The combinatorial part of the cohomology of a singular variety
Donu Arapura, Parsa Bakhtary, Jarosław Włodarczyk
研究了真复代数簇上同调的权滤子的第一步，我们称之为组合部分。我们得到了一个自然的上界的大小，这给了相当强的信息的拓扑结构的有理奇点。
We study the first step of the weight filtration on the cohomology of a proper complex algebraic variety, which we call the combinatorial part. We obtain a natural upper bound on its size, which gives rather strong information about the topology of rational singularities.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
First Milnor cohomology of hyperplane arrangements
给出了满足一定组合条件的超平面排列的第一Milnor上同调的非幂幺单值部分维数的下界的组合公式。如果满足一个更强的组合条件，这正好给出了它的维数。我们还证明了一个非组合公式的第一Milnor上同调，这显然取决于奇点的位置的非幂幺部分的尺寸。后者推广了第二个命名的作者以前获得的公式。
Towards a combinatorial Intersection Cohomology for Fans
本文仅用初等交换代数的方法，用纯组合的方法描述复曲面簇的实交上同调。我们定义，为任意球迷，一个“最小的扩展层”的概念的球迷作为一个公理化的表征的等变相交上同调层。这提供了一个纯粹的代数解释斯坦利的广义f-和g-向量的任意多面体或完全风扇下的自然消失的条件。--本说明中介绍的结果来自与G.Barthel，J. P. Quelet和L.Kaup，继续早期的研究（见math.AG/9904159）。详细的说明将在其他地方出现（见数学AG/0002181）。
On combinatorial invariance of the cohomology of Milnor fiber of arrangements and Catalan equation over function field
我们讨论的组合不变性的贝蒂数的Milnor纤维的安排线的点的多重性最多为3和描述之间的联系，这个问题和枚举的解决方案的加泰罗尼亚方程的函数域的情况下，其系数是产品的线性型和方程定义的椭圆曲线。
Koszul cohomology and singular curves
研究了不可约节点曲线上的Koszul上同调。特别是，我们证明了绿色和绿色Lazarsfeld代数一般的k-R节点曲线。
Singular cohomology of the analytic Milnor fiber, and mixed Hodge structure on the nearby cohomology
我们构造的解析Milnor纤维是经典拓扑Milnor纤维化的非阿基米德模型。在本文中，我们描述了一个严格的半稳定模型的解析Milnor纤维的同伦类型，我们证明了它的奇异上同调与附近的上同调的混合Hodge结构的重量零部分。我们给出了一个严格的半稳定模型的Denef和Loeser的motivic Milnor纤维的类似表达式。
Poincaré duality for $L^p$ cohomology on subanalytic singular spaces
研究了$\mathbb{R}^n$（不一定是紧的）的有界次解析子流形上的$L^p$微分形式的Poincaré对偶问题.我们证明了，当$p$足够接近$1$，那么这样一个子流形的$L^p$上同调同构于它的奇异同调。在$p$是大的情况下，我们表明，$L^p$上同调是对偶的交叉同源。因此，如果$p$和$q$彼此是Hölder共轭的，并且$p$足够大，我们可以推出$L^p$上同调是$L^q$上同调的Poincaré对偶.
The smooth center of the cohomology of a singular variety
研究了奇异簇上向量丛的Chern类上的约束.我们利用这个约束条件来研究一类具有Hodge圈的簇，该簇不是其上向量丛的陈类的线性组合。
The cohomology of line bundles of splice-quotient singularities
我们提供了几个结果拼接商奇点：所有“自然”线丛的第一上同调维数的组合表达式，线丛相对截面维数的等变Campillo-Delgado-Gusein-Zade型公式（证明了等变的、整除的多变量希尔伯特级数是拓扑的），解析函数-芽的因子的组合描述，并由其分解图给出了奇点重数的表达式。此外，我们建立了一个新的公式的Seiberg-Witten不变量的任何有理同调球奇异链。
Combinatorial Cycle Classes in the Intersection Cohomology of Projective Toric Varieties
本文探讨了极小循环类在极小扇形交集上同调中的表现，验证了在投影典范变种中，极小循环类生成偶次交集上同调空间。
Filtrations on combinatorial intersection cohomology and invariants of subdivisions
受混合Hodge理论中定义的启发，我们定义了扇的组合交上同调的权滤子和单值权滤子。这些过滤给出了一个自然的定义的多变量不变量的细分多面体，格多面体和球迷，即混合$h$ -多项式，细化极限混合$h^*$ -多项式，和混合$cd$ -指数，定义的Katz-Stapledon和Dornian-Katz-Tsang。以前，只有精化极限混合$h^*$ -多项式有几何解释，它来自于Schön超曲面上同调的过滤。利用Karu的相对硬的Lefschetz定理，推广了Katz和Stapledon关于混合$h$ -多项式的一个正性结果.
