On some lower bounds on the number of bicliques needed to cover a bipartite graph
二部图G的二部覆盖数是指其并包含G的每条边的完全二部子图（二部图）的最小数目。在这篇小笔记中，我们比较了双团覆盖数的三个下界：Jukna和Kulikov提出的界jk（G）（Discrete Math.2009）;著名的愚弄集界fool（G）;“张量幂”愚弄集界fool^ \infty（G）。我们证明了jk \le fool le fool^ \infty \le min_Q（rk Q）^2，其中最小值是在具有某个零/非零模式的所有矩阵上取的。只有第一个不等式才是真正新颖的，第三个不等式推广了Dietzfelbinger，Hromkovietz，Schnitger（1994）的一个结果。我们还给出了傻瓜\ge（rk）^{log_4 6}改进Dietzfelbinger等人的例子。
2011-09-06 math.CO
Almost balanced ordered biclique covering of graphs
National Institute of Technology Calicut（卡利卡特国家技术学院）
研究完全图K_n的最小双团覆盖大小f(n,k)，要求每条边被覆盖1到k次且有序计数平衡，对一般k给出了几乎紧的界。
2026-06-11 cs.DM math.CO
Excluding a clique or a biclique in graphs of bounded induced matching treewidth
本文研究有界诱导匹配树宽图类的组合性质，证明排除固定双团可推出有界树独立数，排除固定团可推出有界色数，从而证实 Lima 等人提出的两个猜想。
2024-10-22 math.CO
The chromatic numbers of double coverings of a graph
如果我们固定图$G$的一个生成子图$H$，我们可以定义$H$关于$G$的一个色数，并且我们证明了它与$G$的一个具有共同支撑$H$的双重覆盖的色数是一致的.我们还找到了$H$关于$G$的色数的一些估计。
2007-09-14 math.CO
Maximal Clique and Edge-Ranking Bounds of Biclique Cover Number
图$G$的双团覆盖数$(\text{bc})$表示覆盖图的所有边的完全二部（双团）子图的最小数目。本文证明了对于任意图$G$，有$\text{bc}(G) \geq \lceil \log_2(\text{mc}(G^c)) \rceil \geq \lceil \log_2(χ(G)) \rceil$，其中$χ(G)$是$G$的色数，$\text{mc}(G^c)$是补图$G^c$的最大团数，即，$G$的最大独立集的个数。我们还表明，$\lceil \log_2(\text{mc}(G^c)) \rceil$可能是一个严格的biclique覆盖数比其他现有的下界更严格的下界。我们还可以提供$\text{bc}(G)$相对于$G$的双团分区数（$\text{bp}$）的界限：如果$G$是共弦的，则为$\text{bc}(G) \geq \lceil \log_2(\text{bp}(G) + 1) \rceil$或$\text{bp}(G) \leq 2^{\text{bc}(G)} - 1$。此外，我们证明了$\text{bc}(G) \leq χ_r'(T_{{K}^c})$，其中$G$是一个共弦图，使得每个顶点是在最多两个最大独立集和$χ_r'({T}_{{K}^c})$是最佳边排名数的$G^c$的团树。
2023-03-09 cs.DM math.CO
Secure Frameproof Code Through Biclique Cover
对于长度为$v$的二进制码$Γ$，如果对于所有$i=1,...,v$，我们有$w_i\in \{w_i^1, ..., w_i^r\}$，则$v$字$w$由码字$\{w^1,...,w^r\} \subseteq Γ$的集合产生。如果$|Γ|=t$和对于任何$v$-由大小至多为$r$的两个集合$C_1$和$C_2$产生的字，则这些集合的交集非空，则我们将代码称为$r$-大小为$t$的安全防帧。一个图$G$的$d$ -biclique cover（英语：$d$ -biclique cover）是$G$的$v$ -完全二部子图的集合，使得$G$的每条边至少属于这些完全二部子图中的$d$。本文证明了对于$t\geq 2r$，存在大小为$t$，长度为$v$的$r$ -安全防帧码当且仅当Kneser图${\rm KG}(t,r)$存在大小为$v$的1-biclique覆盖，该图的顶点都是$t$ -元集的$r$ -子集，且两个$r$ -子集相邻且它们的交集为空.然后我们研究了Kneser图的$d$ -biclique覆盖的最小尺寸与无覆盖族之间的关系，其中$(r,w; d)$无覆盖族是有限集的子集族，使得该族的任何$r$成员的交集至少包含不属于任何其他$w$成员的并集的$d$元素.同时，我们给出了Kneser图的1-偶团覆盖数的一个上界。
