网格的双方覆盖数
The biclique covering number of grids
摘要：
我们确定了所有格图的双方覆盖数的精确值。
英文摘要：
We determine the exact value of the biclique covering number for all grid graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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关于d-Biclique覆盖的一个注记
A Note on d-Biclique Covers
图G的d-双点覆盖是G的一组双点的集合，使得G的每条边至少在d个双点中。图G的最小d-双圈覆盖中的双圈数称为图G的d-双圈覆盖数，记为${bc}_d(G)$。本文给出了图的字典序积的d-双方覆盖数的一个上界。同时，我们还对某些图的构造给出了该参数的一些界，并得到了某些图的d-双圈覆盖数的精确值。
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关于完全图的有界双圈覆盖的一个注记
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双曲覆盖与色数
Biclique Coverings and the Chromatic Number
考虑一个图$G$，它的色数为$k$，图中有一组完全二分图或二分图，它们覆盖了图$G$的边。我们证明了以下两个结果：\medskip \noindent $\bullet$如果二分格划分$G$的边，则它们的个数至少为$2^{\sqrt{\log_2 k}}$。这是对$\log_2 k$的易下界的第一次改进，而Alon-Saks-Seymour猜想指出这可以改进为$k-1$。\medskip \noindent $\bullet$双列的阶数之和至少为$(1-o(1))k\log_2 k$。这推广了，在渐近形式，一个结果的卡托纳和Szemerédi谁证明了最低是$k\log_2 k$时，$G$是一个集团。
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图的几乎平衡有序双团覆盖
Almost balanced ordered biclique covering of graphs
National Institute of Technology Calicut（卡利卡特国家技术学院）
研究完全图K_n的最小双团覆盖大小f(n,k)，要求每条边被覆盖1到k次且有序计数平衡，对一般k给出了几乎紧的界。
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关于覆盖二部图所需二部图个数的下界
On some lower bounds on the number of bicliques needed to cover a bipartite graph
二部图G的二部覆盖数是指其并包含G的每条边的完全二部子图（二部图）的最小数目。在这篇小笔记中，我们比较了双团覆盖数的三个下界：Jukna和Kulikov提出的界jk（G）（Discrete Math.2009）;著名的愚弄集界fool（G）;“张量幂”愚弄集界fool^ \infty（G）。我们证明了jk \le fool le fool^ \infty \le min_Q（rk Q）^2，其中最小值是在具有某个零/非零模式的所有矩阵上取的。只有第一个不等式才是真正新颖的，第三个不等式推广了Dietzfelbinger，Hromkovietz，Schnitger（1994）的一个结果。我们还给出了傻瓜\ge（rk）^{log_4 6}改进Dietzfelbinger等人的例子。
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半线性图与类地形图的紧凑表示
Compact Representation of Semilinear and Terrain-like Graphs
研究图的二团覆盖紧凑表示，证明半线性图具有近线性大小二团覆盖，类地形图具有 $O(n\log^3 n)$ 二团划分，并给出单位圆盘图下界。
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双团覆盖下的无覆盖族的新界
