4-Factor-criticality of vertex-transitive graphs
一个$n$阶图是$p$ -因子关键的，其中$p$是与$n$具有相同奇偶性的整数，如果移除任何一组$p$顶点导致具有完美匹配的图。1-因子-临界图和2-因子-临界图分别是著名的因子-临界图和双临界图。如果一个连通点传递图的阶数为奇数，则它是因子临界的，否则它是基本二部图或双临界图。本文证明了偶数阶至少为6的点传递非二部图是4-因子临界图的充要条件是它的度至少为5。这个结果意味着偶数阶且度至少为5的连通非二部Cayley图是2-可扩的。
2014-09-07 math.CO
Minimum size of n-factor-critical graphs and k-extendable graphs
本文利用Harary图及其相关图，确定了$n$ -因子-临界图和$k$ -可扩二部图的最小尺寸.此外，我们确定了$k=1,\ 2$的$k$ -可扩非二部图的最小尺寸，并对一般的$k$提出了一个相关猜想.
2017-07-23 math.CO
Distinguishing critical graphs
图$G$的可区别数$D(G)$是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记，该顶点标记具有仅由平凡自同构保持的$d$标记。如果$D(G)=d$和$D(H)\neq D(G)$是$G$，则对$G$的每一个真导出子图$H$，我们称图$G$是$d$ -可区别临界图.这推广了通常的$d$ -色临界图的定义.虽然对$d$ -临界图的研究是着色理论的一个很好的部分，但对$d$ -可区别临界图的研究还不多。本文确定了$d= 1,2,3$的所有$d$ -可区别临界图，并观察到对于某些$k\leq d$，所有这类图都是$k$ -正则图.另外，我们还证明了具有$c$连通分支的不连通$d$ -可区别临界图使得$c\geq \frac{d}{2}$是正则图.
2017-12-03 math.CO
Double-critical graphs and complete minors
一个连通$k$ -色图$G$是双临界的，如果对$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.唯一已知的双临界$k$ -色图是完全$k$ -图$K_k$ .猜想，没有其他双重临界图是一个特殊的情况下，猜想从1966年，由于埃尔德什和Lovász。这一猜想在$k \leq 5$中得到了验证。我们证明了对于$k=6$和$k=7$，任何非完全双临界$k$ -色图都是6-连通的，并且有$K_k$作为子图.
2008-10-17 math.CO
A Note on Near-factor-critical Graphs
有限单图$G$的近因子是使除一个顶点外的所有顶点饱和的匹配。一个图$G$称为近因子临界图，如果从$G$中删除任何顶点都会产生一个具有近因子的子图。我们证明了一个连通图$G$是近因子临界的当且仅当它有一个完美匹配。我们还刻画了不连通的近因子-临界图。
2014-05-16 math.CO
A better lower bound on average degree of k-list-critical graphs
本文改进了$k \ge 6$的$k$ -列表-临界图的平均度的最佳界.特别地，对于$k \ge 7$，我们证明了每个非完全$k$ -列表-临界图的平均度至少为$k-1 + \frac{(k-3)^2 (2 k-3)}{k^4-2 k^3-11 k^2+28 k-14}$，每个非完全$6$ -列表-临界图的平均度至少为$5 + \frac{93}{766}$ .同样的界限也适用于在线$k$ -列表-临界图。
2016-08-24 math.CO
Complete and almost complete minors in double-critical 8-chromatic graphs
一个连通的$k$ -色图$G$称为{ \it双临界}，如果对于$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.一个长期存在的猜想Erdés和Lovász指出，完全图是唯一的双临界图。Kawarabayashi，Pedersen和Toft [ \it{Electron. J. Combin.}，17（1）：Research Paper 87，2010]证明了每个具有$k \leq 7$的双临界$k$ -色图包含一个$K_k$子图.它仍然是未知的，是否一个任意的双临界$8$ -chromatic图包含一个$K_8$子，但在本文中，我们证明了任何双临界$8$ -chromatic包含一个$K_8^-$子;这里$K_8^-$表示完全$8$ -图与一个边缘失踪。此外，我们还观察到任何最小度不同于$10$和$11$的双临界$8$ -色图都包含一个子图$K_8$.