2012-02-09 math.CO
Improved Bounds for Multicovering Hypergraphs
NIT Calicut（印度国家技术学院加利卡特分校）；IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）
针对图与超图的边覆盖问题，通过改进多重覆盖的界，并推广Katona-Szemerédi定理到r-一致超图，得到了更优的覆盖数下界。
2026-05-22 math.CO
On Chromatic Asymptotic Approximate Groups
本文研究了近群的色渐近理论，结合Nathanson的色和集方法与近群理论中的渐近覆盖思想，提出了一种同时描述多个颜色类加法增长的框架，并在有限元组和线性集情况下建立了色覆盖定理，得出了更精确的二项界和整数设定下的渐近近群家族结构。
2026-04-20 math.CO
Grundy Coloring & friends, Half-Graphs, Bicliques
首次拟合着色是一种启发式方法，它为每个顶点分配最小的可用颜色，以指定的顺序$σ$到达。Grundy Coloring问题询问对于最敌对的顶点排序$σ$需要多少颜色，即，在所有可能的顶点排序中，第一拟合着色所需的最大颜色数。自1939年Grundy成立以来，Grundy着色一直在研究其结构和算法方面。一般图的Grundy着色的一个强力$f(k)n^{2^{k-1}}$时间算法并不难得到，其中$k$是最具对抗性的顶点排序所需的颜色数。有人问过几次是否可以避免或减少$n$的指数中对$k$的依赖性，直到现在，它的答案似乎难以捉摸。在指数时间假设下，证明了Grundy染色是W[1]-困难的，而蛮力算法是本质最优的，从而从反面解决了这个问题。在我们的W[1]-硬度证明中的关键成分是使用所谓的半图作为构建块来将颜色从一个顶点传递到另一个顶点。利用半图，我们还证明了b-色核是W[1]-硬的，其参数化复杂性是Panolan等人提出的一个开放问题。一个自然的后续问题是，在没有（大的）半图的情况下，参数化的复杂性如何变化。我们建立了固定参数的易处理$K_{t,t}$ -自由图的b-色核和部分Grundy染色，使一个步骤来回答这个问题。易处理性结果背后的关键组合引理可能是独立的利益。
2020-01-11 cs.CC cs.DM cs.DS
Compact Representation of Semilinear and Terrain-like Graphs
研究图的二团覆盖紧凑表示，证明半线性图具有近线性大小二团覆盖，类地形图具有 $O(n\log^3 n)$ 二团划分，并给出单位圆盘图下界。
2025-06-30 cs.CG cs.DM math.CO
Cubical coloring -- fractional covering by cuts and semidefinite programming
我们引入了一个新的图不变量，衡量分数覆盖图的削减。除了它本身是有趣的之外，它对于同态和张力-连续映射的研究也是有用的。研究了它与图的色数、二部密度等图的参数之间的关系。我们发现我们的参数的值为一个家庭的图形的基础上超立方体。这些图对我们的参数所起的作用，就像圆团对圆色数所起的作用一样。定义的参数在这些图上达到“正确”值的事实表明，定义是自然的。在证明中，我们使用的特征值界的最大削减和最近的结果Engström，Färnqvist，琼森和Thapper。我们还提供了一种基于半定规划，特别是基于向量色数（由Karger，Motwani和Sudan定义[Approximate graph coloring by semifinite programming，J. ACM 45（1998），no.2，246- 265]）的多项式时间近似算法。
2015-11-23 math.CO
Some New Bounds For Cover-Free Families Through Biclique Cover
$(r,w;d)$无覆盖族$(CFF)$是有限集合的子集族，使得该族的任何$r$成员的交集至少包含不在任何其他$w$成员的并集中的$d$元素。对于其存在具有$t$块的$(r,w;d)-CFF$的元素的最小数目由$N((r,w;d),t)$表示。本文证明了$N((r,w;d),t)$的值等于二部图$I_t(r,w)$的$d$ -二部覆盖数，该图的顶点都是$t$ -元素集的$w$ -和$r$ -子集，其中如果$w$ -子集与$r$ -子集的交为空，则它们相邻.接下来，我们介绍了$N((r,w;d),t)$的一些新的界限。例如，我们表明，$r\geq w$和$r\geq 2$ $$ N((r,w;1),t) \geq c{{r+w\choose w+1}+{r+w-1 \choose w+1}+ 3 {r+w-4 \choose w-2} \over \log r} \log (t-w+1),$$，其中$c$是一个常数满足众所周知的界$N((r,1;1),t)\geq c\frac{r^2}{\log r}\log t$。此外，我们确定的确切值的$N((r,w;d),t)$的某些值的$d$。最后，我们证明了只要存在一个4d阶Hadamard矩阵，就有$N((1,1;d),4d-1)=4d-1$。
