On the number of subsequences with a given sum in a finite abelian group
设$G$是有限阿贝尔群，$S$是$G$中的元素序列.对于$G$的任何元素$g$，令$N_g(S)$表示$S$与和$g$的连续性的数目。本文的目的是研究$N_g(S)$的下界。特别地，我们证明了$N_g(S)=0$或$N_g(S) \ge 2^{|S|-D(G)+1}$，其中$D(G)$是最小的正整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的每个序列具有非空的零和子序列。我们还刻画了一些群的极值序列的结构，其中等式成立。
2011-01-24 math.CO math.NT
Zero-sum subsequences in bounded-sum $\{-1, 1\}$-sequences
以下结果给出了本文的特色：设$t$，$k$和$q$是满足$q\geq 0$，$0\leq t < k$和$t \equiv k \,({\rm mod}\, 2)$的整数，且$s\in [0,t+1]$是满足$s \equiv q + \frac{k-t-2}{2} \,({\rm mod} \, (t+2))$的唯一整数.然后对于任何整数$n$使得\[n \ge \max\left\{k,\frac{1}{2(t+2)}k^2 + \frac{q-s}{t+2}k - \frac{t}{2} + s\right\}\]和任何函数$f:[n]\to \{-1,1\}$与$|\sum_{i=1}^nf(i)| \le q$，有一个$B \subseteq [n]$连续整数与$|\sum_{y\in B}f(y)| \le t$。此外，这个界是尖锐的所有参数和极值序列的特征。这和其他类似的结果，涉及不同的连续性，包括分解序列的连续性有界的重量。
2016-12-20 math.CO math.NT
Enumeration of idempotent-sum subsequences in finite cyclic semigroups and smooth sequences
本文研究有限循环半群上幂等元求和子序列的计数问题，给出了以序列长度表示的下界，并在数量较小时证明了平滑结构子序列的存在性，将有限循环群上的经典零和计数定理推广至半群设定。
2025-05-01 math.CO math.NT
On short zero-sum subsequences of zero-sum sequences
令$G$是有限阿贝尔群，并且令$η(G)$是最小整数$d$，使得在$G$上的长度至少为$d$的每个序列包含长度为$|T|\in [1,\exp(G)]$的零和子序列$T$。本文研究了非循环有限交换群$G$是否具有以下性质：至少存在一个整数$t\in [\exp(G)+1,η(G)-1]$，使得每个长度恰好为$t$的零和序列包含长度为$[1,\exp(G)]$的零和子序列.先前的结果表明，基团$C_n^2$（$n\geq 3$）和$C_3^3$具有上述性质。本文证明了包括$C_m\oplus C_n$与$3\leq m\mid n$，$C_{3^a5^b}^3$，$C_{3\times 2^a}^3$，$C_{3^a}^4$和$C_{2^b}^r$（$b\geq 2$）在内的更多的群都具有这一性质.对于秩为2的群和一些特殊的大指数群，我们也确定了所有具有上述性质的$t\in [\exp(G)+1, η(G)-1]$。
2011-08-14 math.CO math.NT
Maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base and polynomial subsequences
自动序列不适合密码学应用，因为它们的子字复杂度和扩展复杂度都很小，并且它们的2阶相关性度量很大。这些序列是高度可预测的，尽管具有大的最大阶复杂度。然而，最近的研究结果表明，多项式序列的自动序列，如图厄-莫尔斯序列，是更好的候选人伪随机序列。自动序列的一个自然推广是形态序列，由一个不一定一致的可延长态射的不动点给出。本文证明了Zeckendorf基上的数和函数的最大阶复杂度的一个下界，它是一个态序列的例子。我们还证明了该序列的多项式连续性保持了与Thue-Morse序列类似的大的最高阶复杂度。
2021-06-18 math.CO math.NT
Subsequence sums in permutations
Community College of Aurora（奥罗拉社区学院）；University of Denver（丹佛大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
本文证明对于任意k≥3，当n足够大时，{1,2,…,n}的每个排列都包含长度为k的2-加性子序列，并给出了最小n的多项式界，同时研究了单调子序列和算术拉姆齐理论中的类似结果。
2026-08-14 math.CO math.NT
Inverse problems for certain subsequence sums in integers
设$A$是$k$整数的非空有限集。给定$A$的子集$B$，$B$的所有元素的和，用$s(B)$表示，称为$B$的子集和。对于非负整数$α$（$\leq k$），设\[Σ_α (A):=\{s(B): B \subset A, |B|\geq α\}.\]现在，设$\mathcal{A}=(\underbrace{a_{1},\ldots,a_{1}}_{r_{1}~\text{copies}}, \underbrace{a_{2},\ldots,a_{2}}_{r_{2}~\text{copies}},\ldots, \underbrace{a_{k},\ldots,a_{k}}_{r_{k}~\text{copies}})$是具有$k$不同项的有限整数序列，其中$r_{i}\geq 1$为$i=1,2,\ldots,k$。给定$\mathcal{A}$的一个子序列$\mathcal{B}$，$\mathcal{B}$的所有项之和（用$s(\mathcal{B})$表示）称为$\mathcal{B}$的子序列和。对于$0\leq α\leq \sum_{i=1}^{k} r_{i}$，设为\[Σ_α (\bar{r},\mathcal{A}):=\left\{s(\mathcal{B}): \mathcal{B}~\text{is a subsequence of}~\mathca…