Weights on cohomology, invariants of singularities, and dual complexes
在本文中，我们提取自然不变量的奇异通过使用Deligne重量过滤上同调的例外纤维的决议，也对相交上同调的链接。我们的主要目标是研究和给出自然界的直接图像的微分形式的权重。这些界限可以明确的各种标准类，如合理的，孤立的正常科恩-麦考利和环面奇点，并导致这些奇点的拓扑结构的强限制。本文的第二个目标是使权重过滤和相关的构造更容易获得。因此，我们试图使介绍有点自我包含。这是取代我们早期的预印本arXiv：0902.4234。
Morphic cohomology of toric varieties
在本文中，我们构建了一个谱序列计算一个修改版本的形态上同调的环面品种（即使当它是奇异的）的组合数据来自风扇的环面品种。
Remarks on the combinatorial intersection cohomology of fans
我们回顾了由Barthel-Schuelet-Fieseler-Kaup，Bressler-Lunts和Karu提出的扇形的组合交上同调理论。这个理论给出了一个替代的交集上同调的环面品种，具有所有预期的形式属性，但即使是非理性球迷，这并不定义一个环面品种的意义。因此，复曲面$g$和$h$多项式的一些有趣的结果已从有理多面体推广到一般多面体。我们提出了明确的复杂计算的组合IH度1和2;度2复杂的刚性复杂的卡莱以前使用的研究$g_2$。我们提出了几个新的结果，遵循这些方法，以及以前未发表的证据卡莱$g_k(P) = 0$意味着$g_k(P^*) = 0$和$g_{k+1}(P) = 0$。
Combinatorial part of the cohomology of the nearby fibre
设$f: X \to S$是圆盘上射影复流形的幂幺退化，使得中心纤维$Y=f^{-1}(0)$的约化是简单的法向交叉，$X_\infty$是正则邻近纤维.在Kontsevich，Tschinkel，Mikhalkin和Zharkov工作的基础上，引入$Y$的对偶交复形上的分次代数层$Λ^\bullet$，记作$Δ_X$ .证明了存在一个映射$H^q(Δ_X, Λ^p) \to \mathrm{gr}^W_{2p} H^{p+q}(X_\infty, \mathbb{Q})$，其中$W$是单值权滤子，只要存在一个组合类$ω\in H^2(Y)$和一个技术条件Lefschetz，它就是单射的.当$f$是$K3$曲面的III型Kulikov退化时，层$Λ^1$恢复了$Δ_X$上具有Engel和Friedman奇点的仿射结构。在这种情况下，我表明，这样的类的存在遵循的存在下，一个积极的$d''$ -封闭$(1,1)$ -超形式或超导在拉格伯格的意义上$Δ_X$。后者是建立在\cite{hessian}中的简单仿射结构奇点的情况下，实际上，层$Λ^p$的上同调与完全邻近纤维上同调一致。
Combinatorial covers and vanishing of cohomology
我们使用一个迈耶-Vietoris样的谱序列建立消失的结果，线性和椭圆超平面安排的补的上同调，作为一个更一般的框架，涉及对偶和阿贝尔对偶性质的空间和群体的一部分。在这个过程中，我们考虑局部系统的上同调一般，Cohen-Macaulay型条件。其结果是，我们恢复已知的消灭定理秩1局部系统以及群环系数，并获得新的推广。
Quantum cohomology of smooth complete intersections in weighted projective spaces and singular toric varieties
我们推广Givental定理完全相交光滑环面品种在Fano的情况。特别是，我们发现Gromov-Witten不变量的Fano品种的尺寸$\geq 3$，这是完全的交叉加权射影空间和奇异环面品种。我们将Riemann-Roch方程推广到加权射影空间。我们计算计数矩阵的光滑Fano三倍皮卡德群Z和anticanonical度2，8，和16。
On Witt vector cohomology for singular varieties
