，我们给出了集合的完整描述：mdeg（Tame（C^n））∈ {（3，d_2，d_3）：3<=d_2<=d_3}}，mdeg（Tame（C^n））∈ {（5，d_2，d_3）：5<=d_2<=d_3}}，在最后一个集合的检验中，最困难的部分是证明（5，6，9）不在mdeg（Tame（C^n））中.作为证明（5，6，9）不在mdeg（Tame（C^n））中的方法的一个令人惊讶的结果，我们得到的结果是，C^3的驯服自同构F…

关于有限域上驯服自同构诱导的置换

On permutations induced by tame automorphisms over finite fields

本文研究有限域上驯服自同构诱导的置换。第一个主要结果是确定有限域上给定的初等自同构诱导的置换的符号的公式。第二个主要结果是确定有限域上给定仿射自同构诱导的置换符号的公式。给出了一种结合上述两个公式的方法来确定有限域上三角自同构诱导的置换的符号。结果表明，对于有限域上给定的驯服自同构，如果我们知道驯服自同构分解为有限个仿射自同构和初等自同构，那么我们可以很容易地确定驯服自同构诱导的置换的符号.

有限多项式自同构群

The profinite polynomial automorphism group

引入了有限域上的（tame）多项式自同构群的一个推广：profinite（tame）多项式自同构群，它是通过在自同构群上加一个自然拓扑而得到的.我们发现，大多数已知的候选人非驯服的自同构内的profinite驯服多项式自同构群，给另一个结果表明，驯服地图是潜在的“密集”内的自同构集。本文研究了凸有限驯服自同构群，证明了它与由自同态得到的双射集的距离并不远。

交换环上的稳定余驯服多项式自同构

Stably co-tame polynomial automorphisms over commutative rings

如果$n$变量中的驯服子群包含在由$ϕ$和$n+1$变量中的仿射自同构生成的子群中，则我们说$n$变量中的多项式自同构$ϕ$是稳定余驯服的。本文给出了多项式自同构稳定余驯服的条件。

Tits Alternative for the 3-dimensional tame automorphism group

We prove the strong Tits alternative for the 3-dimensional tame automorphism group over a field K of characteristic zero.

基本Artin环上二元Tame自同构群

The tame automorphism group in two variables over basic Artinian rings

在最近的一篇论文中，它已被建立，在一个Artin环R的所有二维多项式自同构具有雅可比行列式是驯服的，如果R是一个Q-代数。这是著名的荣格-范德库尔克定理的推广，该定理处理R是域（具有任何特征）的情况。在这里我们将证明对于Artin环上的驯服，Q-代数假设确实是必要的：我们将给出具有平方零主极大理想的局部Artin环的驯服自同构子群的完整描述。这将导致一个非驯服自同构的例子，对于任何特征p>0。

有限域上的多项式自同构：Derksen群对非驯服映射和驯服映射的模拟

Polynomial automorphisms over finite fields: Mimicking non-tame and tame maps by the Derksen group

若$F$是有限域$\F_q$上的一个多项式自同构，则它对每个$r\in \N^*$导出一个$(\F_{q^r})^n$的双射$π_{q^r}(F)$.我们说$F$可以被某个自同构群$\mathcal{G}$的元素“模仿”，如果存在$g_r\in \mathcal{G}$使得$π_{q^r}(g_r)=π_{q^r}(F)$。我们表明，Nagata自同构（和任何其他自同构在三个变量固定一个变量）可以模仿驯服的自同构。这一方面消除了通过研究它诱导的一个双射来表明这样的自同构是非驯服的希望，但另一方面表明驯服自同构的双射与所有自同构的双射一致。在第5节中，我们证明了整个驯服群$\TA_n(\F_q)$又可以被Derksen子群$\DA_n(\F_q)$模仿，这是由仿射映射和一个特定元素生成的子群。已知如果字段$k$具有特征零，则$\TA_n(k)=\DA_n(k)$，这对于特征$p$不期望为真。在第6节中，我们考虑多项式自同构群的子群$\GLIN_n(k)$和$\GTAM_n(k)$（它们是等于整个自同构群的候选者）。我们表明，$\GLIN_n(\F_q)=\GTAM_n(\F_q)$如果$q\not = 2$，和$\GLIN_n(\F_2)\subsetneq \GTAM_n(\F_2)$。

