Quiver Approaches to Quasi-Hopf Algebras
Hua-Lin Huang
本文给出了拟霍普夫代数的一个可解集，推广了霍普夫代数的可解集理论.作为应用，我们得到了一些一般的结构定理，特别是准Hopf模拟的Cartier定理和Cartier-Gabriel分解定理。
We provide a quiver setting for quasi-Hopf algebras, generalizing the Hopf quiver theory. As applications we obtain some general structure theorems, in particular the quasi-Hopf analogue of the Cartier theorem and the Cartier-Gabriel decomposition theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hopf Structures on Minimal Hopf Quivers
本文利用数值方法研究了点霍普夫代数.我们分类所有可能的霍普夫结构所产生的最小的霍普夫箭图，即基本周期和线性链。这为一般的点霍普夫代数提供了完整的局部结构信息。
On quiver-theoretic description for quasitriangularity of Hopf algebras
本文利用Hopf代数方法研究了霍普夫代数的拟三角性.本文给出了由路余代数生成余拟三角霍普夫代数的霍普夫箭图的组合描述。利用这一背景，研究了特征为0的代数闭域上的一般余拟三角点霍普夫代数，得到了有限维余拟三角点霍普夫代数的一个完全分类.
Hopf quivers
本文利用类似于Cayley图的Hopf箭图对路余代数上的分次霍普夫代数结构进行了分类.描述除了涉及余积的规范公式外，还涉及乘积的公式。这使得明确的量子洗牌产品利用自然元素在一个霍普夫双模有一个简单的“几何”的解释，在广义上，而不是系统地工作与右或左coinvariants。
Classification of PM Quiver Hopf Algebras
我们用参数描述了一类非霍普夫代数.这导致了多重Taft代数的分类以及指向的Yetter-Drinfeld模和它们对应的Nichols代数。特别地，当基场$k$是复域，$G$是有限阿贝尔群时，我们对$G$上的多重Taft霍普夫代数，$G$上的多重Taft代数和$^{kG}_{kG} {\cal YD}$上的Nichols代数进行了分类.证明了复半单李代数的量子包络代数是半路霍普夫代数的商.
Actions of some pointed Hopf algebras on path algebras of quivers
在箭图是无环的、有限的和Schurian的情况下，我们对Taft代数T（n）在箭图的路代数上的Hopf作用进行了分类.作为推论，我们看到每个容许Z_n-作用（通过有向图自同构）的图也容许Taft代数的内忠实作用。给出了Sweedler代数T（2）的作用和T（3）的作用的几个例子。然后将Taft代数作用在路代数上的结果推广到Frobenius-Lusztig核u_q（sl_2）的作用和T（n）的Drinfeld双倍的作用.
Classification of Quiver Hopf Algebras and Pointed Hopf Algebras of Type One
利用具有不可约表示的分歧系统对非线性霍普夫代数进行了分类.这导致了群代数上的Nichols代数的分类和1型点霍普夫代数的分类。
Actions of Hopf-Ore Extensions of Group Algebras on Path Algebras of Quivers
本文分类群代数 Hopf-Ore 扩张在箭图路代数上的滤过 Hopf 作用，并将结果应用于 GK 维数一和二的 Noether 素 Hopf 代数等特例。
Hopf quivers and Nichols algebras in positive characteristic
我们应用第一作者和Rosso的一个组合公式，对Hopf代数中的乘积，确定Nichols代数的结构.我们说明了这种技术，明确构造新的例子尼科尔斯代数的正特征。我们进一步描述了相应的Radford双积和这些双积的提升，它们是新的有限维点霍普夫代数.