2019-08-31 math.NT
Generalized H-fold sumset and Subsequence sum
本文研究广义H-重和集H^{(r)}A的基数最优下界及达到下界时集合A和H的结构，在A为正整数集或非负整数集情形下推广了Bhanja的结果，并由此导出子序列和与子集和的若干特殊结论。
2024-01-13 math.NT
On the Number of Weighted Zero-sum Subsequences
设$G$是有限可加阿贝尔群，其指数为$d^kn, d,n>1,$，$k$为正整数.对于$G$序列和$A=\{1,2,\ldots,d^kn-1\}\setminus\{d^kn/d^i:i\in[1,k]\}, $序列，我们研究了$S.$的$A$加权零和序列的个数$N_{A,0}(S)$的下界.特别地，我们证明了$N_{A,0}(S)\ge 2^{|S|-D_A(G)+1},$，其中$D_A(G)$是$A$加权Davenport常数.我们还刻画了一些群的极值序列的结构。
2022-09-29 math.NT
Structure of a sequence with prescribed zero-sum subsequences: Rank Two $p$-groups
令$G=(\mathbb Z/n\mathbb Z) \oplus (\mathbb Z/n\mathbb Z)$。令$\mathsf {s}_{\leq k}(G)$是最小整数$\ell$，使得来自$G$的每个$\ell$项序列，在允许重复的情况下，具有长度至多为$k$的非空零和子序列。众所周知，$\mathsf {s}_{\leq 2n-1-k}(G)=2n-1+k$为$k\in [0,n-1]$，具有极值序列的结构，显示出当$k\in \{0,1,n-1\}$时确定的这种约束紧，并且对于各种特殊情况，当$k\in [2,n-2]$。对于其余的值$k\in [2,n-2]$，长度为$2n-2+k$的极值序列的特征化在最多$2n-1-k$处避免长度的非空零和通常仍然是开放的，它证明了对于$G$的某个基$(e_1,e_2)$，它们必须都具有$e_1^{[n-1]} \boldsymbol{\cdot} e_2^{[n-1]} \boldsymbol{\cdot} (e_1 +e_2)^{[k]}$的形式。这里，$x^{[n]}$表示由术语$x$重复$n$次组成的序列。在本文中，我们建立了这个猜想，所有$k\in [2,n-2]$当$n$是素数，鉴于其他最近的工作，这意味着所有的秩2阿贝尔群的结构。
2022-11-15 math.CO math.NT
Support-sensitive bounds for shortest zero-sum subsequences
Mathematical Institute, Leiden University（莱顿大学数学研究所）；Babeş-Bolyai University（巴贝什-博约伊大学）
对于有限阿贝尔群上的序列，证明了最短非空零和子序列的长度受支持大小约束，并在循环群中结合Savchev-Chen结构定理得到更优估计。
2026-05-28 math.CO math.NT
Representation of Finite Abelian Group Elements by Subsequence Sums
设$G\cong C_{n_1}\oplus ... \oplus C_{n_r}$是一个有限的非平凡阿贝尔群，其上有$n_1|n_2|...|n_r$ . Hamidoune的一个猜想说，如果$W=w_1... w_n$是一个整数序列，除了至多一个之外都与$|G|$互质，并且$S$是$G$上的一个序列，其中$|S|\geq |W|+|G|-1\geq |G|+1$，$S$的最大重数至多为$|W|$，并且$σ(W)\equiv 0\mod |G|$，那么存在一个非平凡子群$H$，使得每个元素$g\in H$都可以表示为$g=\sum_{i=1}^{n}w_is_i$的加权子序列和，其中$s_1... s_n$是$S$的子序列。我们给出了两个例子，这并不持有一般，并描述了大$|W|\geq {1/2}|G|$的反例。高的一个定理，推广了奥尔森的一个较早的结果，说如果$G$是一个有限阿贝尔群，$S$是一个序列在$G$与$|S|\geq |G|+D(G)-1$，然后要么每个元素的$G$可以表示为一个$|G|$ -长期子序列和从$S$，或存在陪集$g+H$，使所有但最多$|G/H|-2$项的$S$是从$g+H$。我们在Ordaz和Quiroz给出的这个定理的一个加权类比中建立了一些非常特殊的情形，并在其余情形中建立了一些部分结论，这些结论暗示了Ordaz和Quiroz的一个最近结果.这是通…
2008-06-02 math.CO math.NT
On the number of weighted subsequences with zero-sum in a finite abelian group
设$G$是有限阿贝尔群，$S=g_{1}\cdots g_{l}$是$G$中的元素序列.对于$G$和$A\subseteq\mathbb{Z}\backslash\left\{ 0\right\} $的任何元素$g$，令$N_{A,g}(S)$表示$S$的连续数$T=\prod_{i\in I}g_{i}$，使得$\sum_{i\in I}a_{i}g_{i}=g$，其中$I\subseteq\left\{ 1,\ldots,l\right\}$和$a_{i}\in A$。本文的目的是研究$N_{A,0}(S)$的下界。特别地，我们证明了，$N_{A,0}(S)\geq2^{|S|-D_{A}(G)+1}$，其中$D_{A}(G)$是最小的正整数$l$，使每个序列在$G$的长度至少$l$有一个非空的$A$零和子序列。我们还刻画了一些群的极值序列的结构，其中等式成立。
2021-01-29 math.NT
On zero-sum subsequences of length exp(G)
设$G$是有限交换群.令$g(G)$是最小正整数$t$，使得群$G$的每个基数子集$t$包含基数子集$\mathrm{exp}(G)$，其和为零。本文证明了：若X是$\mathbb{Z}^2_{2n}$的一个子集，其基数为$4n+1$，且$2n$或$X$的$2n-1$元素具有相同的第一坐标，则$X$包含一个零和子集.作为我们结果的应用，我们证明了$g(\mathbb{Z}^2_6) = 13.$.这解决了Gao-Thangaduri猜想对于$n=6.$的情形.
