Isometric rigidity in codimension two
Marcos Dajczer, Pedro Morais
我们证明了余维数为2的欧氏子流形中，秩为2的抛物型非直纹子流形是等距刚性的。这推广了[10]中的结果，即这些子流形是真正刚性的。此外，我们还给出了所有抛物子流形的参数分类。
We show that among the Euclidean submanifolds with codimension two the ones of rank two that are parabolic but nonruled are isometrically rigid. This generalizes the result in [10] that these submanifolds are genuinely rigid. In addition, we give a parametric classifications of all parabolic submanifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Isometric immersions of higher codimension into the product ${\mathbf S^k \times H^{n+p-k}}$ of sphere and hyperboloid
本文给出了单连通黎曼流形$(M^n, g)$作为余维为$p\geq 1$的子流形等距浸入球面与双曲面的乘积$S^k\times H^{n+p-k}$的一个充必要条件.
Isometric immersions in codimension two of warped products into space forms
本文给出了黎曼流形到空间型的翘曲积的余维$k=1, 2$中等距浸入$f\colon L^p\times_ρM^n\to\Q_c^{p+n+k}$的局部分类，并假设$n\geq k+1$和$N^{p+n}=L^p\times_ρM^n$中没有与周围空间型具有相同截面曲率的点，即$c$.
Notes in the isometric deformations problem in codimension 2
本文通过具体例子研究余维数为2的局部等距刚性问题，指出为保证传递性需扩展真正刚性与诚实刚性概念，并证明必须借助半欧几里得空间中的等距浸入，且该扩展自然引入内积奇异性。
Rigidity of isometric immersions into the light cone
本文证明了维数为$n-1$的黎曼流形在$n\geq 3$的$n-1$维Minkowski、de Sitter和anti-de Sitter时空的光锥中的等距浸入的刚性.
A rigidity theorem of ancient solutions to the mean curvature flow in codimension one
该研究针对余维一平均曲率流的完备非紧古代解，通过对第二基本形式做逐点估计，证明了相关刚性定理，并推导得到最优增长条件。
Convexity, Rigidity, and Reduction of Codimension of Isometric Immersions into Space Forms
本文考虑完备连通黎曼流形到非零常曲率空间型的等距浸入。证明了如果这样的嵌入是紧的且具有半定的第二基本型，则它是余维为1的嵌入，它的像有界于一个凸集，并且它是刚性的.这个结果推广了M.做卡莫和E Lima和M.做卡莫和F.警告者它也肯定地解决了一个猜想做卡莫和华纳。对于满足第二基本型更强条件的完全等距浸入，我们建立了类似的结果。本文将Hadamard关于欧氏超曲面的一个经典定理推广到空间型中的等距浸入。在这同一背景下，我们证明了一个存在性定理的超曲面与指定的边界和消失的高斯-克罗内克曲率。最后，我们证明了等距浸入到空间型，这是经常以外的一组全测地点承认减少余维为一。
Rigidity of Minimal Submanifolds in Spheres of Higher Codimension
该研究针对单位球面中高余维极小子流形的陈省身猜想，建立积分不等式并在第二基本形式平方模长挤压条件下获新刚性定理，推进了极小子流形刚性研究。
Rigidity of an Isometric $SL(3,\mathbb{R})$-Action
本文刻画了连通解析伪黎曼流形的泛覆盖，其中单李群$SL(3,\mathbb{R})$具有保有限体积的稠密轨道，且具有非平凡的等距作用.如果这样的流形也是弱不可约的，我们证明了$M$是等距的，或商空间，一个单李群包含$SL(3,\mathbb{R})$。
On the complexity of isometric immersions of hyperbolic spaces in any codimension