The Green rings of minimal Hopf quivers
设$\k$是一个域，而$Q$是一个最小的Hopf算子，即，一个循环代数或无限线性代数，并且令$\rep^{ln}(Q)$表示$Q.$的局部幂零有限维$\k$ -表示范畴$\rep^{ln}(Q)$具有自然张量结构，这些自然张量结构是由路径余代数$\k Q.$上的分次Hopf结构导出的形式为$\rep^{ln} (Q)$的张量范畴是一类有趣的驯服遗传指向张量范畴，它们不是有限的。本文的目的是计算这类张量范畴的Clebsch-Gordan公式和Green环。
A quiver approach to quasi-quantum groups with the Chevalley property
本文通过引入修正广义路余代数，给出具有对偶Chevalley性质的余拟Hopf代数的箭图刻画，并分类了有限表示型的Chevalley性质积分张量范畴。
A Hopf algebra quantizing a necklace Lie algebra canonically associated to a quiver
V. Ginzburg，并独立地R. Bocklandt和L. Le Bruyn，定义了一个无限维的“项链”李代数，它与任何一个李代数正则相关。根据V.Turaev，P.Etingof和Ginzburg的建议，我们定义了一个上括号，并证明了它定义了一个李双代数结构。给出了一个量子化该李双代数的霍普夫代数，并证明了它是一个满足PBW性质的霍普夫代数.我们提出的表示到空间上的微分算子的表示，它的轨迹表示的李代数的Ginzburg。
For $(Q,W)$ a symmetric quiver with potential satisfying a Künneth-type condition, we construct (positive and negative) extensions of its K-theoretic Hall algebra which are bialgebras. In particular, there are bialgebra extensions of preprojective KHAs of a quiver $Q$ and one can construct their Drinfeld double algebra.
We explore the differential geometry of finite sets where the differential structure is given by a quiver rather than as more usual by a graph. In the finite group case we show that the data for such a differential calculus is described by certain Hopf quiver data as familiar in the context of path algebras. We explore a duality between geometry on the function algebra vs geometry on the group algebra, i.e. on the dual Hopf algebra, illustrated by the noncommutative Riemannian geometry of the group algebra of $S_3$. We show how quiver geometries arise naturally in the context of quantum princi…
Duality for Generalised Differentials on Quantum Groups and Hopf quivers
本文研究了代数$A$上的广义微分结构$Ω^1,d$，其中由$a\tens b\to a d b$给出的$A\tens A\to Ω^1$不必是满射的.有限集情形对应于嵌入有向图的箭图，Hopf代数左协变情形对应于$(Λ^1,ω)$对，其中$Λ^1$是右模，$ω$是右模映射，而Hopf代数双协变情形对应于$A$上的右交叉（或Drinfeld-Radford-Yetter）模范畴中的态射$ω:A^+\to Λ^1$。当$A=U(g)$的广义左协变微分结构分类的余圈$ω\in Z^1(g,Λ^1)$。然后，我们介绍和研究的对偶概念的余微分结构$(Ω^1,i)$上的余代数和Hopf代数的自对偶概念的强双共变微分分次代数$(Ω,d)$增广的余微分$i$度-1。这里$Ω$是一个分次超Hopf代数扩展的Hopf代数$Ω^0=A$和，在适用的情况下，对偶超Hopf代数给出了相同的结构上的对偶Hopf代数。我们将展示如何从一阶数据构建这样的对象，使用编织反对称的最小构造和使用编织张量代数的最大构造，并通过编织洗牌代数给出对偶。该理论适用于量子群与$Ω^1(C_q(G))$对偶配对的$Ω^1(U_q(g))$，和有限群的关系（超）霍普夫箭图。
Hopf algebras with the dual Chevalley property of finite corepresentation type
本文研究了具有有限共表示类型的Hopf代数，证明其与对偶Chevalley性质、coNakayama性质及链接有向图结构之间的等价关系。
Counting Using Hall Algebras I. Quivers
本文综述了关于计算双表示的模空间的有理点的一些结果。然后，我们作出推广格拉斯曼和标志的符号表示。这些结果在簇代数中有很好的应用。在此过程中，我们使用的完整的霍普夫结构的霍尔代数的一个。
Hopf actions of some quantum groups on path algebras
本文研究量子Borel子代数和小量子群在箭图路径代数上的Hopf作用，给出参数化及单位根情形下作用分解的充要条件，并借助张量范畴语言将相应双模范畴等价于明确关系箭图的表示范畴。
Representation theory of the Drinfel'd doubles of a family of Hopf algebras
研究了一类霍普夫代数的Drinfel'd doubles $D(Λ_{n,d})$.我们确定了它们的简单模和不可分解投射模，并得到了这些Drinfel'd double的表示式和关系，由此我们推导出它们的表示式的性质，包括$D(Λ_{n,d})$的Auslander-Reiten箭图.然后，我们确定分解的张量积的大多数表示，特别是给一个完整的描述的张量积的两个简单的模块。本研究还导致显式的例子，霍普夫双模在原来的霍普夫代数。
The quantum double for quasitriangular quasi-Hopf algebras
设$D(H)$是有限维拟霍普夫代数$H$的量子偶.本文首先推广了Majid的一个结果，即有限维拟三角的Hopf代数$H$是拟三角的当且仅当存在量子对偶$D(H)$在覆盖自然包含的$H$上的投影，然后证明了有限维拟三角的拟霍普夫代数的量子对偶是双积.