一些稳定的多项式自同构

Some Stably Tame Polynomial Automorphisms

研究了当$R$是UFD时，$R[X,Y]$的长度为3的多项式自同构的结构.这些结果被用来证明：如果对所有$n,\ge 0$和所有$m \ge 3$都有$\text{SL}_m(R[X_1,X_2,..., X_n]) = \text{E}_m(R[X_1,X_2,..., X_n])$，则$R[X,Y]$的所有长度为3的多项式自同构都是稳定驯服的.

三元多项式代数Tame自同构群的定义关系

Defining relations of the tame automorphism group of polynomial algebras in three variables

本文描述了特征为0的任意域F上多项式代数F[x_1，x_2，x_3]的变量为x_1，x_2，x_3的驯服自同构群TA_3（F）的一组定义关系。

驯服自同构群的组合学

Combinatorics of the tame automorphism group

研究特征为零的域上三维仿射空间的驯服自同构群Tame（$\mathbf A^3$）.我们以统一和简化的方式恢复了Kuroda，Shestakov，Umirbaev和Wright关于约化理论和Tame（$\mathbf A^3$）中关系的先前结果.在我们的介绍中的新颖性是强调一个简单的连接2维单纯复形复杂的驯服（$\mathbf A^3$）的行为等距。

三重仿射二次曲面作用在平方复形上的驯服自同构群

The tame automorphism group of an affine quadric threefold acting on a square complex

研究了光滑仿射三维二次曲面的驯服自同构群Tame（SL $_2$），它可以看作SL（2，$\mathbb{C}$）的基础簇.我们构造了一个平方复形，在这个复形上，这个群允许一个自然余紧作用，并且我们证明了这个复形是CAT（0）和双曲的。我们提出了两个应用程序的建设：我们表明，任何有限子群Tame（SL $_2$）是线性化的，Tame（SL $_2$）满足山雀替代。

仿射Cremona群的自同构

On Automorphisms of the Affine Cremona Group

证明了复仿射$n$ -空间$\mathbb{A}^n=\mathbb{C}^n$的多项式自同构群$\mathcal{G}_n:= \textrm{Aut}(\mathbb{A}^n)$的每一个自同构，当限制于Tame自同构子群$T \mathcal{G}_n$时，都是内上域自同构.这推广了\textsc{Julie Deserti}的一个结果，\textsc{Julie Deserti}在所有自同构都是驯服的维度$n=2$中证明了这一点：$T \mathcal{G}_2 = \mathcal{G}_2$。

驯服多项式自同构

Tame polynomial automorphisms

本文综述了仿射空间驯服多项式自同构群的研究，通过陪集复形与赋值复形上的作用，探讨维数2、3及保持非退化二次型的维数4情形下的正规子群、有限子群分类、Tits 交替与动力次数等问题。

仿射空间自同构的驯服群的无限传递性

Infinite transitivity of tame groups of automorphisms of affine spaces

该研究针对有限域上n维仿射空间的驯服自同构群，探究其对m个点有序子集的作用，构造可映射有序序列的驯服自同构并证明其复杂度的上下界，运用多数学分支方法获得相关定性与定量结果。

通过Bott消失定理研究超曲面的有限自同构群

Finite automorphism groups of hypersurfaces via Bott vanishing

本文通过Bott消失定理给出上同调判据，证明驯特征下光滑Deligne-Mumford栈中超曲面的自同构群概形离散，并应用于环面轨道簇，获得拟光滑加权射影超曲面及射影空间乘积中超曲面的有限性结果，同时指出方法失效的例外窗口。