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$(r,w;d)$无覆盖族$(CFF)$是有限集合的子集族，使得该族的任何$r$成员的交集至少包含不在任何其他$w$成员的并集中的$d$元素。对于其存在具有$t$块的$(r,w;d)-CFF$的元素的最小数目由$N((r,w;d),t)$表示。本文证明了$N((r,w;d),t)$的值等于二部图$I_t(r,w)$的$d$ -二部覆盖数，该图的顶点都是$t$ -元素集的$w$ -和$r$ -子集，其中如果$w$ -子集与$r$ -子集的交为空，则它们相邻.接下来，我们介绍了$N((r,w;d),t)$的一些新的界限。例如，我们表明，$r\geq w$和$r\geq 2$ $$ N((r,w;1),t) \geq c{{r+w\choose w+1}+{r+w-1 \choose w+1}+ 3 {r+w-4 \choose w-2} \over \log r} \log (t-w+1),$$，其中$c$是一个常数满足众所周知的界$N((r,1;1),t)\geq c\frac{r^2}{\log r}\log t$。此外，我们确定的确切值的$N((r,w;d),t)$的某些值的$d$。最后，我们证明了只要存在一个4d阶Hadamard矩阵，就有$N((1,1;d),4d-1)=4d-1$。
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基于Biclique覆盖的安全防帧码
Secure Frameproof Code Through Biclique Cover
对于长度为$v$的二进制码$Γ$，如果对于所有$i=1,...,v$，我们有$w_i\in \{w_i^1, ..., w_i^r\}$，则$v$字$w$由码字$\{w^1,...,w^r\} \subseteq Γ$的集合产生。如果$|Γ|=t$和对于任何$v$-由大小至多为$r$的两个集合$C_1$和$C_2$产生的字，则这些集合的交集非空，则我们将代码称为$r$-大小为$t$的安全防帧。一个图$G$的$d$ -biclique cover（英语：$d$ -biclique cover）是$G$的$v$ -完全二部子图的集合，使得$G$的每条边至少属于这些完全二部子图中的$d$。本文证明了对于$t\geq 2r$，存在大小为$t$，长度为$v$的$r$ -安全防帧码当且仅当Kneser图${\rm KG}(t,r)$存在大小为$v$的1-biclique覆盖，该图的顶点都是$t$ -元集的$r$ -子集，且两个$r$ -子集相邻且它们的交集为空.然后我们研究了Kneser图的$d$ -biclique覆盖的最小尺寸与无覆盖族之间的关系，其中$(r,w; d)$无覆盖族是有限集的子集族，使得该族的任何$r$成员的交集至少包含不属于任何其他$w$成员的并集的$d$元素.同时，我们给出了Kneser图的1-偶团覆盖数的一个上界。
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多重覆盖超图的改进界
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NIT Calicut（印度国家技术学院加利卡特分校）；IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）
针对图与超图的边覆盖问题，通过改进多重覆盖的界，并推广Katona-Szemerédi定理到r-一致超图，得到了更优的覆盖数下界。
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用受约束长度的巡游最优覆盖矩形网格图
Optimal covering of rectangular grid graphs with tours of constrained length
针对角部带基站的矩形网格图，研究长度受限的闭合巡游覆盖问题，并提出可在线性时间内同时优化巡游数量与总长度的最优算法。
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平面网格的覆盖路径与覆盖树
Covering Paths and Trees for Planar Grids
给定平面中的一组点，覆盖路径是访问所有点的多边形路径。本文考虑n × m网格顶点的覆盖路径。我们证明了这样的路径的最小段数是$2\min(n,m)-1$，除非我们允许交叉和$n=m\ge 3$，在这种情况下，这样的路径的最小段数是$2\min(n,m)-2$，即，在这种情况下，我们可以保存一个段。事实上，我们表明，这些都是真的，即使我们考虑覆盖树，而不是路径。这些结果扩展了以前的工作轴对齐的覆盖路径的n × m网格和补充最近的研究覆盖路径的点在一般位置，在这种情况下，问题变得更加困难，仍然是开放的。
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关于格图的H-不规则强度
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本文讨论了与图覆盖有关的三个图的特征（分别是顶点、边和全）。允许H-覆盖的图G的H-不规则强度。它们是使得G具有H-不规则（顶点、边和全）的正整数k的最小值。k-标记对于允许网格覆盖的网格图，确定了这三个特征的精确值
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用多项式覆盖均匀网格的权重确定集