在特征$p > 0$的完满域$k$上，我们构造了有限型分离$k$ -格式的“具有紧支集的Witt向量上同调”，推广了（用$\mathbb{Q}$张量化后）适当的$k$ -格式的经典理论.我们定义了一个典范态射从刚性上同调紧支撑的维特向量上同调紧支撑，我们证明了它提供了一个识别后者和斜坡$< 1$部分前者。在有限域上，这允许在特殊的例子中计算有理点个数的同余。特别是，同余模基数的有限域的有理点的数量θ因子的阿贝尔簇不依赖于选择的θ因子。这肯定地回答了J. P. Serre。
Cohomology jump loci and absolute sets for singular varieties
将光滑代数簇的Betti模空间的绝对子集的概念推广到正规簇的情形。因此，我们证明了正规簇上秩为一的扭上同调跳轨迹是平移子环面的有限并。我们表明，同样适用于跳跃轨迹扭曲的一个单一的本地系统的情况下，潜在的品种$X$是投影与$H^1(X,\mathbb{Q})$纯重量1。最后，我们研究了这些位点的相互作用与霍奇理论数据自然相关的表示品种的基本群的光滑投影品种。
Stable cohomology of spaces of non-singular hypersurfaces
证明了当d足够大时，d次非奇异复齐次多项式空间的有理上同调稳定于一般线性群的上同调.
Cohomology algebra of plane curves, weak combinatorial type, and formality
通过研究复射影平面$\mathbb P^2$上的对数分辨对数形式，确定了复射影平面$\mathbb P^2$上代数曲线$C$的补的上同调代数$H^*(\mathbb P^2\setminus C,\mathbb C)$的生成元和关系的显式表示.作为第一个结果，我们得出，$H^*(\mathbb P^2\setminus C,\mathbb C)$只依赖于以下有限的数据块：不可约组件的$C$连同他们的程度和一般的数量，每个组件在每个奇点的局部分支的数量，以及每两个不同的局部分支的相交数在每个奇点的$C$。这个有限的数据集被称为弱组合类型的$C$。进一步的推论是，包含平凡特征的$H^*(\mathbb P^2\setminus C,\mathbb C)$的扭曲上同调跳跃位点也依赖于$C$的弱组合类型。最后，生成元和关系的显式构造使我们能够证明平面射影曲线的补是Sullivan意义下的形式空间。
The singular cohomology ring of a uniform matroid: combinatorics and Lefschetz properties
本文研究均匀拟阵奇异上同调环的组合结构与Lefschetz性质，通过Koszul同调构造显式基，推导Hodge数公式并证明其满足拟射影强Lefschetz性质。
Completions of complexes of differential modules on singular schemes
本文针对域上有限型奇异概形推广Spencer上同调理论，否定了原Vinogradov猜想，借鉴Hartshorne的形式完备化方法在一类奇异概形上构造适用的Spencer复形，并对相应猜想给出更肯定的回答。
Augmented singular cohomology, uniform matroids, and real-rootedness
本文研究均匀拟阵相关环面簇的奇异上同调环，构造显式基，证明修改后的扇满足强Lefschetz性质，并证明精细Hodge--Poincaré多项式的实根性，解决猜想并推广已知定理。
Torsion in the crystalline cohomology of singular varieties
本文讨论了一些例子，表明即使是非常轻微的奇异投射簇的结晶上同调往往是相当大的。特别是，任何奇异的投射簇，在最坏的普通二重点已无限生成结晶上同调至少两个上同调度。这些计算严重依赖于晶体和衍生德拉姆上同调之间的比较。
Calculating the Mordell-Weil rank of elliptic threefolds and the cohomology of singular hypersurfaces