2011-08-06 cs.DM math.CO
The chromatic number of random lifts of complete graphs
图$G$的一个$n$ -提升是一个图，从该图有一个到$G$的$n$ -到- $1$覆盖映射. Amit，Linial，and Matou \v sek（2002）提出了一个问题，即$K_5$的随机$n$ -提升的色数是否集中在一个值上.我们考虑这个问题的$G=K_{d+1}$，并表明，对于固定的$d\ge 3$的随机提升$K_d$的色数是（渐近几乎肯定）$k$或$k+1$，其中$k$是满足$d < 2k \log k$的最小整数。此外，我们表明，大约一半的$d$值，色数集中在$k$。对色数上界的论证使用了小子图条件化方法，并且可以推广到$G$的随机$n$ -提升，对于任何固定的$d$ -正则图$G$。
2021-09-27 math.CO
Operations on Covering Numbers of Certain Graph Classes
图与其补图的色数和与积的界称为Nordhaus-Gaddum不等式。本文研究了有补图的独立数运算。我们还提供了一个新的某些图形类的特征。
2015-06-10 math.CO
Tales of Hoffman
图的色数的Hofmman界是$χ\geq 1 - \frac {λ_1} {λ_n}$ .在这里，我们表明，相同的界限，或略有修改，它，持有几个图形参数相关的色数：向量着色数，$ψ$覆盖数和$λ$ -聚类数。
2004-07-29 math.CO
Weak-odd chromatic index of special digraph classes
设$\partial^+_D(v)=\{vw|w\in N^+_D(v)\}$和$\partial^-_D(v)=\{uv|u\in N^-_D(v)\}$是$v$的半割，给出一个有向图$D=(V(D),A(D))$.一个映射$φ:A(D)\rightarrow [k]$称为$D$的弱奇$k$ -边染色，如果它满足以下条件：对于每个$v\in V(D)$，至少有一个颜色在$v$的每个非空半割上出现的次数为奇数。我们称最小整数$k$为$D$的弱奇色指数。当限制为2种颜色时，使用$def(D)$表示$D$的缺陷，即不满足上述条件的$D$中的最小顶点数。本文给出了半完全有向图和扩张竞赛图的弱奇色指数和亏度的一个描述性刻画，将竞赛图的结果推广到更广的类。并且开创了有向图上弱奇边覆盖的研究。
2022-02-17 math.CO
The geometry and combinatorics of discrete line segment hypergraphs
$r$ -段超图$H$是边由$\mathbb{R}^2$中线段上的$r$连续整数点组成的超图.本文给出了这类超图的色数$χ(H)$和覆盖数$τ(H)$的界，揭示了这一过程中几个有趣的几何性质.我们猜想对于$r \ge 3$，覆盖数$τ(H)$至多为$(r - 1)ν(H)$，其中$ν(H)$表示$H$的匹配数.我们证明了我们的猜想的情况下，$ν(H) = 1$，并提供改进的（事实上，最佳的）界限$τ(H)$为$r \le 5$。我们还提供了色数$χ(H)$在$r$方面的精确界，并用它们证明了我们猜想的两个分数版本。
2018-07-12 math.CO
Properties, Proved and Conjectured, of Keller, Mycielski, and Queen Graphs
我们证明了关于三个图族的几个结果。对于皇后图，定义从国际象棋皇后通常的举动，我们发现边色数在几乎所有的情况下。在未经证明的情况下，我们有一个猜想支持了大量的计算，其中涉及到一个新的边着色算法的发展。猜想是边色数是最大度，除非简单的算术迫使边色数比最大度大大于1。对于Mycielski图，我们通过证明它们是Hamilton连通的（除了M（3），它是一个圈），加强了一个旧的结果：图是Hamilton的.对于Keller图G（d），在所有情况下，我们建立了G（d）的色数、边色数和独立数的精确值，并得到了除5 <= d <= 7以外的所有情况下的团覆盖数.我们还研究了Keller图的Hamilton分解，得到了G（6）上的Hamilton分解.