虽然纳什定理解决了等距嵌入问题，但如果从子流形几何的角度进一步寻求表现良好的嵌入，则本质上会涉及更多问题。更一般地，考虑Lipschitz映射$F:M^m\to\mathbb R^n$，其中$M^m$是其曲率位于负常数之间的Hadamard流形。本文的主要结果是，$F$必须执行实质性的压缩：对于每个$r>0$和整数$k\geq 2$，存在$M^m$中半径为$r$的$k$测地球，它们彼此相距任意远，但它们在$F$下的图像在$\mathbb R^n$的Hausdorff意义上任意靠近地聚在一起。特别地，双曲空间的每一个等距嵌入$\mathbb H^m\to\mathbb R^n$都必须具有复渐近行为，而不管余维数有多高。因此，没有真正简单的方法来实现$\mathbb H^m$等距任何欧几里德空间内。
Euclidean hypersurfaces with genuine deformations in codimension two
我们分类超曲面的秩二欧几里得空间$\R^{n+1}$，承认真正的等距变形$\R^{n+2}$。等距浸入$\hat f\colon\,M^n\to\R^{n+2}$是超曲面$f\colon\, M^n\to\R^{n+1}$的真正等距变形，这意味着$\hat f$不是复合$\hat f=\hat F\circ f$，其中$\hat F\colon\,V\subset \R^{n+1}\to\R^{n+2}$是包含$f(M)$的开子集$V$的等距浸入。
A note on Hang-Wang's hemisphere rigidity theorem
设$(M,g)$是一个带边界的紧致流形，Hang和Wang证明了：如果$\partial M$是凸的且等距于$\mathbb{S}^{n-1}(1)$，则$(M,g)$等距于标准半球.证明了当$\partial M $等距于乘积流形且其中一个因子为标准球面时的一些刚性定理。
Isometric immersions of Riemannian manifolds in $k$-codimensional Euclidean space
对于给定的$n$和$k$，我们用一种新的方法给出了黎曼$n$ -流形$M$在$\mathbb{R}^{n+k}$中存在局部等距浸入的条件.这些等价于流形上标量场的$k$元组的（局部）存在，满足涉及$M$的黎曼曲率张量的某个非线性方程。设置$k=1$，我们继续恢复超曲面的基本定理。在流形的情况下，正截面曲率和$n\geq 3$，我们减少了高斯和Codazzi方程的可解性取消一组障碍，涉及对数的黎曼曲率算子。由此产生的定理有一个结构相似的Weyl-Schouten定理，建议共形平坦$n$ -流形和那些承认等距浸入$\mathbb{R}^{n+1}$之间的平行。
Local and global rigidity for isometric actions of simple Lie groups on pseudo-Riemannian manifolds
设$M$是有限体积解析伪黎曼流形，其中$G$是连通的非紧单李群，它具有一个稠密轨道的等距$G$ -作用.对于低维$M$，即$\dim(M) < 2\dim(G)$，当$G$ -轨道的法丛不可积时，在适当的条件下，我们证明了$M$有一个$G$ -不变度量，它局部等距于一个具有双不变度量的李群（局部刚性定理）.后者不要求$M$像以前的作品一样完整。我们还证明了一个一般性的结果表明，$M$是，直到有限覆盖，的形式$H/Γ$（$Γ$格在组$H$）时，我们假设$M$是完整的（整体刚性定理）。对于局部和整体刚性定理，我们提供的情况下，暗示刚性的$G$ -行动的$G$由$\mathrm{SO}_0(p,q)$，$G_{2(2)}$或非紧简单李群的类型$F_4$在$\mathbb{R}$。我们还调查了与这项工作有关的技术和结果。
Riemannian manifolds not quasi-isometric to leaves in codimension one foliations
每一个维数大于1的开流形L都有完备的黎曼度量g，g具有有界几何，使得（L，g）不拟等距于闭流形的余维数为1的叶的叶子.因此，没有条件的局部几何（L，g）足以使它准等距的一个叶，这样的叶理。我们引入了“有界同调属性”，（L，g）的半局部属性，这是必要的，它是一个叶在一个紧凑的流形余维1，直到准等距。一个重要的步骤涉及部分推广诺维科夫闭叶定理更高的层面。
Local Conformal Rigidity in Codimension $\leq$ 5
本文对$n$维黎曼流形$M$到$(n+d)$ -欧几里德空间的浸入$f$给出了一个充分条件，使得在$d\leq 5$情形下，$M$到$(n+d+1)$ -欧几里德空间的任何浸入$g$在$M$的一个稠密子集中局部地得到，该浸入在$M$上导出一个与$f$导出的度量共形的度量.通过$f$的合成和从$(n+d)$ -欧几里德空间的开子集到$(n+d+1)$ -欧几里德空间的开子集的共形浸入。我们的结果推广了M. Dajczer和E. Vergasta余维数的限制与M.做卡莫和M.达伊采尔
First cohomology, rigidity and deformations of isometric group actions
在定理1.1的证明中有一个错误，它使其他定理的证明无效。定理1.5不受影响。
A Rigidity Theorem for the Hemisphere
证明了如下刚性定理：对于一个n维紧致黎曼流形，若其边界的里奇曲率下有界于n-1，则它的边界等距于n-1维标准球面且全测地，则该流形等距于标准半球.
