AI 中文总结
研究了局部和全局覆盖数的计算复杂性，证明了在特定图类下确定局部覆盖数的NP难性，并给出了一个计算全局覆盖数的高效图类示例。
AI 中文摘要
全局和局部 $\mathcal{G}$-覆盖数 $c_{\mathrm{g}}^{\mathcal{G}}(H)$ 和 $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{G}}(H)$ 编码如何用图类 $\mathcal{G}$ 中的图来覆盖图 $H$ 的边：在全局设置中，我们最小化需要的图的数量；在局部设置中，考虑图覆盖如何频繁地击中顶点。在本工作中，我们考虑图类 $\mathcal{B}$（所有二分图）和 $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$（所有完全二分图）。我们给出了 $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{B}}(H)$ 在 $H$ 的分数染色数方面的紧下界，从而给出了 Harary、Hsu 和 Miller 结果的局部类比。回答 Fishburn 和 Hammer 的问题，我们证明确定 $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{B}_{\mathrm{c}}}(H)$ 是 NP 难的。进一步，我们提供了一个有限且单调的图类 $\mathcal{G}$，使得对于每个图 $H$，$c_{\mathrm{g}}^{\mathcal{G}}(H)$ 可以在常数时间内计算，而确定 $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{G}}(H)$ 是 NP 难的。这为 Knauer 和 Ueckerdt 提出的问题提供了一个自然的例子。
英文摘要
The global and local $\mathcal{G}$-covering number $c_{\mathrm{g}}^{\mathcal{G}}(H)$ and $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{G}}(H)$ encode how well the edges of a graph $H$ can be covered with graphs from a graph class $\mathcal{G}$: in the global setting, we minimize the number of graphs from $\mathcal{G}$ required, in the local setting how often a vertex is hit by the graphs of the cover. Within this work we consider for $\mathcal{G}$ the graph classes $\mathcal{B}$ of all bipartite and $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ of all complete bipartite graphs. We give a tight lower bound on $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{B}}(H)$ in terms of the fractional chromatic number of $H$, thereby giving a local analogue of a result by Harary, Hsu and Miller. Answering a question by Fishburn and Hammer, we show that it is NP-hard to determine $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{B}_{\mathrm{c}}}(H)$. Further, we provide a finite and monotone graph class $\mathcal{G}$ such that $c_{\mathrm{g}}^{\mathcal{G}}(H)$ can be computed in constant time for every graph $H$ while determining $c_{\mathrm{l}}^{\mathcal{G}}(H)$ is NP-hard. This yields a natural example to a question raised by Knauer and Ueckerdt.