2016-06-25 math.CO
Degeneracy of $P_t$-free and $C_{\geq t}$-free graphs with no large complete bipartite subgraphs
图的遗传类$\mathcal{G}$称为\emph{$χ$-bounded}，如果存在函数$f$使得每个图$G \in \mathcal{G}$满足$χ(G) \leq f(ω(G))$，其中$χ(G)$和$ω(G)$分别是$G$的色数和团数.作为关于$χ$ -有界类的第一个结果之一，Gyárfás在1985年证明了，如果$G$是$P_t$ -free的，即，不包含$t$ -顶点路径作为导出子图，则$χ(G) \leq (t-1)^{ω(G)-1}$。2017年，Chudnovsky，Scott和Seymour证明了无$C_{\geq t}$图，即，图，排除诱导圈至少$t$顶点，是$χ$有界的，以及，并得到的界再次超多项式的团数。注意，无$P_{t-1}$的图特别是无$C_{\geq t}$的.它仍然是一个主要的开放问题，在该地区是否为$C_{\geq t}$ -自由，或至少$P_t$ -自由图$G$，$χ(G)$的值可以有界从上由一个多项式函数的$ω(G)$。我们考虑这个问题的一个放松，在那里我们比较色数的大小最大的平衡biclique包含在图中作为一个（不一定诱导）子图。我们证明了对每个$t$都存在一个常数$c$，使得对和每个不含$K_{\ell,\ell}$作为子图的$C_{\geq t}$ -free图都成立：$χ(G) \leq \ell^{c}$ .
2021-10-15 math.CO
Coloring dense digraphs
有向图$D$的色数是覆盖$D$顶点集的最小无圈子图的个数。一个竞赛图$H$是一个英雄，如果每个无$H$的竞赛图$T$都有一个由$H$的函数限定的色数。受著名的埃尔德什-哈伊纳尔猜想的启发，伯杰等人在2013年对英雄阶级进行了充分的描述。我们把这个框架推广到稠密有向图：一个有向图$H$是一个超级英雄，如果每一个无$H$的有向图$D$的色数都被$H$和$α(D)$（$D$的底层图的独立数）的函数所限制.我们在这里证明了一个有向图是一个超级英雄当且仅当它是一个英雄，从而刻画所有的超级英雄。这回答了Aboulker、Charbit和Naserasr的一个问题。
2019-10-23 math.CO
A note on the orientation covering number
给定一个图$G$，它的方向覆盖数$σ(G)$是最小的非负整数$k$，具有这样的性质，即我们可以选择$G$的$k$方向，使得每当$x, y, z$是具有$xy,xz\in E(G)$的$G$的顶点时，则存在一个选择的方向，其中$xy$和$xz$都远离$x$。Esperet，Gimbel和King证明了$σ(G)\leq σ\left(K_{χ(G)}\right)$，其中$χ(G)$是$G$的色数，并问我们是否总是有平等。本文证明了$σ(G)=σ(K_{χ(G)})$确实总是这种情况。我们还明确地为$n$的“大多数”值确定了$σ(K_n)$的精确值。
2020-10-09 math.CO
Spectral bounds for distance coloring and packing parameters of graphs via semidefinite programming
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学）
利用谱图论和半定规划方法，获得了与距离染色和打包相关的几个图参数的尖锐谱界，包括内射色数、开打包数、内射色指数和强色指数，并应用于超立方体的码覆盖数和开打包数，得到新的精确值和加强界。
2026-06-03 math.CO
Edge Kempe equivalence of regular graph covers
设$G$是一个具有适当边染色的有限$d$ -正则图.边Kempe开关是$G$的一种新的正常边染色，它是通过沿双色圈切换两种颜色而得到的。我们证明了任何其他的边着色可以通过执行大量的边Kempe开关，只要$G$被替换为一个合适的有限覆盖图。所需的覆盖度由仅取决于$d$的常数限定。
2019-09-26 math.CO
Proper divisor graph of a positive integer
正整数$n$的真因子图$Υ_n$是一个简单图，其顶点是$n$的真因子，且其中两个不同的顶点$u, v$相邻当且仅当$n$整除$uv$ .图$Υ_n$在环$\mathbb{Z}_n$的零因子图的研究中起着重要的作用。本文研究了$Υ_n$的一些图论性质，确定了$Υ_n$的团数、色数、色指数、独立数、匹配数、控制数、点覆盖数和边覆盖数等图参数.我们还确定了$Υ_n$的自同构群。
2020-05-09 math.CO
Coloring, list coloring, and fractional coloring in intersections of matroids
研究k个拟阵交集超图的着色参数差距，证明列表色数不超过色数的k倍及最大色数的2k-1倍，并借助拓扑工具建立多面体与分数色数、匹配及覆盖数的联系。
2025-04-23 math.AT math.CO
Vertex covering with monochromatic pieces of few colours