New Developments in Mean Curvature Flow of Arbitrary Codimension Inspired By Yau Rigidity Theory
本文主要讨论了平均曲率流理论与球面定理，并讨论了由子流形的Yau刚性理论启发的任意余维中曲率流收敛定理的最新进展。作为中曲率流收敛定理的结果，得到了子流形的几个新的可微球面定理。需要强调的是，定理4.1是任意余维中曲率流的最优收敛定理，它隐含了具有正里奇曲率的子流形的第一最优可微球面定理。最后，我们列出了这一领域尚未解决的问题。
A rigidity theorem for codimension one shrinking gradient Ricci solitons in $\mathbb R^{n+1}$
证明了具有非负曲率的完全梯度Ricci孤子的分裂定理，建立了具有非负里奇曲率的$\mathbb R^{n+1}$中余维为1的完全收缩梯度Ricci孤子的刚性定理.
Isometric actions of Heisenberg groups on compact Lorentz manifolds
我们证明结果分类紧凑的洛伦兹流形上的海森堡群等距。我们给出了一个一般的建设，导致一个新的例子，余维一行动-那些海森堡群的维度是一个小于维的流形。主要结果是一个分类的余维一行动，假设他们是真正的分析。
Asymptotic rigidity of codimension-1 isometric immersions via quantitative estimates
本文通过定量估计方法，证明了二维等距浸入的渐近刚性，采用欧几里得方法获得简单证明，结果具有独立价值。
Classification and rigidity of self-shrinkers in the Mean curvature flow
本文首先用Colding和Minicozzi [5]的方法证明了K。Smoczyk的分类定理[16]在更弱的条件下也成立。作为应用，我们给出了任意余维自收缩算子的刚性结果。
The Cayley hyperbolic space and volume entropy rigidity
设$M$是一个维数大于或等于$3$的黎曼流形，且该流形允许一个完备的有限体积黎曼度量$g_0$局部等距于一个非紧型秩1对称空间.体积熵刚性定理断言$g_0$在$M$上的所有完备的有限体积黎曼度量中最小化归一化体积增长熵。当$g_0$局部等距于Cayley双曲空间时，我们将弥补证明中的一个空白。
Rigidity results for complete spacelike submanifolds in plane fronted waves
得到了平面前波中任意余维完备非紧类空子流形的新的刚性结果。在适当的假设下，我们证明了这些时空中的完备类空子流形包含在特征类光超曲面中。此外，对于平面波前波中的完备余维二极值子流形，我们给出了保证它是（全测地）波前的充分条件。
Rigidity of codimension-1 isometric immersions in complete manifolds
研究了完备流形中余维数为1的等距浸入的渐进行为，通过弹性能量趋于零的浸入序列，证明其子序列收敛于等距浸入，扩展了Alpern等人结果，避免了Young测度的使用。
Rigidity of Almost-Isometric Universal Covers
几乎等距是乘法常数为1的拟等距。提升紧空间上的一对度量给出泛覆盖上的拟等距度量。在一些额外的假设下的度量，我们表明，有没有几乎等距之间的通用覆盖。证明了几乎等距的黎曼流形具有相同的体积增长熵。我们建立了各种刚度结果作为应用。
Rigidity and regularity of co-dimension one Sobolev isometric immersions
证明了$n$维域到$R^{n+1}$的$W^{2,2}$等距浸入的可展性和$C^{1,1/2}$正则性.作为一个结论，我们表明，任何这样的Sobolev等距可以近似光滑等距的$W^{2,2}$强规范，提供的域是$C^1$和凸。当Sobolev正则性弱于$W^{2,2}$时，这两个结果都不成立.