2020-05-25 math.NT
On the number of fully weighted zero-sum subsequences
设$G$是指数为$n$的有限可加阿贝尔群，$S=g_{1}\cdots g_{t}$是$G$中的元素序列.对于$G$和$A\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}$的任何元素$g$，令$N_{A,g}(S)$表示$S$的连续性$T=\prod_{i\in I}g_{i}$的数目，使得$\sum_{i\in I}a_{i}g_{i}=g$，其中$I\subseteq\left\{ 1,\ldots,t\right\} $和$a_{i}\in A$。本文证明了当$A=\left\{ 1,\ldots,n-1\right\} $，其中$D_{A}(G)$是最小正整数$l$，使得$G$上的每个长度至少为$l$的序列$S$都有非空子序列$T=\prod_{i\in I}g_{i}$使得$\sum_{i\in I}a_{i}g_{i}=0$，$I\subseteq\left\{ 1,\ldots,t\right\} $和$a_{i}\in A$时，$N_{A,0}(S)\geq2^{|S|-D_{A}(G)+1}$是可解的。此外，我们分类的序列，使$N_{A,0}(S)=2^{|S|-D_{A}(G)+1}$，其中$G$的指数是一个奇数。
2018-11-09 math.NT
Zero-sum Subsequences of Length kq over Finite Abelian p-Groups
对于有限阿贝尔群$G$和正整数$k$，令$s_{k}(G)$表示最小整数$\ell\in\mathbb{N}$，使得长度为$|S|\geq\ell$的$G$的元素的任何序列$S$具有长度为$k$的零和子序列。著名的Erdens-Ginzburg-Ziv定理确定了循环群$C_{n}$的$s_{n}(C_{n})=2n-1$，而Reiher在2007年证明了$s_{n}(C_{n}^{2})=4n-3$。本文证明了对于指数为$\exp(G)=q$的$p$ -群$G$，当$k\geq d$，其中$d=\Big\lceil\frac{D(G)}{q}\Big\rceil$和$p$是满足$p\ge2d+3\Big\lceil\frac{D(G)}{2q}\Big\rceil-3$的素数，其中$D(G)$是有限阿贝尔群$G$的Davenport常数时，上界$s_{kq}(G)\le(k+2d-2)q+3D(G)-3$是存在的.这是$k$和$d$中正确的增长顺序。作为推论，我们证明了$s_{kq}(C_{q}^{d})=(k+d)q-d$无论何时$k\geq p+d$和$2p\geq7d-3$，解决了高、韩、彭、孙猜想$s_{k\exp(G)}(G)=k\exp(G)+D(G)-1$无论何时$k\exp(G)\geq D(G)$ .我们还得到了一个一般的界$s_{kn}(C_{n}^{d})\l…
2015-03-24 math.CO math.NT
The sum-of-digits function on arithmetic progressions
设$s_2$为基函数$2$中的数字和函数，该函数返回非负整数$n$的非零二进制数。我们研究了$s_2$的算术复杂性，证明了在移位之前，作为$s_2$的算术子序列出现的整数的$m$ -元组的集合具有全复杂性.