Local Quasitriangular Hopf Algebras
我们发现了一类新的霍普夫代数--局部拟三角霍普夫代数，它推广了拟三角霍普夫代数.利用这些霍普夫代数，我们系统地得到了杨-巴克斯特方程的解.局部拟三角霍普夫代数上具有有限圈的模范畴是一个辫张量范畴。
Integrals for (dual) quasi-Hopf algebras. Applications
霍普夫代数理论中关于积分的唯一性和存在性的一个经典结果是：对于任意的霍普夫代数，积分空间有维数$\leq 1$，而对于有限维的霍普夫代数，这个维数正好是1.将这些结果推广到拟霍普夫代数和对偶拟霍普夫代数.特别是，它将遵循的双射性的对极遵循其他公理的有限维拟霍普夫代数。本文给出了拟霍普夫代数基本定理的一个新形式。证明了对偶拟霍普夫代数是余Frobenius的当且仅当它有一个非零积分.在这种情况下，左或右积分的空间具有一维。
The necklace Lie coalgebra and renormalization algebras
我们给出了一个自然的单态从项链李余代数，定义为任何一个，Connes和Kreimer的李余代数的树，并延长这一映射从一定的箭理论的Hopf代数Connes和Kreimer的重整化Hopf代数，以及前李版本。这些结果与Turaev在2004年的结果直接类似，通过用箭图上的路径代数替换曲面上的循环代数。我们还因素的态射通过代数的弦图和解释的几何版本。然后，我们解释了所有霍普夫代数如何由预李结构唯一确定，并讨论了霍普夫代数的非交换版本。
Biproduct Quasi-Hopf Algebras of Rank 2
受Radford工作启发，研究任意拟Hopf代数上左Yetter-Drinfeld模辫子范畴中的2维Hopf代数，确定其定义的双积拟Hopf代数，构造得到新的偶数维基本拟Hopf代数类与张量范畴类。
On the antipode of a co-Frobenius (co)quasitriangular Hopf algebra
本文将Drinfeld和Radford关于有限维（co）拟三角霍普夫代数对极的四次幂的一个结果推广到co-Frobenius情形.
The Structure Theorem for Hopf modules states that if a bialgebra $H$ is a Hopf algebra (i.e. it is endowed with a so-called antipode) then every Hopf module $M$ is of the form ${M}^{\mathrm{co}{H}}\otimes H$, where ${M}^{\mathrm{co}{H}}$ denotes the space of coinvariant elements in $M$. Actually, it has been shown that this result characterizes Hopf algebras: $H$ is a Hopf algebra if and only if every Hopf module $M$ can be decomposed in such a way. The main aim of this paper is to extend this characterization to the framework of quasi-bialgebras by introducing the notion of preantipode and b…
Doi-Hopf modules and Yetter-Drinfeld modules for quasi-Hopf algebras
对于拟霍普夫代数$H$，左$H$ -余代数$\mf{B}$和右$H$ -模余代数$C$，我们用模刻画了Doi-Hopf模范畴${}^C{\cal M}(H)_{\mf{B}}$.我们还将证明，对于$H$ -双模余代数$\mb{A}$和$H$ -双模余代数$C$，广义Yetter-Drinfeld模范畴${}_{\mb{A}}{\cal YD}(H)^C$同构于某个Doi-Hopf模范畴.利用这个同构，我们将把Doi-Hopf模范畴的性质转移到广义Yetter-Drinfeld模范畴。
An approach to quasi-Hopf algebras via Frobenius coordinates
本文从Frobenius代数的角度研究了某些交换环上的拟霍普夫代数及其子代数.引入了一类包含Frobenius代数的反自同构和Nakayama自同构的Radford公式，并从这一角度讨论了量子代数中的几个结果.此外，作为Frobenius代数，研究了拟霍普夫代数的可分性和强可分性.