在1995年，Erdés和Gyárfás证明了在$K_n$的边的每个$2$ -着色中，都有一个顶点被相同颜色的$2\sqrt{n}$单色路径覆盖，这是最优的，直到一个常数因子。本文的主要目的是研究自然多色推广这个问题：给定两个正整数$r,s$，什么是最小的数$\text{pc}_{r,s}(K_n)$，使在每一个着色的边缘$K_n$与$r$颜色，存在一个顶点覆盖$K_n$的$\text{pc}_{r,s}(K_n)$单色路径使用共最多$s$不同的颜色？对于固定整数$r>s$和$n\to\infty$，我们证明了$\text{pc}_{r,s}(K_n) = Θ(n^{1/χ})$，其中$χ=\max{\{1,2+2s-r\}}$是Kneser群$\text{KG}(r,r-s)$的色数.更一般地说，如果我们用一个具有固定独立数$α$的任意$n$ -顶点图来替换$K_n$，那么我们就有$\text{pc}_{r,s}(G) = O(n^{1/χ})$，其中在$χ$周围的时间是Kneser超图$\text{KG}^{(α+1)}(r,r-s)$的色数。这个结果是紧的，因为存在独立数为$α$的图，其中$\text{pc}_{r,s}(G) = Ω(n^{1/χ})$。这与$r=s$的情况形成鲜明对比，其中从Sárközy（2012）的结果得出，$\text{pc}_{r,r}(G)$仅取…
2018-08-12 math.CO
On asymptotic packing of convex geometric and ordered graphs
本文研究凸几何图与有序图的渐近填充问题，证明循环色数至多4的凸几何图及区间色数至多3的有序图均可填充，并说明该界最优。
2022-07-24 math.CO
Covering Families for DP-Coloring of Cartesian Products with Complete Bipartite Graphs
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）；Lake Forest College（湖森林学院）
本文引入覆盖族概念，证明其最小大小与DP-染色中完全二部图笛卡尔积的临界参数相等，从而证明μ(4)=12并改进上下界。
2026-09-29 math.CO
$(Δ-1)$-dicolouring of digraphs
本文将Borodin-Kostochka关于图着色的猜想推广至有向图，证明了在最大度足够大时二色数的新上界，并提出了有向图的稠密分解引理。
2025-07-14 cs.DM math.CO
Neighborhood complexes and Kronecker double coverings
邻域复形$N(G)$是一个赋给图$G$的单纯复形，它的连通性给出了图$G$的色数的下界.证明了如果图的Kronecker双覆盖同构，则它们的邻域复形同构。作为应用，对于大于2的整数$m$和$n$，我们构造连通图$G$和$H$，使得$N(G) \cong N(H)$但$χ(G) = m$和$χ(H) = n$。我们还构造了一个图$KG_{n,k}'$，使得$KG_{n,k}'$与Kneser图$KG_{n,k}$不同构，但它们的Kronecker双覆盖同构.
2020-08-21 math.AT math.CO
Boundedness and Separation Between Induced and Non-Induced Covering Numbers
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文研究诱导与非诱导覆盖数之间的有界性，针对不同性质的图类，在240种组合中为219种确定了绑定函数的存在性，并证明遗传客类在三个覆盖数上总有绑定函数。
2026-09-10 math.CO
Hypergraph Universality and Erdos-Posa Failure for Chromatically Rich Odd Cycles
University of Manchester（曼彻斯特大学）
本文证明对任意k≥3，任意有限丛可由k-坏奇圈的极小终端迹实现，保持打包-覆盖数，导致有限拥塞和分数Erdős-Pósa性质失效，与k=2情形形成对比。
2026-09-23 math.CO
An asymptotic multipartite Kühn-Osthus theorem
本文证明了Kühn和Osthus的一个著名定理的一个渐近多部版本，对任何具有色数$r$的图$H$，建立了一个渐近多部最小度阈值，该阈值确保一个大的$r$ -部图$G$允许一个完美的$H$ -平铺.我们还给出了阈值的$H$ -平铺覆盖所有，但线性数量的顶点的$G$，在一个多部模拟的结果Komlós和Shokoufandeh和赵。
2017-07-13 math.CO
Dirac-type results for tilings and coverings in ordered graphs