2019-09-19 math.NT
Zero-sum constants related to the Jacobi symbol
对于$A\subseteq\mathbb Z_n$，$A$加权Gao常数$E_A(n)$被定义为最小自然数$k$，使得$\mathbb Z_n$中的$k$元素的任何序列具有长度为$n$的子序列，其$A$加权和为零.当$A$是$\mathbb Z_n$中所有单位的集合时，我们确定$E_A(n)$的值以及两个相关常数$C_A(n)$和$D_A(n)$的值。我们还描述了所有序列的长度$E_A(n)-1$在$\mathbb Z_n$没有任何$A$加权零和子序列的长度$n$时，$n$是2的幂。
2023-02-20 math.CO math.NT
An Analogue of the Erdős-Ginzburg-Ziv Theorem over $\mathbb Z$
设$\mathcal S$是整数的多重集合。我们说$\mathcal S$是一个$\textit{zero-sum sequence}$，如果它的元素之和是0。研究了零和序列的元素位于区间$[-k,k]$中，使得长度为$t$的子序列都是零和序列.考虑到这些限制，Augspurger，Minter，Shoukry，Sissokho，Voss证明了存在任意长的$t$ -避免，$k$ -有界零和序列，除非$t$可被$\mathrm{LCM}(2,3,4,\dots,2k-1)$整除。我们证实了这些作者的一个猜想，$k$和$t$，使这个整除条件成立，每一个零和序列的长度至少$t+k^2-k$包含一个零和子序列的长度$t$，这是最小的长度，这个属性。
2018-08-23 math.CO math.NT
Iterated Sumsets and Subsequence Sums
设$G\cong \mathbb Z/m_1\mathbb Z\times\ldots\times \mathbb Z/m_r\mathbb Z$是一个有限阿贝尔群，其上有$m_1\mid\ldots\mid m_r=\exp(G)$ . Kemperman结构定理刻画了满足$|A+B|<|A|+|B|$的所有子集$A,\,B\subseteq G$，并已被推广到覆盖当$|A+B|\leq |A|+|B|$。利用这些结果，我们提供了一个精确的结构描述的所有有限子集$A\subseteq G$与$|nA|\leq (|A|+1)n-3$时$n\geq 3$（也当$G$是无限的），在这种情况下，许多病理可能性的情况下$n=2$消失，特别是大$n\geq \exp(G)-1$。结构描述与其他参数相结合，以推广奥尔森断言的子序列和结果，即具有长度$|S|\geq 2|G|-1$的来自$G$的项的序列$S$必须具有可表示为来自$S$的$|G|$ -项的和的$G$的每个元素，否则具有除了$|G/H|-2$之外的所有项，其项位于某些$H\leq G$的公共$H$ -陪集中。我们表明，弱得多的假设$|S|\geq |G|+\exp(G)$足以获得一个几乎相同的结论，在$H$是平凡的情况下，我们必须允许所有的$S$，但$|G/H|-1$条款是从相同的$H$陪集。对PDMATHBNF上的界进行了改进，…
2018-04-18 math.NT
On a different weighted zero-sum constant
对于有限阿贝尔群$(G,+)$，常数$C(G)$被定义为最小自然数$k$，使得$G$中任何长度为$k$的序列将具有和为零的连续项的子序列。对于子集$A\subseteq\mathbb Z_n$，常数$C_A(n)$是最小自然数$k$，使得$G$中具有长度$k$的任何序列具有连续项的$A$加权零和子序列。我们确定了某些特定权重集$A$的$C_A(n)$值。
2023-02-05 math.NT
Generalization of some weighted zero-sum theorems and related Extremal sequence
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群，$A$是$[1,n-1]$的非空子集.具有权重$A$的$G$的达文波特常数（由$D_A(G)$表示）被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有非空的$A$加权零和子序列。类似地，组合不变量$E_{A}(G)$被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有长度为$|G|$的$A$加权零和子序列。在本文中，我们确定了$D_A(\mathbb{Z}_n)$的精确值，对于$n$的某些特定值，其中$A$是$\mathbb{Z}_n^*$中所有立方体的集合。我们还确定了在这种情况下，相关的极值序列的结构。
2022-02-01 math.CO math.NT
Arithmetic-Progression-Weighted Subsequence Sums
设$G$是一个阿贝尔群，$S$是一个不全包含在$G$的一个真子群的陪集中的项序列$s_1,s_2,...,s_{n}\in G$，$W$是一个$n$连续整数序列。设$$W\odot S=\{w_1s_1+...+w_ns_n:\;w_i {a term of} W,\, w_i\neq w_j{for} i\neq j\},$$是一类特殊的加权限制和集.我们表明，$|W\odot S|\geq \min\{|G|-1,\,n\}$，$W\odot S=G$，如果$n\geq |G|+1$，也具有$W\odot S\neq G$的长度$|G|$的所有序列$S$的特征。然后，这个结果允许我们表征当给出$α,a_1,..., a_r\in \Z$的线性方程$$a_1x_1+...+a_rx_r\equiv α\mod n,$$具有解$(x_1,...,x_r)\in \Z^r$模$n$且所有$x_i$模$n$不同时。作为第二个简单的推论，我们还表明，有最大长度最小零和序列的秩2有限阿贝尔群$G\cong C_{n_1}\oplus C_{n_2}$（其中$n_1\mid n_2$和$n_2\geq 3$）具有$k$不同的条款，任何$k\in [3,\min\{n_1+1,\,\exp(G)\}]$。事实上，除了一些简单的限制，任何模式的多重性是可实现的，这样一个最大长度的最小零和序列。
2011-06-28 math.NT
