On a Small Elliptic Perturbation of a Backward-Forward Parabolic Problem, with Applications to Stochastic Models
我们考虑一个双变量椭圆型偏微分方程。当一个参数趋近于零时，这个偏微分方程坍缩成一个抛物线方程，即在一部分区域中是前向抛物线，在其余区域中是后向抛物线。这样的问题自然会出现在各种随机模型中，例如数据处理系统的流体模型和马尔可夫调制队列。我们采用奇异扰动方法来研究小参数的问题。
2003-06-17 math.AP math.PR
Homogenization of semilinear parabolic PDEs with the third boundary conditions
该研究聚焦弱意义下具快速振荡周期系数的半线性抛物型偏微分方程第三边值问题的均匀化，采用完全概率方法，基于已有工作并借助带奇异系数的倒向随机微分方程开展研究。
2024-06-22 math.PR
Some Parabolic Pdes Whose Drift is an Irregular Random Noise in Space
考虑一类新的随机抛物型偏微分方程，其中随机项由不规则噪声漂移组成，不一定是高斯的，并给出了相应的解释.在冻结漂移（随机过程）的实现之后，我们研究了相关的抛物型方程的存在唯一性（在某种适当的意义上），并研究了概率解释。
2007-12-04 math.PR
On the regularity of solutions of some linear parabolic path-dependent PDEs
该研究针对定义在右连左极路径空间、系数含积分项的线性抛物型路径依赖偏微分方程，借助Dupire导数在相关条件下证明了光滑解的存在性，推广了现有结论并补充了相关工作，还得到一类路径依赖SDE弱解的存在唯一性。
2023-10-06 math.AP math.PR
A system of non-local parabolic PDE and application to option pricing
本文包括一个涉及退化非局部抛物型偏微分方程组的初边值问题的适定性的证明，该方程组在广义市场模型的衍生品定价研究中自然出现。在半马尔可夫调制的GBM模型中，局部风险最小化价格函数满足该问题的一个特例。通过第二类Volterra积分方程研究了问题的适定性。一个概率的方法，特别是停时的条件的方法是用来显示的唯一性。
2016-05-05 math.AP math.PR q-fin.PR
Probabilistic approach to singular perturbations of viscosity solutions to nonlinear parabolic PDEs
本文证明了一类具有遍历结构的完全非线性抛物型偏微分方程的奇异扰动问题的一个收敛定理。极限函数表示为完全非线性退化偏微分方程的黏性解。我们的方法主要是基于G-随机分析的论点。作为副产品，我们还建立了两个时标的G-布朗运动驱动的随机微分方程的平均原理。所得结果将Khasminskii平均原理推广到非线性情形。
2021-07-16 math.PR
Mild Solutions for Path-Dependent Parabolic PDEs with Neumann Boundary Conditions via Generalized BSDEs
University of Verona（维罗纳大学）；Alexandru Ioan Cuza University（亚历山德鲁·约安·库扎大学）
本文通过广义BSDEs研究了具有Neumann边界条件的路径依赖抛物型PDE的温和解，建立了FBSDE系统与PDE之间的联系。
2026-01-22 math.PR
Monotone Schemes for Fully Nonlinear Parabolic Path Dependent PDEs
University of Southern California（南加州大学）
本文扩展了Barles和Souganidis的开创性工作到路径依赖情况，基于路径依赖PDE的粘性理论，证明了单调方案收敛于唯一粘性解，并提出一个例子，且在解足够光滑时获得收敛速率。
2014-02-17 cs.NA math.AP math.NA
Strong invariance and noise-comparison principles for some parabolic stochastic PDEs
我们考虑整数格点上的相互作用扩散系统。通过让网格步长为零，并通过使用一个适当的缩放，我们表明，该系统收敛（在很强的意义上）的随机热方程的解决方案的实数线。作为结果，我们得到了具有不同非线性项的随机热方程的乘积矩的比较不等式。
2014-04-28 math.PR
An averaging principle for nonlinear parabolic PDEs via reflected FBSDEs driven by G-Brownian motion
本文研究由 G-Brownian motion 驱动的带反射的前向-后向随机微分方程的平均问题，利用非线性随机技巧和粘性解方法，证明了解的极限分布是完全非线性抛物型 PDEs 障碍问题的唯一粘性解。
2025-03-02 math.PR
Renormalisation of parabolic stochastic PDEs
我们给出了一个调查的最新结果，从统计力学的系统的标度极限，以及在所谓的交叉制度，这样的系统的行为的普遍性。它透露，这些泛对象的描述奇异随机偏微分方程。然后，我们给出了一个调查最近开发的理论的规律性结构，允许建立这些对象，并描述它们的一些属性。我们特别强调的重正化过程中需要赋予这些方程的意义。以下是2017年11月4日在东京大学举行的第20次高木讲座的扩展笔记。