2010-07-30 math.CO
Frustration-critical signed graphs
符号图$(G,Σ)$是图$G$连同负边的集合$Σ\subseteq E(G)$。如果一个电路的边的符号的乘积是正的，则该电路是正的。一个符号图$(G,Σ)$是平衡的，如果它的所有电路都是正的。挫折指数$l(G,Σ)$是集合$E \subseteq E(G)$的最小基数，使得$(G-E,Σ-E)$是平衡的，并且对于每个$e \in E(G)$，如果$l(G,Σ) = k$和$l(G-e, Σ- e)<k$，则$(G,Σ)$是$k$ -关键的。本文研究了临界符号图的分解与细分，并完全确定了$t \leq 2$的$t$ -临界符号图的集合。关键签署图的特点。然后，我们专注于不可分解的临界符号图。特别地，我们刻画了对于每个$t \leq k$，不可分解的$k$ -临界有号图不包含可分解的$t$ -临界有号子图的集合$S^*$.我们证明了$S^*$由循环4-边连通的投影平面三次图组成。进一步，我们对每个$k \geq 1$构造了$S^*$的$k$ -临界符号图.
2022-10-06 math.CO
Density of 5/2-critical graphs
一个图G是5/2-临界的，如果G没有循环5/2-染色（或等价地，与C_5同态），但G的每个真子图都有循环5/2-染色。证明了n ≥ 4个顶点的5/2-临界图至少有（5 n-2）/4条边，并列出了所有达到这个界的5/2-临界图.这意味着每个围长至少为10的平面图或射影-可平面图是5/2-可着色的。
2014-11-24 math.CO
Critical Pebbling Numbers of Graphs
定义了连通图$G$的三个新的pebbling参数：$r$ -，$g$-和$u$ -临界pebbling数.与pebbling数、最优pebbling数、顶点数$n$和图的直径$d$一起，这产生7个图参数。我们确定这些参数之间的关系。我们研究了$r$ -临界pebbling数的性质，并区分了贪婪图、节俭图和$r$ -临界pebbling数为$2^d$的图.
2015-01-17 math.CO
A better lower bound on average degree of 4-list-critical graphs
证明了不完全$k$ -列表临界图的平均度至少为$k-1 + \frac{k-3}{k^2-2k+2}$ .这改进了$k = 4,5,6$的最佳已知界限。同样的界限也适用于在线$k$ -列表-临界图。
2016-02-26 math.CO
Critical Sets for Sudoku and General Graphs
我们讨论的问题，发现关键集的图形，一个概念，出现在一些伪装在组合学和图论文献。数独图的情况受到特别关注，因为临界集对应于最小公平难题。我们定义了四个与极值临界集大小相关的参数，并（a）证明了关于这些参数的性质的几个一般性结果，包括它们的计算困难性，（b）对某些类图精确计算它们的值，（c）获得广义数独图的界，（d）提供了一些关于临界集和上述参数的公开问题。
2013-02-01 math.CO
On $3$-flow-critical graphs
一个无桥图$G$称为$3$ -流关键的，如果它不承认无处零$3$ -流，但$G/e$有任何$e\in E(G)$。Tutte的$3$流猜想等价地表示为：每个$3$流临界图都包含一个三度顶点.本文研究了$3$ -流-临界图的结构和极边密度.我们应用结构性质得到$3$ -流-临界图密度的上下界，即对于$3$ -流-临界图$G$在$n$顶点上，$$\frac{8n-2}{5}\le |E(G)|\le 4n-10,$$其中每个等式成立当且仅当$G$是$K_4$ .我们猜想每个$3$ -流临界图在$n\ge 7$顶点上最多有$3n-8$条边，如果这是真的，那么这将是紧的.对于平面图，$n$顶点上的$3$ -流-临界图的最佳可能密度上界是$\frac{5n-8}{2}$，从Kostochka和Yancey（JCTB 2014）关于通过对偶对$4$ -临界图进行顶点着色的结果已知。
2020-03-20 math.CO
Stability of Critical p-Improper Interval Graphs
$p$ -不正确区间图是具有区间表示的区间图，其中没有区间包含多于$p$的其他区间。一个临界的$p$ -非正规区间图在去掉任何顶点后都是$p-1$非正规的.本文研究了临界$p$ -非正常区间图在去掉一个顶点后的非正常谱，即图的稳定性。
2019-03-15 math.CO
The Existence of Graph whose Vertex Set Can be Partitioned into a Fixed Number of Domination Strong Critical Vertex-sets