Balogh，Li和Treglown最近的一篇论文开始了有序图的Dirac-type问题的研究。在本文中，我们证明了在这方面的一些结果。特别地，我们渐近地确定了（i）对于任何区间色数至少为$3$的固定有序图$H$，在有序图中强制完美$H$ -平铺的最小度阈值;（ii）对于覆盖$G$的固定比例的顶点的有序图$G$，在有序图中强制$H$ -平铺的最小度阈值（对于任何固定有序图$H$）;（iii）有序图中的$H$ -覆盖（对于任何固定有序图$H$）.前两个这些结果解决问题的Balogh，李和Treglown，而（三）解决了一个问题的Falgas，Ravry。请注意，（i）与Balogh，Li和Treglown的结果相结合，完全确定了用于强制完美$H$平铺的渐近最小度阈值。此外，我们证明了一个结果，结合Balogh，李和Treglown定理，渐近确定的最小度阈值，迫使几乎完美的$H$ -平铺在有序图（任何固定的有序图$H$）。因此，我们的工作提供了Kühn和Osthus [Combinatorica 2009]和Komlós [Combinatorica 2000]的开创性平铺定理的有序图类似物。我们的每一个结果都表现出一些奇怪的，也许是意想不到的行为。我们对（i）的解决方案使用了一个新颖的吸引人的论点。
2022-10-17 math.CO
About maximal number of edges in hypergraph-clique with chromatic number 3
设$ H = (V,E) $是一个超图。超图$ H = (V,E) $的色数是指在$ V $中画出所有顶点所需的最小颜色数$χ(H)$，使得任意边$ e \in E $至少包含两个不同颜色的顶点.最后，如果一个超图的边是两两相交的，则称它构成一个团。1973年Erdés和Lovász注意到如果一个$n$ -一致超图$ H = (V,E) $形成一个团，那么$ χ(H) \in \{2,3\} $。他们生产了下列数量。$$ M(n) = \max \{|E|: \exists {\rm an} n-{\rm uniform} {\rm clique} H = (V,E) {\rm with} χ(H) = 3\}. $$显然，这样的定义在$ χ(H) = 2 $的情况下没有意义。定理1（P. Erdos，L. Lovasz}不平等持有$$ n!(e-1) \le M(n) \le n^n. $$在过去的35年里，几乎没有什么比这更好的了。同时，Lovasz引入了另一个量$ r(n) $，r（n）= \max \{ |E|：~ \exists { \rm an} ~ n-{ \rm uniform} ~ { \rm clique} ~ H =（V，E）~ { \rm s. t.} ~ τ（H）= n\}，$$ where $ τ(H) $ is the {\it covering nu…
2011-07-10 math.CO
Boundedness and Separation in the Graph Covering Number Framework
本文研究图覆盖数框架中四个覆盖数之间的有界性与分离性，针对不同图类组合，给出绑定函数或证明其不存在。
2025-04-24 cs.DM math.CO
Coloring Geometric Hypergraphs: A Survey
本文综述了几何超图的着色问题，探讨了色数与覆盖问题的关系，以及当m足够大时色数是否为2的结论。
2025-12-10 cs.CG math.CO
Distinguishing colorings, proper colorings, and covering properties without the Axiom of Choice
本文在无选择公理的ZF集合论中证明若干关于无限局部有限连通图的色数、边色数、区分数与区分指数的命题等价于Kőnig引理，并给出与AC或Kőnig引理等价的覆盖与支配集存在性新条件。
2024-05-26 math.CO math.LO
Strong Colouring of the Qualitative Independence Hypergraph $3\text{-}QI(11,2)$
BITS Pilani K K Birla Goa Campus（比拉理工学院 BITS 皮拉尼 GOA 校区）
研究定性独立超图$3\text{-}QI(11,2)$的强着色，通过将顶点视为特定子集并评估相交集系统确定强独立数，利用相关界确定覆盖阵列数为11并给出超图满足此条件的充分条件。
2026-07-22 math.CO
On the Binary and Boolean Rank of Regular Matrices
如果一个$0,1$矩阵的所有行和列都有相同数目的1，则称该矩阵是正则矩阵。证明了对于无穷多个整数$k$，存在一个二进制秩的正则平方$0,1$矩阵$k$，使得其补矩阵的布尔秩为$k^{\widetildeΩ(\log k)}$.等价地，矩阵中的1可以被划分成$k$组合矩形，而覆盖其0所需的矩形的数量是$k^{\widetildeΩ(\log k)}$。这以强有力的形式解决了Pullman（线性代数应用，1988）和Hefner，Henson，Lundgren和Maybee（Congr.Numer.，1990年）。这个结果可以被看作是Balodis、Ben-David、Göös、Jain和Kothari（FOCS，2021）最近的一个结果的常规模拟，其动机是通信复杂性中的团与独立集问题以及图论中的（被否定的）Alon-Saks-Seymour猜想。作为所产生的正则矩阵的一个应用，我们得到了Alon-Saks-Seymour猜想的正则反例，并证明了对于无穷多个整数$k$，存在一个正则图，其双圈划分数为$k$，色数为$k^{\widetildeΩ(\log k)}$.