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Institute for the Theory of Computing, Ben Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学计算理论研究所）
该研究确定了特征零域上覆盖均匀网格权重确定子集的非零多项式的最小次数，将此前仅适用于严格单峰均匀网格的结果推广到所有均匀网格，借助有限次数扎里斯基闭包等工具实现了组合表征。
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网格着色上的边覆盖平面填充曲线：一种直观方法
Edge-covering plane-filling curves on grid colorings: a pedestrian approach
本文研究正多边形平面铺嵌上的边覆盖平面填充曲线，通过将铺嵌对称群的边类划分为对应于有限子群的精化着色，构造出称为曲线集的平面填充曲线族，并以图示示例直观展示。
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用$v$垂直多米诺骨牌计算正方形网格的最大榻榻米覆盖率
Enumerating maximal tatami mat coverings of square grids with $v$ vertical dominoes
我们列举了某类monomino-domino覆盖的正方形网格，这符合\emph{tatami}限制，没有四个瓷砖满足。令$\mathbf T_{n}$是$n\times n$网格的最大数目$n$的单式-多米诺榻榻米覆盖物的集合，其定向使得它们在左上角和右上角中的每一个中具有单式。我们给出了一个算法，穷举生成覆盖在$\mathbf T_{n}$与$v$垂直多米诺骨牌在常数摊销时间，和一个显式的公式来计算它们。生成这些计数的多项式具有因子分解{align*} P_n（z）\prod_{j\ge 1} S_{ \lfloor \frac{n-2}{2^j} \rfloor }（z），{align*}其中$S_n(z) = \prod_{i=1}^{n} (1 + z^i)$和$P_n(z)$是不可约多项式，至少对于${1 < n < 200}$是不可约多项式。我们提出了一些令人信服的性质和有关$P_n(z)$的结构。例如，所有$n \ge 2$的$P_n(1) = n2^{ν(n-2)-1}$，其中$ν(n)$是$n$和deg $(P_n(z)) = \sum_{k=1}^{n-2} Od(k)$的二进制表示中1的个数，其中$Od(k)$是$k$的最大奇数除数。
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覆盖每个平面方形网格的最短多边形链
Shortest polygonal chains covering each planar square grid
本文构造性地证明了平面方形网格存在与最小链覆盖路径链长相同的覆盖路径和回路，提出通用算法生成偶数网格的覆盖回路，并给出最小总行程距离的紧上界。
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关于二维网格的完美覆盖
On perfect coverings of two-dimensional grids
利用代数方法研究了顶点集为$\mathbb{Z}^2$的平移不变图的完美多重覆盖。在这种方法中，我们认为任何这样的覆盖作为一个二维的二元配置，然后我们表示为一个两变量的正式幂级数。利用已知的结果，我们得出了任何完美多重覆盖都有一个非平凡的周期子，即存在一个非零多项式，它与表示覆盖的幂级数的形式积是一个双周期构形.如果一个非平凡的周期子在至多一个方向上具有线多项式因子，则该配置被称为周期性的。使用这个结果，我们发现许多设置完美的多重覆盖的无限网格必然是周期性的。我们还考虑了一些算法问题，寻找完美的多重覆盖。
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带重数的网格覆盖问题
Covering grids with multiplicity
该研究针对带重数的有限网格直线覆盖问题，结合线性规划对偶与组合论证，求解了多种网格的情况，改进了已有下界并给出标准网格的非平凡上下界。
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电网中传感器的最优配置：功率支配、集合覆盖和零强制堡垒的邻域
Optimal Sensor Placement in Power Grids: Power Domination, Set Covering, and the Neighborhoods of Zero Forcing Forts
为了监控整个电网的电气活动并减少停电，可以安装称为相量测量单元的传感器。由于实施成本的原因，期望在确保可以有效地监测电网的同时最小化部署的传感器的数量。这个优化问题激发了图论的幂支配集问题。在本文中，我们提出了一个新的整数规划识别最小功率控制集，制定了一个集覆盖问题。这个问题的约束对应于迫零的邻域;我们研究了它们的结构特性，并表明它们可以分离，从而可以通过行生成来解决所提出的模型。在几个计算实验中，所提出的方法始终表现出一个数量级的改善，在运行时的性能的建议和现有的方法进行了比较。