2018-03-08 math-ph math.AP math.MP
Viscosity Solutions of Fully Nonlinear Parabolic Path Dependent PDEs: Part I
本文的主要目的和附带的一个\cite{ETZ2}是提供一个概念的黏性解的完全非线性抛物型路径依赖偏微分方程。我们的定义扩展了我们以前的工作\cite{EKTZ}，专注于半线性的情况下，是至关重要的基础上的非线性最优停止问题分析\cite{ETZ0}。我们证明了我们的黏性解概念与相应的经典解概念是一致的，并且满足一个稳定性性质和一个部分比较结果.后者是在\cite{ETZ2}中建立适定性结果的关键步骤。我们还证明了路径依赖随机控制问题的值过程是相应的路径依赖动态规划方程的黏性解。
2014-09-12 math.PR
Probabilistic counterparts of nonlinear parabolic PDE systems
为了构造拟线性抛物型方程柯西问题黏性解的概率表示，我们推广了FBBundle理论的结果.本文导出了一类拟线性抛物型方程组的一个解，并证明了其解的存在唯一性。为了能够处理系统，包括非对角一阶项以及基本的扩散过程，我们认为它的乘法算子功能。我们基本上利用，以及所考虑的系统可以减少到一个标量方程在一个扩大的相空间的事实。这允许获得一些比较定理，并证明，解决方案，以FB引起的黏性解方案的原始柯西问题的一个系统的拟线性抛物型方程。
2016-06-08 math.PR
Stochastic switching in infinite dimensions with applications to random parabolic PDEs
我们考虑随机切换边界条件的抛物型偏微分方程。为了分析这些随机偏微分方程，我们考虑更一般的随机混合系统，并证明收敛到一个平稳分布，和性质。将这些一般结果应用于具有随机切换边界条件的热方程，得到了解的各种统计量的显式表达式，并得到关于其正则性和结构的几乎必然结果.这些结果是特别感兴趣的生物应用程序，以及他们的显着偏离的行为所看到的偏微分方程被迫不同的高斯噪声。我们的一般结果也有应用到其他类型的随机混合系统，如常微分方程的随机切换的右手边。
2016-08-20 math.DS math.PR
A weighted Sobolev space theory of parabolic stochastic PDEs on non-smooth domains
本文研究了定义在任意有界区域$\cO \subset \bR^d$上的抛物型随机偏微分方程满足Hardy不等式：$$ \int_{\cO}|ρ^{-1}g|^2\,dx\leq C\int_{\cO}|g_x|^2 dx, \quad \forall g\in C^{\infty}_0(\cO), $$其中$ρ(x)=\text{dist}(x,\partial \cO)$ .在加权Sobolev空间$\frH^γ_{p,θ}(\cO,T)$中给出解的存在唯一性结果，其中$p\in [2,\infty)$，$γ\in \bR$是解的导数个数，$θ$控制解的边界表现.此外，还得到了解的几个Hölder估计。允许方程的系数在边界附近爆炸。
2011-09-22 math.PR
A macroscopic multifractal analysis of parabolic stochastic PDEs
一般认为，具有乘性噪声的随机偏微分方程（如$\dot{u}=\frac12 u"+uξ$，其中$ξ$表示时空白噪声）的解通常会产生“宏观多重分形”的异常大的峰值。例如，参见Giovanni和Doering（2005）、Giovanni和Titi（2005）以及Zimmermann等人（2000）。几年前，我们证明了上述随机偏微分方程解的空间峰确实形成了Barlow和Taylor（1989; 1992）宏观意义下的随机多重分形。本文的主要结果是证明了一个严格的公式的断言，即时空峰值的解决方案形成无限-许多不同的多重分形在无限-许多不同的尺度，我们有时称为“拉伸因子。“一个更简单的，虽然仍然复杂，这样的结构也存在于所述随机PDE的常数系数版本。
2017-05-17 math.PR
Deep splitting method for parabolic PDEs
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Münster（明斯特大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
在本文中，我们介绍了一种结合算子分裂和深度学习的非线性抛物型偏微分方程的数值方法。它将偏微分方程近似问题分解为一系列独立的学习问题。由于每个子问题的计算图相对较小，该方法可以处理极高维的偏微分方程。我们从物理，随机控制和数学金融不同的例子测试的方法。在所有情况下，它都能在最多10，000个维度上以较短的运行时间产生非常好的结果。
2021-06-21 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
Viscosity solutions of fully nonlinear parabolic path dependent PDEs: Part II