2023-02-02 cs.CC cs.DM math.CO
On the Computational Complexity of Local and Global Covering Numbers
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究了局部和全局覆盖数的计算复杂性，证明了在特定图类下确定局部覆盖数的NP难性，并给出了一个计算全局覆盖数的高效图类示例。
2026-07-22 math.CO
Fractional hypergraph isomorphism and fractional invariants
分数图同构是图同构的整数规划公式的线性松弛。它保持了图的一些不变量，如度序列和公平划分，但不保持其它不变量，如连通度、团数和独立数、色数、顶点和边覆盖数、匹配数、控制数和全控制数。在这项工作中，我们将分数图同构的概念扩展到超图，并给出了另一种表征，类似于那些已知的图之一。利用这个新概念，我们证明了超图的分数填充数、覆盖数、匹配数和截数在分数超图同构下是不变的。因此，分数匹配、顶点和边覆盖、独立性、控制数和全控制数在分数图同构下是不变的。这不是分数色数、团数和团覆盖数的情况。这样，大多数经典的分数参数分类关于他们的分数图同构下的不变性。
2020-08-19 cs.DM math.CO
Hadwiger--Nelson Problem for Typical Norms
Princeton University（普林斯顿大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；University of Vienna（维也纳大学）；Leipzig University（莱比锡大学）
本文研究典型范数的Hadwiger--Nelson问题，将单位距离图色数的上界从指数改进为线性（至多2d且紧），并借助高维矩阵推广的Lonely runner猜想解决了相关猜想。
2026-09-30 math.CO math.MG
Ramsey--Turán Factors of Non-directed Oriented Cycles in Oriented Graphs
School of Mathematics and Statistics, Ningxia University（宁夏大学数学与统计学院）
该研究针对有向图，证明满足最小半度阈值及独立数条件的足够大的有向图包含指定长度的反有向环因子，其最小半度阈值渐近紧，采用了Ramsey-Turán型格吸收引理完成证明。
2026-09-03 math.CO
Exponential tails for factors and the chromatic number of random graphs
Institute for Basic Science（基础科学研究院）
本文研究随机图中团因子缺失的指数尾部概率，发展可迭代单根Johansson-Kahn-Vu方法，证明最大匹配数的中心极限定理，并解决Surya-Warnke猜想，得到稠密随机图色数的高斯极限。
2026-09-30 math.CO
Track number of line graphs
图$G$的轨道数$τ(G)$是其并集为$G$的区间图的最小数目。证明了无三角形图$G$的线图$L(G)$的迹数至少为$\lg \lg χ(G) + 1$，其中$χ(G)$是$G$的色数.使用这个下界和文献中的两个经典拉姆齐理论结果，我们回答了Milans，Stolee和West [J. Combinatorics，2015]（MSW15）提出的两个问题。首先证明了完全图$K_n$的线图的迹数$τ(L(K_n))$至少为$\lg\lg n - o(1)$。这是渐近紧的，并且它改进了MSW15中的$Ω(\lg\lg n/ \lg\lg\lg n)$的界。接下来我们证明了对于图族$\mathcal{G}$，$\{τ(L(G)):G \in \mathcal{G}\}$是有界的当且仅当$\{χ(G):G \in \mathcal{G}\}$是有界的.这证实了MSW15中的一个猜想。我们所有的下界适用，即使扩大覆盖家庭从家庭的区间图的家庭弦图。
2016-12-26 math.CO
A Note on the Sparing Number of Graphs
整数加性集合索引器被定义为内射函数$f:V(G)\rightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$，使得由$g_f (uv) = f(u)+ f(v)$定义的诱导函数$g_f:E(G) \rightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$也是内射的。如果所有$u,v\in V(G)$都满足$|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$，则称IASI $f$为弱IASI。允许弱IASI的图可以称为弱IASI图。图$G$的一个元素，一个顶点或一条边的集索引数是它的集标号的基数。图$G$的稀疏数是图$G$允许弱IASI所需的具有单例集标签的边的最小数目。本文研究了某些图的稀疏数以及稀疏数与匹配数、色数、覆盖数、独立数等参数的关系。