设$γ(G)$表示图$G$的控制数。如果$γ(G-v)=γ(G)-1$，则顶点$v\in V(G)$称为$G$的\emph{critical vertex}。一个图称为\emph{vertex-critical}，如果它的每个顶点是临界的。本文相应地引入了两个这样的定义：（i）一个集合$S\subseteq V(G)$称为$G$的一个\emph{strong critical vertex-set}，如果$γ(G-S)=γ(G)-|S|$ ;（ii）一个图$G$称为\emph{strong $l$-vertex-sets-critical}，如果$V(G)$可划分为$G$的$l$强临界点集.在此基础上，我们推广了点临界图的已有结果，给出了强$l$ -点集临界图的一些性质。作为核心工作，我们研究了这类图的存在性，得到了存在强$l$ -顶点集临界连通图当且仅当$l\notin\{2,3,5\}$。
2022-08-30 math.CO
Critical graphs for the chromatic edge-stability number
图$G$的边色稳定数${\rm es}_χ(G)$是指除去这些边后生成的生成子图$G'$具有$χ(G')=χ(G)-1$的最小边数。引入边稳定性临界图作为图$G$，其性质是${\rm es}_χ(G-e) < {\rm es}_χ(G)$对每条边$e\in E(G)$都成立.若$G$是一个边稳定临界图，且有$χ(G)=k$和${\rm es}_χ(G)=\ell$，则$G$是$(k,\ell)$ -临界图.对$(3,2)$ -临界且至多包含四个奇圈的图进行了分类.证明了判定图$G$是否具有$χ(G)=k$且对色数是临界的问题可以在多项式时间内归结为判定图是否是$(k,2)$ -临界的问题.
2019-07-17 math.CO
Domination and independence number of large $2$-crossing-critical graphs
在2016年描述了$2$ -交叉-临界图之后，它们最一般的子类，大$3$ -连通$2$ -交叉-临界图，引起了单独的关注。本文给出了它们的控制数和独立数的精确上界和下界。
2022-03-23 math.CO
Kempe equivalence of $4$-critical planar graphs
通过对Mohar在2007年提出的一个问题的讨论，证明了对每个$4$ -临界可平面图，它的$4$ -染色集是一个Kempe类.
2022-07-04 math.CO
A note on the double-critical graph conjecture
一个连通的$n$-色图$G$是双临界的，如果对于$G$的所有边$xy$，图$G-x-y$是$(n-2)$-色的. 1966年Erd \H os和Lovász证明了唯一的双临界$n$-色图是$K_n$。这个猜想对于$n \ge 6.$仍然没有解决。在这篇短文中，我们对色数为$6$的无爪图$G$验证了这个猜想。
2016-04-18 math.CO
Independence number and connectivity for fractional (a,b,k)-critical covered graphs
一个图$G$是分数$(a,b,k)$ -临界覆盖图，如果$G-U$是一个分数$[a,b]$ -覆盖图，对于每个具有$|U|=k$的$U\subseteq V(G)$，它首先由Zhou，Xu和Sun（S. Zhou，Y. Xu，Z. Sun，分数$(a,b,k)$ -临界覆盖图的度条件，信息处理快报，DOI：10.1016/j.ipl.2019.105838）。此外，他们还导出了一个图是分数$(a,b,k)$ -临界覆盖图的度条件。本文给出了一个图是分数$(a,b,k)$ -临界覆盖图的独立数和连通性条件，并证明了当$G$
2019-09-03 math.CO
Matching and Factor-Critical Property in 3-Dominating-Critical Graphs
设$γ(G)$是图$G$的控制数.图$G$是\emph{domination-vertex-critical}或\emph{$γ$-vertex-critical}，如果对每个顶点$v \in V(G)$有$γ(G-v)< γ(G)$。本文证明了：设$G$是$γ$ -点临界图，且$γ(G)=3$ . (1)若$G$为偶数阶且无$K_{1,6}$，则$G$有完美匹配;（2）若$G$为奇数阶且无$K_{1,7}$，则$G$有近似完美匹配，只有三个例外.这些结果改进了已有的结果。
2009-06-04 math.CO
Remarks on planar edge-chromatic critical graphs
Vizing猜想的唯一公开的情形是$Δ= 6$，即每个具有$Δ\geq 6$的平面图都是1类图。我们给出了以下命题的一个简短证明：不存在6-临界平面图$G$，使得$G$的每个顶点至多与三个3-面关联. \cite{Wang_Xu_2013}中给出了一个更强有力的声明，不限于临界图。然而，那里给出的证明只对临界图有效。进一步证明了每个5-临界平面图都有一个3-面与一个$k$ -面$(k\in \{3,4\})$相邻.对于$Δ= 5$，我们的结果揭示了平面$5$ -临界图的结构，对于$Δ=6$，我们的结果支持了Vizing平面图猜想的正确性.