本文提出计算二元有理函数域上一般椭圆曲线秩的新方法，将其转化为加权射影4-空间中奇异超曲面的上同调计算，并推广了Dimca的孤立奇点结果。
Combinatorial Hodge Index Theorem for Polytopes
该研究将Maxim-Schuermann公式从顶点有理的多面体推广至任意凸多面体，依托BBFK的组合相交上同调框架，还探讨了多面体的霍奇指标定理。
Cohomology pairings on singular quotients in geometric invariant theory
本文将给出几何不变理论代数的交上同调中的互补维数的交上同调类的配对公式，其中半稳定性不一定与稳定性相同（尽管我们对作用作了一些较弱的假设）。我们还给出了公式相交配对的决议的奇异性（或更准确地说，部分决议，因为orbifold奇异性是允许的）的conjecents。
Combinatorial Intersection Cohomology for Fans
我们继续对一个纯粹的组合的“虚拟”的交叉上同调的可能非理性球迷的方法，基于我们的调查等变交叉上同调的环面品种（见数学。AG/9904159）。研究的基本对象是“扇空间”上的“极小扩张层”。这些是松弛层的分次模层的多项式环，满足三个相对简单的公理，其特征在于性质的等变相交上同调层的环面品种，赋予有限的拓扑结构所给予的开放不变子集。这些层是模型的“纯”对象的“反常类别”，一个“分解定理”是成立的。--形式化那些定义“等变形式”复曲面品种（其中等变和非等变相交上同调确定彼此的Kunneth型公式）的球迷，我们研究“准凸”球迷（包括球迷与凸或“共凸”支持）。对于这些，有一个有意义的“虚交上同调”。我们拟凸球迷的支持下，他们的边界风扇的拓扑条件，证明了推广的斯坦利的“局部-全球”公式实现的相交庞加莱多项式的一个完整的环面品种的本地数据。证明了拟凸扇的虚交上同调满足Poincare对偶。为了用低维完全多面体扇的虚交上同调来描述局部数据，需要一个“硬莱夫谢茨”型定理。它需要一个消失的条件，这是已知的有理锥成立，但仍有待证明在一般情况下。
Singular Hochschild cohomology via the singularity category
证明了对于有界dg导出范畴光滑的Noether代数$A$，其奇异Hochschild上同调（= Tate-Hochschild上同调）作为分次代数同构于$A$的dg奇异范畴的Hochschild上同调.王正方最近的工作提出了这种同构的存在。
Suslin's singular homology and cohomology
讨论了Suslin的奇异同调和上同调.在前半部分中，我们研究了特征p中的p-部分，以及非代数闭域上的情形。在下半部分，我们专注于有限基域。我们研究了有限生成的性质，给出了一个类似于同调论的修正定义：对于每个连通分支，在零度它是Z的一个拷贝，在一度它与阿贝尔化（tame）基本群有关，甚至对于奇异方案也是如此，并且一般情况下它是可交换生成的.
Integral p-adic cohomology theories for open and singular varieties
本文研究正特征下开簇与奇异簇的整 p 进上同调，分别借助 cdp/cdh 拓扑及分裂正常一般 étale 超覆盖，给出次数 1 的良好理论并说明其不能推广到高次。
On the integral cohomology of real toric manifolds
本文研究实 toric 流形的整数上同调，通过组合数据推导出上同调群公式，并提出环结构的组合公式，进一步给出判断 spin^c 流形的准则。
Affine Varieties, Singularities and the Growth Rate of Wrapped Floer Cohomology
在本文中，我们给出了以下问题的部分答案：哪些接触流形是contactomorphic孤立复奇点的链接？哪些辛流形对光滑仿射簇是辛同构的？我们将用来区分这种流形的不变量称为包裹Floer上同调的增长率。利用这一不变量，我们证明了：如果Q是单连通流形，其单位余切丛与孤立奇点的链环是接触同构的，或者其余切丛与光滑仿射簇是辛同构的，那么M一定是有理椭圆的，因此它的贝蒂数一定有一定的界.