On the number of subsequence sums related to the support of a sequence in finite abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群中序列支撑相关的子序列和数量问题，确定了满足特定极值条件的序列结构，给出了 Gao 等人猜想的反例，并为 Hamidoune 的猜想提供了另一种证明。
2024-04-29 math.CO math.NT
Extremal sequences for a weighted zero-sum constant
常数$C_A(n)$被定义为最小自然数$k$，使得$\mathbb Z_n$中的$k$元素的任何序列具有连续项的子序列，其$A$加权和为零，其中权重集$A\subseteq \mathbb Z_n\setminus \{0\}$。如果是$C_A(n)=k$，则$\mathbb Z_n$中长度为$k-1$的序列，如果没有连续项的$A$加权零和子序列，则称为$A$ -极值序列。我们刻画了这些序列的一些特定的权重集。
2022-10-22 math.NT
Restricted inverse zero-sum problems in groups of rank two
设$(G,+)$是有限交换群.然后，$\so(G)$和$η(G)$表示最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的每个序列具有其项总和为$0$并且其长度分别等于且至多为这个群体的指数。对于秩为2的群，我们研究与这些常数相关的逆问题，即，我们研究了长度为$\so(G)-1$和$η(G)-1$的序列的结构，这些序列不具有这样的子序列。一方面，我们表明，这些序列的结构一般比预期的更丰富。另一方面，假设一个很好的支持这个问题的猜想的形式$C_m \oplus C_m$的群体，我们给出了一个完整的特征，所有这些序列的一般有限阿贝尔群的秩为2。结合该猜想的部分结果，得到了特殊情形下的无条件刻画。
2010-07-01 math.CO math.NT
Inverse Zero-Sum Problems III
设$G$是有限阿贝尔群.如果$S$中的项的和等于零，则具有来自$G$的项的序列$S$是零和的。它是一个最小零和序列，如果没有适当的，非平凡的子序列是零和。$G$中最小零和子序列的最大长度是达文波特常数，记为$D(G)$。对于秩2组$G=C_n \oplus C_n$，已知$D(G)=2n-1$ .然而，所有最大长度最小零和序列的结构仍然是开放的。如果每个这样的序列包含具有重数$n-1$的项，则称$C_n \oplus C_n$具有性质B，并且证明这对于所有秩2群$C_n \oplus C_n$都是真的。本文证明了性质B是乘法的，即如果$G=C_n \oplus C_n$和$G=C_m \oplus C_m$都满足性质B，且$m, n\geq 3$和$mn>9$是奇数，则$C_{mn}\oplus C_{mn}$也满足性质B.结合文献中以前的工作，这减少了建立性质B的问题，在这种情况下，序列的完整结构描述如下。
2008-01-24 math.CO math.NT
Iterated Sumsets and Setpartitions
设$G\cong \mathbb Z/m_1\mathbb Z\times\ldots\times \mathbb Z/m_r\mathbb Z$是一个有限阿贝尔群，其上有$m_1\mid\ldots\mid m_r=\exp(G)$ . Kneser定理的$n$ -term子和形式，通过DeVos-Goddyn-Mohar定理或分割定理得到，已经成为证明许多零和子序列和问题的有力工具。它提供了具有少量$n$ -项子序列和的序列的结构描述，确保这仅在序列的大多数项包含在少量$H$ -陪集中时才可能。对于大的$n\geq \frac1p|G|-1$或$n\geq \frac1p|G|+p-3$，其中$p$是$|G|$的最小素因子，结构描述特别强。特别地，序列的大多数项被包含在单个$H$陪集中，并且关于$G$的元素的表示作为子序列和的附加属性被保持。这种加强形式的子和版本的Kneser定理后来被证明持有较弱的假设$n\geq \mathsf d^*(G)$，其中$\mathsf d^*(G)=\sum_{i=1}^{r}(m_i-1)$。在本文中，我们进一步减少了对$n$的限制，使之成为最优的，最好的可能值，表明我们只需要假设$n\geq \exp(G)+1$就可以得到相同的结论，并且对几类近循环群的界进一步改进。
2017-09-27 math.NT
Short Zero-Sum Sequences Over Abelian $p$-Groups of Large Exponent
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群.令$η(G)$表示最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的每个序列具有长度至多为$n$的零和子序列。当$G$是一个$p$ -群，其Davenport常数至多为$2n-1$时，我们确定了$η(G)$的精确值.这证实了Schmid和Zhuang在2010年提出的一个猜想中的一个等式。
2016-08-18 math.CO math.NT
Higher Degree Davenport Constants over Finite Commutative Rings
我们推广达文波特常数的概念到一个“更高的程度”，并获得各种下限和上限，这有时是确切的情况下，某些有限的交换环的素数幂基数。下面是两个简单的例子，它们抓住了这些高阶达文波特常数的本质。1)假设$n = 2^k$，则长度为$2n$的每个整数序列$S$包含长度至少为2的子序列$S'$，使得$\sum_{a_i,a_j \in S'} a_ia_j \equiv 0 \pmod{n}$和边界是尖锐的。2)假设$n \equiv1 \pmod{2}$，则长度为$2n -1$的每个整数序列$S$包含长度至少为2的子序列$S'$，使得$\sum_{a_i,a_j \in S'} a_ia_j \equiv 0 \pmod{n}$。这些例子说明，如果一个有限交换环的元素序列足够长，则某些对称表达式在子序列的元素上必须为零。
2022-02-13 math.AC math.CO math.NT
Zero-sum invariants of finite abelian groups
本文的目的是提供一个统一的方法来制定零和不变量。设$G$是有限可加阿贝尔群.设$B(G)$表示G上所有非空零和序列组成的集合。对于$Ω\subset B(G$），设$d_Ω(G)$是最小整数$t$，使得$G$上每个长度为$|S|\geq t$的序列$S$在$Ω$中有一个子序列.