2017-02-24 math.CO
3-Factor-criticality in double domination edge critical graphs
图$G$的顶点子集$S$是$G$的双控制集，如果对$G$的每个顶点$v$都有$|N[v]\cap S|\geq 2$，其中$N[v]$是顶点$v$及其相邻顶点的集合. $G$的双重控制数，记作$γ_{\times 2}(G)$，是$G$的最小双重控制集的基数。一个图$G$称为双控制边临界图，如果对任意边$e \notin E$都有$γ_{\times 2}(G+e)<γ_{\times 2}(G)$.一个具有$γ_{\times 2}(G)=k$的双控制边临界图$G$称为$k$ - $γ_{\times 2}(G)$ -临界图.一个图$G$是$r$ -因子关键的，如果$G-S$对于$G$中的每个$r$顶点集$S$都有完美匹配。本文证明了$G$是3-因子临界的，如果$G$是一个3-连通无爪$4$ - $γ_{\times 2}(G)$ -临界图，其最小度至少为4，且除图族外为奇数阶.
2014-08-19 math.CO
Hamiltonicity of Domination Vertex-Critical Claw-Free Graphs
一个图$G$称为$k$-$γ$-顶点临界图，如果对$G$的任一顶点$v$，$G$的控制数$γ(G)$是$k$，且$γ(G - v) < k$.类似地，一个图$G$称为$γ_{c}$ -顶点临界的，如果对于$G$的任何顶点$v$，$G$的连通控制数$γ_{c}(G)$是$k$和$γ_{c}(G - v) < k$.我们感兴趣的问题是确定$2$ -连通$k$ - $γ$ -点临界图是否是Hamilton图.本文对所有的$k \geq 3$，给出了一个$2$ -连通的非Hamilton的$k$ - $γ$ -顶点临界图。证明了所有$2$ -连通的$3$-$γ$-顶点临界无爪图都是Hamilton图，且无爪条件是必要的。对于$k$ - $γ_{c}$ -点临界图，给出了一种新的方法，证明了每个$2$ -连通的$3$ - $γ_{c}$ -点临界无爪图都是Hamilton图.此外，对于$4 \leq k \leq 5$，我们证明了每个$3$ -连通的$k$ - $γ_{c}$ -顶点临界无爪图都是Hamilton图.通过给出含有爪的$k$ - $γ_{c}$ -顶点临界非Hamilton图作为$3 \leq k \leq 5$的导出子图，证明了无爪的条件是必要的.
2019-11-08 math.CO
Factor-Critical Property in 3-Dominating-Critical Graphs
一个图$G$的顶点子集$S$是一个控制集，如果$G$的每个顶点都属于$S$或与$S$的一个顶点相邻.最小控制集的基数称为$G$的控制数，记为$γ(G)$。一个图$G$称为$γ$ -顶点关键的，如果对于$G$中的每个顶点$v$，都满足$γ(G-v)< γ(G)$。设$G$是一个无2-连通$K_{1,5}$的3-顶点临界图.对任意顶点$v \in V(G)$，证明了$G-v$有完美匹配（两个图除外），这是Ananchuen和Plummer提出的一个猜想.