奇特征上K3曲面自同构的提升

A lifting of an automorphism of a K3 surface over odd characteristic

本文证明了在奇特征的代数闭域上，有限高的K3曲面的弱驯服自同构可以提升到基域的Witt向量环上。证明了Artin不变量至少为2的超奇异K3曲面的非辛Tame自同构或超奇异K3曲面的辛Tame自同构可以在Witt向量环上提升.利用这些结果，我们证明了，对于有限高的弱驯服K3曲面，存在Witt向量环上的提升，K3曲面的整个自同构群可以提升到该提升。我们还证明了一个K3曲面配备了一个纯粹的非辛自同构的一定顺序是唯一的同构。

仿射二次三维簇的驯顺自同构的次数增长

Degree growth for tame automorphisms of an affine quadric threefold

本文利用赋值估计和方复形上的群作用，证明了保持仿射二次三维簇的驯顺自同构的动力次数避开 1 和 4/3 之间的值，并刻画了有限多个此类自同构随机乘积的次数增长指数为正的条件。

四变量Anick自同构的显式 tame 分解

An explicit tame factorization of the four-variable Anick automorphism

本文给出四变量多项式环中Anick自同构的显式 tame 分解，含16个固定z的初等自同构，定义在ℤ[1/2]上，未涉及特征2情形。

Shestakov-Umirbaev约化与Nagata关于多项式自同构的猜想

Shestakov-Umirbaev reductions and Nagata's conjecture on a polynomial automorphism

2003年，Shestakov-Umirbaev解决了Nagata关于多项式环的自同构的猜想。本文利用作者最近提出的“广义Shestakov-Umirbaev不等式”，重建了他们的理论。作为结果，我们得到一个更精确的驯服准则多项式自同构。特别是，我们表明，没有驯服的自同构的多项式环承认减少IV型。

局部有限导数的 tame 等距群研究

On the Tame Isotropy Group of Locally Finite Derivations of K[X,Y]

本文研究了K[X,Y]局部有限导数的tame等距群，通过Van den Essen的分类确定各规范形式对应的tame等距群，并证明其与关联的指数自同构的tame等距群一致，与全自同构群行为不同。

迭代嘉当通量与有限域上驯服多项式自同构群的非有限生成性

Iterated Cartier Flux and Non-Finite Generation of Tame Polynomial Automorphism Groups over Finite Fields

该研究针对有限域上的驯服多项式自同构群，通过迭代嘉当通量的性质证明其仅在一维时有限生成，进而证实了 $n\ge3$ 时的 Maubach–Willems 有限生成猜想。

含有仿射子群的多项式自同构群的闭子群

Closed subgroups of the polynomial automorphism group containing the affine subgroup

证明了在特征零点处，包含仿射群的多项式自同构群的闭子群包含整个群。

多项式自同构的首项之间的关系

Relations between the leading terms of a polynomial automorphism

设$I$是定义$K^n$的自同构的多项式的首项之间的关系的理想。本文证明了保持$I$的局部幂零导子的存在性。此外，如果$I$是主要的，即$I=(R)$，我们计算$°_2(R)$的上界为一些度函数$°_2$定义的自同构。作为应用，我们确定了$K^3$的自同构关系的所有主理想，并给出了关于$K^{2}$的自同构驯服性的Jung-van der Kulk定理的两个初等证明.

algebraically independent多项式次数的降落伞

A parachute for the degree of a polynomial in algebraically independent ones

我们给出了一个更简单的证明以及Shestakov和Umirbaev的一篇文章的主要结果的推广。这后一篇文章是第一个两个解决了一个长期存在的猜想有关的非驯服，或“野性”，永田的自同构。作为推论，我们得到了关于在任意维上形成自同构的多项式的首项的有趣信息，并重新证明了二维自同构的驯服性。

由单个多项式自同构生成的正规子群

Normal subgroups generated by a single polynomial automorphism

研究了$\mathbb{A}^n$的一个多项式自同构所生成的正规子群何时尽可能大，即等于特殊线性群在特殊自同构群中的正规闭包的判定准则.特别是，我们调查$m$ -三角自同构，即那些可以表示为仿射自同构和$m$三角自同构的产品。在特征为零的域上，我们证明了对于任意维数$n \geq 2$，每个非平凡的$4$ -三角形特殊自同构在特殊驯服子群中生成特殊线性群的整个正规闭包。这推广了Furter和Lamy在二维空间中的一个结果。