2017-02-02 math.CO math.NT
On the structure of $p$-zero-sum free sequences and its application to a variant of Erdos--Ginzburg--Ziv theorem
设$p$为任意奇素数。令$k$为任何正整数，使得$2\leq k\leq [\frac{p+1}3]+1$。令$S = (a_1,a_2,...,a_{2p-k})$是${\Bbb Z}_p$中的任意序列，使得在$\zp$中不存在$S$的长度为$p$且其和为零的子序列。然后我们证明我们可以安排序列$S$如下：$ S = (\underbrace{a, a, ..., a}_{u {\rm times}}, \underbrace{b, b, >..., b}_{v {\rm times}}, a_1', a_2', >..., a_{2p-k-u-v}') $其中$u\geq v$，$u+v\geq 2p-2k+2$和$a-b$生成$\zp$。这将\cite{gao10}中的结果扩展到满足$(p+1)/4+3\leq k\leq (p+1)/3+1$的所有素数$p$和$k$。此外，我们证明，如果$g$表示不同的剩余类模$p$的数量出现在序列$S$在$\zp$的长度$2p-k$ $(2\leq k\leq [(p+1)/4]+1)$，和$g\geq 2\sqrt{2}\sqrt{k-2}$，那么存在一个子序列的$S$的长度$p$的总和为零的$\zp$。
2005-03-05 math.CO math.NT
On a classical zero-sum invariant
University of Graz（格拉茨大学）；Nankai University（南开大学）
研究20世纪60年代零和理论中引入的有限阿贝尔群的经典零和不变量ν(G)，明确其为满足特定子序列和性质的最小整数ℓ。
2026-08-20 math.CO math.NT
Maximizing the number of rational-value sums or zero-sums
本文研究n个无理数集合中r项有理值和的最大数量，确定了r<4或r≥n/2等情形的最大值，并发现该问题等价于整数序列r项零和子序列最大数量问题，是Erdős-Ginzburg-Ziv定理的变体。
2025-09-24 math.CO math.NT
Inverse Zero-Sum Problems III: Addendum
有限阿贝尔群$G$的达文波特常数是最小长度$\ell$，使得来自$G$的任何$\ell$项序列必须包含非平凡零和序列。对于群$G=(\mathbb Z/n\mathbb Z)^2$，它的值是$2n-1$，这是Olson的一个经典结果。相关的逆问题是描述那些没有非平凡零和子序列的最大长度$2n-2$的序列。一个简单的论点表明，这是等价于表征所有最小零和序列的最大长度$2n-1$，一个最小零和序列是一个不能有它的条款分为两个适当的，非平凡的零和序列。这是在一系列论文中完成的。然而，有一个失踪的情况下，在所需的文件之一，导致失踪的情况下，没有处理的部分证明。这两个缺陷在这里都得到了纠正。本手稿中包含的更正将被纳入一个更大的，即将到来的工作，包括整个特征，并提前张贴，以便更正的论点是提供给研究界之前，这个更大的项目完成。
2021-07-22 math.NT
On the inverse problem of the $k$-th Davenport constants for groups of rank $2$
本文研究秩为2的有限阿贝尔群的k次Davenport常数的逆问题，刻画长度为D_k(G)且不能划分为k+1个非平凡零和子序列的零和序列的结构。
2025-03-27 math.CO math.NT
Weighted Zero-Sum Problems Over $C_3^r$
令$C_n$是阶为$n$的循环群，并将$s_{A}(C_n^r)$设置为最小整数$\ell$，使得对于$A=\{-1,1\}$，$C_n^r$中长度至少为$\ell$的每个序列$\mathcal{S}$具有长度等于$\exp(C_n^r)$的$A$零和子序列。在本文中，除其他事项外，我们给估计$s_A(C_3^r)$，并证明$s_A(C_{3}^{3})=9$，$s_A(C_{3}^{4})=21$和$41\leq s_A(C_{3}^{5})\leq45$。
2011-12-31 math.CO math.NT
Square-weighted zero-sum constants
本文研究 $\mathbb Z_n$ 中以非零平方为权重的零和问题，确定了保证任意序列含平方加权零和子序列及连续子序列的最小长度常数。
2024-04-06 math.NT
Extremal sequences for the unit-weighted Gao constant of $\mathbb Z_n$
对于$A\subseteq \mathbb Z_n$，$A$加权Gao常数$E_A(n)$被定义为最小自然数$k$，使得$\mathbb Z_n$中的$k$元素的任何序列具有长度为$n$的子序列，其$A$加权和为零.在$\mathbb Z_n$中长度为$E_A(n)-1$的序列，如果没有任何长度为$n$的$A$ -加权零和子序列，则称为高常数的$A$ -极值序列。这种具有$n-1$ 0的序列被称为标准类型。当$A=U(n)$（单位在$\mathbb Z_n$），其中$n$是奇数，我们的特点，所有这样的序列，并表明它们是标准型。当$n$是甚至，我们给出的例子，这样的序列是不是标准类型。当$n=2^rp$，其中$p$是奇素数时，我们还刻画了Gao常数的$U(n)$ -极值序列.