Coradically graded Hopf algebras of tame corepresentation type
本文通过链箭图方法，刻画了具有对偶Chevalley性质的有限维Hopf代数的余表示类型，并给出了温和余表示型的充要条件。
On coquasitriangular pointed Majid algebras
本文用代数方法研究了余拟三角点Majid代数。对路余代数允许余拟三角Majid代数的Hopf箭图类进行了分类.给出了一般余拟三角点Majid代数的最优集.通过这一过程，得到了一些实例和分类结果。
Two-sided (two-cosided) Hopf modules and Doi-Hopf modules for quasi-Hopf algebras
设$H$是域$k$上的有限维拟Hopf代数，${\mathfrak A}$是Hausser和Nill意义下的右$H$ -余代数.首先证明了在$k$ -向量空间${\mathfrak A}\ot H^*$上，我们可以在左$H$ -模的么半群范畴中定义一个代数结构，记为${\mathfrak A}\ovsm H^*$（即${\mathfrak A}\ovsm H^*$是一个$H$ -模代数）.然后我们将证明双边$({\mathfrak A}, H)$ -双模范畴$\hba $同构于相对$({\mathfrak A}\ovsm H^*, H^*)$ -Hopf模范畴，如Hausser和Nill在.在${\mathfrak A}=H$的特定情况下，我们将获得Nill宣布的结果。我们还将介绍Doi-Hopf模和双边双边Hopf模的范畴，并证明它们在某些情况下同构于模范畴。
Braided Hopf Algebras
在辫子张量范畴中，我们证明了Maschke定理，并给出了双交叉双积和交叉双积以及双积是双代数的充要条件.在对称张量范畴中，证明了对偶定理，构造了量子偶;在具有普通扭曲的普通向量空间范畴中，得到了代数$R$及其交叉积$R #_σH$的整体维数、弱维数、Jacobson根、Baer根之间的关系.我们还给出了余模分解与余代数分解之间的关系。我们对霍普夫代数进行了分类。在具有dim $L \le 3$的李代数$L$上得到了常值经典杨-巴克斯特方程（CYBE）的所有解.给出了$(L, \hbox {[ ]}, Δ_r, r)$是上边界（或三角）李双代数的充必要条件.
Quasi-triangular structures on Hopf algebras with positive bases
有限维霍普夫代数H的基B称为正的，如果H相对于B的所有结构常数都是非负的.如果准三角形结构$R\in H\otimes H$在$H\otimes H$的基$B \otimes B$中具有非负系数，则该准三角形结构被称为关于B是正的。在我们以前的工作中，我们对所有具有正基的有限维霍普夫代数进行了分类.本文对这类霍普夫代数上的正拟三角结构进行了分类。这种分类的结果是一种新的方法来构造杨-巴克斯特方程的集合理论解。
Let $q>2$ be a prime number, $d$ be an odd square-free natural number, and $n$ be a non-negative integer. We prove that a semisimple quasitriangular Hopf algebra of dimension $dq^n$ is solvable in the sense of Etingof, Nikshych and Ostrik. In particular, if $n\leq 3$ then it is either isomorphic to $k^G$ for some abelian group $G$, or twist equivalent to a Hopf algebra which fits into a cocentral abelian exact sequence.