The Singular Cohomology Ring of a Matroid
本文引入了组合结构的单点上同调环，扩展了组合结构的Chow环。通过Adiprasito等人提出的组合翻转，证明了上同调环的消失定理，并计算了上同调的维数。对于均匀组合结构，给出了Hodge数的递归公式。最后，将单点上同调环推广到任意的格子平坦结构，并展示了上同调如何依赖于该结构。
Combinatorial and algebro-geometric cohomology classes on the moduli spaces of curves
基于Strebel微分对曲线的模空间的组合描述，Witten和Kontsevich引入了组合上同调类$W_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}$，并证明了它们可以用Mumford-Morita-Miller类来表示.有人认为，这种联系应提供的一个定理迪弗朗切斯科，Itzykson和Zuber有关的衍生物的维滕-Kontsevich配分函数相对于一组变量的衍生物相对于其他一组变量。有两件事显示。首先，这在复余维1中起作用。其次，在所有的情况下，当它已经有可能使迪弗朗切斯科，Itzykson和祖伯correspondence明确这转化为身份的类型$$ \int_{W_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}}\prodψ_i^{d_i} =\int_{\overline{\cal{M}}_{g,n}} X_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}\prodψ_i^{d_i} $$其中的$X_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}$是明确的多项式在代数几何类和$ψ_i$是陈类的点丛，任何选择的$d_1,\dots,d_n$。
Lecture notes on quantum cohomology of the flag manifold
这是一个博览会的一些最近的发展有关的对象的标题，特别是组合计算的（亏格0）Gromov-Witten不变量的旗流形和二次代数方法。这些笔记主要是根据我与S.Gelfand、A.N.Kirillov和A. Postnikov的联合论文。这绝不是一个详尽的调查的主题，而是一个偶然的介绍其组合方面。
Local cohomology and singular cohomology of toric varieties via mixed Hodge modules
本文利用混合 Hodge 模块技术研究了环面簇的局部上同调与奇异上同调，证明了真环面簇奇异上同调的混合 Hodge-Tate 型性质，并详细计算了特定子类的局部上同调与 Betti 数。
Lefschetz morphisms on singular cohomology and local cohomological dimension of toric varieties
本文利用扇形数据描述了正常环面簇上线丛Chern类杯积诱导的奇异上同调态射，将其与仿射环面簇的局部上同调维数联系，并证明局部上同调缺陷非组合不变量且可通过取锥构造任意缺陷的实例。
Combinatorial description of the cohomology of the affine flag variety
我们构造了Fomin-Kirillov代数的仿射形式，称为仿射FK代数，以研究$A$型仿射Schubert演算的组合数学。在仿射FK代数中引入了Murnaghan-Nakayama元和Dunkl元。我们证明了它们作为Bruhat算子是交换的，并且由这些算子生成的交换代数同构于仿射旗簇的上同调。证明了仿射旗簇的上同调是由MN元和Dunkl元生成的仿射Grassmannian簇和旗簇的上同调的乘积。本文给出了仿射格拉斯曼上同调的Schubert类（分别为标志品种）可以用仿射舒尔函数（分别为Schubert多项式）在多项式环的一个商中。仿射舒伯特多项式是舒伯特类在仿射旗簇的上同调中的多项式代表，可以使用Bernstein-Gelfand-Gelfand算子定义在两个商环的乘积中，该算子被解释为作用在仿射Fomin-Kirillov代数上的均差算子。对于其它的应用，我们得到了仿射Schubert多项式和仿射Stanley对称函数的Murnaghan-Nakayama规则。我们还从Murnaghan-Nakayama元素定义了$k$ -强带状表，给出了一个新的$k$ -Schur函数公式.这个公式给出了以$k$ -Schur函数为Frobenius特征像的对称群的表示的特征标表。
Singular symplectic flops and Ruan cohomology
本文研究了有限群商$$ W_r=\{(x,y,z,t)|xy-z^{2r}+t^2=0 \}/μ_r(a,-a,1,0), r\geq 1, $$的奇异锥的辛几何，我们称之为轨道锥。构造了相应的轨道重辛锥重变换和轨道重辛触发器。设$X$和$Y$是由这样的触发器连接的两个辛轨道。研究了$X$和$Y$上例外类的轨道二重Gromov-Witten不变量，证明了它们具有同构的Ruan上同调.因此，我们验证了阮的一个猜想。
Integral Deligne Cohomology for Real Varieties
我们发展了光滑真簇的积分型Deligne上同调。为此，在复情形下奇异上同调所起的作用必须由普通的二次G-等变上同调所取代，其中G=Gal（C/R）。这是奇异上同调的G-等变对应。我们建立了理论的基本性质，并给出了权重为1和2的二维群的几何解释。
Pure Hodge structure on the $L_2$-cohomology of varieties with isolated singularities
设$V$是具有孤立奇点的复射影簇.设光滑部分由射影嵌入引入度量。然后我们发展了$L_2$调和理论，构造了$V$的$L_2$ -上同调的纯Hodge结构.当$V$的维数为2时，我们在它的$L_2$形式的层复形上加上一个上同调的Hodge结构.
