Building blocks of etale endomorphisms of complex projective manifolds
Noboru Nakayama, De-Qi Zhang
如果好的极小模型猜想成立，则从两个构造块直到同构构造复射影流形的Etale自同态。它们分别是阿贝尔簇的自同态和弱Calabi-Yau簇的近真有理自同态。
Etale endomorphisms of complex projective manifolds are constructed from two building blocks up to isomorphism if the good minimal model conjecture is true. They are the endomorphisms of abelian varieties and the nearly etale rational endomorphisms of weak Calabi-Yau varieties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Birational conjugacies between endomorphisms on the projective plane
本文证明了特征0下射影平面上次数至少为2的支配自同态若双有理共轭则必自同构共轭，并给出正特征反例。
Invariant hypersurfaces of endomorphisms of projective varieties
考虑Picard数为1的射影流形X上的次数> 1的满射自同态f及其f^{-1}-稳定超曲面V，证明了V是有理链连通的.同时给出了（不一定光滑）射影簇上f^{-1}-稳定素除子个数的最优上界。
Totally Invariant Divisors of non Trivial Endomorphisms of the Projective Space
期望复射影空间的非同构自同态的全不变因子是超平面的并。在本文中，我们计算了这样一个因子的次数的上界。作为结果，我们证明了具有孤立奇点的全不变因子的线性性。
Characterizations of Toric Varieties via Polarized Endomorphisms
设$X$是正规投射簇，$f:X\to X$是非同构的极化自同态.我们给出了$X$是复曲面簇的两个刻画。首先证明了若$X$是$\mathbb{Q}$ -阶乘的且$G$ -几乎齐次的，且$f$是$G$ -等变的，则$X$是环面簇.其次，我们给出了一个几何刻画：若$X$是Fano型的，余维2光滑的，且存在一个$f^{-1}$不变的约化因子$D$使得$f|_{X\backslash D}$是拟tale的，$K_X+D$是$\mathbb{Q}$的，则$X$允许一个拟tale覆盖$\widetilde{X}$使得$\widetilde{X}$是复曲面簇，$f$提升到$\widetilde{X}$ .特别地，如果进一步假设$X$是光滑的，则$X$是复曲面簇。
Semi-group structure of all endomorphisms of a projective variety admitting a polarized endomorphism
设$X$是一个允许极化（或更一般地，int-放大）自同态的投射簇。我们展示：当$X$是$\mathbb{Q}$ -阶乘正规的时，每个极小模型程序关于所有满射自同态的幺半群$SEnd(X)$等变，直到有限指标.进一步，当$X$是有理连通和光滑的，我们表明：有一个有限指标子幺半群$G$的$SEnd(X)$，使$G$通过拉回作为对角（因此交换）矩阵的Neron-Severi群;全自同构群$Aut(X)$有100多个连通分量;和每个放大的自同态是int放大。
On smooth rationally connected projective threefolds of Picard number two admitting int-amplified endomorphisms
该研究证明Picard数为2的光滑有理连通射影三维簇为环面簇的充要条件是存在int-amplified自同态，并得出爆破等变下$\u202e\bb{P}^3$非同构满自同态的全不变光滑曲线必为直线的推论。
Building blocks of amplified endomorphisms of normal projective varieties
设$X$是正规投射簇.一个满射自同态$f:X\to X$是int-放大的，如果对于某些充分的Cartier因子$L$和$H$，有$f^\ast L - L =H$.这是所谓的极化自同态的推广，极化自同态要求对于某个充分的Cartier因子$H$和$q>1$，有$f^*H\sim qH$。我们表明，这种推广保持所有的好的性质的极化情况下的奇异性，典范除子，和等变的极小模型程序。
