We generalize an important class of Banach spaces, namely the $M$-embedded Banach spaces, to the non-commutative setting of operator spaces. The one-sided $M$-embedded operator spaces are the operator spaces which are one-sided $M$-ideals in their second dual. We show that several properties from the classical setting, like the stability under taking subspaces and quotients, unique extension property, Radon Nikod$\acute {\rm{y}}$m Property and many more, are retained in the non-commutative setting. We also discuss the dual setting of one-sided $L$-embedded operator spaces.
The Bidual of a Radical Operator algebra can be Semisimple
S.古利克[西德尼（丹尼）L。Gulick，Commutativity and Ideals in the bixel of topological algebras，Pacific J. Math 18 No. 1，1966]包含了一些很好的数学，但也包含了一个错误。本文证明了对一个巴拿赫代数A，A** 的Jacobson根与A的交恰是A的根（这对于A** 上的任一Arens乘积都是有要求的-本身就是一个合理的要求，因为A总是包含在A** 的拓扑中心中，所以A中的固定a位于A** 与第一个Arens乘积的根中，当且仅当它位于A** 的根中，当巴拿赫空间被赋予第二Arens积时，当且仅当ab对A** 中的每个b都是拟幂零的）。在本文中，我们开始一个简单的反例，其中A是一个根算子代数，但不是每个元素的A是在根A**。然后，我们提出一个更复杂的例子A，它也是一个根算子代数，但A** 是半单的。所以rad A** $\cap$ A是零，但是rad A=A。我们的结论是检查使用Gulick的文件已投入自1966年以来（至少8随后的文件提到它），我们发现，大多数作者使用了正确的材料，从该文件，并避免使用错误的结果。因此，我们认为，我们不是第一个怀疑结果rad A** $\cap$ A=rad A是错误的;但是我们相信，我们是第一个提供所描述的“整洁”反例的。
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；College of Science, Rikkyo University（立教大学理学部）；Center for Interdisciplinary Theoretical and Mathematical Sciences, RIKEN（RIKEN跨学科理论与科学中心）
The space of ideals in the minimal tensor product of $C^*$-algebras
对于$C^*$ -代数$A_1, A_2$，给出了从$(I_1,I_2)\to ker(q_{I_1}\otimes q_{I_2})$到$Id^{\prime}(A_1\otimes_{\mathrm{min}} A_2) is a homeomorphism onto its image which is dense in the range. Here, for a $ C^* $-algebra $ A $, the space of all proper closed two sided ideals endowed with an adequate topology is denoted $ Id^{ \prime }（A）$ and $ q_I $ is the quotient map of $ A $ onto $ A/I $. New proofs of the equivalence of the property (F) of Tomiyama for $ A_1 \otimes_{\mathrm{min}} A_2$的映射.