A Nash-Kuiper theorem for isometric immersions in a high codimension
本文研究高余维等距浸入问题，在局部情形下将短浸入逼近的Hölder正则性从θ∈(0,1/(n+2))改进到奇数维的θ∈(0,1/n)和偶数维的θ∈(0,1/(n+1))，并建立了显式C^{1}估计。
Isometric Rigidity of Metric Constructions with respect to Wasserstein Spaces
本文研究度量空间关于p-Wasserstein空间的等距刚性，证明可分裂Hilbert空间的空间非刚性，并证明无限射线、紧致非分支测地空间上的无限半柱面及小直径紧致空间的球面纬悬在相应条件下具有等距刚性。
A rigidity theorem for surfaces in Schwarzschild manifold
本文利用拟局部质量的变分公式证明了Schwarzschild流形上等距嵌入的一个刚性定理。
Real Kähler Submanifolds in Codimension $6$
证明了当第二基本型不充分退化时，余维$6$中的实Kähler子流形本质上是另一个低余维实Kähler子流形的全纯子流形.我们还给出了一个较短的证明，这一结果时，真正的Kähler子流形是最小的，使用最近的结果等距刚性。
Rigidity of Convex Surfaces in Homogeneous Spaces
本文证明了具有相同外曲率的齐次三维流形E（k; τ）（不同于空间型）中完备曲面的定向等距浸入的刚性。
Rigidity of Ricci-Pinched Complete Self-Shrinkers in Arbitrary Codimension
本文证明任意余维数中满足 Ricci 下界条件的完备自收缩子必为线性子空间或圆球，并给出余维数二时的尖锐刚性定理。
Rigidity and Flexibility of Isometric Extensions
本文研究$C^{1,θ}$等距延拓的刚性与柔性，证明赫尔德指数1/2为临界值，大于该值时切联络与Levi-Civita联络沿子流形一致，小于时可通过凸积分构造反例，并得到余维数更优的紧黎曼流形等距嵌入存在性定理。
Isometric rigidity of $L^2$-spaces with manifold targets
本文研究以黎曼流形为目标的 L^2 空间的等距刚性，证明其等距由底空间自同构和流形等距族生成，并给出空间等距与底流形等距的等价条件。
Genuine deformations of Euclidean hypersurfaces in higher codimensions I
Sbrana和Cartan给出了欧几里德超曲面集$M^n\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$的局部分类，该超曲面集允许$n\geq 3$在$\mathbb{R}^{n+1}$中的另一个真正的等距浸入。本文的主要目标是将其分类扩展到更高的余维。我们的主要结果是一个完整的描述真正的变形的模空间的一般超曲面的秩$(p+1)$在$\mathbb{R}^{n+p}$为$p\leq n-2$。因此，我们得到一个类似的分类，由Sbrana和Cartan提供的所有局部等距浸入在$\mathbb{R}^{n+2}$的通用超曲面$M^n\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$的$n\geq 4$。我们还展示了如何在这里开发的技术可以用来研究共形平坦的欧氏子流形。
Extrinsic curvature of codimension one isometric immersions with Hölder continuous derivatives
证明了：如果$n$是偶数，$(M,g)$是紧致的$n$维黎曼流形，其Pfuman形式是体积形式的正倍数，且$y\in C^{1,α}(M;\mathbb{R}^{n+1})$是与$n/(n+1)< α\leq 1$的等距浸入，则$y(M)$是有界外曲率曲面.证明了这一点，表明外在曲率，定义通过一个适当的拉回的体积形式上的$n$ -球通过高斯映射，是相同的内在曲率，定义的Pfidian形式。后一个事实是以积分恒等式的形式陈述的布劳威尔度的高斯映射，这是经典的$C^2$功能，但新的$n>2$在目前的背景下，低的规律性。
A Rigidity Theorem for Spacelike Hypersurfaces in de Sitter Space
本文给出了de Sitter空间中具有曲率限制的局部等距超曲面的一个刚性定理。这与关和沈在[5]中给出的黎曼空间型的情形类似。
Compensated Compactness in Banach Spaces and Weak Rigidity of Isometric Immersions of Manifolds