2022-04-15 math.CO math.NT
Doubly-weighted zero-sum constants
Government General Degree College Gopiballavpur-II（戈皮巴拉普尔二世政府普通学院）；Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那传教士维韦卡南达教育与研究所）
研究\(\mathbb Z_n\)中序列的\((A,B)\)加权零和性质，通过证明长度为\(2n - 1\)的序列有长度为\(n\)的加权零和子序列，确定常数\(E_{A,B}\)，刻画\(E\)极值序列，并研究相关常数\(C_{A,B}\)和\(D_{A,B}\)。
2026-07-09 math.NT
Structure of sets with small product sets in torsion-free groups, cyclic groups of prime orders and abelian groups
Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比莱分校）
本文研究了无 torsion 自由群、素数阶循环群和交换群中具有小乘积集的集合结构，推导了广义乘积集的最优下界，并扩展了子序列和的相关结果。
2026-02-22 math.CO math.NT
A Note on Minimal zero-sum sequences over ${\mathbb Z}$
${\mathbb Z}$上的零和序列是${\mathbb Z}$中的项和为$0$的序列。如果它不包含一个真零和子序列，则称之为极小。考虑${\mathbb Z}$上具有正项$a_1,\ldots,a_h$和负项$b_1,\ldots,b_k$的极小零和序列.我们证明了$h\leq \lfloor σ^+/k\rfloor$和$k\leq \lfloor σ^+/h\rfloor$，其中$σ^+=\sum_{i=1}^h a_i=-\sum_{j=1}^k b_j$.这些界限是紧的，并改善了以前的结果。对于任意正整数$n$，我们还证明了集合$\{i\in {\mathbb Z}:\; -n\leq i\leq n\}$上所有极小零和序列的集合上的自然偏序结构。
2014-07-26 math.CO math.NT
Higher Degree Erdos-Ginzburg-Ziv Constants
我们将Erdens-Ginzburg-Ziv常数的概念推广到“更高的程度”，并得到各种上下界。这些界限有时是精确的，就像某些素数幂基数的有限交换环一样。我们还考虑了独立于W. D.~ Gao和第一作者将这两个参数联系起来，扩展到这个更高程度的设置。下面是两个简单的例子，它们抓住了这些高阶Erdens-Ginzburg-Ziv常数的本质。1)令$ν_p(m)$表示整数$m$的$p-$进赋值。假设我们有整数$t | {m \choose 2}$和$n=t+2^{ν_2(m)}$，那么每个长度为$|S| \geq n$的序列$S$在${\mathbb Z}_2$上包含一个长度为$t$的子序列$S'$，其中$\sum_{a_{i_1},\ldots, a_{i_m} \in S'} a_{i_1}\cdots a_{i_m} \equiv 0 \pmod{2}$，这是尖锐的。2)假设$k=3^α$为某个整数$α\geq 2$。则长度为$|S| \geq k+6$的${\mathbb Z}_3$上的每个序列$S$包含长度为$k$的子序列$S'$，其中$\sum_{a_h, a_i, a_j \in S'} a_ha_ia_j \equiv 0 \pmod{3}$。这些例子说明，如果一个有限交换环的元素序列足够长，某些对称表达式（对称多项式）必须在指定长度的子序列的元素上消失。Erdens-G…
2022-07-22 math.AC math.CO math.NT
On n-sum of an abelian group of order n
设$G$是一个阶为$n$的加法有限阿贝尔群，$S$是$G$中$n+k$元素的序列，其中$k\geq 1$ .假设$S$包含$t$不同的元素。令$\sum_n(S)$表示由$G$中的所有元素组成的集合，该集合可以表示为长度为$n$的子序列上的和。本文证明了$0\in \sum_n(S)$或$|\sum_n(S)|\geq k+t-1.$，这证实了Y.O. 2000年，哈米杜。
2013-08-11 math.NT
On the Partial Sum of Subword-Counting Sequences
本文研究了二进制展开中子词出现次数的部分和 $\sum_{n=0}^N(-1)^{s_w(n)}$ 的行为，并刻画了满足该部分和为 $O(N^{1-ε})$ 的几类词 $w$。
2024-11-14 math.CO math.NT
A Weighted Generalization of Two Theorems of Gao
设$G$是有限阿贝尔群，$A\subseteq \mathbb{Z}$是非空的.令$D_A(G)$表示最小整数，使得$G$上任何长度为$D_A(G)$的序列必须包含非平凡子序列$s_1... s_r$，使得对于某些$w_i\in A$，$\sum_{i=1}^{r}w_is_i=0$。令$E_A(G)$表示最小整数，使得在$G$上长度为$E_A(G)$的任何序列必须包含长度为$|G|$，$s_1... s_{|G|}$的子序列，使得对于某些$w_i\in A$，$\sum_{i=1}^{|G|}w_is_i=0$。本文证明了$$E_A(G)=|G|+D_A(G)-1,$$证实了Thangadurai的一个猜想和Adhikari等人的期望，其中$A=\{1\}$是Gao的一个较早的结果，我们的结果推广了Adhikari，Rath，Chen，David，Urroz，Xia，Yuan，Zeng和Thangadurai所做的部分工作.此外，在适当的多重性限制下，我们证明了不仅可以用这种方式表示零，而且可以表示整个非平凡子群，并且如果这个子群不是全群$G$，则我们获得了序列的结构信息，推广了Gao的另一个非加权结果。除了$n=|G|$的情形外，我们的完整定理对更一般的具有$n\geq |G|$的$n$ -和也是有效的。