2006-08-28 math.CO
Critical properties of bipartite permutation graphs
二部置换图具有许多重要的性质。特别是，这个类是至关重要的研究团和秩宽度的图，因为它是一个最小的遗传类的图无界团和秩宽度。它还包含了一些重要的子类，这是至关重要的其他参数，如图lettericity或灌木深度，并相对于其他概念，如良好的准序或算法问题的复杂性。在本文中，我们确定各种类型的二部置换图的临界子类。
2020-10-27 math.CO
Constructing a Family of 4-Critical Planar Graphs with High Edge-Density
一个图$G=(V,E)$是$k$ -临界图，如果$G$不是$(k -1)$ -可着色的，但$G-e$对每个$e\in E(G)$都是$(k-1)$ -可着色的.本文构造了一类具有$n$顶点和$\frac{7n-13}{3}$边的4-临界可平面图。因此，这改进了Abbott和Zhou获得的最大边缘密度的界。我们猜想这是4-临界平面图的最大边密度。
2015-09-02 math.CO
Critical groups of covering, voltage, and signed graphs
已知图覆盖诱导其临界群的满射。在这里，我们描述这些态射的核心参数化覆盖的数据。正则覆盖由电压图参数化，上述核可以用自然定义的电压图临界群来识别。对于双覆盖，电压图是一个有符号的图，该理论采取了一种特别令人愉快的形式，也导致了有符号图的双覆盖理论。
2020-06-06 math.CO
On color-critical ($P_{5},\overline{P}_5$)-free graphs
一个图是$k$ -临界的，如果它是$k$ -染色的，但它的每个真诱导子图都是（$k-1$）-可染的.已知$4$ -临界$P_5$ -free图的个数是有限的，但对于每个$k \geq 5$，存在无限个$k$ -临界$P_5$ -free图.我们证明了对于每个固定的$k$，$k$ -临界$(P_5, \overline{P}_5)$ -自由图的个数是有限的.我们的结果暗示了$k$ -着色$(P_5, \overline{P}_5)$ -free图的证明算法的存在性.
2014-11-27 math.CO
A Remark on Triangle-Critical Graphs
一个有$k \geq 3$的连通$k$ -色图$G$称为三角临界图，如果$G$的每条边都包含在$G$的导出三角形中，并且从$G$中去掉任何三角形都会使$G$的色数减少3. B.托夫特提出了证明两个以上顶点的完全图是唯一的三角形-临界图的问题。应用M. Stiebitz [Discrete Math.64（1987），91- 93]，我们用$k \leq 6$对三角临界$k$ -色图肯定地回答了这个问题.
2008-02-24 math.CO
Graphs with two trivial critical ideals
图的临界理想是与图相关联的广义拉普拉斯矩阵的行列式理想。图的临界理想的一个基本性质是：具有至多k个平凡临界理想的图$Γ_{\leq k}$在诱导子图下是闭的.本文找到了$Γ_{\leq 2}$的最小禁止子图集，并利用这些禁止子图对$Γ_{\leq 2}$中的图进行了分类.作为结果，我们给出了临界群有两个不变因子等于1的单图的分类。在文章的最后，我们给出了两个无限族的禁止子图。
2013-04-15 math.CO
On strongly and robustly critical graphs
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文提出鲁棒k-临界图的概念，并证明通过将临界图与足够大的完全图连接可得到鲁棒临界图。
2026-02-25 math.CO
Properties of $8$-contraction-critical graphs with no $K_7$ minor
受著名的Hadwiger猜想的启发，我们研究了不含$K_7$子图的$8$ -收缩-临界图的性质;证明了不含$K_7$子图的$8$ -压缩临界图至多有一个度为$8$的顶点，其中，如果$G$不是$7$ -color，则图$G$是$8$ -收缩关键的但$G$的每个真子式都是$7$ -可着色的。这是我们努力证明每个没有$K_7$子图的图都是$7$ -可着色的一步，这仍然是开放的。
2022-08-22 math.CO
Spectral conditions for factor-criticality of graphs
本文研究了具固定最小度的图的因子临界性，基于谱半径和无符号拉普拉斯谱半径给出了图成为$k$-因子临界的充分条件。
2024-01-02 math.CO
On graphs double-critical with respect to the colouring number
图G的着色数col（G）是最小的整数k，对于k，G的顶点有一个顺序，使得当按指定的顺序去掉G的顶点时，在任何步骤都不去掉其余图中度大于k-1的顶点。若图G的边e的色数G-V（e）至多为G的色数减2，则称边e是双色临界的.称一个连通图G是双余临界图，如果G的每条边都是双余临界图.本文对色数不超过5的双色临界图进行了着色。此外，我们还证明了每一个4-色临界非完全图至多有一半的边是双色临界的，且其极图恰好是至少有6个顶点的奇轮.我们观察到，对任意大于4的整数k和任意正数r，存在一个k列临界图，其双列临界边之比在1- r和1之间.