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无限方格图的完美着色：覆盖与孪生颜色
Perfect colorings of the infinite square grid: coverings and twin colors
本文研究无限方格图的完美着色与覆盖问题，证明所有此类着色要么对应图自同构群作用下的轨道划分，要么具有合并后仍保持完美着色的孪生颜色，并对孪生颜色情形进行了分类。
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网格最优卵石化的构造
Constructions for the optimal pebbling of grids
在[C. Xue、山核桃C.耶格尔：最优卵石分布在网格、图和组合学上]作者猜想，如果一个无限正方形网格的每个顶点都是卵石分布可达的，那么这个分布的覆盖率至多是$3.25$。首先，我们提出了这样的分布覆盖率$3.5$，反驳了猜想。上述论文的作者还声称证明了任何卵石分布的覆盖率至多为$6.75$。这个证明有一些错误。我们提出了几个有趣的卵石分布，这个证明似乎没有涵盖，并强调了这个主题的其他一些困难。
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本文受Alon和Füredi启发，研究覆盖三角网格每点至少k次所需最少仿射超平面数，对d=2且k≤4给出精确解，并对d≥k-2给出渐近公式，方法为组合与线性规划。
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用直线和平面覆盖半网格
Covering half-grids with lines and planes
Delft Institute of Applied Mathematics, TU Delft（代尔夫特应用数学研究所，代尔夫特理工大学）
研究有限网格结构的超平面覆盖问题，针对半网格（沿对角线切割的网格），给出覆盖所有点至少k次所需直线或平面的渐近紧界，并利用多项式方法得到精确结果。
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具有相等控制数和覆盖数的图
Graphs with equal domination and covering numbers
图$G$的控制集是一个集合$D\subseteq V_G$，使得$V_G-D$中的每个顶点都与$D$中的至少一个顶点相邻，并且$G$的控制数$γ(G)$是$G$的控制集的最小基数.一个集合$C\subseteq V_G$是$G$的覆盖集，如果$G$的每条边至少有一个顶点在$C$中. $G$的覆盖数$β(G)$是$G$的覆盖集的最小基数。连通图$G$的集合，其中$γ(G)=β(G)$表示为${\cal C}_{γ=β}$，而${\cal B}$表示所有连通二部图的集合，其中控制数等于较小部集的基数。本文给出了属于${\cal C}_{γ=β}$和${\cal B}$的图的另一种刻画.接下来，我们提出了一个识别属于${\cal B}$的二部图的二次时间算法，并且作为一个副结果，我们得出结论，Arumugam等人的算法。[2]允许在二次时间内识别属于集合${\cal C}_{γ=β}$的所有图。最后，我们考虑了与移动警卫巡逻网格的相关问题，并表明这个问题可以解决在$O(n \log n + m)$时间，其中$n$是输入网格的线段数和$m$是它的交点数。
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多米诺榻榻米覆盖是NP完全问题
Domino Tatami Covering is NP-complete
如果没有四个多米诺骨牌在任何一点相交，则将直线区域的多米诺骨牌覆盖称为\emph{tatami}。我们描述了从平面3SAT到多米诺榻榻米覆盖的减少。因此，判定一个满足每4圈的图是否存在完美匹配是NP-完全的，即使该图被限制为格图的导出子图。在SAT解算器的帮助下发现了减少中使用的小工具。
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关于单体-二聚体覆盖的一个互易定理
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布尔立方体的仿射超平面覆盖对称集