Normal projective varieties admitting polarized or int-amplified endomorphisms
设$X$是一个正规投射簇，它允许一个极化的或int-放大的自同态$f$。我们列出了这类自同态的特征性质，并从它的奇异性、反典范除子和Kodaira维数等方面对这类自同态簇进行了分类。然后，我们运行的等变极小模型程序不仅对单个$f$，但也幺半群$SEnd(X)$的所有满射自同态的$X$，直到有限指标。给出了几种应用。我们还通过极化自同态给出了复曲面簇的代数和几何刻画。
Invariant hypersurfaces of endomorphisms of the projective 3-space
我们考虑了n = 3的射影n-空间上次数> 1的满射自同态f和f^{-1}-稳定超曲面V。我们证明了V是一个超平面（即，deg（V）= 1），但有四个可能的例外;证明了对于任何n > 1，deg（V）= 1。
Cohomological conditions on endomorphisms of projective varieties
我们刻画了可能的周期子簇满射自同态的复杂阿贝尔簇的特征值的上同调行动诱导的自同态，扩展以前的工作在这个方向上的粉红色和Roessler。通过应用我们的特征诱导的自同态阿尔巴尼亚品种，我们得出结论的动力学满射自同态的一个广泛的一类投射品种。我们还分析了几个类的满射自同态，其上同调行动的性质区分。
Int-amplified endomorphisms on normal projective surfaces
研究了正规射影曲面上的区间放大自同态。我们证明了等变MMP的输出是Q-阿贝尔曲面、光滑射影曲面的（等变）拟-tale商、Mori梦空间或椭圆曲线的射影锥。
On endomorphisms of projective varieties with numerically trivial canonical divisors
本文研究具有数值平凡典范除子的klt射影簇的拟放大与放大自同态，证明经迭代和等变双有理收缩拟放大自同态可下降为放大自同态，给出超凯勒簇、阿贝尔簇上相关自同态的判别与周期点性质。
The existence of Zariski dense orbits for endomorphisms of projective surfaces (with an appendix in collaboration with Thomas Tucker)
在本文中，我们证明了以下定理。设$f$是特征为$0$的代数闭域上光滑射影曲面的支配自同态.若在$f$下不存在非常数不变有理函数，则存在闭点，其在$f$下的轨道是Zebraki稠密的.这一结果肯定地回答了Medvedev和Scanlon，Amerik，Bogomolov和Rovinsky以及Zhang关于光滑射影曲面的自同态的Zebriki稠密轨道猜想.此外，我们定义了代数闭域上簇的一个新的标准拓扑，该代数闭域在$\mathbb{Q}$上具有有限超越度。我们称之为阿德利克拓扑。阿德利克拓扑是强于Zebraki拓扑和一个不可约的品种仍然是不可约的在这个拓扑。利用阿德尔拓扑，我们提出了Zagliki稠密轨道猜想的阿德尔版本。这个版本比原来的版本更强，它量化了有多少个这样的轨道。我们还证明了这个adelic版本的自同态光滑射影曲面。此外，我们还证明了交换簇和分裂多项式映射的自同态的Zapriki稠密轨道猜想的绝对性。在这两种情况下，这为原始版本提供了新的证明。在附录A中，我们研究了$k$ -仿射空间上的自同态。证明了在$k$ -仿射空间$X$上，对一定的自同态$f$，$f$的吸引子$Y$是Zerkiki闭子集，并且$f$的动力学半共轭到它对$Y.$的限制上。在与Thomas Tucker合作编写的附录B中，我们证明了$(\mathbb{P}^1)^N.$的自同态的Zerkki稠密轨道猜想
Polarized endomorphisms of complex normal varieties
证明了复正规投射簇具有非正Kodaira维数，如果它允许一个非同构的拟极化自同态。用等变提升和纤维化方法描述了该品种的几何结构。(For射影空间的自同态，见第1版）。
Ample canonical heights for endomorphisms on projective varieties
我们定义了一个“充足的典范高度”的自同态上的投射品种，这基本上是一个推广的典范高度极化自同态引入呼叫-西尔弗曼。我们制定了一个动力学模拟的Northcott有限性定理充分的典型高度作为一个猜想，并证明它的自同态品种的小皮卡德数，阿贝尔簇，和表面。作为应用，对于满足猜想的自同态，我们证明了定数域上预周期点集的非稠密性，并得到了关于公共簇上两个自同态的两个Zapriki稠密轨道相交的动力学Mordell-Lang型结果.