Hopf quasigroups and the algebraic 7-sphere
本文引入了Hopf拟群和Hopf余拟群$H$的概念，推广了逆性质拟群$G$的经典概念，分别表示为拟群代数$k G$和代数拟群$k[G]$ .证明了Hopf代数的一些基本结果，如对极$S:H\to H$的反（余）乘性，如果$H$是交换的或余交换的，则$S^2=\id$是反乘的，以及交叉（余）积的理论.我们还介绍了一个Moufang的Hopf（co）拟群的概念，并表明，坐标代数$k[S^{2^n-1}]$的可并行领域是代数拟群（交换的Hopf coquasigroups在我们的制定）和Moufang。我们利用描述的复合代数，如八元数通过上链$F$在\cite{Ma99}介绍。我们构造了一个非交换非平凡Moufang的Hopf余拟群的例子$k[S^7]\rtimes\Z_2^3$.本文利用Hopf余拟群方法研究了$k[S^7]$上的微分几何，并给出了$S^7$是可并行的一个简短的代数证明.着眼于组合的左，右不变向量场的$k[S^7]$，我们提供了一个新的描述的结构常数的李代数$g_2$的结构常数$F$的八元数。在最后一节中，我们给出了$q$ -变形量子群$\C_q[S^3]$的一个新的描述，它通常被看作是一个Moufang Hopf余拟群（因为它实际上是一个Hopf代数），但现在是根据通过Cayley-Dickson过程建立的$F$。
Cyclic homology of Hopf algebras
Connes和Moscovici最近提出了一种适用于霍普夫代数的循环上同调理论。在本文中，我们认为这个对象的同调框架中，在精神的Loday Quillen和Karoubi的工作的循环同调的结合代数。在群代数的情况下，我们解释的分解的经典循环同调的群代数在这个同源。我们还计算了截断的n-代数的两个循环同调。
Central Invariants and Higher Indicators for Semisimple Quasi-Hopf Algebras
本文利用\cite{NS05}中的范畴对应定义了半单拟霍普夫代数$H$的有限维模$V$的高阶Frobenius-Schur（FS-）指标.我们证明了当$H$是一个霍普夫代数时，这种高阶FS-指标的定义与Kashina，Sommerhäuser和Zhu引入的高阶指标一致.我们还得到了一个序列的规范中心元素的$H$，这是不变的规范变换下，其值，当评估的性质的$H$ -模块$V$，是更高的Frobenius-Schur指标的$V$。作为一个应用，我们证明了FS-指标足以区分对应于Tambara和Yamagami提出的融合规则的四个融合类别的八维半单准霍普夫代数的四个规范等价类.其中三个类别对应于众所周知的霍普夫代数，并且我们显式构造了对应于第四个类别的准霍普夫代数。我们还得到了与群上循环相关的拟霍普夫代数的FS-指标的显式公式。
Let k be an algebraically closed field of characteristic zero. In joint work with J. Cuadra [arxiv.org/abs/1409.1644, arxiv.org/abs/1509.01165], we showed that a semisimple Hopf action on a Weyl algebra over a polynomial algebra k[z_1,...,z_s] factors through a group action, and this in fact holds for any finite dimensional Hopf action if s=0. We also generalized these results to finite dimensional Hopf actions on algebras of differential operators. In this work we establish similar results for Hopf actions on other algebraic quantizations of commutative domains. This includes universal envelo…
A Hopf Algebraic Theory of the Quantum Magnusian
本文为量子Magnus展开中的图系数建立了Hopf代数理论，引入混合箭图的收缩Hopf代数，给出连通函数的普适闭式公式，并推导出量子Murua公式及与Tutte和色多项式相关的恒等式。
The Hopf algebra $Rep U_q \hat{gl}_\infty$
在极限$N \to \infty$中定义了$U_q \hat{gl}_N$的有限维多项式表示的Grothendieck群上的霍普夫代数结构.得到的霍普夫代数$Rep U_q \hat{gl}_\infty$是它的霍普夫子代数$Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$，$a\in\C^\times/q^{2\Z}$的张量积.当$q$为通用时（分别，$q^2$是$l$阶单位元的原根），我们构造了霍普夫代数$Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$与prounipotent原代数群$SL_\infty^-$上的正则函数代数之间的同构（分别，$\tilde{GL}_l^-$）。当$q$是一个单位根时，这个同构标识了$Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$的Hopf子代数，该子代数由通过关于Frobenius同态的拉回获得的模所张成，该Frobenius同态具有由$\tilde{GL}_l^-$的元素的行列式的系数生成的代数。这给了我们一个基本表象的弗罗贝纽斯拉回的显式公式。此外，我们构造了与无限线性代数相关联的Hall代数的自然作用（分别为，循环的$l$顶点）的$Rep_a U_q \hat{gl}_infty$和描述的张量积的评估表示采取在固定点作为一个模块在这个霍尔代数的跨度。
Hopf modules and the fundamental theorem for Hopf (co)quasigroups
引入了Hopf（co）拟群上的Hopf模的概念，证明了Hopf（co）拟群的一个基本定理.