在我们之前的论文[Ekren，Touzi and Zhang（2015）]中，我们引入了完全非线性路径相关偏微分方程的黏性解概念，扩展了Ekren等人的半线性情况。[Ann. Probab. 42（2014）204-236]，其满足标准Lipshitz型假设下的部分比较结果。本文的主要结果是在一个附加的假设下，给出了一个完整的适定性结果，即进一步假设这种路径冻结的标准偏微分方程满足比较原理和Perron方法，证明了非线性路径依赖偏微分方程存在唯一的黏性解.比较结果暗示了唯一性。
2016-09-27 math.PR
High-frequency analysis of parabolic stochastic PDEs
研究了一类二阶抛物型随机偏微分方程的随机波动率估计问题。假设在高的时间频率下观察到的解决方案，我们使用极限定理的多功率变化和相关的泛函构造一致的非参数估计和渐近置信界的综合波动率过程。作为我们的分析的副产品，我们还获得了可行的估计的空间协方差函数的噪声的规律性。
2019-03-25 math.PR math.ST stat.ME
Average principles for forward-backward multivalued stochastic systems and homogenization for systems of nonlinear parabolic PDEs
本文针对前向-后向多值随机系统，在L^2p和L^2意义下分别证明了一般随机微分方程和后向随机变分不等式的平均原理，并应用于非线性抛物型偏微分方程的均匀化。
2023-11-12 math.PR
A Probabilistic Scheme for Fully Nonlinear Nonlocal Parabolic PDEs with singular Lévy measures
Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）
提出一种蒙特卡洛格式求解完全非线性非局部抛物型偏微分方程，通过截断无限Lévy测度避免困难，并证明格式收敛性及凹（凸）非线性情形的收敛速率。
2012-11-02 cs.NA math.NA math.PR
A probabilistic approach to large time behaviour of viscosity solutions of parabolic equations with Neumann boundary conditions
本文研究了具有Neumann边界条件的抛物型方程的黏性解的长时间性态。本文是文[13]的续篇，文[13]用概率方法证明了抛物型半线性偏微分方程的解类似于线性项$λT$随函数$v$移位，其中$(v,λ)$是与抛物型偏微分方程相关的遍历偏微分方程的解.我们适应这种方法在有限维的惩罚方法，以便能够应用一个重要的基本耦合估计结果和正则化过程的帮助下，以避免缺乏规律性的系数在有限维。我们的方法的优点是，它给出了一个明确的收敛速率。
2015-09-17 math.PR
Convergence analysis of explicit stabilized integrators for parabolic semilinear stochastic PDEs
显式稳定积分器是隐式或半隐式方法的有效替代方案，以避免标准显式积分器应用于刚性扩散问题所面临的严格时间步长限制。本文给出了一类抛物型半线性确定性和随机偏微分方程的一族显式稳定化方法与有限元法耦合的全离散强收敛性分析。数值实验包括半线性随机热方程时空白噪声证实了理论研究结果。
2022-12-13 cs.NA math.NA math.PR
Full error analysis of the random deep splitting method for nonlinear parabolic PDEs and PIDEs
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）
本文提出采用随机神经网络的随机深度分裂方法，用于高维非线性抛物型 PDE 与带跳 PIDE，证明其收敛至唯一黏性解，并通过金融定价算例展示万维问题的秒级求解能力。
2025-01-05 cs.LG cs.NA math.NA
High-frequency analysis of parabolic stochastic PDEs with multiplicative noise
本文针对乘性噪声驱动的随机热方程，在空间相关函数为 Riesz 核时，证明了幂变差等泛函的中心极限定理，并发现无渐近偏差，归因于误差项的抵消效应。
2024-11-09 math.PR math.ST stat.TH
A learning scheme by sparse grids and Picard approximations for semilinear parabolic PDEs
基于倒向随机微分方程（BSDEs）与非线性抛物型偏微分方程（PDEs）之间的经典联系，提出了一种求解高维半线性抛物型偏微分方程的新的概率学习方法.该方案受到来自机器学习的方法的启发，并使用Han等人的深度神经网络开发[32]。我们的算法是基于皮卡德迭代计划，其中一系列的线性二次优化问题是通过随机梯度下降（SGD）算法解决。在近似空间的线性规范的框架下，我们设法证明了我们的计划的收敛结果，在一定的小条件。在实践中，为了能够处理高维的例子，我们采用稀疏网格近似空间。在周期系数和使用预小波基函数的情况下，我们得到了我们的方法的全局复杂性的上界。它特别表明，灾难的维数是驯服的意义上，为了实现一个均方根误差的顺序$ε$，对于一个规定的精度$ε$，皮卡德算法的复杂性多项式增长$ε^{-1}$到一些对数因子$ |log(ε)| $，它线性增长的PDE尺寸。给出了各种数值结果来验证我们的方法的性能，并将其与Han等人[20]和Huré等人[37]中提出的一些最近的机器学习方案进行比较。
2021-02-24 cs.NA math.NA math.PR