Log Calabi-Yau structure of projective threefolds admitting polarized endomorphisms
针对Broustet和Gongyo提出的容许极化自同态的正规射影簇为Calabi-Yau型的猜想，研究者基于等变极小模型纲领与典范丛公式建立框架，证明了光滑射影三维簇情形下该猜想成立。
On Endomorphisms of Projective Algebraic Varieties
本文研究了射影簇内射映射的代数动力学，通过刻画迭代像、Stein分解和稳定性现象，完成Brion的结果。
Totally invariant divisors of endomorphisms of projective spaces
期望射影空间的自同态的全不变因子总是线性空间的并。利用对数微分，我们建立了一个下界的程度的非正常轨迹的一个完全不变因子。作为结果，我们证明了$\mathbb P^3$的完全不变因子的线性。
On endomorphisms of projective bundles
设$X$是一个复射影丛。我们证明了$X$允许一个度为$>1$且与到基的投影交换的自同态，当且仅当$X$在一个有限覆盖后平凡化.当$X$是秩为2的向量丛$E$的射影化时，我们证明了它在一般纤维上有$>1$度的自同态，仅当$E$在有限基变换后分裂.
Exceptional points of an endomorphism of the projective plane
设f是复射影空间中次数大于1自同态。让我们称一个代数子集为f的例外，如果它的逆像在集合理论上等于它自己。J. - Y. Briend，S. Cantat和M. Shishikura证明了像这样的不可约集是线性子空间。本文给出了余维2例外子空间个数的一个界。特别地，我们证明了射影平面的自同态最多可以在9个点上完全分歧。
Structure of Fano fibrations of varieties admitting an int-amplified endomorphism
本文研究了具有int-放大自同态簇的Fano纤维化的结构。本文证明了：若正规$\mathbb{Q}$ -阶乘klt投射簇$X$有int-放大自同态，则存在余维1有限态射$\widetilde{X} \to X$的一个余维tale使得$\widetilde{X}$在其Albanese簇上是Fano型的.作为推论，如果我们进一步假设$X$是光滑的和有理连通的，那么$X$是Fano型的。
Dynamics of Endomorphisms for Projective Bundles on Elliptic Curves
本文通过丛的转移函数研究椭圆曲线上射影丛满射自同态的动力学，证明了其Kawaguchi--Silverman猜想，并将结果推广至具有限生成Mori锥的光滑射影簇上的射影分裂丛。
On automorphisms and endomorphisms of projective varieties
我们首先证明了完满域上的任何连通代数群都是某个正规投射簇的自同构群概型的中性分支。然后通过描述End（X）的所有连通子半群概型的结构，证明了极少数连通代数半群可以实现为某个投射簇X的自同态.
Potential density of projective varieties having an int-amplified endomorphism
我们考虑数域$K$上定义的代数簇上的有理点的势密度，即，在$K$的有限域扩张后，$X$的有理点集成为Zerkiki稠密的性质。对于一个具有int-放大自同态的非正则投射簇，我们证明了它总是满足势密度。当一个有理连通簇存在一个int-放大的自同态时，我们证明了存在一条具有Zebriki稠密前向轨道的有理曲线，并假设Zebriki稠密轨道猜想在低维下成立.作为应用，我们证明了在$\leq 3$维上具有int-放大自同态的投射簇的势密度。我们还研究了在一个充分大的数域上存在稠密的具有最大算术次数的有理点。
Endomorphisms of projective bundles over a certain class of varieties
设$B$是单连通射影簇，使得$B$上所有线丛的第一上同调群为零.设$E$是$B$和$X={\mathbb P} (E)$上的向量丛。很容易看出，$X$的任何自同态的幂都把纤维带到纤维。我们证明，如果$X$承认自同态是度大于1的纤维，然后$E$分裂成一个直和的线丛。
Building blocks of polarized endomorphisms of normal projective varieties
一个射影簇X的自同态$f$是极化的（分别是准极化），如果$qH$对于一些样本（分别为nef和big）卡地亚除数$H$和整数$q > 1$。首先，我们利用锥分析证明了拟极化自同态总是极化的，并且极化性质通过任何等变占优有理映射下降。接下来，我们证明了一个合适的最大有理连通纤维化（MRC），可以使$f$ -等变的使用N的建设。Nakayama，$f$下降到这个MRC的基Y的极化自同态，并且这个Y是一个Q-阿贝尔簇（一个阿贝尔簇的准-tale商）.最后，我们表明，我们可以运行的极小模型程序（MMP）$f$ -等变轻度奇异X，并达到一个Q-阿贝尔簇或Fano品种的皮卡德数1。因此，极化自同态的构造块是Q-阿贝尔簇和Picard数1的Fano簇。在此过程中，我们证明了$f$总是下降到X的Albanese簇Alb（X）的极化自同态，并且当X是光滑且有理连通的时，$f$的幂的拉回充当X的Neron-Severi群（模挠）上的标量乘法。本文还对X是Calabi-Yau型或Fano型给出了部分解答，并对$f$作了一个额外的双折射性假设，通过实例证明了这一假设的必要性.