本文在巴拿赫空间中给出了一个补偿紧性定理，该定理的提出最初是由低正则性流形的等距浸入的弱刚性问题所激发的.作为推论，得到了黎曼流形上张量场的一个几何内禀div-curl引理。然后，我们展示了如何利用这个内在的div-curl引理来建立Gauss-Codazzi-Ricci方程的全局弱刚性，Cartan形式，以及相应的黎曼子流形的等距浸入。
Real Kaehler submanifolds in codimension up to four
设$f\colon M^{2n}\to\mathbb{R}^{2n+4}$是复维数为$n\geq 5$的Kaehler流形到欧氏空间中的等距浸入，其复秩至少处处为$5$.我们的主要结果是，沿着每个连接组件的一个开放的密集子集的$M^{2n}$，要么$f$是全纯的$\mathbb{R}^{2n+4}\cong\mathbb{C}^{n+2}$或它是在一个独特的方式组成$f=F\circ h$的等距浸入。在后一种情况下，我们有$h\colon M^{2n}\to N^{2n+2}$是全纯的，而$F\colon N^{2n+2}\to\mathbb{R}^{2n+4}$属于余维2中的非全纯Kaehler子流形的类，到目前为止，我们已经很好地理解了这一点。此外，子流形$F$是极小的当且仅当$f$是极小的。
Rigidity of Wasserstein spaces over Riemannian manifolds
研究黎曼流形上L2 Wasserstein空间的等距刚性，证明其刚性等价于流形无欧氏de Rham因子，并刻画等距映射的形状保持性质。
Almost isometric actions, property $(T)$, and local rigidity
设$Γ$是具有Kazhdan性质$(T)$的离散群.证明了紧致流形$X$上$Γ$的任意黎曼等距作用是局部刚性的.我们还证明了这个结果的一个更一般的叶状版本。本文利用这个结果证明了高秩半单李群及其格在\cite{FM2}中的标准作用的局部刚性。性质$(T)$的一个定义是，如果希尔伯特空间上的每个等距$Γ$作用都有一个不动点，则群$Γ$具有性质$(T)$。我们证明了具有性质$(T)$的群的不动点性质的各种加强。其中一些被用于证明我们的局部刚性定理。
Spherical rank rigidity and Blaschke manifolds
设M是截面曲率上界为1的完备黎曼流形。我们说M有正球秩，如果沿着每一测地线，M在t=π处到达一个共轭点。证明了如下定理：若M是一个完备的单连通黎曼流形，其曲率上界为1，且球面秩为正，则M等距于一个紧的秩为1的对称空间（CROSS），即，与球面、复射影空间、四元数射影空间或凯莱平面等距。球面秩的概念类似于欧几里德秩和双曲秩的概念，有几个人对此进行了研究（见参考文献）。主要定理分两步证明：首先证明M是具有极值内射半径（等于直径）的Blaschke流形。然后我们证明了这样的M是等距的一个十字架。
Curvature estimates of ancient solutions to the mean curvature flow of higher codimension with convex Gauss image
本文通过进行精细的曲率估计，在各种高斯像限制条件下，证明了高余维平均曲率流完备非紧古老解的更好刚性定理。
Codimension Bounds and Rigidity of Ancient Mean Curvature Flows by the Tangent Flow at $-\infty$
受一类显式紧致古曲线缩短流的极限行为的启发，我们利用古平均曲率流在$-\infty$上的切流证明了古平均曲率流的余维界，推广了[CM 19 b]中关于圆柱的一个定理.在$m$ -覆盖圆的情况下，我们应用这个界证明了一个强刚性定理。此外，我们扩展了这种范式下，充分快速收敛的假设下，一个紧凑的古代中曲率流是相同的，它的切线流在$-\infty$。
Flexibility of Codimension One $C^{1,θ}$ Isometric Immersions
本文改进了 $C^{1,θ}$ 等距浸入的最优指数，通过凸积分方案和频率尺度分析，实现了对短浸入的均匀近似。
A local rigidity theorem for minimal two-spheres in an electrovacuum spacetime
证明了在电真空时空$M$上适当的约束下，如果$Σ\subset M$是嵌入的严格稳定的极小二球，且局部极大化带电Hawking质量，则在与Reissner-Nordström-de Sitter空间等距的$M$中存在它的邻域.同时，在\cite{Brendle}的启发下，我们推导了电真空时空中局部面积极小的双球的面积估计。如果等式成立，则在荷Nariai空间的$M$中存在它的邻域.