Quasi-Hopf $*$-Algebras
引入了拟Hopf $*$ -代数，即带有共轭（星）运算的拟霍普夫代数.所提出的拟Hopf $*$ -代数的定义保证了拟Hopf $*$ -代数类在扭曲下是闭的，并且保证了任何Hopf $*$ -代数通过扭曲成为拟Hopf $*$ -代数.这些代数的基本性质的发展。研究了对极与恒星结构的关系。引入并研究了拟三角拟Hopf $*$ -代数.
A quasi-Hopf algebra freeness theorem
我们证明了Nichols-Zoeller定理的拟霍普夫代数版本：有限维拟霍普夫代数在任何拟Hopf子代数上是自由的。
Involutory quasi-Hopf algebras
引入并研究了对合（对偶）拟霍普夫代数的基本性质。我们还研究了对合拟霍普夫代数的表示，证明了具有非零积分的对合对偶拟霍普夫代数是余半单的.
Quotients of finite quasi-Hopf algebras
设H是有限维拟霍普夫代数.证明了对H的每一个商拟双代数Q，Q是其维数整除H的维数的拟霍普夫代数.
We find and classify all bialgebras and Hopf algebras or `quantum groups' of dimension $\le 4$ over the field $\Bbb F_2=\{0,1\}$. We summarise our results as a quiver, where the vertices are the inequivalent algebras and there is an arrow for each inequivalent bialgebra or Hopf algebra built from the algebra at the source of the arrow and the dual of the algebra at the target of the arrow. There are 314 distinct bialgebras, and among them 25 Hopf algebras with at most one of these from one vertex to another. We find a unique smallest noncommutative and noncocommutative one, which is moreover s…
We construct an explicit isomorphism between the quasitriangular quasi-Hopf algebra $D^ω(H)$ defined in \cite{bp} and a certain quantum double quasi-Hopf algebra. We give also new characterizations for a quasitriangular quasi-Hopf algebra to be ribbon and use them to construct some ribbon elements for $D^ω(H)$.
Basic quasi-Hopf algebras over cyclic groups
设$m$为不能被2，3，5，7整除的正整数。本文将\cite{EG3}中关于素数阶循环群上的基本拟霍普夫代数的分类推广到$m$阶循环群上.为此，我们引入了一类非半单根分次拟霍普夫代数代数$A(H,s)$，它被构造为扭曲了一个拟霍普夫扭曲的霍普夫代数代数的子代数，并且与霍普夫代数不是扭曲等价的. $m$阶循环群上的任何基本拟霍普夫代数要么是半单的，要么扭等价于$A(H,s)$型的霍普夫代数或拟霍普夫代数.
On quasi-Hopf smash products and twisted tensor products of quasialgebras
分析了拟代数的拟Hopf smash积与某些扭张量积之间的关系。在此过程中，我们也得到了一些独立的利益，如对偶定理有限维拟霍普夫代数和广义对角交叉产品的泛性质。
Moyal quantization of necklace Lie algebras
我们利用Moyal型公式构造了一个与一个子空间相关联的项链李双代数的霍普夫代数量子化.
Factorizable quasi-Hopf algebras. Applications
利用范畴的观点定义了可因子分解的拟霍普夫代数的概念。证明了任意有限维拟霍普夫代数$H$的Drinfeld对偶$D(H)$是可因子分解的，并刻画了当$H$自身可因子分解时，$D(H)$的Drinfeld对偶是可因子分解的.最后，我们证明了任何有限维可因子分解的拟霍普夫代数都是幺模的.特别地，我们得到了Drinfeld双$D(H)$是幺模拟霍普夫代数.
