What is the maximum number of $r$-term sums admitting rational values in $n$-element sets of irrational numbers? We determine the maximum when $r<4$ or $r\geq n/2$ and also in case when we drop the condition on the number of summands. It turns out that the $r$-term sum problem is equivalent to determine the maximum number of $r$-term zero-sum subsequences in $n$-element sequences of integers, which can be seen as a variant of the famous Erdős-Ginzburg-Ziv theorem.
Intermediate Sums on Polyhedra II: Bidegree and Poisson Formula
本文继续研究了A。Barvinok [Computing the Ehrhart quasi-polynomial of a rational simplex，Math.Comp.75（2006），1449-1466]。通过众所周知的分解，考虑仿射锥s+c的情况就足够了，其中s是任意实顶点，c是有理多面体锥。对于给定的有理子空间L，我们对给定的多项式函数h在仿射锥s + c的所有平行于子空间L的格片上积分，并求和积分。我们研究了这些中间和的中间生成函数$S^L(s+c)(ξ)$，并揭示了二度结构的参数s和$ξ$，这是隐含地使用在算法中，我们的文件[计算的最高系数加权Ehrhart拟多项式的有理多面体，发现。12（2012），435-469]和[Intermediate sums on polyhedra：Computation and real Ehrhart theory，Mathematika 59（2013），1-22]。二度结构是关键的一个新的证明Baldoni-Berline-Vergne逼近定理离散生成函数[局部欧拉-麦克劳林展开的Barvinok估值和Ehrhart系数的合理多面体，Contemp。452（2008），15-33]，使用关于参数s和连续性论证的傅里叶分析。我们的研究还支持即将发表的论文，其中我们研究了多参数多面体族的中间和。
Intermediate Sums on Polyhedra: Computation and Real Ehrhart Theory
本文研究了A. Barvinok [Computing the Ehrhart quasi-polynomial of a rational simplex，Math.Comp.75（2006），1449- 1466].对于给定的半有理多胞形P和有理子空间L，我们对给定的多项式函数h在平行于子空间L的多胞形P的所有格片上积分，并求和。我们首先发展了一个算法理论的参数中间生成函数。然后，我们研究了这些中间和的Ehrhart理论，即，结果的依赖性作为一个函数的膨胀的多面体。我们提供了一个算法来计算所得到的Ehrhart拟多项式的形式显式的步骤多项式。这些公式对于实膨胀（而不仅仅是整数膨胀）自然有效，因此提供了一个直接的方法来研究实埃赫哈特理论。