A Pieri-type Formula for the Equivariant Cohomology of the Flag Manifold
我们证明了旗流形SLn/B的T-等变上同调的某些结构常数的一个显式组合公式。我们的结果推广了Sottile在1996年证明的关于普通上同调的Pieri型公式。我们的结果也给出了由Lascoux和Schutzenberger引入的双Schubert多项式的Pieri型公式。
Geometry and cohomology of Khovanov-Springer varieties
Khovanov-Springer簇X（n）是长度为2n的旗簇的一个子簇，它已经从各种不同的观点被研究过。给出了X（n）上同调环结构的一个新证明，并将它与一些有趣的几何、组合和代数现象联系起来.
Some results on the generic vanishing of Koszul cohomology via deformation theory
研究奇异节线上$g^r_d$的Koszul上同调群的形变-阻塞理论。我们计算的障碍类Koszul上同调类的奇异曲线变形到一个光滑的。在障碍非平凡的情况下，得到了Koszul上同调群通有消失的部分结果。
Reflexive differential forms on singular spaces -- Geometry and Cohomology
基于最近的自反微分形式的扩张定理，即定义在可能奇异簇的光滑轨迹上的正则微分形式，我们研究了自反微分层的几何和上同调。首先，我们将扩张定理推广到局部代数复空间上的全纯形式。我们调查（非）存在性的自反多微分奇异合理连接品种，使用半稳定性分析可移动曲线类。关于这种稳定性概念的必要基础材料在本文的附录中得到了发展。此外，我们证明了Kodaira-Akizuki-Nakano消失层的自反微分持有在某些极端情况下，它失败的一般。最后，拓扑和Hodge理论性质的自反微分进行了探讨。
The slice spectral sequence for singular schemes and applications
我们研究了切片谱序列的奇异方案关于各种动机T-谱的上同调，特别是动机协边谱。当基域k允许奇点的分解且X是k上有限型概形时，我们证明了Voevodsky的切片过滤导致MGL（X）的一个谱序列，其项是用cdh-超同调定义的X的动机上同调群.作为结果，我们建立了X的动机协边和动机上同调的某些几何部分之间的同构。对于连通K-理论，一个类似的谱序列导致从X的动机上同调到同伦不变量K-理论的一个圈类映射。我们证明了这个圈类映射对于射影概形是内射的。我们还推导了奇异格式的动机上同调的扭转的应用。
The evaluation isomorphism of singular cohomology on the Čech nerve
本文通过同伦等价将奇异上同调与Čech上同调联系起来，通过Čech神经的简单形的评估来建立同构。
Hermitian-holomorphic Deligne cohomology, Deligne pairing for singular metrics, and hyperbolic metrics
我们引入了一个模型的Hermitian全态Deligne上同调的投影代数流形，它允许将奇异的Hermitian结构沿正规交叉因子。在射影曲线的情况下，上同调的杯积被证明对应于Deligne配对到具有Mumford等人意义上的“良好”埃尔米特度量的线丛的推广。一个特殊的情况是，切丛的曲线扭曲的双曲度量的奇异因子的负面：其杯平方（校正的总面积）被证明是一个功能的极值是度量的常数负曲率。
Unit Interval Orders and the Dot Action on the Cohomology of Regular Semisimple Hessenberg Varieties
受Stanley和Stembridge 1993年猜想的启发，Shareshian和Wachs证明了特征映射将对称群对正则半单Hessenberg簇的上同调的点作用化为$ωX_G(t)$，其中$X_G(t)$是对应的自然单位区间阶的不可比图$G$的色拟对称函数，而$ω$是对称函数上的通常对合。我们证明了Shareshian-Wachs猜想。我们的证明使用局部不变循环定理的贝林森伯恩斯坦德利涅获得满射从上同调的正则赫森伯格品种的约旦型$λ$的局部不变循环的空间;作为$λ$范围在所有分区，这些空间共同包含所有的信息点行动的正则半单赫森伯格品种。使用回文性参数，我们表明，在我们的情况下，满射实际上是同构，从而减少了Shareshian-Wachs猜想计算上同调的一个经常Hessenberg品种。但这种上同调已经描述了组合Tymoczko，我们给一个双射证明（使用推广的组合互易定理的周），Tymoczko的组合描述相吻合的组合的色准对称函数。
Q_l-cohomology projective planes and singular Enriques surfaces in characteristic two