2011-08-04 math.CO
Characterizing 2-crossing-critical graphs
众所周知，精确地存在两个最小非可平面图：$K_5$和$K_{3,3}$（在该上下文中，2度顶点是不相关的）。在交叉数的语言中，这些是唯一的1-交叉-临界图：它们每个的交叉数至少为1，并且每个真子图的交叉数小于1。1987年，Kochol展示了一个3连通简单2-交叉-临界图的无限族.在这项工作中，我们：（i）确定所有包含Möbius梯$V_{10}$的一个细分的3-连通2-交叉-临界图;（ii）证明如何从3-连通图获得所有非3-连通2-交叉-临界图;（iii）证明只有1/2个3-连通2-交叉-临界图不包含$V_{10}$的一个细分;以及（iv）确定所有不包含$V_{8}$的细分的3-连通2-交叉-临界图。
2013-12-13 math.CO
Counting critical subgraphs in $k$-critical graphs
Gallai在1984年问，如果任何$k$ -临界图的$n$顶点包含至少$n$不同的$(k-1)$ -临界子图。答案对于$k\leq 3$来说是微不足道的。改进了Stiebitz，Abbott和Zhou在1995年的一个结果，证明了对所有的$k\geq 4$，这样的图包含$Ω(n^{1/(k-1)})$不同的$(k-1)$ -临界子图.从那时起没有取得进展，直到最近，野兔解决的情况下$k=4$表明，任何$4$ -关键图的$n$顶点包含至少$(8n-29)/3$奇数周期。本文主要研究4-临界图，并开发了一些新的计算具有指定奇偶性的圈数的工具。我们的主要结果表明，任何$n$顶点上的$4$ -临界图都含有$Ω(n^2)$奇圈，它被无穷多个图紧到一个常数因子。作为关键的一步，我们证明了3-连通非二部图的相同界，这可能是独立的兴趣。利用这些工具，我们也给出了$k=4$的一个很短的证明。此外，我们改进了Abbott和Zhou长期以来的下界为$Ω(n^{1/(k-2)})$的一般情况下$k\geq 5$。在最后一节中，我们还将讨论$k$ -临界图的一些相关问题。
2019-06-29 math.CO
A Note on the Critical Group of a Line Graph
本文回答了莱文在arkiv：math.CO/0906.2809中提出的一个问题。主要结果是定理1，证明了在一定条件下，有向图的临界群是其有向线图的临界群的商。
2010-11-23 math.CO
On $α$-Critical Edges in König-Egerváry Graphs
图G的稳定数用alpha（G）表示，是G中最大尺寸的独立集的基数。如果alpha（G-e）> alpha（G），则e是alpha-临界边，如果mu（G-e）< mu（G），则e是mu-临界边，其中mu（G）是G中最大匹配的基数。如果α（G）+ μ（G）等于G的阶，则G是Koenig-Egervary图. Beineke、Harary和Plummer证明了二部图的α-临界边集是一个匹配。在本文中，我们推广这一说法的Koenig-Egervary图。我们还证明了在Koenig-Egervary图中α-临界边也是μ-临界边，并且它们在二部图中重合。本文证明了任意树的稳定数等于其α-临界点集的基数与其α-临界边集的大小之和。最后，我们刻画了具有此性质的Koenig-Egervary图。
2000-02-10 math.CO
Block Circulant Graphs and the Graphs of Critical Pairs of a Crown
本文给出了一类特殊的块循环图与偏序集的临界对图之间的自然双射，称为广义冠。特别是，在这个家庭的块循环图，我们调查的每一个图有一个生成块行，以下的所有1矩阵的对称增长模式。自然双射为这个无限图族提供了色数的上界。
2017-03-09 math.CO
A characterization of $4$-$χ_ρ$-(vertex-)critical graphs
给定一个图$G$，一个函数$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$具有性质：$c(u)=c(v)=i$蕴涵$u$和$v$之间的距离大于$i$，称为$G$的$k$ -填充染色.存在$G$的$k$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ$ .填充色顶点-临界图是指$G$的每个顶点$x$都有$χ_ρ(G-x) < χ_ρ(G)$成立的图.一个图$G$称为填充色临界图，如果对$G$的每个真子图$H$，都有$χ_ρ(H) < χ_ρ(G)$ .这两个关于填充色数的临界图的变化已经被研究过了。所有的填充色（顶点）临界图$G$与$χ_ρ(G)=3$的特征，而只有部分结果已知的图$G$与$χ_ρ(G)=4$。本文给出了所有填充色顶点-临界图$G$与$χ_ρ(G)=4$以及所有填充色临界图$G$与$χ_ρ(G)=4$的刻画.