On the Notion of a Ribbon Quasi-Hopf Algebra
我们证明了两个相互竞争的带状拟霍普夫代数的定义实际上是等价的。在此过程中，我们从一个新的角度来看待Drinfel'd元素，并使用这个观点来推导它的基本属性。
Let p and q be distinct odd primes and assume k is an algebraically closed field of characteristic zero. We classify all quasitriangular Hopf algebras of dimension pq^2 over k, which are not simple as Hopf algebras. Moreover, we obtained all quasitriangular structures on these Hopf algebras.
Quasitriangular (G-cograded) multiplier Hopf algebras
将一般拟三角Hopf代数的对极上的已知结果推广到乘子霍普夫代数的框架中。我们举例说明，不能得到使用经典的霍普夫代数。本文的主要研究对象是所谓的群余分次乘子霍普夫代数。通过这样做，我们把准三角Hopf群余代数（如Turaev介绍）的结果，更一般的框架乘子霍普夫代数。
The quasi-Hopf analogue of $u_q(sl_2)$
在[4]中，我们构造了一些维数为$n^{3}$的拟霍普夫代数，它们可以理解为Taft代数的拟Hopf模拟。此外，文[7]中还考虑了广义Taft代数的拟Hopf类似，其中使用了拟霍普夫代数的对偶语言.本文计算了这类拟霍普夫代数的Drinfeld倍.作者在[5]中证明了：如果$n$是奇的，则[4]中构造的维数为$n^{3}$的拟霍普夫代数的Drinfeld二重代数总是扭等价于Lusztig的小量子群$u_q(sl_2)$.基于计算和分析，我们证明了这是\emph{not}的情况下，如果$n$是偶数。即得到了$u_q(sl_2)$的准Hopf模拟$Qu_q(sl_2)$。
A characterization of weak Hopf (co)quasigroups
本文证明了弱Hopf（余）拟群可以用Galois型条件刻画。考虑到这一概念推广了Hopf（co）拟群和弱Hopf代数的概念，我们由此得到了Hopf（co）拟群的第一基本定理和弱霍普夫代数的Galois型态射（也称融合态射）的双射性的一个刻画.
Structure theorems for bicomodule algebras over quasi-Hopf algebras, weak Hopf algebras and braided Hopf algebras
设H是拟霍普夫代数、弱霍普夫代数或辫状霍普夫代数.设B是H-双余代数，使得存在H-双余代数v的态射：H \rightarrow B.然后我们可以定义一个对象B^{co（H）}，它是H上的一个左-左Yetter-Drinfeld模，具有额外的性质，允许使一个smash积B^{co（H）}# H成为一个H-双同态代数，同构于B。
Quivers, Quasi-Quantum Groups and Finite Tensor Categories
本文研究了第一作者在arXiv：0902.1620和arXiv：0903.1472中提出的有限拟量子群的双量子设置.得到了复数域上有限余表示型有限维点Majid代数的一个分类，等价地得到了有限表示型初等拟霍普夫代数的一个分类.通过Tannaka-Krein对偶原理，这提供了有限张量范畴的分类，其中每个简单对象的Frobenius-Perron维数为1，并且有许多不可分解的对象直到同构。利用张量表示论给出了这些有限张量范畴的一些有趣的信息。
In this paper, we present a general method for constructing finite-dimensional quasi-Hopf algebras from finite abelian groups and braided vector spaces of Cartan type. The study of such quasi-Hopf algebras leads to the classification of finite-dimensional radically graded basic quasi-Hopf algebras over abelian groups with dimensions not divisible by $2,3,5,7$ and associators given by abelian $3$-cocycles. As special cases , the small quasi-quantum groups are introduced and studied. Many new explicit examples of finite-dimensional genuine quasi-Hopf algebras are obtained.
Quasi-Hopf Algebras of Dimension 6
本文通过证明所有6维拟Hopf代数均为半单，完成了其完整分类，并给出非半单拟双代数例子及15个互不扭等价的6维拟Hopf代数。
On Categories associated to a Quasi-Hopf algebra
一个拟霍普夫代数$H$可以看作是一个交换代数$A$在$H-Mod$的中心$\mathcal Z(H-Mod)$中。证明了$\mathcal Z(H-Mod)$中的$A$ -模范畴等价于（作为幺半范畴）$H-Mod$ .这可以看作是霍普夫代数的霍普夫双模的结构定理在拟霍普夫背景下的推广。
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