Surjective endomorphisms of projective surfaces: the existence of infinitely many dense orbits
设$f \colon X \to X$是正规射影曲面的满射自同态。当$\operatorname{deg} f \geq 2$，应用$f$ -等变极小模型程序（EMMP）的迭代，确定了$X$的几何结构.利用这一点，我们将第二作者的结果扩展到奇异曲面，使$X$有一个$f$不变的非常数有理函数，或$f$有无穷多个Zerkiki稠密前向轨道;这一结果也扩展到Adelic拓扑（比Zerkiki拓扑更精细）。
Endomorphisms of projective varieties
我们研究复射影流形X，它允许至少2次的满射自同态f：X->X。在f是标准的情况下，我们证明了描述X的结构定理.特别是，如果X是一个uniruled三重，给出了一个相当详细的描述。对于分歧情形，我们首先证明了一个一般定理，即投射流形的伽罗瓦覆盖所对应的向量丛是充分的（分别是）。Nef）在非常温和的条件下。这一方法被应用于研究具有第二贝蒂数1的Fano流形的分歧自同态。证明了射影空间是唯一允许d>1次自同态的Fano流形，并在几种情况下证明了这一点.一部分的论证是基于一个新的表征的射影空间作为唯一的流形，承认一个丰富的子层在其切丛。
Global minimal models for endomorphisms of projective space
证明了定义在主理想整环的分式域上的射影空间的有理态射$ϕ:{\mathbb P}^N\rightarrow{\mathbb P}^N$的全局极小模型的存在性。
Arithmetic degrees and dynamical degrees of endomorphisms on surfaces
对于定义在数域上的光滑射影簇上的支配有理自映射，Kawaguchi和Silverman证明了（第一）动力学度等于其前向轨道定义良好且Zebraki稠密的有理点的算术度。我们证明了光滑射影曲面上满射自同态的这个猜想。对于任意光滑射影簇上的满射自同态，证明了算术度等于动力度的有理点的存在性。证明了若自同态是自同构，则存在具有不交轨道的有理点的Zebraki稠密集.
Etale covers of affine spaces in positive characteristic
证明了正特征域上的n维射影簇在无穷远处的射影n-空间上有一个态射，它把一个选定的因子映射到H上，把一个选定的不在因子上的光滑点映射到不在H上的某个点上.