仿射平面自同构群的拓扑简单性

Topological simplicity of the group of automorphisms of the affine plane

本文证明任意无限域k上无限维代数群SAut_k(𝔸²)是拓扑简单的，还指出高维闭正规子群含所有tame自同构，并讨论了差异显著的有限域情形。

关于仿射Cremona群自同构的注记

A note on Automorphisms of the Affine Cremona Group

设$\mathcal{G}$是ind-群，$\mathcal{U} \subseteq \mathcal{G}$是幂单ind-子群。我们证明了一个抽象群自同构$θ\colon \mathcal{G} \to \mathcal{G}$将$\mathcal{U}$同构映射到$\mathcal{G}$的一个幂幺子群上，只要$θ$固定了一个封闭环面$T \subseteq \mathcal{G}$，它使$\mathcal{U}$正规化，并且$T$通过共轭作用在$\mathcal{U}$上只固定了中性元元.作为应用，我们推广了Hanspeter Kraft和作者的一个结果：如果3维仿射Cremona群$\mathcal{G}_3$的一个抽象群自同构固定了Tame自同构的子群$T{\mathcal G}_3$，那么它也固定了一族非Tame自同构（包括Nagata自同构）.

关于C^3的多项式自同构的多阶性

On multidegrees of polynomial automorphisms of C^3

证明了对每对正整数a，b，存在一个数c_0，使得对每一个c>=c_0，都能找到C^3的一个驯服的多项式自同构，其次数等于（a，b，c）.

Nagata关于正特征多项式自同构的猜想

Nagata's conjecture on a polynomial automorphism in positive characteristic

本文在特征至少为7的域上证明了Nagata关于三元多项式环特定自同构为野性的猜想，首次在正特征下确认野性自同构的存在。

长度为4的多项式自同构

Length Four Polynomial Automorphisms

研究了当$R$是UFD时，$R[X,Y]$的长4多项式自同构的结构.从这项研究的结果被用来证明，如果$\text{SL}_m(R[X_1,X_2,..., X_n]) = \text{E}_m(R[X_1,X_2,..., X_n])$的所有$n, m \ge 0$，那么所有长度为4多项式自同构的$R[X,Y]$的共轭是稳定驯服。

关于多项式自同构的多次的Karaanov型定理

On the Karaś type theorems for the multidegrees of polynomial automorphisms

为了解决Nagata猜想，Shestakov-Umirbaev构造了一个判定三元多项式自同构的野性的理论。最近，Karaeland等人研究了多阶多项式自同构作为这一理论的应用。给出了正整数的三元组是三元组中驯服自同构的多重次数的各种必要条件。在本文中，我们证明了一个强定理统一这些结果使用广义Shestakov-Umirbaev理论。

具有大素数平方阶自同构群的代数曲线

Algebraic curves admitting automorphism groups of large prime square order

针对任意特征代数闭域上的曲线，本文给出了自同构群阶为素数平方的素数界、对应曲线族分类及最高界曲线的完全自同构群。

仿射半单齐性空间上的驯顺离散集

Tame Discrete Sets on Affine Semisimple Homogeneous Spaces

该文验证了Winkelmann猜想对正维数仿射半单齐性空间$G/H$成立，证明其驯顺离散集性质及Oka性质，并给出流映射复合的归一化界，特别证明了$\SL_2/N(T)$为RR空间。

Augmented Polynomial Symplectomorphisms and Quantization

The objective of this paper is the proof of a conjecture of Kontsevich on the isomorphism between groups of polynomial symplectomorphisms and automorphisms of the corresponding Weyl algebra in characteristic zero. The proof is based on the study of topological properties of automorphism $\Ind$-varieties of the so-called augmented and skew augmented versions of Poisson and Weyl algebras. Approximation by tame automorphisms as well as a certain singularity analysis procedure is utilized in the construction of the lifting of augmented polynomial symplectomorphisms, after which specialization of t…

关于Nagata自同构的提升

On the lifting of the Nagata automorphism

证明了域$F$上多项式代数$F[x,y,z]$的Nagata自同构（分别为Nagata坐标）不能提升为自由结合代数$K<x,y,z>$的$z$ -自同构（分别为$z$ -坐标）.证明基于以下两个新的结果：${Q*_FF<x_1,...,x_n>}$的度估计和自同构群${\text{Aut}_Q(Q*_FF<x,y>)}$的驯服性.