2009-03-16 math.CO math.NT
The equality between the Erdős-Ginzburg-Ziv constant and the short product-one constant for finite nonabelian groups
该研究证实了有限非阿贝尔群的Erdős-Ginzburg-Ziv常数与短乘积一常数的等式成立，并确定了相关广义常数，针对具有最小素因子指数循环子群的有限非阿贝尔群。
2026-08-18 math.CO math.NT
Zero-sum problems with congruence conditions
对于有限阿贝尔群$G$和正整数$d$，令$\mathsf s_{d \mathbb N} (G)$表示最小整数$\ell \in \mathbb N_0$，使得$G$上长度为$|S| \ge \ell$的每个序列$S$具有长度为$|T| \equiv 0 \mod d$的非空零和子序列$T$。我们确定$\mathsf s_{d \mathbb N} (G)$为所有$d\geq 1$时，$G$的排名最多为2，在温和的条件下，对$d$，也获得精确的值的情况下，$p$ -组。在同样的精神，我们获得新的上限Erd{ \H o}s-金斯堡-Ziv常数提供，为$p$ -子群$G_p$的$G$，达文波特常数$\mathsf D (G_p)$是有界以上的$2 \exp (G_p)-1$。这推广了秩为二的群的先前结果。
2010-07-01 math.CO math.NT
Some Results on Zero Sum Sequences in $Z_p^3$
Kemnitz猜想[9]指出，如果我们取一个长度为$4p-3$的$Z_{p}^{2}$中的元素序列，$p$是素数，那么它有一个长度为$p$的子序列，其和是$0$模$p$。众所周知，在$Z_{p}^{3}$中，为了得到类似的结果，我们必须取长度至少为$9p-8$的序列。在本文中，我们将表明，如果我们添加一个条件上的选择序列，那么我们可以得到一个很好的上限和一个下界，类似的结果保持。
2014-09-09 math.NT
Weighted Sequences in Finite Cyclic Groups
设$p>7$是素数，设$G=\Z/p\Z$，设$S_1=\prod_{i=1}^p g_i$和$S_2=\prod_{i=1}^p h_i$是两个序列，其项来自$G$。假设来自$S_1$或$S_2$的项的最大重数至多为$\frac{2p+1}{5}$。然后，我们表明，对于每个$g\in G$，存在一个置换$σ$的$1,2,..., p$，使$g=\sum_{i=1}^{p}(g_i\cdot h_{σ(i)})$。这个问题与A. Bialostocki关于加权子序列和和Erdens-Ginzburg-Ziv定理。
2007-10-19 math.CO math.NT
On the discrepancy of random subsequences of $\{nα\}$ II
设$α$为无理数，$X_1, X_2, \ldots$为独立同分布的整数随机变量，将$S_k=\sum_{j=1}^k X_j$。假设$X_1$具有有限方差或重尾$P (|X_1|>t)\sim ct^{-β}$，$0<β<2$，在本文的第一部分中，我们证明了，直到对数因子，序列$\{S_k α\}$的第一个$N$项的差异$D_N (S_k α)$的数量级是$O(N^{-τ})$，其中$τ= \min (1/(βγ), 1/2)$（在有限方差的情况下具有$β=2$）和$γ$是$α$的强丢番图型。这表明$βγ=2$的差异行为发生了变化。本文确定了$βγ<1$的$D_N (S_k α)$的精确数量级，并确定了$N^{-1/2} D_N (S_k α)$的极限分布.我们还证明了这些结果的功能版本描述的序列$\{S_k α\}$的广泛的一类泛函的渐近行为。最后，我们扩展我们的结果的差异$\{S_k\}$一般随机游动$S_k$没有算术条件$X_1$，假设只有一个温和的多项式率的弱收敛的$\{S_k\}$的均匀分布。
2020-10-14 math.NT math.PR
Inverse zero-sum problems II
设$G$是可加有限阿贝尔群. $G$上的序列称为极小零和序列，如果它的各项之和为零，并且没有真子序列具有这个性质。$G$的Davenport常数是$G$上最小零和序列长度的最大值。它的价值是众所周知的群秩二。研究了秩为2的群的最大长度的极小零和序列的结构。假设一个很好的支持这个问题的猜想的形式$C_m \oplus C_m$组，我们确定这些序列的结构组的秩2。结合我们的结果和部分结果，这个猜想，产生无条件的结果，某些群体的秩二。
2010-01-14 math.NT
On unit-weighted zero-sum constants of $\mathbb Z_n$
本文研究了 $\mathbb Z_n$ 的单位加权零和常数 $C_{U(n)}(n)$，给出了确定任意 $n$ 下该常数值的新论证，刻画了 $n$ 为 2 的幂时的 $C$ 极值序列，并确定了特定集合 $A$ 下的 $C_A(n)$ 值。
2023-04-05 math.NT
A formula of counting divisors in integers rings: a generalization of the divisor function $d_0(n)$
Departamento de Matemáticas, UAM-I（墨西哥自治大学伊萨瓦尔分校数学系）
本文通过建立整数环中理想结构与加性组合学理论之间的联系，证明了在具有循环类群的整数环中，每个非零理想均可分解为一个最大主因子和一个总长度受达文波特常数限制的理想乘积。通过这种分解，找到了理想I=(α, β)生成元的除数。本文的核心成果是利用有限阿贝尔群上的特征理论，推导出一个闭合公式，用于精确计数给定序列的零和子序列数目。该公式在建立主理想与零和序列之间的对应关系下，提供了对任意给定理想主理想除数的精确计数，从而计数理想I=(α, β)生成元的公共除数。这一结果构成了从唯一分解环到具有有限类群的任何迪克因环的除数函数d₀(n)的自然推广。最后，本文基于这些零和子序列的计数，对O_K中的不可约元进行了特征化。
2026-05-18 math.NT