Positivity of compact Kähler varieties admitting an int-amplified endomorphism
本文从切层正性角度研究允许int-amplified自同态的紧致Kähler簇，证明其切层弱正弯曲，并建立Kähler版本的Yoshikawa结构定理，同时证明极小模型存在性及自同态提升性质。
Equivariant Jacobian Conjecture in dimension two
设$G$是有效作用于复仿射平面的有限群.如果$G$ -作用与仿射平面的一个自同态$f$交换，并且$G$的阶是偶数，则自同态$f$是自同构。
Algebraic webs invariant under endomorphisms
我们对保持代数网的射影平面的不可逆全纯自映射进行分类。这样做，我们得到有趣的例子临界有限的地图。
Singular curves and the etale Brauer-Manin obstruction for surfaces
我们在任意数域上构造了一个光滑的射影曲面，它是Hasse原理的一个反例，但具有无限的Etale Brauer-Manin集。我们还构造了一个具有唯一有理点和无穷余集的曲面。新算法的核心是奇异射影曲线的算法。
Kawaguchi-Silverman conjecture for certain surjective endomorphisms
本文证明Kawaguchi-Silverman猜想对任意射影曲面及若干高维簇（如有理连通光滑三维簇）的满射自同态成立，核心方法结合等变极小模型纲领、反典范除子有效性与环面偶对刻画。
Structures theorems and applications of non-isomorphic surjective endomorphisms of smooth projective threefolds
本文研究了光滑射影三维簇的非同构满射自同态，证明了在$δ$-本原条件下双有理极小模型纲领迭代后变为$f$-等变，并据此证明了Kawaguchi-Silverman猜想及将Zariski稠密轨道猜想归结为终端三维簇情形。
Totally invariant divisors of int-amplified endomorphisms of normal projective varieties
考虑了$\mathbb{C}$上正规投射簇$X$的任意int-放大满自同态$f$及其$f^{-1}$ -稳定素除子.我们将早期的极化自同态的结果推广到区间放大自同态的情形。进一步假设$X$在最坏情况下具有Kawamata日志终端奇点。证明了$f^{-1}$稳定素除子的总数存在最优上界$\dim X+ρ(X)$，其中$ρ(X)$是Picard数.同时给出了$X$是有理连通和单连通的一个充分条件.最后，通过运行最小模型程序（MMP），我们证明了，在一些额外的条件下，MMP的最终产品只能是一条椭圆曲线或一个单一的点。
Polarized endomorphisms of normal projective threefolds in arbitrary characteristic
设$X$是具有任意特征$p \ge 0$的代数闭域$k$上的投射簇. $X$的满射自同态$f$是$q$ -极化的，如果对某些充分的Cartier因子$H$和整数$q > 1$有$f^\ast H \sim qH$.假设$f$是可分的，$X$是$\mathbb{Q}$ -Gorenstein正规的。我们证明了反正则因子$-K_X$在数值上等价于有效的$\mathbb{Q}$ -Cartier因子，稍微加强了Boucksom，de Fernex和Favre的结论（定理C），并且也覆盖了任意特征的代数闭域上的奇异簇.假设$f$是可分的，$X$是正规的。我们证明了$X$的Albanese态射是一个代数纤维空间，$f$诱导了$X$的Albanese和Picard簇上的极化自同态，并且$K_X$是伪有效的，$\mathbb{Q}$ -Cartier意味着是一个挠$\mathbb{Q}$ -因子.设$f^{Gal}:\overline{X}\to X$是$f$的Galois闭包。我们表明，如果$p>5$和互质的$deg\, f^{Gal}$，然后可以运行的最小模型程序（MMP）$f$ -等变，取代$f$由一个积极的权力，为轻度奇异的三倍$X$，并达到各种$Y$与扭转典型的除数（也与$Y$是一个准-étale商的阿贝尔品种时，$\dim(Y)\le 2$）。一路上，我们表明，$f$的权力作为一个标…
Good Reduction for Endomorphisms of the Projective Line in Terms of the Branch Locus
设$K$是数域，$v$是$K$上的非阿基米德赋值.我们说一个自同态$Φ\colon \mathbb{P}_1\to \mathbb{P}_1$在$v$上有好约化，如果存在一个$Φ$的模型$Ψ$使得$\degΨ_v$，$Ψ$模$v$的约化度，等于$\degΨ$且$Ψ_v$是可分的。我们证明了一个标准，好约化是自然的推广结果由于Zannier在\cite{Uz3}。我们的结果与好约化的另外两个概念，简单约化和临界好约化有关。本文的最后一部分致力于证明其迭代在某种意义上保持临界好约化的映射的一个特征。
Endomorphism algebras of hyperelliptic jacobians and finite projective lines
证明了超椭圆曲线y^2=f（x）的雅可比行列式是绝对单的，如果deg（f）=q+1，其中q是5模8的幂素同余，多项式f（x）在特征为零的基域上不可约，其伽罗瓦群是L_2（q）.