关于二元k[z]-自同构的注记

A note on k[z]-automorphisms in two variables

我们证明了对于多项式$f\in k[x,y,z]$等价的是：（1）$f$是$k[z][x,y]$的$k[z]$ -坐标，（2）对于某些$a\in k$，$k[x,y,z]/(f)\cong k^{[2]}$和$f(x,y,a)$是$k[x,y]$中的坐标.这解决了Abhyankar-Sathaye猜想的一个特例。因此，我们看到，一个坐标$f\in k[x,y,z]$也是一个$k(z)$ -坐标，是一个$k[z]$ -坐标。我们讨论了一种方法用于构建$k[x,y,z]$的自同构，并观察到Nagata自同构自然发生的第一个非平凡的自同构通过这种方法获得-本质上连接Nagata与非驯服$R$ -自同构的$R[x]$，其中$R=k[z]/(z^2)$。

给定d ≤ 3时（d，d_2，d_3）形式的Wild多重度

Wild multidegrees of the form (d,d_2,d_3) for given d greather than or equal to 3

设d是大于或等于3的任意数。我们证明了集合mdeg（Aut（C^3））\ mdeg（Tame（C3））与{（d_1，d_2，d_3）：d=d_1 =< d_2 =< d_3}的交集有无穷多个元素，其中mdeg h =（deg h_1，.，deg h_n）表示多项式映射h=（h_1，...，h_n）：C^n -> C^n.换句话说，我们证明了存在无穷多个形式为（d，d_2，d_3）的野生多重度，其中d >= 3且d =< d_2 =< d_3，其中序列（d_1，. d_n）是一个野多次，如果存在C}^n的多项式自同构F，其中mdeg F=（d_1，.，d_n），并且C^n不存在具有相同多度的驯服自同构。

Mass formulas and stringy point-count for semi-direct products of tame abelian groups and wild symmetric or cyclic groups in characteristic three

In positive characteristic, there exist counterexamples to the statement corresponding to Batyrev's theorem concerning the McKay correspondence. In this paper, we give another computation of the counterexamples by using stringy-point count for some sequences of quotient varieties. There is a proof of the Serre-Bhagava's mass formula, which is important formula in the number theory, from the computation of stringy-point count of a quotient variety associated to a representation of symmetric group. Our computation of the stringy-point count in this paper is regarded as a variation of this proof …

Orbifolds的泛函去粘化和弱因子分解

Functorial destackification and weak factorization of orbifolds

设X是具有有限惯性的光滑驯服的栈.我们证明了存在一个具有光滑中心的爆破函子序列，在此之后X的稳定子成为阿贝尔的。利用这个结果，我们可以将第一作者的去粘化结果推广到任何光滑的驯服栈。我们给驯服的商奇点，素数到l变换的奇点和弱分解的Deligne-Mumford堆栈的决议的应用。我们还将阿贝尔化结果推广到特征零点的无穷稳定器，推广了Reichstein-Youssin的早期工作。

子代数度估计的应用

Applications of degree estimate for subalgebras

设$K$是正特征域，$K<x, y>$是$K$上秩为2的自由代数.根据Y.- C. Li和J. - T. Yu，推广了S. J. Gong和J.T. Yu的结果：（1）元素$p(x,y)\in K<x,y>$是测试元素当且仅当$p(x,y)$不属于$K<x,y>$的任何真收缩;（2）$K<x,y>$的每个保持非常数元素的自守轨道的自同态是自同构;（3）如果存在$K<x,y>$的某个内射自同态$ϕ$使得$ϕ(p(x,y))=x$其中$p(x,y)\in K<x,y>$，则$p(x,y)$是坐标.并重新证明了$K<x,y>$的所有自同构都是驯服的.此外，我们还给出了Leonid Makar-Limanov，V. Drensky和J. T.于的积极特征案。