2021-03-19 math.CO
Even factors in edge-chromatic-critical graphs with a small number of divalent vertices
有限简单连通图$G$的最大度$k$是$k$ -临界的，如果它对每条边$e\in E(G)$都有色指数$χ'(G)=k+1$和$χ'(G-e)=k$. Bej和第一作者提出了是否每个$k$ -临界图都有偶因子的问题。证明了最多有$2k-6$点为2的$k$ -临界图都有偶因子.
2022-05-31 math.CO
Short Brooms in Edge-chromatic Critical Graphs
Dalian University of Technology（大连理工大学）
本文研究了边染色临界图中的短扫帚，证明了相关颜色缺失的性质，并验证了两个重要猜想在特定条件下的成立。
2025-12-31 math.CO
On 1-uniqueness and dense critical graphs for tree-depth
$G$的树深度是$k$的最小值，对于该最小值，存在用来自$\{1,\dots,k\}$的元素对$G$的顶点的标记，使得连接具有相同标记的两个顶点的任何路径包含具有更高标记的顶点。图$G$是$k$ -临界的，如果它有树深度$k$，并且$G$的每个真子式都有更小的树深度。受$k$ -临界图的最大度猜想的启发，我们考虑了1-唯一性的性质，其中临界图的任何顶点都可以是最优标号中唯一接收标号1的顶点.与先前的猜想相反，我们构造的例子临界图是不是1-唯一的，并表明1-唯一的图可以有任意多的边缘比某些关键的生成子图。我们还证明了$(n-1)$ -临界图是1-唯一的，并利用1-唯一性证明了Andrásfai图是临界的。
2017-04-24 math.CO
Making a graph crossing-critical by multiplying its edges
一个图是交叉临界的，如果它的任何边的删除减少其交叉数。这项工作的动机是以下问题：在何种程度上是交叉临界性的属性，是固有的结构的一个图，在何种程度上可以诱导非临界图乘以（所有或部分）其边缘？证明了如果一个非平面图G是由一个三次多面体图加一条边得到的，并且G是充分连通的，那么G可以通过适当的边的乘法而成为交叉临界的.
2011-12-17 math.CO
Color-Critical Graphs Have Logarithmic Circumference
一个图G是k-临界的，如果G的每个真子图都是（k-1）-可染的，但图G本身不是。证明了任意n阶k-临界图都有一个长度至少为log n/（100 log k）的圈，改进了Alon，Krivelevich和Seymour在2000年提出的一个界. Gallai从1963年的例子表明，界限不能被改进到超过2（k-1）log n/log（k-2）。从而解决了Dirac在1952年以及Kelly和Kelly在1954年提出的k-临界图的最小周长的界定问题。
2011-04-13 math.CO
On density of $Z_3$-flow-critical graphs
对于阿贝尔群$Γ$，如果$G$不允许无零$Γ$ -流，但对于每条边$e\in E(G)$，收缩$G/e$具有无零$Γ$-流，则称图$G$是$Γ$-流关键的。给出了固定曲面上$Z_3$ -流-临界图的密度界，推广了Kostochka和Yancey关于平面上4-临界图的密度界.