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Alon和Füredi（European J. Combin.，1993）证明了任何覆盖布尔立方体$\{0,1\}^n$上除一点外的所有点的超平面族必须至少包含$n$超平面。我们得到两个扩展的这一结果，在零特征，超平面覆盖的对称集的布尔立方体（子集是封闭的置换下的坐标），以及为“多项式覆盖”的“权重确定”集的“严格单峰均匀”（SU $^2$）网格。作为解决问题的主要工具，我们给出了布尔立方体对称集的（有限次）Zeromki（Z-）闭包的一个组合刻画--对称集的Z-闭包是对称的.事实上，我们得到的表征，关注，更一般地说，重量确定的SU $^2$网格集。然而，在这种普遍性中，我们的特征不是Z闭包-与布尔立方体不同，权重确定集合的Z闭包不需要权重确定。我们引入了一个新的闭包算子，专门用于权确定集-（有限度）Z*-闭包-定义为Z-闭包中的最大权确定集。(This与布尔立方体上的Z闭包一致，对于对称集。）我们得到了SU $^2$网格的权确定集的有限度Z*-闭包的组合特征。这一特征也可能是独立的利益。事实上，作为进一步的应用，我们（i）给出了Alon等人（IEEE Trans. Inform.理论，1988年），以及（二）特征的“证明度”的权重确定集。在布尔立方体上，我们的上述表征也可以使用Bernasconi和Egidi（Inf. Comput.，1999年）。然而，我们的证明是独立于这个结…
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由确定线段构成的经济格覆盖
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Capital Normal University（首都师范大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Zhejiang University（浙江大学）
该论文针对d≥2的固定值，证明了τ_d(n)与σ_d(n)均为n^α_d阶，解决了Alon关于格覆盖最小规模的问题，明确了其阶的范围。
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多重子空间覆盖
Subspace coverings with multiplicities
研究了余维$d$的仿射子空间的最小个数$f(n,k,d)$的确定问题，这些子空间至少覆盖$\mathbb{F}_2^n\setminus \{\vec{0}\}$的所有点$k$次，同时最多覆盖原点$k-1$次. $k=1$是Jamison的一个经典结果，由Brouwer和Schrijver为$d = 1$独立获得。$f(n,1,1)$的值也来自于阿隆和富雷迪关于任意域上仿射空间中有限网格覆盖的著名定理。在这里，我们确定这个函数的值，正是在各种范围内的参数。特别地，我们证明了对于$k \ge 2^{n-d-1}$，我们有$f(n,k,d)=2^d k - \left \lfloor \frac{k}{2^{n-d}} \right \rfloor$，而对于$n > 2^{2^d k-k-d+1}$，我们有$f(n,k,d)= n + 2^dk-d-2$，并研究了这两个范围之间的过渡。虽然以前在这个方向上的工作主要采用多项式方法，我们证明我们的结果，通过更直接的组合和概率参数，并利用连接到编码理论。
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瓷砖棋盘上的路径
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格点的子空间覆盖及点-超平面关联的计数
Covering lattice points by subspaces and counting point-hyperplane incidences
令$d$和$k$是整数，其中$1 \leq k \leq d-1$。设$Λ$是$d$维格，$K$是关于原点对称的$d$维紧致凸体.我们提供估计的最小数目的$k$维线性子空间需要覆盖所有点的$Λ\cap K$。特别地，我们的结果意味着覆盖$d$维$n \times \cdots \times n$网格所需的$k$维线性子空间的最小数目至少为$Ω(n^{d(d-k)/(d-1)-\varepsilon})$至多为$O(n^{d(d-k)/(d-1)})$，其中$\varepsilon>0$是任意小的常数.这几乎解决了一个问题中提到的书黄铜，莫泽，和帕奇。我们还找到了紧界的最小数目$k$维仿射子空间需要覆盖$Λ\cap K$。我们使用这些新的结果，以提高最知名的下界的最大数量的点超平面的发病率由黄铜和Knauer。对于$d \geq 3$和$\varepsilon \in (0,1)$，我们证明了存在一个整数$r=r(d,\varepsilon)$，使得对于所有正整数$n,m$，下面的陈述为真。在$\mathbb{R}^d$中有一组$n$点，在$\mathbb{R}^d$中有一组$m$超平面，它们的关联图中没有$K_{r,r}$，如果$d$是奇数，则至少有$Ω\left((mn)^{1-(2d+3)/((d+2)(d+3)) - \varepsilon}\right)$关联，如果$d$是…
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