Kaehler submanifolds of hyperbolic space
给出Kaehler流形$M^{2n}$到双曲空间$\Hy^{2n+p}$的等距浸入的局部和整体结果.例如，在维度$n\geq 4$和余维度$p=2$的情况下给出分类。此外，作为一般结果的推论，我们得出结论：如果Kaehler流形是$n\geq 4$维的，并且有一个正全纯截面曲率点或者是紧的，则在余维$p\leq n-2$中不存在等距浸入.
Complete real Kahler submanifolds in codimension two
从完备Kahler流形到欧几里得空间的余维为2的极小等距浸入F在维数大于或等于3时被分类。本文描述了非极小的情形，证明了：若F是实解析的但不是处处极小的，则F是欧氏空间中实Kahler曲面G上的柱面。此外，G可以进一步描述。
Rigidity for local holomorphic isometric embeddings from ${\BB}^n$ into ${\BB}^{N_1}\times... \times{\BB}^{N_m}$ up to conformal factors
在这篇文章中，我们研究了从${\BB}^n$到${\BB}^{N_1}\times... \times{\BB}^{N_m}$的局部全纯等距嵌入，关于正规化Bergman度量直到共形因子。假设每个共形因子都是光滑Nash代数的。然后，根据Mok和Mok-Ng的代数扩张定理，该映射的每个分支都是复欧几里得空间之间的多值全纯映射。应用全纯延拓和分析实解析子簇，我们证明了每个分支要么是球间的常映射，要么是球间的真全纯映射。应用黄的线性判据，导出了非常数分量的总大地测量。
h-Principle and Rigidity for $C^{1,α}$ Isometric Embeddings
本文研究了低余维黎曼流形的嵌入问题。著名的Nash和Kuiper的结果说，任何在余维1中的短嵌入都可以用$C^1$等距嵌入一致地近似。由于外尔问题中的经典刚性，这种说法对于一般的$C^2$嵌入显然不成立。事实上，Borisov将后者扩展到了类$C^{1,α}$与$α>2/3$的嵌入。另一方面，他宣布在纳什-柯伊伯声明可以扩展到当地的$C^{1,α}$嵌入与$α<(1+n+n^2)^{-1}$，其中$n$是维度的流形，提供的度量是分析。随后，二维情况的证明出现了。本文对一般维数和一般度量给出了所有这些命题的解析证明。
Global Weak Rigidity of the Gauss-Codazzi-Ricci Equations and Isometric Immersions of Riemannian Manifolds with Lower Regularity
研究了黎曼流形上Gauss-Codazzi-Ricci（GCR）方程的整体弱刚性以及相应的黎曼流形到欧几里得空间的等距浸入.我们发展了一个统一的内在方法来建立全局弱刚性的GCR方程和等距浸入的黎曼流形，独立于当地的坐标，并提供进一步的见解以前的本地结果和论点。并对临界情况进行了分析。为了实现这一点，我们首先在黎曼流形上重新表达了具有div-curl结构的GCR方程，并发展了一个整体的，内在版本的div-curl引理和其他非线性技术来解决流形上的整体弱刚性。特别地，在巴拿赫空间上建立了一个一般的泛函-解析补偿紧性定理，其中包含了黎曼流形上的内蕴div-curl引理作为特例.建立了低正则性黎曼流形上整体等距浸入、Cartan形式和GCR方程的等价性。我们还证明了一个新的弱刚性结果，属于Cartan形式主义，黎曼流形具有较低的正则性，并推广了弱刚性结果的黎曼流形与不固定的度量。
A geometric study of Wasserstein spaces: isometric rigidity in negative curvature
给定一个度量空间X，我们定义它的Wasserstein空间W 2（X）为X上充分衰减的概率测度的集合，并赋予它一个由最优运输定义的度量。在本文中，我们继续研究了当X是单连通的非正曲度量空间时，通过考虑其等距群，W2（X）的几何性质。当X是欧氏空间时，第二作者证明了这个等距群大于X的等距群。相反，我们在这里证明了一个刚性结果：当X是负弯曲的时，W2（X）的任何等距都来自X的等距。
A Rigidity Theorem for Hypersurfaces in Higher Dimensional Space Forms