Semiample vector bundles and a characterization of étale trivial vector bundles
本文证明了光滑复射影簇上向量丛 étale 平凡等价于半丰富且第一陈类为零，并刻画了曲线上半丰富向量丛即虚拟整体生成向量丛。
Endomorphisms of hypersurfaces of Fano manifolds of Picard number 1
证明了Picard数为1的非射影空间的Fano流形不存在次数大于1的自同态。Beauville证实了这一点的超曲面的射影空间。我们研究了Picard数为1的任意Fano流形的超曲面。
Remarks on log Calabi--Yau structure of varieties admitting polarized endomorphism
本文讨论了正规射影曲面和Mori梦空间的Calabi-Yau型结构，其中Mori梦空间具有非平凡的极化自同态.
Int-amplified endomorphisms of compact Kähler spaces
设$X$是维数为$n$的正规紧Kähler空间.如果对于某些Kähler类$ξ$和$η$有$f^*ξ-ξ=η$，则这类$X$的满射自同态$f$是int-放大的。首先，我们表明，这个定义推广的概念，在投影设置。其次，我们证明了对于$X$是光滑的、曲面的或具有轻度奇异性的三重曲面的情形，如果$X$允许一个具有伪有效典范除子的int-放大自同态，则它是一个$Q$ -环面。最后，我们考虑一个正常的紧凑的Kähler三重$Y$只有终端奇点，并表明，取代$f$由一个积极的权力，我们可以运行的极小模型程序（MMP）$f$ -等变这样的$Y$，并达到一个$Q$ -环面或Fano（投影）品种的皮卡德数1。
Endomorphisms of quasi-projective varieties -- towards Zariski dense orbit and Kawaguchi-Silverman conjectures
本文研究了拟射影簇上有限满射自同态的Zariski稠密轨道猜想（ZDO）、Adelic Zariski稠密轨道猜想（AZO）及Kawaguchi-Silverman猜想（KSC），并在光滑仿射曲面、射影簇和半阿贝尔簇等特定条件下证明了这些猜想成立。
More etale covers of affine spaces in positive characteristic
证明了正特征域上纯维n的每一个几何约化的射影簇在无穷远处的射影n-空间上都有一个态射，它把一个选定的因子映射到H上，把一些选定的不在因子上的光滑点映射到不在H上的点上.这改进了我们在math.AG/0207150中的早期结果，该结果仅限于无限完满域。我们还证明了一个相关的结果，通过选择点控制的行为的因子。
Singularities of varieties admitting an endomorphism
设X是一个正规簇，使得$K_X$是Q-Cartier，$f: X \rightarrow X$是一个次数至少为2的有限满射.我们建立了一个密切的联系之间的不可约的组成部分的轨迹的奇异性，是不是日志典型的动力学的自同态f。因此，我们证明，如果X是投射和f极化，那么X有最多的对数正则奇点。
A note on Kawaguchi-Silverman conjecture
我们收集了一些与川口-西尔弗曼猜想有关的投射簇上的自同态的结果。讨论了投射簇的自同构群的若干条件和自同构的首实本征因子的正性条件。证明了Picard数为1的光滑Fano簇上投射丛上自同态的川口-西尔弗曼猜想。在最后一节中，我们讨论了自同态及其特征因子的增广基轨迹。
Serre-Godeaux varieties and the etale index
我们利用有限群的Serre-Godeaux簇、射影表示理论、扭曲Atiyah-Segal完备化定理以及我们以前关于拓扑周期指数问题的工作，计算了Brauer类α的etale指数.特别是，这些计算表明，阿尔法的etale指数一般不同于阿尔法的周期。作为应用，我们利用射影表示理论计算了高维Serre-Godeaux簇的函数域上的非分歧类的指数.
On some notions of good reduction for endomorphisms of the projective line
令$Φ$是$\SR(\bar{\Q})$的自同态，$\SR(\bar{\Q})$是$\Q$的代数闭包上的投影线，具有定义在数域$K$上的次数$\geq2$。令$v$是$K$的非阿基米德赋值。如果$Φ$的任何一对不同的分歧点在约简模$v$下不冲突，并且对于任何一对分支点也是如此，则我们说$Φ$在$v$处具有临界好约化。如果映射$Φ_v$，即$Φ$模$v$的约化，具有与$Φ$相同的次数，则我们说$Φ$在$v$处具有简单的好约化。证明了如果$Φ$在$v$上有临界好约化且约化映射$Φ_v$是可分的，则$Φ$在$v$上有简单好约化.