本文在特征二中分类了具有九个光滑有理曲线构型的奇异恩里克斯曲面，通过收缩曲线得到 Q_l-上同调同构于射影平面的 ADE 奇点曲面，并推广至经典恩里克斯曲面及积分模型。
Local Picard Group of Pointed Monoids and Their Algebras
本文的主要目的是给出Stanley-Reisner环的删余谱的单位层的上同调的一个显式公式。特别地，我们计算了$K [\triangle]$的局部Picard群.为了实现这一点，我们研究相应的纯组合问题上的打孔频谱的点幺半群定义的$\triangle$。${\rm Spec}^ \bullet K[\triangle ]$上单位层的上同调是这个组合上同调的直和，它有一个沿着顶点的分解，另一部分依赖于域$K$。
Nilpotence of Frobenius action and the Hodge filtration on local cohomology
一个$F$ -幂零局部环是一个局部环$(R, \mathfrak{m})$，它的素特征由Frobenius作用在它的局部上同调模$H^i_{\mathfrak{m}}(R)$上的幂零性定义。如果特征零的奇异性的模$p$约化是$F$-对于几乎所有的$p$都是幂零的，则称其为$F$-幂零类型。本文给出了三维$F$ -幂零型正规孤立奇点的Hodge理论解释。在分次的情况下，这产生了这些奇异性的表征方面的除子类群和布劳尔群。
Mixed Hodge structures on the intersection homotopy type of complex varieties with isolated singularities
最近由Chataur-Saralegui-Tanré发展的交上同调的同伦处理将一个“反常代数模型”与每一个拓扑伪流形联系起来，将Sullivan的有理同伦的表述扩展到交上同调。在这种情况下，有一个概念的“相交形式”，衡量消失的梅西产品的相交上同调。本文研究了具有孤立奇点的复射影簇的反常代数模型。我们赋予这样的不变量与自然的混合霍奇结构。这使我们能够证明一些相交形式的结果，大家庭的复杂的投影品种，如孤立的表面奇点和品种的任意尺寸与普通的孤立奇点。
Inseparable maps on $W_n$-valued local cohomology groups of non-taut rational double point singularities and the height of K3 surfaces
本文研究非平凡有理双重点奇点，计算Frobenius等不可分映射在$W_n$值局部上同调群上的作用，并证明K3曲面的高度与其RDP同构类相关。
A Combinatorial Derivation of the Racah-Speiser Algorithm for Gromov-Witten invariants
利用有限维Clifford代数给出了复Grassmannian的小量子上同调环的一个新的组合积公式。特别地，Gromov-Witten不变量可以通过Clifford代数中的某些元素来表示，这导致了Rachah-Speiser算法的q-变形，允许它们在Kostka数方面的计算。第二个主要结果是将量子上同调环中的乘积展开式投影到sl（n）Verlinde代数上的一个简单而明确的组合公式。这个投影是非平凡的，相当于一个身份之间的有理曲线相交舒伯特品种和尺寸的模空间的广义θ函数。
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
On the motivic cohomology of some singular rings
本研究利用非$\text{A}^1$不变的动机上同调与整$p$进霍奇理论，对奇异环如$\text{Z}/p^n$等的代数K理论计算得到了动机细化结果，为相关领域提供了新的理论工具。
Cohomological and Combinatorial Methods in the Study of Symbolic Powers and Equations defining Varieties
在这篇博士论文中，我们将讨论交换代数中与代数几何、表示论和组合数学相互作用的一些方面。特别是，在第一章中，我们将重点了解当某些上同调模消失，一个经典的问题提出的格罗滕迪克。在第二章中，我们将利用局部上同调来研究Groebner变形下的连通性以及簇的算术秩。在第三章中，我们将使用一般线性群的表示论中的工具来研究一般矩阵的固定大小的子式之间的关系（本章的结果将出现在与Bruns和Conca的联合论文中）。在最后一章我们将用组合方法研究Stanley-Reisner理想的符号幂的Cohen-Macaulay性质。本文包括五个附录和一个介绍局部上同调的前一章。
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