经典的Cohn-Vossen定理指出$\mathbb{R}^{3}$中的两个等距紧凸曲面是全等的。在这篇简短的笔记中，我们将经典的科恩-沃森定理推广到空间型$N^{n+1}(K)$中的高维曲面，用于$n\ge 2$。
A rigidity theorem of $ξ$-submanifolds in $\mathbb{C}^{2}$
本文首先引入了$ξ$ -子流形的概念，它是中曲率流自收缩曲面的自然推广，也是$λ$ -超曲面在高余维上的推广.作为主要结果，我们证明了复$2$ -平面$\bbc^2$中Lagrangian $ξ$ -子流形的一个刚性定理。
Rigidity for the isoperimetric inequality of negative effective dimension on weighted Riemannian manifolds
研究了Ric $_{N} \geq K > 0$ for $N < -1$的加权黎曼流形上等式在等周不等式中成立的情形.我们的主要定理断言这样的流形必然等距于双曲性质的翘曲积$\mathbb{R} \times_{\cosh(\sqrt{K/(1-N)}t)} Σ^{n-1}$，其中$Σ^{n-1}$是具有较低加权里奇曲率界的$(n-1)$维流形，而$\mathbb{R}$具有双曲余弦测度.这与庞加莱不等式的等式条件相似。此外，每个等周极小集在适当的意义下等距于半空间。
Examples of Curvature Inhomogeneous Submanifolds with Constant Ricci Eigenvalues
该研究构造了两类具有常Ricci特征值的曲率非齐次黎曼流形，分别源自Einstein扭曲积和黎曼Schwarzschild-Tangherlini流形，明确了其特征值数量及等距浸入/嵌入的最小余维数。
Rigidity of the round cylinders in Ricci shrinkers
本文证明了在Ricci收缩空间中圆柱是刚性的。也就是说，在pointed-Gromov-Hausdorff拓扑中，任何与$S^{n-1}\times \mathbb R$足够接近的Ricci收缩器本身必须与$S^{n-1}\times \mathbb R$等距。
Minimal codimension one foliation of a symmetric space by Damek-Ricci spaces
本文考虑对称空间$M = SL(3,\C)/SU(3)$中具有诱导度量的$N \exp(\R H)$形式的可解超曲面，其中$H$是Iwasawa分解$SL(3,\C) = NAK$的子群$A$中合适的单位长度向量.由于$M$是秩$2$，$A$是$2$维的，我们可以通过确定$H$方向的角度$α\in [0,π/2]$来参数化这些超曲面。我们证明了其中一个超曲面（对应于$α= 0$）是极小嵌入的，并且等距于非对称的$7$维Damek-Ricci空间。我们还提供了这些超曲面的Ricci曲率的显式公式，并表明，所有的超曲面$α\in (0,\fracπ{2}]$承认平面的负和正的截面曲率。此外，对称空间$M$允许一个极小叶理，其所有叶等距于非对称$7$维Damek-Ricci空间。
Rigidity estimates for isometric and conformal maps from $\mathbb{S}^{n-1}$ to $\mathbb{R}^n$
我们研究刚性运动的线性和非线性稳定性方面（分别为）。从$\mathbb{S}^{n-1}$到$\mathbb{R}^n$的Sobolev映射中的$\mathbb{S}^{n-1}$的Möbius变换。与在$\mathbb{R}^n$的域上定义的映射和映射到$\mathbb{R}^n$的相似特征结果不同，不仅是等距（分别。保形）缺陷在这种更灵活的设置中是必要的，但是在所考虑的映射下测量$\mathbb{S}^{n-1}$的失真也是必要的。后者被定义为相关的等周型赤字。我们主要关注的情况下，$n=3$，我们还解释了为什么估计是最佳的，在其相应的设置。在等距的情况下，估计也成立时$n=2$和推广的尺寸$n\geq 4$以及，如果需要先验有界在一定的较高的Sobolev规范。我们还获得了线性稳定性估计的情况下，在所有的维度。这些不等式可以看作是与等距（分别）相关的二次型的组合的Korn型不等式。共形）缺陷的$\mathbb{S}^{n-1}$和等周的。
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