Holomorphic normal projective connections on projective manifolds
本文研究了允许全纯正规射影联络的射影流形M，证明了Iitaka纤维化（直到Etale覆盖）在M上定义了一个光滑的阿贝尔群概型结构。
Gap for geometric canonical height functions
该研究证明复函数域上射影空间自同态的典范高度函数在零附近存在间隙，且零高度有理点Zariski稠密时自同态双有理等平凡，进而推出射影平面的几何Northcott性质。
Endomorphisms of the projective plane and the image of the Suslin-Hurewicz map
在特征既不为2也不为3的域F上的射影平面的自同态环在Morel-Voevodsky动机稳定同伦范畴中比在Voevodsky动机的导出范畴中稍微复杂一些。特别是，如果F中存在一个不允许有六次方根的平方，则它不是精确交换的。计算的一个副产品是基于Asok、Fasel和Williams的工作，证明了Suslin猜想关于从Quillen到Milnor K-理论的Suslin-Hurewicz同态的四度证明。
Rigidity of rationally connected smooth projective varieties from dynamical viewpoints
本文从动力系统视角研究了有理连通光滑射影簇的刚性，证明了其成为环面簇或$(\mathbb{P}^1)^{\times n}$的充要条件分别取决于其自同态的分支除子不变性与特征值性质。
Non-liftable varieties via etale cohomology rings
研究在正特征下构造光滑射影簇，通过其\(\mathbb{Q}_{\ell}\)系数平展上同调环性质，给出零特征可提升性新阻碍例子。
Étale cohomology, Lefschetz Theorems and Number of Points of Singular Varieties over Finite Fields
证明了一个估计有限域上任意完全交点个数的一般不等式。这推广了Deligne关于非奇异完全交的一个结果。对于正规完全交，该不等式也推广了经典的Lang-Weil不等式.此外，我们证明了Lang-Weil不等式的仿射以及射影簇与显式描述和界的常数出现在其中。证明了Lang和Weil关于射影簇的Picard簇和平展上同调空间的一个猜想.完全相交的一般不等式可以被看作是Hooley和Katz给出的估计的更精确的版本。证明主要是基于一个适当的推广弱莱夫谢茨定理的奇异品种连同一些Bertini型参数和Grothendieck-Lefschetz迹公式。我们还描述了关于有限域上射影簇的平展上同调空间和贝蒂数的一些辅助结果，以及关于有限域上射影代数集的点数的一个猜想和一些部分结果.
The endomorphism rings of jacobians of cyclic covers of the projective line
设K是特征为0的域，$K_a$是它的代数闭包，p是奇素数.假设$f(x) \in K[x]$是一个没有重根的$n \ge 5$次多项式。让我们考虑曲线$C: y^p=f(x)$及其雅可比矩阵J（C）。已知J（C）的所有$K_a$ -自同态的环End（J（C））包含第p个分圆域（由C的明显自同构生成）中的整数环$Z[ζ_p]$。本文证明了如果K上f的伽罗瓦群是对称群$S_n$或交错群$A_n$，则有$End(J(C))=Z[ζ_p]$.
Cyclic covers of the projective line, their jacobians and endomorphisms
研究曲线$y^p=f(x)$的复雅可比矩阵$J(C)$的自同态环$End(J(C))$，其中$p$是奇素数，$f(x)$是一个无重根的复系数$n>4$次多项式.假设$f$的所有系数都位于一个（子）域$K$中，并且$K$上的$f$的伽罗瓦群是全对称群$S_n$或交替群$A_n$。然后证明了$End(J(C))$是在$p$ th分圆域上的整数环，如果$p$是Fermat素数（例如，$p=3,5,17,257$）。作者在Math. Res. Lett. 7（2000），123- 132.
Characterization of $Q$-complex tori via endomorphisms -- an addendum to "Int-amplified endomorphisms of compact Kähler spaces''
本文针对典范除子伪有效的正规紧 Kähler klt 空间，证明允许 int-amplified 自同态即可推出其为 $Q$-复环面，并据此得到单连通紧 Kähler 光滑三维簇的有理连通性结论。
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