2014-08-23 math.CO
Generalized Borsuk Graphs
本文定义了紧致度量空间上的$G$-Borsuk图，证明其小$ε$下的色数由拓扑$G$-覆盖数决定，并利用Hom-复形与维数递归公式分别给出色数下界与上界，同时探究了随机诱导子图的色数阈值。
2021-10-13 math.AT math.CO math.MG
Ramsey numbers of multiple copies of a graph and the random Ramsey theorem
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（HUN-REN 阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本文研究了随机环境下Burr-Erdős-Spencer定理的扩展，通过证明一个随机版本的定理，推广了Rödl和Ruciński的随机Ramsey定理。
2026-07-07 math.CO
(Injective) hom-complexity between graphs
本文提出图的同态复杂度与内射同态复杂度两个新不变量，用于刻画同态存在性问题的复杂度，并建立其与色数、团数、团覆盖数、部性和二部维度等已知量的精确关系。
2025-07-04 math.CO
Trimmed Moebius Inversion and Graphs of Bounded Degree
我们研究如何加快耶茨的算法计算zeta和Moebius变换的子集格上定义的函数。我们开发了一个修剪变形的Moebius反演，逐点进行，在考虑其超集之前完成一个子集的计算。对于一个$n$ -元素论域$U$和它的子集族$\scr F$，修剪Moebius反演允许我们计算$U$的填充、覆盖和划分的数量，其中$k$集在时间上在$\scr F$的成员的超集数量的多项式因子（在$n$中）内来自$\scr F$。依赖于一个相交定理的钟等。（1986），以限制集族的大小，我们将这些想法充分研究的组合优化问题的最大程度的图$Δ$。特别是，我们展示了如何计算在$(2^{Δ+1-2)^{n/(Δ+1)$的多项式因子内的时间的Domatic数和在$(2^{Δ+1-Δ-1)^{n/(Δ+1)$的多项式因子内的时间的色数。对于任何常数$Δ$，这些界限对于$ε>0$是$O\bigl((2-ε)^n\bigr)$，与顶点数$n$无关。
2008-02-20 cs.DS math.CO
Drawing Graphs on Few Lines and Few Planes
我们研究了在二维和三维中绘制图形的问题，使得它们的边（或仅它们的顶点）可以被少数线或平面覆盖。我们坚持直线边缘和交叉自由图纸。这个问题与其他具有挑战性的图形绘制问题有许多联系，例如小面积或小体积的绘图，分层或跟踪绘图，以及绘制具有低视觉复杂度的图形。虽然我们的问题的一些事实是隐含在以前的工作，这是第一次处理的问题，在其充分的一般性。我们的贡献如下。我们显示的下限和上限的线和平面的数量需要覆盖图在某些图形类。在某些情况下，我们的边界是渐近紧的;在某些情况下，我们能够确定精确的值。我们将我们的参数标准的组合特性的图形（如色数，树宽，最大程度，或荫度）和参数，已研究在图形绘制（如轨道数或出现在绘图中的段数）。我们特别注意平面图。例如，我们表明，有平面图，可以画在3-空间上的线比在平面上少得多。
2016-09-01 cs.CG math.CO
Clique versus Independent Set
通信复杂性中的Yannakakis集团与独立集问题（CL-IS）要求图中分离集团和稳定集的最小割数，称为CS-分离器。Yannakakis提供了一个准多项式CS-分隔符，即大小为$O(n^{\log n})$，并解决了寻找多项式CS-分隔符的问题。这个问题即使对于完美图也是开放的。我们证明了随机图几乎必然存在多项式CS-分离器。此外，如果H是分裂图（即顶点划分为团和稳定集），则存在一个常数$c_H$，我们在H-自由图类上找到了一个$O(n^{c_H})$ CS-分离子.这推广了Yannakakis关于可比图的一个结果.我们还提供了一个$O(n^{c_k})$ CS-分离器的类图没有诱导路的长度为k及其补。观察到一方面，$c_H$是由Vapnik-Chervonenkis维数产生的$O(|H| \log |H|)$阶，另一方面，$c_k$是指数的。Yannakakis的CL-IS问题吸引人的主要原因之一是它承认等价的公式。我们在这方面的主要结果是证明了多项式CS-分离子等价于多项式Alon-Saks-Seymour猜想，断言如果一个图的边划分为k个完全二部图，那么它的色数是关于k的多项式有界的.我们还表明，经典的方法的顽固问题（出现在CSP），其中包括在覆盖的所有解决方案的$O(n^{\log n})$的2-SAT实例的集合再次相当于一个多项式CS-分离器的存在。
2014-06-27 cs.DM math.CO