2022-12-04 math.CO
Minimally k-factor-critical graphs for some large k
一个$n$阶的图$G$被称为是整数$1\leq k < n$的$k$ -因子关键图，如果除去任何$k$顶点都能得到一个完美匹配的图。$1$ -因子临界图和$2$ -因子临界图分别是著名的因子临界图和双临界图。一个$k$ -因子临界图$G$称为极小图，如果对任何边$e\in E(G)$，$G-e$不是$k$ -因子临界图. 1998年，O. Favaron和M.证明了$n$阶的最小$k$ -因子临界图都有最小度$k+1$，并对$k=1, n-2, n-4$和$n-6$证明了这一点.本文用一种简单的方法重新证明了上述结果。作为一个主要的结果，进一步使用这种方法，使人们能够证明猜想是正确的$k=n-8$。我们还得到了对于$n-4\leq Δ(G)\leq n-1$，每一个$n$阶极小$(n-6)$ -因子临界图至多有$n-Δ(G)$个顶点的最大度为$Δ(G)$.
2022-07-07 math.CO
$k$-Critical Graphs in $P_5$-Free Graphs
给定两个图$H_1$和$H_2$，如果一个图$G$不包含同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则它是$(H_1,H_2)$ -free图.设$P_t$为$t$顶点上的路径。一个图$G$是$k$ -顶点临界的，如果$G$有色数$k$，但$G$的每一个真导出子图的色数都小于$k$。图类的$k$ -顶点临界图的研究是算法图论中的一个重要课题，因为如果在给定的遗传图类中这样的图的数目是有限的，则存在多项式时间算法来判定该类中的图是否是$(k-1)$ -可着色的。本文系统地研究了无$P_5$图的子类中$k$ -点临界图的有限性.我们的主要结果是在$(P_5,H)$-free图类中对所有四点图$H$的$k$ -点临界图的有限性进行了完全分类。为了获得完整的二分法，我们证明了四个新的图形$H$使用各种技术的有限性-如拉姆齐型参数和Dilworth定理的对偶-这可能是独立的利益。
2020-05-07 math.CO
Cyclic Critical Groups of Graphs
在这篇文章中，我们描述了一个结构，导致家庭的图，其临界群是循环的。对于其中的一些族，我们能够给出图的生成树的数目的公式，然后精确地确定组。我们还提出了与这项工作有关的几个公开问题。
2015-04-22 math.CO
A characterization of edge-chromatic 3-critical graphs
Auburn University（奥本大学）
本文通过计算机辅助搜索，确定了15至21阶非平凡3-临界图的确切数量，并证明了所有非平凡3-临界图的刻画定理，其中一种情况基于snark图。
2026-11-02 math.CO
Multiple list colouring of $3$-choice critical graphs
一个图$G$称为$3$ -选择临界图，如果$G$不是$2$ -可选择的，但任何真子图都是$2$ -可选择的. Voigt在[On list Colourings and Choosability of Graphs，Habilitationsschrift，Tu Ilmenau（1998）]中给出了PDMATHAMN-choice临界图的一个刻画. Voigt证明了如果$G$是二部$3$ -选择临界图，则$G$对每个整数$m$都是$(4m, 2m)$ -可选择的.这个猜想被Meng，Puleo和Zhu在[On（4，2）-Choosable Graphs，Journal of Graph Theory 85（2）：412-428（2017）]中反驳。他们表明，如果$G=Θ_{r,s,t}$（其中$r,s,t$与$\min\{r,s,t\} \ge 3$具有相同的奇偶性），或$G=Θ_{2,2,2,2p}$与$p \ge 2$，则$G$是二分$3$ -选择关键，但不是$(4,2)$ -选择关键。另一方面，所有其他的二部3-选择临界图都是$(4,2)$ -可选择的。本文加强了Meng，Puleo和Zhu的结果，证明了所有其它的二部$3$ -选择临界图对任何整数$m$都是$(4m,2m)$ -可选的.
2020-06-28 math.CO
On the critical group of the k-partite graph
本文研究k-部图的临界群，提出通过计算图拉普拉斯矩阵的Smith标准形来确定其结构的算法，并在k=2至6时给出临界群结构的完全刻画，推广了完全二部图的已有结果。
2024-09-04 math.CO
Critical groups of graphs with reflective symmetry
图的临界群是有限的阿贝尔群，其阶是图的生成林的个数。对于具有一定反射对称性的图G，我们推广了Ciucu-Yan-Zhang关于图G的生成树数的一个结果，将其解释为关于图G的临界群的结果.我们的结果采取的形式，一个确切的序列，并明确连接到自行车空间。
2013-04-25 math.CO
